椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解

椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解

为了解不规则区域上的椭圆型偏微分方程边值问题, 首先要对区域进行剖分，这样做使得在整个解题过程中进行了两次边值问题的求解。在学习中得到启发看到了一个方法，它将区域剖分的问题及求解的问题结合起来进行, 使整个求解过程得到简化这个方法求得的是未知函数的一组等值线,这在某些物理问题中是方便的。

（1）

其中Ω是区域；Γ

1、

Γ

2、

Γ

3、

Γ4Ω的边界。且Γ

1、

Γ3相对，Γ

2、

Γ4相对。

公式的系数分别是Ω上的连续函数。φ1φ2是单调函数但可以不连续。u 0，u n 是常数。又设d>0,c<=0,u n >u 0.特殊的，Γ1、Γ2、Γ3、Γ4中至多有两个可以退化为一点。为了求解上式，引入辅助问题

（2）

00:;m m v v v v <其中、是常数且 34ϕϕ、是单调函数, 也可以不连续，

034m v v ϕϕ、、、可按解题方便来选取作变换

(3)

变换（3）区域Ω变为Ω`由椭圆型方程的性质可见(3)是可逆的。

设（3）的逆变换是

（4）

变换（3）将（1）（2）中的方程变为

（5）

（6）

其中：

，易见仍有即式（3）和（6）是一个拟线性椭圆型方程组。设曲线的几何方程分别是

解下面四组联立方程

并分别记它们的解为

于是（3）将（1）（2）、中的边界条件变为

（7）现将方程（5）（6）加上边界条件（7）称为问题（1`）向题(1`), 虽然方程复杂, 但定解区域是矩形,用差分法离散, 迭代法求解是很方便的。(1`) 的解形如(4).将u 视为常数, v是参数, (4)就是u的等值线的参数方程。

参考文献

1、刘家琦。应用求解拉普拉斯方程的边值问题建立有限元网格。计算数学1988，5（1）：1~9

2、李子才。具有奇点的Laplace方程边值问题的原始能量有限元结合法。计算数学，1980，2（4）：319~328