231直线与平面垂直的判定

2.3.1 直线与平面垂直的判定

一、教学目标

（一）知识目标：理解直线和平面垂直的定义及判定定理；掌握判定直线和平面垂直的方法；

（二）能力目标：培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

（三）情感目标：引导学生体会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

二、教学重难点

（一）重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

（二）难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

三、活动设计

四、教学过程

(一)创设情景，揭示课题

1、提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆

与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子

吗？然后让学生回忆、思考、讨论、对学生的活动给予评价。

2、指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在

地面上的射影的位置关系引出课题内容。

(二)研探新知

1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长

方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后引导学生用“平面化”

的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程

得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与

这个平面垂直呢？组织学生交流讨论，概括其定义。

定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L

与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫

做直线L的垂面。直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

2、提出问题，探索思考：

（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起

放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕

AD与桌面所在平面垂直？

（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂

直。

特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相

转化的数学思想。

(三)实际应用,巩固深化

例一：一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上），如果这两点与旗杆脚距为6m，那么旗杆就与地面垂直，为什么？

解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m

因为A、O、B三点不共线

所以A、O、B三点确定一个平面（即地面）

又因为PO2+OA2=PA2 ，PO2+OB2=PB2

所以OP⊥OA，OP⊥OB

又因为OA OB O

⋂=

所以OP⊥α

因此旗杆OP与地面垂直

（这道例题是一对判定定理的应用）

例二：如图，已知a∥b，a⊥，求证b⊥

证明：在平面内作两条相交直线m、n，因为a⊥，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n，又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n，又因为m ，n ，m、n是相交的直线，所以b⊥。

（例2是又一个直线和平面垂直的判定定理，也是垂直与平行之间的一个转化）证明：在平面α内作两条相交直线m,n.

因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知

a⊥m,a⊥n.

又因为a∥b，

所以

b⊥m,b⊥n.

又因为m⊂α,n⊂α,m,n是两条相交直线，所以

b⊥α

五、小结

1、线面垂直的定义以及线面垂直的判定定理和例2是判定直线和平面垂直的三个依据。

2、运用判定定理证明线面垂直，只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可，其他因素我们不予考虑。

3、证明直线和平面垂直，根据判定定理就可以达到目的，利用此定理就是把证明线面垂直转化为证明线线垂直，即空间问题转化为平面问题来研究的方法（即数学思想中的转化法）。

六、作业

课本第70页第一，第二题