将矩阵化为约当标准型

补充：
()()()
11111~~------=-=-P A sI P P A P sI A sI =()()1~det ~---P A
sI A sI adj P =122)
2()1()1()2)(1()2)(1(---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----P s s s s s s s P =1)
2)(1()1(22---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡---P s s s s s P 矩阵A 的特征多项式)2()1()det(2--=-λλλA I 有两重根21321===λλλ和单特征值，凡是在()A sI adj -中的公因子则必然和()A sI -det 可以相消。

经过线性变换后，系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式， 特别指出，如果n n ⨯维矩阵A 由下式给出
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-12101000
10010n A αααα 并且其特征值n λλλ ,,21互异，作非奇异线性变换x P x ~=，则化A 为对角线标准型矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=-n AP P λλλ 0000000211 其中，P 为范德蒙德（Vandermond ）矩阵。

即
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----1131211
321
1111n n n n n n P λλλλλλλλ
补充： 设约当块数为q 和q 个i m （约当块的阶数）。

A 矩阵惟一决定的约当型矩阵式
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡=q J J J J 21 设变换矩阵p 与J 具有同样阶数组的分块矩阵型
令][21q p p p P =
即，i p 是i m n ⨯阶矩阵。

则PJ AP =
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=q q q J J J p p p p p p A 212121][][ 根据分块矩阵的乘法规则，有
][][221121q q q J p J p J p Ap Ap Ap =
上式实际上是q 个等式，即q
i J p Ap i i i ,,2,1, ==
将i m n ⨯阶矩阵i p 写成列向量形式，于是有
][21imq i i i p p p P =
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=i i i imi i i imi i i p p p p p p A λλλ111][][2121 即
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
+=+==-i i i im i im im i i i i i i i p p Ap p p Ap p Ap λλλ12121
1 也可写成
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫
-=--=-=--1121)()(0)(imi imi i i i i i i p p A I p p A I p A I λλλ 顺序解以上方程组就可以确定i p 的i m 个列向量。

这些列向量中只有
第一个1i p 是对应于i λ的特征向量，而其余的1-i m 个向量,,2,imi i p p 称之为对应特征值i λ的广义特征向量，可由上式递推解出。

设矩阵A 的重特征值为1λ，代入式0)(1=-i i p A I λ中，即由
0)(111=-p A I λ
可求出A 的对应于1λ的特征向量。

有上式解出的线性独立特征向量的个数，就是该特征值对应的约当块数，或表示为
()A I rank n --=111λα
降秩数11α就是对应1λ的线性无关特征向量个数，或者是对应1λ的约当块块数。

换句话说，矩阵A 的特征值分组q λλλ ,,21中，有1121a λλλ=== 。

将式 中计算12p 的式子，
11121)(p p A I -=-λ
两端同时乘以)(1A I -λ，0)()(1111221=--=-p A I p A I λλ 该方程线性无关的解的个数是()2
1A I rank n --λ，但这个数目中包括11p 的个数，即11α。

所以，解出线性无关的列向量12p 的个数，
()()21112A I rank A I rank ---=λλα
也就是对应1λ的大于或等于2阶约当块的块数。

例 将已知矩阵A 化为约当型。

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=212213200
120012 i A 解：先求A 的特征多项式，因为A 矩阵是对角分块矩阵，所以特征多项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积，即
6312213)2()()()()(-=--⋅-=-s A sI A sI A sI A sI
将特征值2=λ代入式()A I rank n --=111λα ， 求约当型中的约当块数。

由此，由A 矩阵化成的约当型共有3个约当块。

然后，将2=λ代入()()2
1112A I rank A I rank ---=λλα求出约当型中大于等于2阶的块数
()21300000000000010323212=-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=--=rank A I rank α 所以，由A 矩阵化成的约当型将有一个1阶块，两个大于或等于2阶的块。

再将将2=λ代入()()312113A I rank A I rank ---=λλα，求出约当型中大于等于3阶的块数()10121313=-=--=A I rank α
所以，由A 矩阵化成的约当型共有3个约当块，其中一个1阶块， 一个2阶块，一个3阶块，即
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-220122001200121AP P J
设i λ是系统的一个特征值，若存在一个n 维非零向量i p ，满足
i i i p Ap λ=
或
0)(=-i i p A I λ
则称i p 为系统相对于特征值i λ的特征向量。

例如： 系统矩阵为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210A 试求其特征值和一组特征向量。

解： 由系统的特征方程
0233212=++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=-λλλλλA I
系统的特征值为2,121-=-=λλ
设对于特征值21,λλ的特征向量21,p p 分别为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12111p p p ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=22212p p p )2,1(0)(==-i p A I i i λ
得到0221122
11)(1211111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-p p p p A I λ 0221112
12)(2221222=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-p p p p A I λ 则有01211=+p p
022221=+p p 取1,12111==p p ，得2,12212-=-=p p 。

故
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1112111p p p ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2122212p p p
下面确定将A 矩阵化为约当标准型的变换矩阵P 由AP P J 1-=
得PJ AP =
P115书例2.8设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=2210A 其特征值为共轭复数对,11j +-=λ,12j --=λ其对应的特征向量也是复
数向量，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=j p 111，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=j p 112， 变换阵和它的逆矩阵都是复数矩阵，即
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=j j P 1111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-j j
j j P 11211 变换后的结果A ~也是复数矩阵，即
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--+-==-j j AP P A 1001~1
. .。