第一课原创 含参不等式及其含参等式

1.若 sin x 2.若 cos x
3.若 tan x 4.若 sin x
5.若 sin x
常用结论要背熟
0 ,则 x 0 ,则 x 0 ,则 x
cos x ,则 x tan x ,则 x
sin x＞tanx sin x＜tanx
sin x cos x
a＞b b＜a
如果a＞b, b＞c,那么a＞c
a>b，b>c ⇒ a>c
2.运算性质
⑴对一个不等式的运算(变形) ⑵对多个不等式的运算(变形)
2.运算性质
⑴对一个不等式的运算(变形)
④加(减): 如果a>b，那么a+c>b+c a>b ⇒ a+c>b+c
⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc a>b,c>0 ⇒ ac>bc
⑧ 正值同向可乘： 如果a> b >0，且c>d>0，那么ac>bd a> b >0，c>d>0 ⇒ ac>bd
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
⑨同号可倒：
若a>b,ab>0,则
1 a

1. b
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ (当且仅当○=□时等号成立)
1.直线型：
①直线平移型：z ax by (a,b为常数,截距……)
②直线旋转型：z y y0 x x0
(x0 ,y0为常数,斜率……)
③直线旋移型：z x y (λ,μ为参量,截距……)
④点线距离型：z | ax by c | (a,b,c为常数,距离…)
如果x是实数,且x＞-1, x≠0 ,且n为大于1的自然数, 则
(1 x)n 1 nx
注：伯努利不等式常见的推论：
ⅰ: 若x＞-1,且α≤0 或α≥1，则 (1 x) 1x
ⅱ:若x＞-1,且0≤α ≤1 ，则 (1 x) 1x
ⅲ:若xi＞-1 , 则 (1 x1 x2 xn ) (1 x1)(1 x2 )(1 xn ) (当且仅当n=1时等号成立)
四点三线法
x3 ，f (x3)
x4 ，f (x4 ) x1 ，f (x1)
x2 ，f (x2 )
③三绝对值函数 f (x) k1 | x x1 | k2 | x x2 | k3 | x x3 | ： 五点四线法
绝对值不等式常用的策略
①几何意义——距离 形法 ②函数图像——翻折……
证
一元 2. 含参
二元
单号 3. 双号
三号
绝对值不等式常用的结论
1.定义： ①数：(零点分段法的基础)
x x0
(x x0 )
| x x0 | 0
(x x0 )
(x x0 ) (x x0 )
②形：几何意义——距离(实数,复数,向量)
2.公式：
① |f(x)|＜g(x) －g(x)＜f(x)＜g(x)
1.基本性质
①大小的定义
如果a-b是正数，那么a＞b； a b a b 0 ；
如果a-b是等于零，那么a =b； a b a b 0 ；
如果a-b是负数，那么a＜b； a b a b 0 .
②对称性
如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b
③传递性
<2>设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数
x1, x2,, xn
,有 f ( x1 x2 xn ) f (x1) f (x2 ) f (xn )
n
n
当且仅当 x1 x2 xn 时取等号
17 伯努利不等式 参《选修4-5》P：51 ～ 52
“=”成立的条件： ①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”
左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|” ②中间“－”时,右侧取“=”的条条件是“□○≤0”
左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”
4.绝对值函数的图象：
①单绝对值函数 f (x) k | x x0 | ： 三点二线法 ②双绝对值函数 f (x) k1 | x x1 | k2 | x x2 | ：
则称 S a1c1 a2c2 ancn 为乱序和
称 S1 a1bn a2bn1 anb1 为反序和
称 S2 a1b1 a2b2 anbn 为顺序和
反序和≤乱序和≤顺序和
当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时,取""
|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|
|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+ |□3|+……+|□n|
注1.放缩换序增减号 特例消元求最值 注2.拍扁三角取等号 同号异号是关键
“=”成立的条件： ①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”
左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|” ②中间“－”时,右侧取“=”的条件是“□○≤0”
sin x＞cosx
sin x＜tanx sin x＞tanx
sin x＜cosx
1.若 sin x 2.若 cos x 3.若 tan x 4.若 sin x 5.若 sin x
常用结论要背熟
0 ,则 x 0 ,则 x 0 ,则 x cos x ,则 x tan x ,则 x
2.曲线型：
⑤圆伸缩型： z (x x0 )2 ( y y0 )2 (x0 ,y0为常数,半径…) 3.其他型：
⑥向量型：……
不等式的应用
1.解不等式：
①常见题型 ②常见解法
函数图象 形法 线性规划
其他图象
数法
“纯”不等式法 函数法
③ 一般的，不等式解集的端点值是方程的根
不等式的应用
左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”
13 柯西不等式
1.表述方式众多： i：一般式
方和积 ≥ 积方和
(a21＋a22＋…＋an2)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当 bi＝0 或存在一个数 k，使 ai＝kbi 时等号成立
ii：向量式
a b | a | | b |
§83 含参等式及其含参不等式
一、含参等式： 二、含参不等式：
1.常见题型： <1>.按问法分类： <2>.按参量分类： <3>.按知识分类：
2.常用思想及方法： <1>.数形结合： <2>.分类讨论： <3>.参量分离法： <4>. 变换主元法：
不等式概述
概念 性质
应用
解不等式 求最值 证不等式
二元的均值不等式
若□,○∈R+,则
2
1 □
+
1 ○

□○
≤
□
+
2
○

当且仅当□=○时等号成立
□2+○2 2
注1：使用前提是正数 当且仅当等相连 放缩消元变结构 应用特例求最值
注2：与对号函数 y x k 的关联 x
注3： x 1 2 或 x 1 2
x
x
即 x1 2
x
12 三角形(绝对值)不等式
② |f(x)|＞g(x) －g(x)＜f(x)或 f(x)＞g(x)
3.性质： 4.绝对值函数的图象：
3.性质：
□ <1> |□|= □2 ；|□·○|=|□|·|○| ； ○ <2> |□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|
|□| =
|○|
注1.放缩换序增减号 特例消元求最值 注2.拍扁三角取等号 同号异号是关键
高中数学研究的主要内容
数数关系： 代数
确定关系 数形关系：解析几何
函数 方程 不等式 解析式
关系
形形关系： 立体几何
随机关系 规律与统计
不等式的性质
(一) 作用：变形化简不等式 (二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键
1.基本性质 2.运算性质 3.重要的不等式
说明：不等式的性质分类： ①按课本上的分类方式：…… ②按资料上的分类方式：单向式；双向式…… ③按自己的分类方式：……
15 分数的性质 (糖水不等式，调日术，插值定理)
若 ac
bd
,a,b,c,d,m,n＞0,则
a ma nc c b mb nd d
特例1：若 a 1,a,b,m＞0,则 a a m 1
b
bபைடு நூலகம்bm
注：真分数的分子分母加同一正数后放大
特例2：若 a 1 ,a,b,m＞0,则 a a m 1
11 均值不等式： 若a,b, c R ,则
3 111 abc
3 abc a b c 3
3 a3 b3 c3 3
2
1 1 ab
ab
a b a2 b2
2
2
(调和平均值) (几何平均值) (算数平均值) (幂平均值)
当且仅当a=b=c时，“=”成立
b
b bm
16 凸凹性与琴生(Jensen)不等式
琴生(Jensen)不等式:
<1>设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数
x1, x2,, xn ,有
f ( x1 x2 xn ) n
f (x1) f (x2 ) f (xn ) n
当且仅当 x1 x2 xn 时取等号
2.其他法： ①图象(标根)法： ②因式分解法： ③配方法：
标根法解一元n次不等式
一正二方三穿线 奇穿偶切右上方 上大下小中为等 函数简图是本质
分式不等式的解法
1.“左右”去分母法 2.“上下”去分母法
解不等式组
数形结合“或”字型 书写格式整体观
解连不等式
通法:“截”成不等式组 特法:左右是常数时，可变形成高次不等式
18 lnx不等式与数列不等式
(1).“半成品”辅助函数
大多数是 1 1 ln x x 1 的衍变 x
(2).令 x k 1 ，由迭加法可得
k
1 1 1 1 ln( n 1)
23
n
(3).令 x k ，由迭加法可得 k 1
1 2 3 n n ln( n 1)
2.应用：
i：作用：换序变结构 ii：用途：解证求最值
注：最常见的是将 b1 ,b2 ,,bn 配凑为
①a1, a2,, an
② 1 , 1 ,, 1
a1 a2
an
③常数列
14 排序不等式
已知 a1 ≤ a 2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn
若 c1 , c2 , c3 , …, cn 是 b1 , b2 , b3 , …, bn 的任意一个排列,
6.大同小异 loga x 0
简言之，线性规划就是图象法解二元不等式 一域二线三找点 来先去后为最值
一元函数 定义域 解析式 值域
最值
多元不等式 数 约束条件 目标函数 取值范围 最优解 (多元函数) (线性规划) 形 可行域 目标函数线 可行解 最优解
一域
二线
三找点
来先去后为最值
线性规划常见的几类目标函数
234
n 1
不等式的应用
1.解不等式：
整式不等式 分式不等式
不等式组
绝对值不等式
一元不等式 根式不等式
连不等式
指数不等式
对数不等式
①常见题型
三角不等式
二元不等式 线性规划
含参不等式 四成立…… 抽象不等式
一元二次不等式的解法
1.公式(口诀)法： 口诀1：大于号要两头 口诀2：一正二方三大头
小于号要中间 无根大全小为空
1.解不等式： 2.证明不等式常用的方法：
形法：
①比较法
②分析法
③综合法
数法：
④反证法 ⑤数归法
⑥放缩法
⑦函数法
⑧……法
不等式的应用
1.解不等式： 2.证明不等式常用的方法： 3.求最值常用的方法：
函数图象 形法：
线性规划
最值定理（均值不等式） 数法：
函数法（导数法）
绝对值不等式常见的题型
解 1. 最值
解根式不等式
去掉根号是常法 正值可方奇无限 留意等号定义域 数形结合是特法
抽象不等式
抽象不等具体化 数形结合性质法 辅助函数是关键 增大减小是根本
解指数,对数及三角不等式
背诵法：常用结论要背熟 形法： 上大下小中方程 数法： 数法主要单调性
辅助函数是关键
常用结论要背熟 辅助函数是关键 数法主要单调性 上大下小中方程
如果a>b,且c<0,那么ac<bc a>b,c<0 ⇒ ac<bc
⑥方： 正值可方奇无限
若 a b 0,则an bn (n N且n 1)
若 a b 0,则n a n b(n N且n 1)
⑵对多个不等式的运算(变形)
⑦ 同向可 加： 如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d a>b， c>d ⇒ a+c>b+d