第四章 回归与相关分析_PPT幻灯片
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相关与回归PPT课件PPT课件
（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
第19页/共40页
2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
第32页/共40页
Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
第20页/共40页
第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。
医学统计学PPT：直线相关和回归
r X X Y Y
l XY
X X 2 Y Y 2
l XX lYY
X 的离均差平方和:
2
lXX X X
Y 的离均差平方和:
2
lYY Y Y
X与Y 间的离均差积和: lXY X X Y Y
离均差平方和、离均差积和的展开：
lXX
2
XX
X2
相关系数的抽样分布( = 0)
300 200 100
0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
相关系数的抽样分布( =0.8)
300 200 100
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
R.A. Fisher(1921) 的 z 变换
150
100
50
0
-2
-1
0
1
2
相关系数的z 值的抽样分布( = 0.8)
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
相关系数的可信区间估计
➢ (1) 将 r 变换为 z ； ➢ (2) 根据 z 服从正态分布，估计 z 的可信区间；
1 z u sz z u n 3
➢ (3) 再将 z 变换回 r 。
1 1
0.7221
lup
e2z 1 e2z +1
e22.6650 e22.6650
1该可0信.99区0间4 有1 什么含义？
7.3 直线回归
直线回归是把两个变量之间的关系用适当的方 程式表达出来，可以从一个自变量推算另一个 应变量。
直线回归的定义
➢ Y 因变量，响应变量 (dependent variable, response variable)
第四讲简单线性相关与回归(共36张PPT)
相关系数的意义
散点较为密集地分布在第II和第IV象限。
– -1 r 1 它是一个系数，不受变量值水平和 根据给定的显著性水平 和自由度 和 是两个参数，其数值可根据样本值来估计，e是随机变量，一般假定 e ~ N(0, 2) 还可以将变量加以变换（例如，采用对数形式）；
计量单位的影响。 且样本容量越小其随机性越大。
总变差=回归变差+剩余变差 因为在缺少其他信息的情况下，我们根本不知道在观察数据范围以外，该估计方程的函数形式是否还同样有效。 0 |r| 0.
D-W检验量：检验有–无正r自<相0关,出现负。 相关。散点较为密集地分布在第II和 第IV象限。
相关系数的值
• r的值越接近1，表示线性相关程度越高。
– 0 |r| 0.3
第四讲简单线性相 关与回归
本讲主题
• 简单线性回归模型 The Simple Linear Regression Model
• 最小二乘法 The Least Squares Method • 确定性系数 The Coefficient of
Determination • 模型假设及显著性检验 Model
• 相关系数测量变量之间关系的密切程度，如果已 知两变量显著相关，我们就希望能从一个变量的 取值来推算出另一个变量的取值范围。这就是回 归分析。
回归的种类
• 一元回归与多元回归
• 线性回归与非线性回归
回归分析涉及的内容
• 1）从一组数据出发，分析变量间存在什么样的 关系，建立这些变量的关系式（回归方程），并 对关系式的可信程度进行统计检验；
• 2）利用回归方程式，根据一个或几个变量的值， 预测或控制另一个变量的取值；
回归分析的内容（2）
相关与回归分析1PPT
相关关系的含义与测度视频引入相关关系的含义变量之间的关系函数关系（确定性关系）()y f x = 相关关系（非确定性关系）()y f x ε=+相关关系涉及变量多少单相关复相关偏相关相关关系的种类n单相关： （又称一元相关）两个因素之间n复相关： （多元相关）三个或三个以上因素之间n偏相关：在复相关中，其他自变量固定不变时因变量与自变量之间的相关关系相关关系涉及变量多少单相关复相关相关关系的种类相关形态线性相关非线性相关对单相关即为直线相关和曲线相关XY YX YXYX相关关系相关关系的种类相关方向正相关负相关n 正相关：同向变化n 负相关：反向变化XYXYYYX相关关系涉及变量多少单相关复相关相关关系的种类相关形态线性相关非线性相关相关方向不完全相关完全相关不相关相关程度正相关负相关相关关系相关关系的种类相关程度不完全相关完全相关不相关n 完全相关：即确定性的函数关系XY相关关系相关关系的种类相关程度不完全相关完全相关不相关n 无相关：变量各自独立，互不影响YX不相关相关关系相关关系的种类相关程度不完全相关完全相关不相关n 不完全相关：介于完全相关与无相关之间YX不完全相关相关关系的测度相关图定性分析相关表相关关系的一般判断年份人均可支配收入人均消费支出2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201596681089611778128981456516601190272168924104268643003534065375113931044632483167790896892159950112131343814472148961671918595202192264222800248333216533818引例的相关表和散点图相关系数(coefficient of correlation)是描述两个变量之间线性相关密切程度和相关方向的统计分析指标。
相关分析与回归分析 PPT
距离相关分析通过计算广义距离 度量样品或变量间得相似程度。
2022/9/20
26
距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
2022/9/20
45
处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
2022/9/20
31
例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
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距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
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处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
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例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
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2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
相关性分析及回归分析PPT课件
较好
t统计量的P值小于显著水平（0.05），可 认为该自变量对因变量的影响是显著的。
17
• 已知一种新牌子化肥的不同施用量对庄稼产量的影响如下表。请你 确定当化肥施用量为5.5克时估计预期的产量。
化肥施 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 01. 用产量量x(( 02 13 24 34 04. 55 65 75 85 95 04 公克斤) ) 1 5 1 6 5 2 3 3 3 1 9
y = -0.0066x2 + 0.0897x + 0.2419 R2 = 0.9742
2
4
6
8
10
12
化肥(克)
• 假设庄稼以每公斤4元的价格出售，化肥要以每克0.2元的价格购买。 请确定能产生最大利润的化肥施用量。(运用规划求解)
• 总收益=价格×产量=4元×(-0.0066X2+0.0897x+0.2419) • 总成本=化肥成本×化肥施用量=0.2X
7
• 根据表中的数据计算不良贷款、贷款余额、累计应收贷款、贷款项 目个数、固定资产投资额之间的相关系数
• 法1：数据/数据分析/相关系数/做如下图所示设置 • 可见，不良贷款与各项贷款余额的相关性最高
8
10
• 回归基本上可视为一种拟合
过程，即用最恰当的数学方
程去拟合一组由一个因变量
和一个或多个自变量所组成 y
• 工具-数据分析-回归。
• 回归方程检验；
• R2判断回归方程的拟合优度； • t 统计量及相伴概率值，自变量与因变量之间的关系； • F统计量及相伴概率值，判断方程的回归效果显著性趋势线
• 根据数据建立散点图
• 自变量放在X轴，因变量放在Y轴
回归及相关分析PPT课件
或实际场景中。
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
回归及相关分析ppt课件
目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
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目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
回归与相关分析PPT课件
yi y 2
（dfT＝
i
• 离回归平方和SSE（剩余平方和，残差平 方和）：
SSE yi yˆi 2
i
n－2）
第23页/共93页
（dfE＝
•回归平方和SSR：
SS＝R 1） i yˆi y 2
（dfR
SSR的意义：根据等式SSy＝SSE＋SSR可知， 如果SSR的值较大，SSE的数值便比较小，说 明回归的效果好；反之，如果SSR的值较小， SSE的数值便比较大，说明回归的效果差。
yˆ 1散点图和回归直线图
y ( ug / kg )
21 20 19 18 17 16 15
3
y = 10.987+1.5508x R2 = 0.6516
x ( ug / L )
4
5
6
7
某农药的水中含量与
鱼体中含量的关系
第21页/共93页
三、线性回归的显著性检验
第17页/共93页
（四）一元线性回归方程建立的基本步 骤（4步）
• 根据资料计算8个一级数据
• Σx , Σx2, x , Σy , Σy2 , y , Σxy , n
• 计算3个二级数据：SSx , SSy , SP
• 计算参数的估计值a和b，并写出回归方程
a y bx b SP SSx
yˆ a bx
第31页/共93页
• 2、β的置信区间
• b 的标准误为：sb se SSx
•而
b
t
sb
t (n 2)
• 所以 β的置信区间为：
(b t sb , b t sb )
第32页/共93页
•（二）对α＋βx的区间估计 • 对α＋βx的区间估计，即是对总体 均值（期望值）的区间估计。 • 当x＝xi 时，估计标准误为：
第四章Minitab相关与回归分析
4.点击Stat-Regression-Regression，弹出：
因变量y 自变量x
点击OK
结果输出：
结果输出(续)：
预测方程 系数的t检验 拟合优度R2
方程的F检验
一元线性回归模型预测
回归预测分为点预测和区间预测两部分
1.点预测的基本公式：
yˆ f a bx f
回归预测是一种有条件的预测，在进行回归预 测时，必须先给出xf的具体数值。 2.预测误差及发生预测误差的原因。
关
|r|=0 不存在线性关系或存在非线性相关；
系
数 值： |r|＝1 完全线性相关
0<|r|<1不同程度线性相关(0~0.3 微弱；0.3~0.5 低度；
0.5~0.8 显著；0.8~1 高度)
符号：r>0 正相关；r<0 负相关
相关系数的检验：
相关系数的检验( t 检验)
H0 : ρ=0, H1 : ρ≠0
输入数据，点击
Graph-Scatterplot
绘制散点图：
2.弹出如下对话框：选择销售量资料C2进入因变 量Y，广告费支出C1进入自变量X，点击OK将绘制 Y与X的散点图。
点击OK
散点图结果及意义：
3.从此散点图 可以看出：销 售收入C2与 广告费支出 C1间存在着 明显的线性相 关关系，我们 可以进一步建 立回归模型对 其进行分析。
相关分析及其实现
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联 系的重要统计方法，两者在有关现实经济和管理 问题的定量分析中，具有广泛的应用价值。
变量之间关系 相关关系 函数关系
因果关系 互为因果关系 共变关系 确定性依存关系
随机性 依存 关系
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i1
xi)2/nSx2
另外，可用最小二乘法估计参数β0和β
误差平方和：
n
n
Q e i2 (yi0xi)2
i1
i1
n
Qe (yi b0bix)2min i1
Qe
b0
Qe
b
n
2 (yi
i1
n
2 (yi
i1
b0 b0
bxi) 0 bxi)xi 0
SSxb SPxy b0 y bx
简单地说，最小二乘的 思想就是要使得观测点 和估计点的距离的平方 和达到最小.这里的“二 乘”指的是用平方来度 量观测点与估计点的远 近（在古汉语中“平方” 称为“二乘”），“最 小”指的是参数的估计 值要保证各个观测点与 估计点的距离的平方和 达到最小.
dfy n1
dfR 1
drf n2
U2 ~2(1) Qe 2~2(n2)
1-5 回归直线的有关假设检验
1-5-1回归直线的显著性检验
回归方程的显著性检验：
无效假设HO：=0， 备择假设HA：≠0
F U ~F(1,n2) Q e (n2)
i 1
n
i 1
SSy (yi y)2
i1
n
n
n
2
Q eˆ i2(y i y ˆi)2y i (y b (x i x ))
in 1
i 1
i 1
(y i y ) b (x i x )2 S S y b 2 S S x 2 b S P x y
i 1
SSyb2SSxSSyU SSy UQe
统计学上采用回归分析 （regression analysis） 研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变 量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。
任务是找出这种关系的方程或关系模型，用于预 测、优化和控制
统计学上采用相关分析 ( correlation ana系。
中心化回归模型
y~N(y,y2)
x~N(x,x2)
y i y (x i x) i
标准化线性回归模型
yi y y
*xixxy i
其中 0y x,* x y
Y
y0x
( x ,y )
y
β单位
1单位
β0
变化的优点:
x
X
• 首先能表明 y0x 是经过点(x，y) 的；
•进一步表明回归方程是表达y随着x而平均变化的规律；
(Y Yˆ)
(y y)
y
Yˆ
(Yˆ Y)
( y y) 的分解图
x
yˆ b0 bx y i b 0 b x iˆi y ˆiˆi
n
n
(yib0bxi) (yiy ˆi)0
i1
i1
y
1 n
n i1
yˆi
y
n
n
2
U ( y ˆ i y ) 2 ( y b ( x i x ) ) y b 2 S S x b S P x y S P x 2 y /S S x
SSxS xS P yyS(xS xx)
r(
x
sx
x
)
b0，b均是yi的线性组合：
b S S x x P S yS 1 x S (x i x ) (y i y ) S 1 x S (x i x ) y i
b 0y b xyS xxS (x i x )y i
在 x xi 处，yi~N (0xi,2)
•其次，标准化模型克服了量纲对回归系数的影响．
1-3 参数估计及其统计性质
ˆx
x1 n ni1
xi
ˆy
y1 n ni1
yi
ˆy2
n11lSySyyn11in1(yi
y)2
n11in1
yi2
n
(
i1
yi)2/nSy2
ˆx2
n11SlxSxxn11in1
xi
x
2
n11in1
n
xi2(
由 y i 于 0 x i i,i~ N ( 0 ,2 )
EE((USS)y)2(n12)SS2x2SSx E(Qe) (n2)2
说明：
1.
σ2的无偏估计为
ˆ 2
Qe n2
2.回归直线 y0x存在与 否，关
键在于H0:β=0是否成立．若H0成立， 则回归直线不存在，否则就存在。
dfy dR f drf
任务是找出表征这种相关关系密切程度的参数，即 相关系数
相关分析与回归分析概念不同，功能不同， 然而二者之间有着密切的信息关系．
§1 直线回归与相关
1-1回归的概念
设x 为回归变量，y为响应变量或因变量，x每取一
个确定值xi, y有许多观察值与之对应(yi1，yi2，…，yin)，
即y在x＝ xi处为一统计总体，有它的均值 y i 和方差σ2 ，
n
n
S x P y (y i y )(x i x ) x iy i ( x i) (y i)n
i 1
i 1
i
i
bS P x y S Sx
yˆ b0 bx
一般直线回归方程
yˆyb(xx) 中心化直线回归方程
yˆ y b*(xx)
sy
sx
r SPxy 标准化直线回归方程 SSxSSy
bsx(xx) sy sx
服从N( y i ，σ2）, y i 叫做y在xi处的条件期望值，表示
为:
y E y xxi i ， i 1,2,,n
y关于x的回归散点图
如果y关于x的回归方程y=f(x)是
β称为回归系数．
y0x
β0称回归截距，
则称其为y关于x的一元线性回归方程，或称为直线 回归方程．
β是x每加一个单位时y平均增加的单位（β＞0）或减
少（β＜0）的单位数. Y
Y0X
β单位
1单位
β0
X
设У 与X有线性回归关系，
即 y 0 x
独立观察了n个点（χ i ，Уi ），在χ i 处的观察值 为
yi0 xii (i=1,2, …, n)
一般线性回归模型
其中 yi 0xi
εi是随机误差，相互独立且服从N（0，σ2）
i y i E y x x i y i y i
回归方程的统计性质：
在 x xi 处：
yˆi
b0
bxi
~N0
xi,1nxi lxxx2
2
yi
b0
bxi
i
~N0
xi,11nxi
x2
lxx
2
说明在回归分析中，n愈大、SSx愈大（xi愈分散），则 回归精度愈高。
易于进行预报。
1-4 回归平方和与剩余平方和
1、直线回归的变异来源
P（x,y） Yˆ0X
由于正态变量的线性组合仍然服从正态分布，故b0，b服从
正态分布：
b
~
N
,
2
SSx
b0
~
N
0
,
1 n
x2 SSx
2
BL( Least Squares) 最小二乘
BLUE(Best Linear Ubiased Estimator)最佳线性无偏估计
BLUP(Best Linear Ubiased Prediction)最佳线性无偏预测
xi)2/nSx2
另外，可用最小二乘法估计参数β0和β
误差平方和：
n
n
Q e i2 (yi0xi)2
i1
i1
n
Qe (yi b0bix)2min i1
Qe
b0
Qe
b
n
2 (yi
i1
n
2 (yi
i1
b0 b0
bxi) 0 bxi)xi 0
SSxb SPxy b0 y bx
简单地说，最小二乘的 思想就是要使得观测点 和估计点的距离的平方 和达到最小.这里的“二 乘”指的是用平方来度 量观测点与估计点的远 近（在古汉语中“平方” 称为“二乘”），“最 小”指的是参数的估计 值要保证各个观测点与 估计点的距离的平方和 达到最小.
dfy n1
dfR 1
drf n2
U2 ~2(1) Qe 2~2(n2)
1-5 回归直线的有关假设检验
1-5-1回归直线的显著性检验
回归方程的显著性检验：
无效假设HO：=0， 备择假设HA：≠0
F U ~F(1,n2) Q e (n2)
i 1
n
i 1
SSy (yi y)2
i1
n
n
n
2
Q eˆ i2(y i y ˆi)2y i (y b (x i x ))
in 1
i 1
i 1
(y i y ) b (x i x )2 S S y b 2 S S x 2 b S P x y
i 1
SSyb2SSxSSyU SSy UQe
统计学上采用回归分析 （regression analysis） 研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变 量称为自变量，表示结果的变量称为依变量。
任务是找出这种关系的方程或关系模型，用于预 测、优化和控制
统计学上采用相关分析 ( correlation ana系。
中心化回归模型
y~N(y,y2)
x~N(x,x2)
y i y (x i x) i
标准化线性回归模型
yi y y
*xixxy i
其中 0y x,* x y
Y
y0x
( x ,y )
y
β单位
1单位
β0
变化的优点:
x
X
• 首先能表明 y0x 是经过点(x，y) 的；
•进一步表明回归方程是表达y随着x而平均变化的规律；
(Y Yˆ)
(y y)
y
Yˆ
(Yˆ Y)
( y y) 的分解图
x
yˆ b0 bx y i b 0 b x iˆi y ˆiˆi
n
n
(yib0bxi) (yiy ˆi)0
i1
i1
y
1 n
n i1
yˆi
y
n
n
2
U ( y ˆ i y ) 2 ( y b ( x i x ) ) y b 2 S S x b S P x y S P x 2 y /S S x
SSxS xS P yyS(xS xx)
r(
x
sx
x
)
b0，b均是yi的线性组合：
b S S x x P S yS 1 x S (x i x ) (y i y ) S 1 x S (x i x ) y i
b 0y b xyS xxS (x i x )y i
在 x xi 处，yi~N (0xi,2)
•其次，标准化模型克服了量纲对回归系数的影响．
1-3 参数估计及其统计性质
ˆx
x1 n ni1
xi
ˆy
y1 n ni1
yi
ˆy2
n11lSySyyn11in1(yi
y)2
n11in1
yi2
n
(
i1
yi)2/nSy2
ˆx2
n11SlxSxxn11in1
xi
x
2
n11in1
n
xi2(
由 y i 于 0 x i i,i~ N ( 0 ,2 )
EE((USS)y)2(n12)SS2x2SSx E(Qe) (n2)2
说明：
1.
σ2的无偏估计为
ˆ 2
Qe n2
2.回归直线 y0x存在与 否，关
键在于H0:β=0是否成立．若H0成立， 则回归直线不存在，否则就存在。
dfy dR f drf
任务是找出表征这种相关关系密切程度的参数，即 相关系数
相关分析与回归分析概念不同，功能不同， 然而二者之间有着密切的信息关系．
§1 直线回归与相关
1-1回归的概念
设x 为回归变量，y为响应变量或因变量，x每取一
个确定值xi, y有许多观察值与之对应(yi1，yi2，…，yin)，
即y在x＝ xi处为一统计总体，有它的均值 y i 和方差σ2 ，
n
n
S x P y (y i y )(x i x ) x iy i ( x i) (y i)n
i 1
i 1
i
i
bS P x y S Sx
yˆ b0 bx
一般直线回归方程
yˆyb(xx) 中心化直线回归方程
yˆ y b*(xx)
sy
sx
r SPxy 标准化直线回归方程 SSxSSy
bsx(xx) sy sx
服从N( y i ，σ2）, y i 叫做y在xi处的条件期望值，表示
为:
y E y xxi i ， i 1,2,,n
y关于x的回归散点图
如果y关于x的回归方程y=f(x)是
β称为回归系数．
y0x
β0称回归截距，
则称其为y关于x的一元线性回归方程，或称为直线 回归方程．
β是x每加一个单位时y平均增加的单位（β＞0）或减
少（β＜0）的单位数. Y
Y0X
β单位
1单位
β0
X
设У 与X有线性回归关系，
即 y 0 x
独立观察了n个点（χ i ，Уi ），在χ i 处的观察值 为
yi0 xii (i=1,2, …, n)
一般线性回归模型
其中 yi 0xi
εi是随机误差，相互独立且服从N（0，σ2）
i y i E y x x i y i y i
回归方程的统计性质：
在 x xi 处：
yˆi
b0
bxi
~N0
xi,1nxi lxxx2
2
yi
b0
bxi
i
~N0
xi,11nxi
x2
lxx
2
说明在回归分析中，n愈大、SSx愈大（xi愈分散），则 回归精度愈高。
易于进行预报。
1-4 回归平方和与剩余平方和
1、直线回归的变异来源
P（x,y） Yˆ0X
由于正态变量的线性组合仍然服从正态分布，故b0，b服从
正态分布：
b
~
N
,
2
SSx
b0
~
N
0
,
1 n
x2 SSx
2
BL( Least Squares) 最小二乘
BLUE(Best Linear Ubiased Estimator)最佳线性无偏估计
BLUP(Best Linear Ubiased Prediction)最佳线性无偏预测