反比例函数的综合运用
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y=kx+b的图象交于点A（m,2),点B（-2,n)，一次函数图象与y轴的 交点为C. （1）求一次函数表达式； （2）求C点的坐标；
x
（3）求△AOC的面积.
练习
【解析】（1）把点A（m,2),B(-2,n)分别代入y= 2 得
m=1,n=-1, ∴点A（1,2)，B（-2,-1). 2=k+b ∴解 -1=-2k+b 得 k=1 b=1 .
确定反比例函数的关系式
例题：已知反比wenku.baidu.com函数
(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当－3＜x＜－1时，求y的取值范围． 【解析】 k （ (3)∵当 1）把（ x＝－ 2，3）代入 时，y=－2，当 中得 x=－ 3= 1时， ， y=－6， 2 ∴k=6， 又∵k＞0， ∴反比例函数的解析式是 ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ； ∴当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2． （2）∵反比例函数的解析式为 ， ∴xy=6； 反比例函数解析式的确定方法： 分别将点B、C坐标代入，得 （ -1）×6= -6，则点B不在此函数的图象上； 由于在反比例函数关系式： 中，只有一个待定系数k，确定了k的值， 3×2＝6，则点C在此函数的图象上; 也就确定了反比例函数。
把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3，故k=8；B点坐标是（3，0）； （2）假设存在，设C点坐标是（a，0），则 ∵AB=AC，∴ ， 即（4﹣a）2+4=5，解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去） 故点C的坐标是（5，0）．
反比例函数与一次函数的综合图象
a 在同一坐标系中，函数y=ax+a,y= （a≠0)的图象是图中的 x
【解析】∵S△AOB=1，∴
∴k=2. ∴反比例函数为y=
2 x
k 2
=1,
.
∴交点A的坐标为（1，2）. 又∵C（-1，0），
∴AC=
BC2 AB2 22 22 2 2 .
答案：2 2
练习
【解析】
练习
练习
练习
练习
（2009〃江津中考）如图，反比例函数y= 2 的图象与一次函数
【解析】（1）当a>0时，直线y=ax+a过一、二、三象限，双曲线 y= a 在一、三象限.（2）当a<0时，直线y=ax+a过二、三、四象限， x 双曲线y= a 在二、四象限.综上所述，观察图象知B项正确. x
一次函数的图象性质
反比例函数的图象性质
反比例函数与一次函数的综合图象
结合一次函数的图象性质 和反比例函数的图象性质
函数与求面积
（2009〃兰州中考）如图，已知A（-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b
m 的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点. x
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
m （ 2）求直线 AB 与x轴的交点 的坐标 【解析】（ 1 ）把点 B（2,-4)C 代入 y= 得m=-8. x 及△AOB的面积； 8
∴反比例函数的表达式为 y= , m （ 3）求方程 kx+b=0 的解（请直接写出答案）； x 【解析】 当y=0时， -x-2=0, 8 (2) x ∴n= =2,∴A(-4,2). m 2,∴点 4 （ 4）求不等式 的解集（请直接写出答案） . ∴x= Ckx+b的坐标为（ -2 ， 0） . x <0 把点A、B的坐标分别代入 y=kx+b 1 1 得， ∴S△AOB= S△AOC+S△BOC2 = ×2×2+ 2 ×2×4=6.
数学 九年级/上 单元五
课题3：反比例函数的综合运用
复习：反比例函数
反比例函数： 一般地，如果两个变量一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表
示成 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 反比例函数的自变量x不能为零。
反比例函数的图象由两支曲线（双曲线）组成； 当k＞0时，两支双曲线分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y的 值随x值的增大而减小； 当k＜0时，两支双曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y的 值随x值的增大而增大。 反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形。
x
∴一次函数的表达式为y=x+1. (2)当x=0时，y=1,∴点C的坐标为（0，1）.
1 2 1 2
(3)S△AOC =
OC·1=
1 2
×1×1= 1 ,
2
∴△AOC的面积为
.
【解析】(3)x1=-4,x2=2. (4)-4<x<0或x>2.
∴一次函数的表达式为y=-x-2.
例题讲解
（2009〃包头中考）如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函 数y=
k x
的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴 （保留根号）.
于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为
反比例函数与一次函数
（2012•广东）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数 的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B． （1）求k的值及点B的坐标； （2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存 在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 （1）把（4，2）代入反比例函数
，得k=8，
（x＞0）
x
（3）求△AOC的面积.
练习
【解析】（1）把点A（m,2),B(-2,n)分别代入y= 2 得
m=1,n=-1, ∴点A（1,2)，B（-2,-1). 2=k+b ∴解 -1=-2k+b 得 k=1 b=1 .
确定反比例函数的关系式
例题：已知反比wenku.baidu.com函数
(k为常数，k≠0)的图象经过点A(2，3)． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3)当－3＜x＜－1时，求y的取值范围． 【解析】 k （ (3)∵当 1）把（ x＝－ 2，3）代入 时，y=－2，当 中得 x=－ 3= 1时， ， y=－6， 2 ∴k=6， 又∵k＞0， ∴反比例函数的解析式是 ∴当x＜0时，y随x的增大而减小， ； ∴当－3＜x＜－1时，－6＜y＜－2． （2）∵反比例函数的解析式为 ， ∴xy=6； 反比例函数解析式的确定方法： 分别将点B、C坐标代入，得 （ -1）×6= -6，则点B不在此函数的图象上； 由于在反比例函数关系式： 中，只有一个待定系数k，确定了k的值， 3×2＝6，则点C在此函数的图象上; 也就确定了反比例函数。
把y=0代入y=2x﹣6中，可得x=3，故k=8；B点坐标是（3，0）； （2）假设存在，设C点坐标是（a，0），则 ∵AB=AC，∴ ， 即（4﹣a）2+4=5，解得a=5或a=3（此点与B重合，舍去） 故点C的坐标是（5，0）．
反比例函数与一次函数的综合图象
a 在同一坐标系中，函数y=ax+a,y= （a≠0)的图象是图中的 x
【解析】∵S△AOB=1，∴
∴k=2. ∴反比例函数为y=
2 x
k 2
=1,
.
∴交点A的坐标为（1，2）. 又∵C（-1，0），
∴AC=
BC2 AB2 22 22 2 2 .
答案：2 2
练习
【解析】
练习
练习
练习
练习
（2009〃江津中考）如图，反比例函数y= 2 的图象与一次函数
【解析】（1）当a>0时，直线y=ax+a过一、二、三象限，双曲线 y= a 在一、三象限.（2）当a<0时，直线y=ax+a过二、三、四象限， x 双曲线y= a 在二、四象限.综上所述，观察图象知B项正确. x
一次函数的图象性质
反比例函数的图象性质
反比例函数与一次函数的综合图象
结合一次函数的图象性质 和反比例函数的图象性质
函数与求面积
（2009〃兰州中考）如图，已知A（-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b
m 的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点. x
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
m （ 2）求直线 AB 与x轴的交点 的坐标 【解析】（ 1 ）把点 B（2,-4)C 代入 y= 得m=-8. x 及△AOB的面积； 8
∴反比例函数的表达式为 y= , m （ 3）求方程 kx+b=0 的解（请直接写出答案）； x 【解析】 当y=0时， -x-2=0, 8 (2) x ∴n= =2,∴A(-4,2). m 2,∴点 4 （ 4）求不等式 的解集（请直接写出答案） . ∴x= Ckx+b的坐标为（ -2 ， 0） . x <0 把点A、B的坐标分别代入 y=kx+b 1 1 得， ∴S△AOB= S△AOC+S△BOC2 = ×2×2+ 2 ×2×4=6.
数学 九年级/上 单元五
课题3：反比例函数的综合运用
复习：反比例函数
反比例函数： 一般地，如果两个变量一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表
示成 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。 反比例函数的自变量x不能为零。
反比例函数的图象由两支曲线（双曲线）组成； 当k＞0时，两支双曲线分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y的 值随x值的增大而减小； 当k＜0时，两支双曲线分别位于第二、四象限内，在每一象限内，y的 值随x值的增大而增大。 反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形。
x
∴一次函数的表达式为y=x+1. (2)当x=0时，y=1,∴点C的坐标为（0，1）.
1 2 1 2
(3)S△AOC =
OC·1=
1 2
×1×1= 1 ,
2
∴△AOC的面积为
.
【解析】(3)x1=-4,x2=2. (4)-4<x<0或x>2.
∴一次函数的表达式为y=-x-2.
例题讲解
（2009〃包头中考）如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函 数y=
k x
的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴 （保留根号）.
于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为
反比例函数与一次函数
（2012•广东）如图，直线y=2x﹣6与反比例函数 的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B． （1）求k的值及点B的坐标； （2）在x轴上是否存在点C，使得AC=AB？若存 在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】 （1）把（4，2）代入反比例函数
，得k=8，
（x＞0）