中考数学专题 根与系数的关系_答案
中考数学专题突破复习：题型专项(三)-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
题型专项(三) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1．(2021·成都)关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数根，求实数m 的取值范围．解：∵关于x 方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数根，∴Δ＝22－4×3×(－m )<0.解得m<－13.2．(2021·自贡富顺县六校联考)关于x 的方程x 2－(k ＋1)x －6＝0.(1)求证：无论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；(2)假设方程的一根为2，试求出k 的值和另一根．解：(1)证明：∵b 2－4ac ＝[－(k ＋1)]2－4×1×(－6)＝(k ＋1)2＋24≥24，∴无论k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．(2)解法一：将x ＝2代入方程x 2－(k ＋1)x －6＝0中，22－2(k ＋1)－6＝0，即k ＋2＝0，解得k ＝－2.∴x 2－(k ＋1)x －6＝x 2＋x －6＝(x －2)(x ＋3)＝0.解得x 1＝2，x 2＝－3.故k 的值为－2，方程的另一根为－3.解法二：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ＋1，x 1x 2＝－6. ∵x 1＝2，∴x 2＝－3.∴k ＋1＝2＋(－3)，即k ＝－2.3．(2021·绵阳三台县一诊)关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)假设方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)假设方程两实数根为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．解：(1)∵方程有实数根，∴Δ＝(－4)2－4m ＝16－4m ≥0.∴m ≤4.(2)∵x 1＋x 2＝4，∴5x 1＋2x 2＝2(x 1＋x 2)＋3x 1＝2×4＋3x 1＝2.∴x 1＝－2.∴x 2＝6.∴m ＝x 1x 2＝－2×6＝－12.4．(2021·南充二诊)关于x 的方程x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)假设x 1，x 2满足|x 1|＋|x 2|＝2|x 1x 2|－3，求k 的值．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k －3)]2－4(k 2＋1)＝4k 2－12k ＋9－4k 2－4＝－12k ＋5＞0.解得k ＜512. (2)∵k ＜512， ∴x 1＋x 2＝2k －3＜0.又∵x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0.∴|x 1|＋|x 2|＝－x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)＝－2k ＋3.∵|x 1|＋|x 2|＝2|x 1x 2|－3，∴－2k ＋3＝2k 2＋2－3，即k 2＋k －2＝0.∴k 1＝1，k 2＝－2.又∵k ＜512， ∴k ＝－2. 5．(2021·鄂州)关于x 的方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0.(1)求证：无论k 为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程(k －1)x 2＋2kx ＋2＝0的两个根，记S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2，S 的值能为2吗？假设能，求出此时k 的值．假设不能，请说明理由．解：(1)证明：①当k －1＝0，即k ＝1时，方程为一元一次方程2x ＋2＝0，解得x ＝－1.方程有一个解；②当k －1≠0，即k ≠1时，方程为一元二次方程，Δ＝(2k)2－4×2(k －1)＝4k 2－8k ＋8＝4(k －1)2＋4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．综上，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)∵x 1＋x 2＝－2k k －1，x 1x 2＝2k －1， ∴S ＝x 2x 1＋x 1x 2＋x 1＋x 2 ＝x 21＋x 22x 1x 2＋(x 1＋x 2) ＝〔x 1＋x 2〕2－2x 1x 2x 1x 2＋(x 1＋x 2) ＝2k 2－4k ＋2k －1＝2〔k －1〕2k －1＝2(k －1)．假设S ＝2，那么2(k －1)＝2.∴k ＝2.∴当k ＝2时，S 的值为2.6．(2021·荆州)在关于x 的分式方程k －1x －1＝2①和一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0②中，k ，m ，n 均为实数，方程①的根为非负数．(1)求k 的取值范围；(2)当方程②有两个整数根x 1，x 2，k 为整数，且k ＝m ＋2，n ＝1时，求方程②的整数根；(3)当方程②有两个实数根x 1，x 2，满足x 1(x 1－k)＋x 2(x 2－k)＝(x 1－k)(x 2－k)，且k 为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．解：(1)∵关于x 的分式方程k －1x －1＝2的根为非负数，∴x ≥0且x ≠1. ∴x ＝k ＋12≥0，且k ＋12≠1.∴解得k ≥－1且k ≠1. 又∵一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0中，2－k ≠0，∴k ≠2.综上可得，k ≥－1且k ≠1且k ≠2.(2)∵一元二次方程(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0有两个整数根x 1，x 2，把k ＝m ＋2，n ＝1代入原方程得－mx 2＋3mx ＋(1－m)＝0，即mx 2－3mx ＋m －1＝0. ∴x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝m －1m ＝1－1m ， ∵x 1，x 2是整数，k ，m 是整数，∴1－1m为整数．∴m ＝1或m ＝－1. ∴把m ＝1代入方程mx 2－3mx ＋m －1＝0得x 2－3x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝3.把m ＝－1代入方程mx 2－3mx ＋m －1＝0得－x 2＋3x －2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.(3)|m|≤2不成立，理由：由(1)知：k ≥－1且k ≠1，k ≠2.∵k 是负整数，∴k ＝－1.∵(2－k)x 2＋3mx ＋(3－k)n ＝0有两个实数根x 1，x 2，且n ＝1，∴x 1＋x 2＝－3m 2－k ＝3m k －2＝－m ，x 1x 2＝3－k 2－k ＝43. ∵x 1(x 1－k)＋x 2(x 2－k)＝(x 1－k)(x 2－k)，即(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝1，∴(－m)2－3×43＝1.解得m ＝± 5. ∴|m|≤2不成立．。
专题3 巧用根与系数关系解题（含答案）
专题3 巧用根与系数关系解题知识解读根与系数的关系是一元二次方程的重要基础知识，更是解决数学中考及竞赛中有关根的性质、方程参变量的范围及有关代数式的值等问题的重要公式．有时要将表面上好像不是一元二次方程的问题，转化为一元二次方程，进而用判别式及根与系数的关系去研究．1如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根是1x 、2x ，那么12b x x a +=- ，12cx x a ⋅=；反之，如果实数1x 、2x 满足12b x x a +=- ，12c x x a ⋅=，那么1x 、2x 是一元二次方程20b cx x a a++=的两个根．数学家韦达最早发现根与系数之间的关系，因此，习惯上也将这一关系称为“韦达定理”．2．一元二次方程根与系数关系在解题中有着广泛的应用，如①验根，不解方程，利用一元二次方程根与系数关系可以验证两个根是不是一元二次方程的两根；②由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数；③不解方程，可以利用一元二次方程根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值，如2212x x +，1211x x +等；④已知两数的和与积，求这两个数；⑤已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母的值；⑥解决其他问题，如讨论根的取值范围，判定三角形的形状等；⑦根的符号的讨论． 3．一元二次方程根的符号讨论：（）有两个正数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩：；（）有两个负数根，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（3）有两个异号根，且正根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（4）有两个异号根，且负根绝对值大，必须满足1212000b x x a c x x a ⎧⎪∆>⎪⎪+=-<⎨⎪⎪⋅=<⎪⎩；（5）有一根为0，必有0c a=．若另一根为正，则0b a ->；若另一根为负，则0ba -<．培优学案典例示范例1 方程20x px q ++=的两个根是1x ，2x ，那么12x x p +=-，12x x q ⋅=．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程()200x mx n n ++=≠，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a ，b 满足21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （3）已知a ，b ，c 满足0a b c ++=，16abc =，求正数c 的最小值．【提示】设1x ，2x 为实数，若12x x a +=，12x x b ⋅=，以1x ，2x 为根的一元二次方程为20x ax b -+=，解题的关键是构造方程． 【解答】 跟踪训练1．若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个非零实数根1x ，2x ，求以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程． 【提示】只需求出221211x x +和221211x x ⋅的值． 【解答】2．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【提示】由于两个方程的结构相同，所以可把a ，b 看作是一元二次方程213x x +=的两个根． 例2：已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()222150x m x m -+++=的两个实数根．若()()121128x x --=，求m 的值．【提示】若代数式是关于x 的一元二次方程两根1x ，2x 的对称式，则可通过变形将所求代数式用12x x +、12x x ⋅表示求解．在实数范围内，利用根与系数关系解题，千万别忘了判别式0∆≥！【解答】 跟踪训练1．关于x 的方程()222110x m x m --+-=的两实数根为1x ，2x ，且22123x x +=，求m 的值． 【提示】先把2212x x +变形为()212122x x x x +-，根据根与系数的关系，可得关于m 的一元二次方程，求得m 的值，再根据判别式求得m 的取值范围，进而确定m 的值． 【解答】2．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()2231210x a x a +-+-=的两个实数根，使得()()12123380x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．【提示】将原式变形为()2121231680x x x x +-=-． 【解答】例3 设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值．【提示】本题考查了一元二次方程根与系数的关系与二次函数最大值的综合问题，解题的关键是把代数式转化为用12x x +与12x x ⋅表示的形式． 【解答】 跟踪训练若关于x 的方程222320x mx m m +++-=有两个实数根1x ，2x ，求()21212x x x x ++的最小值．【提示】根据题意，可求出122x x m +=-，21232x x m m ⋅=+-，然后将所求代数式化简并整理成根与系数的关系式，最后带入即可．但必须要考虑m 的取值范围． 【解答】例4 已知βα，是方程0132=-+x x 的两个根，求βαα-+22的值.【提示】关于一元二次方程两个根的非对称式的求值问题，关键在于能否转化为对称式或已知式.在这种思想的指导下，我们就能发现几种新颖独特又行之有效的转化方法.技巧1：降次转化.“降次”是一种常用的数学思想方法，该问题所求的式子是二次多项式，可以设法其“降次”为“一次”或“零次”，就能找到解决问题的思路.易知αα312-=，所以原式()4311=+=+-=βα.技巧2：升次转化.升次转化相对于降次是一种逆向思维的表现形式，它常常不被人们所重视，但在解决问题时常能另辟蹊径.易求31,3122ββαα-=-=，所以原式()()()43123131123222222=+++=++=---+=αββαβαβαα.技巧3：换元转化.利用换元法也能将非对称式转化为对称式，以下给出两种换元方法： （1）和差换元：设n m n m -=+=βα,，由3-=+βα，得32-=m ，即23-=m ，又122-=-=n m αβ，故4132=n . （2）对偶换元：设αβββαα-+=-+=2222B A ，，则有()822=++-+=+βααββαB A ，()()03--=++=βαβαB A .两式相加，得82=A ，所以422=-+βαα.技巧4：常值代换.常值代换相对于一般换元法也是一种逆向思维方式，一般换元法思路较为明显，常值代换则需要对数和式进行深层次观察和分析，但常常能够更快地达到目的.易得312+=α，所以原式()43332222=++=+-+=ααβαααα.技巧5：拆项转化.拆项转化就是围绕“将未知式转化为已知式或对称式”这个目标，将未知式中的某些项拆分成两项或更多项，达到转化目的.拆项方法比较灵活，一般有多重拆法，下面给出两种拆法：（1）()413222=+-=--+=-+βαβαααβαα.（2）()()()()432313231322222=-⨯++-=-++-=-++=-+βαββααββααβαα.技巧6：减元转化.消元作为一种数学思想，不仅能够用于解方程组，而且在数学其他方面也有着广泛的应用.例如，非对称式通过消元（减少参与运算的字母个数）转化为对称式或已知式，下面给出几种转化方法：（1）由题意，得()βββα--=-=+33，.所以原式()4333222=++=---+=ααααα.（2）由题意，得αβαβ11=-=，.所以原式()431131222=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=++=ααααααα.（因为0132=-+αα，所以31-=-αα）总之，求两根非对称式值的四路是灵活多样的，这诸多的思路都体现了“利用条件把非对称式转化为对称式或已知式”的共性.抓住了这个共性，我们在解决求两根非对称式值的问题时，就会有新的发现。
关于根与系数关系的题及答案
一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。
二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。
所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。
三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。
中考数学专题训练一元二次方程系数与根的关系(含解析)
2019 中考数学专题训练-一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.、是一元二次方的两根，的值是（）A.-2B. 2C. 3D. 12.一元二次方程x2+3x﹣a=0 的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B. 2C. 4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0 的两个解分别为m，n，则m+n-mn 的值是（）A.-7B.-3C.7D. 34.若关于x 一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0 的两根x1 ， x2 满足（x1﹣1）（x2 ﹣1）=﹣1，则m 的值为（）A. 3B.-3C. 2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0 两根互为倒数有（）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个6.设x1 ， x2 是一元二次方程-2x-3=0 的两根，则=（）A. 6第 1 页B.8C.10D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0 的两根之积是( )A.－1B.－2C. 1D. 28.方程x2+2x-4=0 的两根为x1 ， x2 ，则x1+x2 的值为（）A. 2B.－2C.D. －9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0 的两根，则矩形的对角线之和为（）A. 5B.7C.8D.1010.如果 a，b 是一元二次方程 x2﹣2x﹣4=0 的两个根，那么 a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.816 C. -16D.11.如是一元二次方的两个实数根，那的值是（）A.B.C.D.第 2 页二、填空题12.设x1、x2 是方程x2-4x+3=0 的两根，则x1+x2= .13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0 的两根为x1 ， x2 ，则x1*x2= ．14.若x1、x2 是方程2x2﹣3x﹣4=0 的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为．15.若a、b 是一元二次方程x2+2x﹣1=0 的两个根，则的值是．16.写出一个以2 和3 为两根且二项系数为1 的一元二次方程，你写的是．17.若方程x2﹣3x+1=0 的两根分别为x1 和x2 ，则代数式x1+x2﹣x1x2= ．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程 x2﹣6x+4=0 的两根分别是 a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2 的值．四、解答题21.已知关于 x 的方程 x2+x+a﹣1=0 有一个根是 1，求 a 的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ， x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系，．请根据该材料解题：已知x1 ， x2 是方程x2+6x+3=0 的两实数根，+和x12x2+x1x22 的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方的两根分别、，∴==3．故选 C．2.【答案】A【解析】【解答】解：设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣a=0 的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出 m+n 与mn 的值，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0 的两个解分别为 m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选 D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得 x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选 A．【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1 得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1 且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为 1 且△≥0，可得出答案。
中考数学根与系数关系培优练习含答案
中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的 方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞ （2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。
备考2023年中考数学一轮复习-一元二次方程的根与系数的关系-解答题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-一元二次方程的根与系数的关系-解答题专训及答案一元二次方程的根与系数的关系解答题专训1、(2018呼和浩特.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1， x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2= ．2、(2017呼和浩特.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值．3、(2019.中考模拟) 设x1， x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a﹣2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？4、(2019.中考模拟) 已知x、y均为实数，且满足xy+x+y＝17，x2y+xy2＝66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．5、(2017台州.中考真卷) 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程，操作步骤是：第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
（1）在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根；（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当，，，与a，b，c 之间满足怎样的关系时，点P（，），Q（，）就是符合要求的一对固定点？6、(2017淄川.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=1的两根为x1， x2，且x1， x2满足x12﹣x1x2=0，试求a的值，并求出此时方程的两个实数根．7、(2017嘉祥.中考模拟) 先化简，再求值（a﹣）（﹣1）÷ ，其中a，b分别为关于x的一元二次方程x2﹣x+1=0的两个根．8、(2016潍坊.中考真卷) 关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．9、(2017黄石港.中考模拟) 若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．10、(2017黄石.中考模拟) 已知﹣3x2+mx﹣6=0的一个根是1，求m及另一个根．11、(2017黄石.中考模拟) 已知关于x的方程x2﹣3mx+2（m﹣1）=0的两根为x1、x2，且+ =﹣，则m的值是多少？12、(2019巴中.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根．①求m的取值范围．②设x1， x2是方程的两根且，求m的值．13、(2019四川.中考真卷) 已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，求a的值．14、(2018遂宁.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两实数根x1， x2满足x1x2+x1+x2>0，求a的取值范围．15、(2020黄石.中考模拟) 定理：若、是关于的一元二次方程的两实根，则有，，请用这一定理解决问题：已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值.一元二次方程的根与系数的关系解答题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系(含解析)
中考数学专题复习-一元二次方程的根与系数的关系（含解析）一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 152.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 63.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 44.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。
A. B. C. D.5.已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（）A. -1B. 1C. -2D. 26.设x1、x2是一元二次方程x2+x﹣3=0的两根，则x13﹣4x22+15等于（）A. -4B. 8C. 6D. 07.若、是一元二次方程x2+5x+4=0的两个根，则的值是（）.A. -5B. 4C. 5D. -48.已知x=1是方程x2+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是( ).A. 1B. 2C. －2D. －19.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（）A. B. 或 C. D. 或10.若方程x2+x﹣2=0的两个实数根分别是x1、x2，则下列等式成立的是（）A. x1+x2=1，x1•x2=﹣2B. x1+x2=﹣1，x1•x2=2C. x1+x2=1，x1•x2=2D. x1+x2=﹣1，x1•x2=﹣211.下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A. x2+2x﹣4=0B. x2﹣4x+4=0C. x2+4x+10=0D. x2+4x﹣5=012.已知x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是（）A. 6B. 0C. 7D. -113.若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列式子正确的是（）A. α+β=1B. αβ=1C. α2+β2=2D. =1二、填空题14.写出以2，﹣3为根的一元二次方程是________．15.一元二次方程的两根和是________；16.已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+2αβ+β2的值为________．17.已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是________18.若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．三、计算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.设方程4x2﹣7x﹣3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22．（2）+ ．21.已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）；（2）22.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．23.已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根且a2﹣2a﹣1=0，求a2﹣a+b+3ab的值．四、解答题24.关于x的方程（k﹣1）x2﹣x+1=0有实根．（1）求k 的取值范围；（2）设x1、x2是方程的两个实数根，且满足（x1+1）（x2+1）=k﹣1，求实数k的值．25.若关于x的一元二次方程x2+kx+3x+k=0的一个根是﹣2，求方程另一个根和k的值．26.若关于x的方程x2+6x+m=0的一个根为3﹣，求方程的另一个根及m的值．五、综合题27.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．28.已知抛物线的不等式为y=﹣x2+6x+c．（1）若抛物线与x轴有交点，求c的取值范围；（2）设抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2．若x12+x22=26，求c的值．（3）若P，Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，且△OPA与△OQB全等．求证：c＞﹣．答案解析部分一、单选题1.设方程x2﹣5x+k=0的一个根比另一个根的2倍少1，则k的值为（）A. B. 6 C. -6 D. 15【答案】B【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程x2﹣5x+k=0另一个根为a，则一个根为2a﹣1，则a+2a﹣1=5，解得a=2，2×2﹣1=3因此k=2×3=6．故选：B．【分析】设方程的另一个根为a，则一个根为2a﹣1，根据根与系数的关系得出a+2a﹣1=5，得出a=3，另一个跟为5，进一步利用两根的积得出k的数值即可．2.已知a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则a2b+ab2的值是（）A. -1B. -5C. -6D. 6【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：∵a、b是一元次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴ab=﹣3，a+b=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=﹣3×2=﹣6，故选C．【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可．3.已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1•x2等于（）A. ﹣4B. ﹣1C. 1D. 4【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：根据题意得x1•x2=1．故选C．【分析】直接根据根与系数的关系求解．4.设方程的两个根为、，那么的值等于( )。
最新专题08根与系数的关系-中考母题题源系列(数学 原卷版)
【母题来源】2015南充10【母题原题】关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ．【考点定位】根与系数的关系；根的判别式；综合题．【试题解析】①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，1220x x n =>，1220y y m =>，1220y y n +=-<，1220x x m +=-<，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=24b ac -=2480m n -≥，△=24b ac -=2480n m -≥，248m n -=220m n -≥，248n m -=220n m -≥，2221212m m n n -++-+≥，2)1()1(22≥-+-n m ，②正确；③∵122y y n +=-，122y y m =，∴121222m n y y y y -=++，∵1y 与2y 都是负整数，不妨令13y =-，25y =-，则：2m ﹣2n =﹣8+15=7，不在﹣1与1之间，③错误，其中正确的结论的个数是2，故选C ．【命题意图】本题主要考查根与系数的关系和根的判别式．【方法、技巧、规律】由已知先得出12x x +，12x x 的值或表达式，再根据题目要求变形即可．【探源、变式、扩展】对于系数全是已知数字的，直接运用即可；若含有字母系数，需要考虑根的判别式△≥0．【变式】（2015内江）已知关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，且满足12113x x +=，则k 的值是 ．【答案】2．【考点】根与系数的关系．【解析】∵关于x 的方程260x x k -+=的两根分别是1x ，2x ，∴126x x +=，12x x k =，1212121163x x x x x x k++===，解得：k =2，故答案为：2．1．（2015安岳县中考适应）若α、β是方程2450x x --=的两个实数根，则22αβ+的值为（ ）A ．30B ．26C ．10D ．62．（2015成都）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．①方程220x x --=是倍根方程;]②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若点()p q ，在反比例函数2y x=的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c=++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 3．（2015凉山州）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n m m n += ． 4．（2015泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 ．5．（2015雅安中学中考模拟）已知m ，n 是方程2250x x +-= 的两个实数根，则23m mn m n -++= ．6．（2015中江县九下第一学月联考）设a 、b 是方程020142=-+x x 的两个不等的根，则a 2+2a+b 的值为 ．7．（2015乐山五通桥九年级调考）已知二次方程()02321222=+-+++m m x m x 的两个实数根为α和β．（1）求m 的取值范围；（2）若2=+βα，求m 的值．。
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练(含答案)
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程，当判别式△＝时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。
下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；∵方程（2）没有实数根，∴解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。
解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。
因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为，∵＜0∴原方程有两个异号的实数根。
一元二次方程的根与系数的关系-2021年中考数学一轮复习命题点分类解读(解析版)
命题点23 一元二次方程的根与系数的关系1．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)ac b 42-ac b 42- 称为根的判别式．2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系（1）b 2－4ac >0⇔（2）b 2－4ac ＝0⇔（3）b 2－4ac <0⇔【注意】在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件．3.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2x 1x 2 【注意】利用根与系数的关系解题的前提是方程的两根存在，即根的判别式b 2－4ac ≥0.4．一元二次方程根与系数关系的运用（1）已知一元二次方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求关于一元二次方程的根x 1，x 2的代数式的值，例如：a ．x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2；b ．(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2；c ．(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1；d ．1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2； e ．x 1x 2＋x 2x 1＝x 21＋x 22x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2；f ．|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 .一、单选题1．已知矩形的长和宽是方程2780x x -+=的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ） A ．6 B ．7 CD【答案】D【解析】设矩形的长和宽分别为a 、b ， ⇔矩形的长和宽是方程2780x x -+=的两个实数根， ⇔a+b=7，ab=8，⇔===． 故选D ．2．已知1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则12112121x x +--的值是（） A ．27- B ．27 C ．2- D ．6-【答案】A【解析】⇔1x ，2x 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根， ⇔1x +2x =2，1x 2x =-1，⇔12112121x x +--。
中考必备19年中考数学汇编-9-根的判别式及根与系数关系
A．－ 4 B ．－ 1 C ． 1 D ． 0
12．（ 2019 年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（
）．
A． x2 2x 1 0
B
． x2 2x 3 0
值范围是
。
3. （ 2019 年长沙）已知关于 x 的方程 x2 kx 6 0 的一个根为，则实数 k 的值为（
）
答案： A
5. （ 2019 贺州）已知关于 x 的一元二次方程 x2 x m 0 有两个不相等的实数根，则实
数 m 的取值范围是
．
三、解答题 1. （ 2019 年重庆市江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△
值范围是
A. k
1 B. k
1 且 k 0 C. k 1 D.
k 1且k 0
6. （ 2019 烟台市）设 a， b 是方程 x2 x 2009 0 的两个实数根，则 a 2 2a b 的值为
（）
A． 2006
B． 2007
C． 2008
【关键词】根与系数的关系，根的定义
【答案】 C
D． 2019
7. （ 2019 年烟台市） 设 a， b 是方程 x2 x 2009 0 的两个实数根，则 a2 2 a b 的值
那么我们称这个方程为“凤凰”方程 . 已知 ax2 bx c 0( a 0) 是“凤凰”方程，且有
两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A． a c
B． a b
C． b c
D． a b c
3.(2019 成都 ) 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 2 x 1 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取
届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案
届中考复习一元二次方程的根与系数的关系专题练习含答案文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]北京市朝阳区普通中学2018届初三中考数学复习一元二次方程的根与系数的关系专题复习练习题1．设α，β是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两个实数根，则αβ的值是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－D.3．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A ．x 2＋2x －4＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x 2＋4x ＋10＝0D ．x 2＋4x －5＝04.如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．－3，2B ．3，－2C ．2，－3D ．2，35．已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12x 2＋x 1x 22的值为( )A ．－3B ．3C ．－6D ．66.已知α，β是一元二次方程x 2－5x －2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为( )A ．－1B ．9C ．23D ．277.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2＋3x ＋2＝0C ．x 2－3x －2＝0D ．x 2－3x ＋2＝08.已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( )A ．－10B ．4C ．－4D ．109.菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的根，则m 的值为( )A ．－3B ．5C ．5或－3D ．－5或310.如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝________， x 1x 2＝________．11.一元二次方程2x 2＋7x ＝8的两根之积为________．12.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________.13.已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则＋的值为________．14.已知方程x 2＋4x －2m ＝0的一个根α比另一个根β小4，则α＝______，β＝______，m ＝______．15.关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________．16.在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为8，2.则这个方程为________________．17.已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求m 的取值范围；(2)当x 12＋x 22＝6x 1x 2时，求m 的值．18.关于x 的方程kx 2＋(k ＋2)x ＋＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0.若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．19.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)x 2＋2x ＋1＝0;(2)3x 2－2x －1＝0；(3)2x 2＋3＝7x 2＋x;(4)5x －5＝6x 2－4.20.已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．21.已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值． 答案： 1---9DDDAADCCA 10.－a/bc/a 11.－4 12.2016 13.10 14.10－400 15.m>1/2 16.x 2－10x ＋9＝017.解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)≥0，整理得：4－4m ＋4≥0，解得：m≤2 (2)∵x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －1，x 12＋x 22＝6x 1x 2，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝6x 1·x 2，即4＝8(m －1)，解得：m ＝.∵m ＝＜2，∴m 的值为18.解：(1)由题意可得Δ＝(k ＋2)2－4k×＞0，∴4k ＋4＞0，∴k ＞－1且k≠0 (2)∵＋＝0，∴＝0，∴x 1＋x 2＝0，∴－＝0，∴k ＝－2，又∵k＞－1且k≠0，∴不存在实数k 使两个实数根的倒数和等于0 19.解：(1)x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1 (2)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝－ (3)x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝－ (4)x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝20.解：(1)由Δ≥0得k≤ (2)当x 1＋x 2≥0时，2(k －1)＝k 2－1，∴k 1＝k 2＝1(舍去)；当x 1＋x 2＜0时，2(k －1)＝－(k 2－1)，∴k 1＝1(舍去)，k 2＝－3，∴k ＝－321.解：(1)存在．理由如下：根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a －6)＝24a≥0，解得a≥0，∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.∵－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2.∴x 1＋x 2＋4＝x 1x 2.即－＋4＝，解得a ＝24.经检验，a ＝24是方程－＋4＝的解．∴a＝24(2)∵原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－＋＋1＝为负整数．∴6－a ＝－1，－2，－3，－6，解得a ＝7，8，9，12。
初中数学专题：根与系数的关系【十大题型】(举一反三)
专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【变式8-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（）A．p是正数，q是负数B．＜C．q是正数，p是负数D．【变式8-3】（2023春·九年级单元测试）一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A．①③B．①②③C．①②④D．①③④【题型9 根与系数关系中的新定义问题】【例9】（2023春·山东日照·九年级日照市田家炳实验中学校考阶段练习）定义：如果实数a、b、c满足a²+b²=c²，那么我们称一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)为“勾股”方程；二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)为“勾股”函数．(1)理解：下列方程是“勾股”方程的有．①x²-1=0；②-；③；④4x²+3x=5(2)探究：若m、n是“勾股”方程ax²+bx+c=0 的两个实数根，试探究m、n之间的数量关系．【变式9-1】（2023春·河南安阳·九年级校联考期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【变式9-2】（2023春·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值．【变式9-3】（2023春·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）已知：、是一元二次方程的两个实数根，设，，．根据根的定义，有、，将两式相加，得，于是根据以上信息，解答下列问题．(1)求、的值，并利用一元二次方程根与系数关系，求出的值．(2)猜想：当时，、、之间满足的数量关系，并证明你的猜想．【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】【例10】（2023春·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）已知关于x的方程有两实数根，，(1)若，求k的值．(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．【变式10-1】（2023春·黑龙江大庆·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围．(2)若两个实数根分别是，，且，求m的值．【变式10-2】（2023·安徽·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则．【变式10-3】（2023·浙江·九年级假期作业）已知，关于x的方程有两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)若方程的两实根为，且满足，求k的值．(3)当k为何值时，式子有最小值，并求出该最小值．专题1.4 根与系数的关系【十大题型】【苏科版】【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】 (1)【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】 (1)【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】 (2)【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】 (2)【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】 (3)【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】 (3)【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】 (4)【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】 (4)【题型9 根与系数关系中的新定义问题】 (5)【题型10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 (5)【知识点一元二次方程的根与系数的关系】若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．注意它的使用条件为，，.【题型1 由根与系数的关系直接求代数式的值】【例1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．B．C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．【变式1-1】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后将分式化简，代入即可求解．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键．【变式1-2】（2023·上海·九年级假期作业）已知a，b是方程的两个根，则的值．【答案】【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式故答案为：﹣14．【详解】解：∵a，b是方程的两个根，∴，，∴a＜0，b＜0，∴∴原式故答案为：﹣14．【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．【变式1-3】（2023春·九年级单元测试）已知、是方程的两根，且，则的值为．【答案】【分析】由题意可得，，然后代入所求式子计算即可.【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，∵，∴，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的求解、根与系数的关系以及二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程的相关知识、正确计算是解题的关键.【题型2 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值】【例2】（2023春·浙江·九年级专题练习）设α、β是方程的两个实数根，则的值为（）A．－2014 B．2014 C．2013 D．－2013【答案】D【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x2+x+2012=0，即α2+α=-2012，则α2+2α+可化为α2+α+α+β=-2012+α+β，然后利用根与系数的关系得到α+β=-1，再利用整体代入的方法计算即可．【详解】∵α是方程x2+x+2012=0的根，∴α2+α+2012=0，即α2+α=-2012，∴α2+2α+β=α2+α+α+β=-2012+α+β，∵α，β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，∴α+β=-1，∴α2+2α+β=-2012-1=-2013．故选D．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．【变式2-1】（2023春·湖北恩施·九年级统考期中）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，得出，是解题的关键．【变式2-2】（2023·江西萍乡·校考模拟预测）若、是一元二次方程的两个根，则的值是．【答案】6【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由根的定义可得，代入即可得答案．【详解】∵，，∴．故答案为：6【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念．【变式2-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）已知和是方程的两个根，则的值为（）A．B．2021 C．D．2023【答案】A【分析】由和是方程的两个根，根据根于系数关系可得，，，由一元二次方程根的定义可得，，即可求解；【详解】和是方程的两个根，，，，，故选A．【点睛】该题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟记一元二次方程根与系数关系公式是解答该题的关键．【题型3 由根与系数的关系和方程的解通过降次求代数式的值】【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）若p、q是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想计算即可．【详解】∵若p、q是方程的两个不相等的实数根，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．【变式3-1】（2023春·山东日照·九年级统考期末）已知，是方程的两个根，则代数的值为．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得，，，，再代入降次求值即可．【详解】解：由题意，得，，，，，，原式，，，=．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．【变式3-2】（2023春·浙江温州·九年级校考阶段练习）已知、是方程的两根，则的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可．【详解】解：∵、是方程的两根，∴，，，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c 为常数，）的两根为，，则，．（2023春·九年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式【变式3-3】的值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．【题型4 由方程两根满足关系求字母的值】【例4】（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．【变式4-1】（2023·上海·九年级校考期中）已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值【答案】【分析】利用根的判别式求出k的取值范围，利用根与系数的关系求出，，代入，即可求得k的值.【详解】解：∵关于x的方程的两根为∴解得：，∵∴代入，得：解得：∵∴【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.【变式4-2】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）方程的两个实数根互为相反数，则的值是．【答案】【分析】设方程的两根分别为，，根据根与系数的关系得到，解得，然后分别计算，最后确定．【详解】解：设方程的两根分别为，，∵方程的两个实数根互为相反数，，∴，解得，当，方程变为：，＜，方程没有实数根，所以舍去；当，方程变为：，＞，方程有两个不相等的实数根；∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程（，，，为常数）根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则；．也考查了一元二次方程的根的判别式：当＞，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当＜，方程没有实数根．【变式4-3】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期末）若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为．【答案】3【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据得到，解方程求出k的值，最后用根的判别式验证是否符合题意即可．【详解】解：∵、是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，，∵，∴，即，∴，∴，解得或，又∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴，∴，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【题型5 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】【例5】（2023春·江苏南京·九年级专题练习）关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）A．有两个相异正根B．有两个相异负根C．有一个正根和一个负根D．无实数根【答案】C【分析】先对方程进行化简，然后再根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）方程根的符号是（）A．两根一正一负 B．两根都是负数C．两根都是正数D．无法确定【答案】C【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分析求解．【详解】解：的两根分别为，，则，，∴方程的两根同号，且两根都是正数，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程的两根，满足，是解题关键．【变式5-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的负实根D．只有一个实数根【答案】C【分析】首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断．【详解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三条边的长，∴，，．，即，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根，又∵两根的和是，两根的积是，∴方程有两个不等的负实根．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．【变式5-3】（2023·九年级统考课时练习）已知，，，则方程的根的情况是（）.A．有两个负根B．两根异号且正根绝对值较大C．有两个正根D．两根异号且负根绝对值较大【答案】D【分析】先计算=b2+4ac，由a＜0，b＞0，c＜0，得到＞0，然后根据判别式的意义得到方程有两个实数根．设方程两根为x1，x2．由得到方程有异号两实数根，再由得到负根的绝对值大．【详解】=（﹣b）2﹣4•a•（﹣c）=b2+4ac．∵a＜0，b＞0，c＜0，∴b2＞0，ac＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．设方程两根为x1，x2．∵，∴方程有异号两实数根．∵，∴负根的绝对值大．故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式和根与系数的关系．当＞0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．【题型6 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例6】（2023·四川成都·三模）若方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且x1+x2＞﹣3，x1x2＜，则m的取值范围为多少？【答案】﹣2＜m＜1或3＜m＜7【分析】由方程有两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m的不等式，解不等式即可得出m的取值范围，结合根与系数的关系可得出关于m的不等式，解不等式可得出答案．【详解】解：∵方程x2+（m﹣4）x+﹣m＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＝﹣﹣4×＞0，整理得：，即，根据乘法法则得：或，解前一不等式组得：m＞3；解后一不等式组得：m＞1，∴原不等式的解集为：m＞3或m＜1；由题意得x1+x8＝＝（4﹣m）＞﹣3，解得m＜7；∵x1x2＝，解得m＞﹣2．综上所述，﹣2＜m＜1或3＜m＜7．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键【变式6-1】（2023·山东日照·日照港中学统考二模）已知关于x的一元二次方程的实数根，满足，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围．【详解】解：由题意得：，所以，依题意得：，解得4＜m≤5．故答案是：4＜m≤5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．【变式6-2】（2023春·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（）A．B．C．D．且【答案】C【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵，，∴又∵，∴，解得：，综上，的取值范围为：．故选：C．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到．【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）设关于的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是．【答案】【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出，，由可得出，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．【详解】解：方程有两个不相等的实数根，，解得：，，，，，，，，即，当时，解得（舍去）；当时，解得，又，的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，由根与系数的关系结合，找出关于a的不等式是解题的关键．【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【例7】（2023·陕西西安·校考二模）已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则的值为（）A．﹣402 B．C．D．【答案】C【详解】将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，又5m2+2010m+9=0，∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m•==．故选：C．【变式7-1】（2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知，则的最小值是（）．A．6 B．3 C．-3 D．0【答案】A【分析】由已知得m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，根据根与系数的关系得到m＋n ＝2a，mn＝2，再根据完全平方公式展开化简，利用二次函数的性质解决问题．【详解】解：∵m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，∴m，n是关于x的一元二次方程x2－2ax＋2＝0的两个根，∴m＋n＝2a，mn＝2，∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m＋n)2－2mn－2(m＋n)＋2＝4a2－4－4a＋2＝4(a－)2－3，∵a≥2，∴当a＝2时，(m－1)2＋(n－1)2有最小值，∴(m－1)2＋(n－1)2的最小值＝4(2－)2－3＝6，故选A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【变式7-2】（2023·山东德州·统考一模）已知互不相等的三个实数a、b、c满足，，求的值．【答案】﹣2【分析】将已知的两等式去分母得到关系式a2+3a+c=0和b2+3b+c=0，把a、b看成方程x2+3x+c=0的两根，由根与系数的关系得到a+b=﹣3，ab=c，所求式子变形后，把a+b=﹣3，ab=c代入，即可求出值．【详解】由=﹣a﹣3得：a2+3a+c=0①；由=﹣b﹣3得：b2+3b+c=0②；∵a≠b，∴a、b可以看成方程x2+3x+c=0的两根，∴a+b=﹣3，ab=c；∴+﹣=====﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的加减运算，灵活变换已知等式是解答本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏·九年级专题练习）设，，，为互不相等的实数，且，，则的值为（）A．-1 B．1 C．0 D．0.5【答案】A【分析】把看作以上方程的两个不同的根，可得，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】解：，，看作以上方程的两个不同的根，即是方程的两根，故，即故选A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．【题型8 已知方程根的情况判断另一个方程】【例8】（2023春·浙江·九年级期中）若关于x的一元二次方程的一个根为m，则方程（）（）的两根分别是（）．A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根，设，根据方程的根代入求值即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程的一个根为m，设方程另一根为n，∴，解得：，设，方程（）（）变形为，由一元二次方程的根可得，，，∴，，∴，，故答案为：A．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．【变式8-1】（2023春·江西萍乡·九年级统考期中）有两个一元二次方程：：；：，其中，以下四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根。
数学中考复习用资料一元二次方程根与系数之间的关系
2,12)21(222121-=⋅-=-=+m x x m m x x 一元二次方程根与系数之间的关系 1、 已知关于x 的一元二次方程.x 2－2(m －1/2)x+m 2－2 =0的两根是x 1x 2,且x 12－x 1x 2+x 22=12,求m 的值。
解:1232,1221222121222121=-++=+-x x x x x x x x x x1,5,05401263144012)2(3)12(123)(212222221221-==∴=--=-+-+-=----=-+m m m m m m m m m x x x x02)21(2,522=-+--=m x m x m 时但当是x 2-9x+23=0此时Δ=(-9)2-4×23=81-92=-11<0方程无实根 ∴m=-112,1:222121=+--=x x x x m 时当答2、 已知一元二次方程x 2-2kx-5+2k=0的两根是x 1,x 2且24||21=-x x 求k 的值.解:由韦达定理得:x 1+x 2=2k,x 1·x 2=2k-524)(,24||22121=-∴=-x x x x 两边平方得:(x 1-x 2)2=321,3032012840322084032)52(4)2(0324)(32423222122222122121222121222121-==∴=--=--=-+-=---=--+=-++=+-k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x经检验k 1=3和k 2=-1都适合题意.3、 已知m 是正实数,关于x 的方程2x 2-mx-30=0的两根是x 1,x 2,且5x 1+3x 2=0且5x 1+3x 2=0求m 的值.解:由根与系数间的关系可得221mx x =+ ①1521-=⋅x x ②由已知条件5x 1+3x 2=0 ③解:①③组成的方程组 03522121=+=+x x mx x 解得:m x m x 454321=-=将方程组的解代入②得m=4或m=-4 ∵m 是正实数 ∴m=4 上述三个例题的已知条件都有一个:例1中是12222121=+-x x x x ;例2有条件24||21=-x x ;例3中有5x 1+3x 2=0.但每题都有隐含条件即2121x x x x ⋅=+.这样每题匀有三个条件,将这三个条件很好运用,就可求出m 或k.此种应用是根与系数间的关系习题中经常遇到的,应很好掌握.4、求一个一元二次方程,使它的两根分别是:①212,313- ②253,253-+ 5、 已知方程02362=--x x求作一个新方程,使它的根分别是原方程的根的平方.分析:x 1,x 2是原方程02362=--x x 的根,则31,212121-=⋅=+x x x x 设新方程的根是y 1,y 2(注意设新方程的极是y 1,y 2是因为要与原方程的根x 1,x 2有所区别.)解:设新方程的极是y 1,y 2,由题意得 222211,x y x y ==(新方程的根是原方程根的平方)以y 1,y 2为根的方程是y 2-(y 1+y 2)y+y 1·y 2=01615161515)45()43(22=-=--⋅-m m m m91)31()(1211)31(2)21(2)(0)(222122212212212221222122212=-==⋅=-⨯-=-+=+=⋅++-x x x x x x x x x x x x y x x y 043336091121122=+-=+-∴y y y y 即所求方程是 6、 已知方程5x 2+2x=3求作一个方程,使它的根是原方程根的负倒数.解:设原方程根是53,52,,212121-=⋅-=+x x x x x x新方程的根是2211211,1,,x y x y y y -=-=则 所求方程是0)(21212=⋅++-y y y y y y523035320531535201011)11(0)1()1()11(22221212122121221212=-+=-+=-+--+=+++=⋅+++=-⋅-+---y y y y y y x x y x x x x y x x y x x y x x y x x y 即7、设x 1,x 2是关于x 的方程x 2+4k+3=0的两实根.y 1,y 2是关于y 的方程y 2-k 2y+p=0的根.若x 1-y 1=2,x 2-y 2=2则k=____,p=____.8、已知12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=（1）求12x x ，及a 的值； （2）求32111232x x x x -++的值．9、设方程4x 2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值． 10、已知α，β分别是方程x 2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值．11、已知x 1，x 2是一元二次方程4x 2-(3m-5)x-6m 2＝12、已知实数x ，y ，z 满足x=6-y ，z 2=xy-9，求证：x=y ．证 因为x ＋y=6，xy=z 2＋9，所以x ，y 是二次方程t 2-6t+(z 2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式△=36-4(z 2+9)=-4z 2≥0， 即z 2≤0．因z 为实数，显然应有z 2≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t 的二次方程有等根，即x=y ． 13、 若a ，b ，c 都是实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1，证 由a ＋b ＋c=0及abc=1可知，a ，b ，c 中有一个正数、两个负数，不妨设a 是正数，由题意得于是根据韦达定理知，b ，c 是方程的两个根．又b ，c 是实数，因此上述方程的判别式因为a ＞0，所以a 3-4≥0，a 3≥4，14、知x 1，x 2是方程4ax 2-4ax+a+4=0的两个实根．解 (1)显然a ≠0，由△=16a 2-16a(a+4)≥0，得a ＜0．由韦达定理知所以所以a=9，这与a ＜0矛盾．故不存在a，使(2)利用韦达定理所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a ＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．15、 若ab ≠1，且有52001902a a ++=及92001502b b ++=，则ab的值是（ ）A.95 B. 59 C. -20015 D. -20019解：由92001502b b ++=（显然b ≠0）得： 5120011902bb ++= 故a 与1b 都是方程52001902x x ++=的根，但a b≠1，由△＞0，得a 与1b是此方程的相异实根，从而a b ·195=，选A 。
备考2023年中考数学二轮复习-一元二次方程的根与系数的关系-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-一元二次方程的根与系数的关系-综合题专训及答案一元二次方程的根与系数的关系综合题专训1、(2017苏州.中考模拟) 如图，抛物线y=﹣x2+（m+2）x+ 与x轴交于A（﹣2﹣n，0），B（4+n，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点作直角三角形BCE，斜边CE与抛物线交于点P，且CP=EP，求点P的坐标；（3）将△BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为α，旋转后的图形为△BO′C′．当旋转后的△BO′C′有一边与BD重合时，求△BO′C′不在BD上的顶点的坐标．2、(2017宿迁.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足4x1+3x2=7，求实数m的值．3、(2019.中考模拟) 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0的两个实数根.（1）求弦AB的长度；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当S△POA ＝S△AOB时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）.4、(2019南平.中考模拟) 已知二次函数y＝x2﹣（k+1）x+ k2+1与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）方程x2﹣（k+1）x+ k2+1＝0有两个实数根，分别为x1，x2，且方程x12+x22+15＝6x1x2，求k的值，并写出y＝x2﹣（k+1）x+ k2+1的代数解析式．5、(2017新泰.中考模拟) 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．6、(2017张湾.中考模拟) 已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1， x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1|+|x2|=2 ，求k值．7、(2017武汉.中考模拟) 如图，抛物线y= x2+ x﹣（k＞0）与x轴交于点A、B，点A在点B的右边，与y轴交于点C（1）如图1，若∠ACB=90°①求k的值；②点P为x轴上方抛物线上一点，且点P到直线BC的距离为，则点P的坐标为（请直接写出结果）（2）如图2，当k=2时，过原点O的任一直线y=mx（m≠0）交抛物线于点E、F（点E 在点F的左边）①若OF=2OE，求直线y=mx的解析式；②求+ 的值．8、(2017孝感.中考模拟) 如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE，解答下列问题：（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）记AB=a，BF=b，若a，b是方程x2﹣2（m+1）x+m2+1=0的两根，问当m为何值时，菱形AECF的周长为8 ．9、(2019孝感.中考真卷) 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.（1）若为正数，求的值；（2）若，满足，求的值.10、(2018潜江.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．11、(2018孝感.中考真卷) 已知关于的一元二次方程. （1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根，满足，求的值. 12、(2017黄石.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．13、(2019南充.中考模拟) 已知k为实数，关于x的方程x2+k2=2（k-1）x有两个实数根x1， x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若（x1+1)（x2+1)=2，试求k的值．14、(2016南充.中考真卷) 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．15、已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1， x2满足x12+x22=10，求k的值．一元二次方程的根与系数的关系综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。
2023年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用(教师版含解析)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。
【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
2019中考数学热点难点突破《根与系数的关系问题》(解析版)
考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾:1.一元二次方程的概念及一般形式只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式：()200.ax bx c a ++=≠2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法. 3.一元二次方程的根的判别式判别式24b ac ∆=-与方程的根的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根；4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x[来源:学.科.网Z.X.X.K]则1212,.b c x x x x a a+=-= 应用举例:[来源:学科网ZXXK]招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值..直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】已知α，β是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣1 D ．﹣3 【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，故选B ．学&科网【例2】．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（）A．-13 B．12 C．14 D．15【答案】B招数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】已知x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，且满足x1+x2﹣3x1x2=5，那么b的值为（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【答案】A【解析】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，∴x1+x2﹣3x1x2=﹣b+9=5，解得b=4.故选A.【例4】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（ ）A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在 【答案】A【例5】关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，则m n 的值为（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．16 D ．﹣16 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵关于x 的方程022=++n mx x 的两个根是﹣2和1，∴2m -=﹣1，2n=﹣2，∴m =2，n =﹣4，∴m n =（﹣4）2=16．故选C ． 招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题. 【例6】若t 为实数，关于x 的方程的两个非负实数根为a 、b ，则代数式的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16[来源:学科网]【答案】A方法、规律归纳:1. 韦达定理：对于一元二次方程()200,ax bx c a ++=≠ 如果方程有两个实数根12,.x x则1212,.b c x x x x a a+=-= 2.常考的变形：12121211.x x x x x x ++=()2221212122.x x x x x x +=+- 实战演练:1、已知α，β是方程2340x x --=的两个实数根，则23a αβα+-的值为 ． 【答案】0． 【解析】[来源学科网ZXXK]试题分析：根据题意得34αβαβ+==-，， 所以原式()3330ααβααα=+-=-=． 故答案为：0． 2. 已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为__________． 【答案】1 【解析】解：设x+1=t ，方程a （x+1）2+b （x+1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt+1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2， ∴t 1+t 2=3， ∴x 3+x 4+2=3 故答案为：13. 设1x 、2x 是方程25320x x --=的两个实数根，则1211x x +的值为 ．【答案】32-．考点：根与系数的关系．4. 已知α、β是方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．22 D ．30 【答案】D 【解析】∵α方程x 2-2x -4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x 2-2x -4=0的两实根,∴α+β=2, ∴原式=8×2+14=30, 故选D.5. 若t 为实数，关于x 的方程2420x x t -+-=的两个非负实数根为a 、b ，则代数式22(1)(1)a b --的最小值是（ ）A ．﹣15B ．﹣16C ．15D ．16 【答案】A ． 【解析】考点：1．根与系数的关系；2．配方法；3．最值问题． 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m ﹣2）x+（m 2﹣2m ）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两实数根为x 1，x 2，且x 12+x 22=10，求m 的值． 【答案】（1）见解析；（2）m=﹣1或m=3. 【解析】【分析】（1）求出∆的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．7. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。
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专题 根与系数的关系
例1. 15
2
s ≥-
且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设22
3,A βα
=
+22
3,B αβ=
+ 31004A B += ①
A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得
1
(4038
A =-
例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又1
1,,st t s ≠∴Q 是一元二次方
程 299190x x ++=的两个不同实根, 则11
99,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=
故
41994519st s s s
t s
++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20
(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程
22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,
由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥
解得a ≥故正实数a
的最小值为
(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,
6x y xy +=⎧⎨=⎩
或
6,()xy 11.
x y +=⎧⎨
=⎩舍原式=()()2
22222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，
且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c
x x a =，
由0=，
得
0b c
a a +=，
)12120x x x ++=，
解得2x =
假设2x ，
由10x ＜
推得3-不成立，
故2x 假设21x ≥，
1，由10x ＜推
得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所
述
21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++
，由条件得)
b =，
得
)
33
55
f a c a c
=++=-++=，
(
)
1
f a b c a a c⎤
=++=-
⎦
．若a＞0，0
c＜，
则0
f＜，()10
f＞；若a＜0，0
c＞
，则0
f＞，()10
f＜．∴0
ac＜
时，总有()10
f f.＜，故原方程必
1之间．
A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤
1
8
3
提示：
1
2
x-
＞，
2
2
x-
＞与
12
4
x x
+-
＞，
12
4
x x⋅＞不等价．
4．
10013
4016
-提示：由条件得2
n n
a b n
+=+，2
2
n n
a b n
⋅=-，则()()()
2221
n n
a b n n
--=-+，
则
()()
2
1111
2221
n
a b n n
⎛⎫
=--
⎪
--+
⎝⎭
．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2
=2120
m
∆-+＞（2）
2
124
m
x x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）
4
3
k-
＞且0
k≠（2）存在k=4 11．由题意得2
m n
=，22
4840
n m n
--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为
1
x，2
x，则12
12
,
.
x x mn
x x m n
+=
⎧
⎨
=+
⎩
∵m，n，
1
x，
2
x均为正整数，设
12
1
x x
≥≥，1
m n
≥≥，则
()
1212
x x x x mn m n
+-=-+，即有()()()()
12
11112
x x m n
--+--=，则
()()
()()
12
112,1,0,
110,1,2.
x x
m n
⎧--=
⎪
⎨
--=
⎪⎩
∴
1
2
3,2,5,
2,2,1,
5,2,3,
1,2,2.
x
x
m
n
=
⎧
⎪=
⎪
⎨
=
⎪
⎪=
⎩
故
5,2,3,
1;2; 2.
m m m
n n n
===
⎧⎧⎧
⎨⎨⎨
===
⎩⎩⎩
B级1．0 提示：由条件得2
11
30
x x
+-=，2
22
30
x x
+-=，∴2
11
3
x x
=-，2
22
3
x x
=-，∴
()
32
11111111
333343
x x x x x x x x
=-=-+=-+=-，
∴原式=()()
121212
434319431241944
x x x x x x
---+=--++=++．又∵
12
1
x x
+=-,∴原式=0．2．
8
5
3．5 4．
63
8
-提示：()2
=240
a
∆-+＞，原式=
2
96363
2
488
a
⎛⎫
----
⎪
⎝⎭
≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231
αβαβ
+-=，由根与系数关系得()241
a b ab
+-=，即()21
a b
-=，
a -
b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()2
4a b +≤，得满足条
件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104
4
47αβ+=，66
22
48p αβαβ-==-，
()224422
7q αβαβαβ-=
=-．
11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．
(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c a
a b c d a b c b c d
+++-+++++-+++=-++++++…+
77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=
()()
()()
2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c d
a b c
+++-+++++-+++=++++…+
()()22227774968M a b c d M --+++=-．
12．（1
）m =． （2）原式=()()()222
1212122
1212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝
⎭．
∵11m -≤≤,∴当m =-1时，
22
121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵
,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而
2123αβ+=⎧⎨
+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156
a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，∴3a b c ++=-或29．。