结构动力学复习 新
结构动力学复习资料
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第二章 单自由度系统的振动......................................................................................................... 1 2.1 单自由度系统的自由振动（ F (t ) = 0 ）........................................................................ 1 1）无阻尼自由振动......................................................................................................... 1 2）有阻尼自由振动......................................................................................................... 2 2.2 单自由度系统的强迫振动................................................................................................ 4 1）系统对于简谐激励的响应......................................................................................... 4 2）系统对周期激励的响应............................................................................................. 7 3）非周期激励的响应..................................................................................................... 8 第三章 二自由度系统的振动....................................................................................................... 10 3.1 无阻尼自由振动.............................................................................................................. 10 3.2 二自由度系统的强迫振动（简谐激励）...................................................................... 12 第四章 分析动力学基础............................................................................................................... 13 4.1 虚位移原理...................................................................................................................... 13 4.2 拉格朗日方程.................................................................................................................. 13 4.3 汉密尔顿原理.................................................................................................................. 14 第五章 多自由度系统的振动....................................................................................................... 14 5.1 运动方程的建立.............................................................................................................. 14 5.2 无阻尼自由振动.............................................................................................................. 15 5.3 主振型的正交性.............................................................................................................. 17 5.4 正规化与正规坐标.......................................................................................................... 18 5.5 半正定系统...................................................................................................................... 19 5.6 系统对初始条件的响应................................................................................................... 20 5.7 瑞雷—李兹法.................................................................................................................. 20 第六章 连续弹性体系统的振动................................................................................................... 22 6.1 弦的振动.......................................................................................................................... 22 6.2 杆的纵向振动.................................................................................................................. 23 6.3 轴的扭转转动.................................................................................................................. 25 6.4 梁的弯曲振动.................................................................................................................. 26 6.5 振型函数的正交性.......................................................................................................... 29 6.6 主振型叠加法.................................................................................................................. 29
结构动力学复习题
结构力学下复习题一． 判断题1． 对于单自由度体系有如下关系k =δ-1对于多自由度体系也同样成立。
（ ）2． 仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
（ ）3． 如果使单自由度体系的阻尼增大，其结果是周期变短。
（ ）4、 体系在θϖ>时，)(t y 与)(t p 方向相同。
ϖ为自振频率，EI 为常数。
（ ）5． 在无限自由度体系的弹性稳定分析中，用静力法和能量法（瑞利-里兹法）得到的临界荷载是相同的。
( )6． 只要两个杆件的截面面积相同、所用材料相同，它们的极限弯矩就是相同的。
（ ）二． 单项选择题1．对图示结构，若要使其自振频率增大，可以（ ）。
A. 增大F P ； C. 增大m ；B. 增大 EI ； D. 增大l 。
2 . 单自由度简谐受迫振动中，若算得位移放大系数μ 为负值，则表示（ ）。
A. 体系不可能振动； C. 动位移小于静位移;B. 干扰力频率与自振频率不同步； D. 干扰力方向与位移方向相反。
3．单自由度体系在简谐荷载作用下如果频率比大于1，则要减小振动幅值需采取措施A 增加刚度，减少质量；B 增加刚度，增加质量；C 减少刚度，减少质量；D 减少刚度，增加质量；4．图示两组压杆的临界荷载分析为Pcr 1 F 和Pcr 2 F ，则两者的关系是A 21cr cr F F =B 212cr cr F F =C 212cr cr F F =D 215.1cr cr F F =题4三 . 填充题1．图示体系不计杆件质量和轴向变形，各杆抗弯刚度为常数，其动力自由度为 。
2．图示体系的自振频率为 。
3、对于矩形截面，极限弯矩为屈服弯矩的 倍。
4、已知质点m 的最大竖向位移st y y 5max = ，且初始时质点竖向位移为st y （st y 为静位移），则质点的初始速度为 。
四． 计算分析题1．）已知θ = 0.4ω ，试求图示体系的振幅和最大动弯矩。
2．试求图示体系质点的振幅和A 截面动弯矩幅值，已知ϖθ6.0=3．试求图示基础的振幅 A及地基所受的动压力N。
结构动力学复习 新汇总
结构动力学与稳定复习1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。
1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。
确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。
1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。
结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。
1.4 结构的动力特性一般指什么？答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。
动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。
动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。
1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。
产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。
当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。
阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。
粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。
粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。
结构动力学期末复习题_2014
结构动力学期末复习题1 .试用哈密顿原理推证第二类拉格朗日方程。
2 •在允许大变形的情况下，请采用拉格朗日方程求出图示系统在指定的广义坐标下的运动微分方程。
若仅考虑小变形振动，写出其运动微分方程。
图中弹簧未变形时的原长为h，弹簧2未变形时的原长为a。
3.试利用Hamilton原理推导图示广义单自由度系统的运动微分方程。
4•试述多自由度体系振型矩阵关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性的意义，并写出广义正交性的表达式且加以证明。
5•试讨论对于多自由度体系如何形成一致质量矩阵、一致刚度（包括几何刚度）矩阵、一致荷载列阵并分析与集中质量矩阵的区别。
6. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，若结构在运动中保持为弹性,试述求解该结构弹性动力反应的振型叠加法的原理以及求解步骤。
7. 一栋多层楼房，在地震地面运动作用下运动，结构产生非线性变形，试讨论如果将结构简化为集中质量的串模型，如何采用逐步积分法分析该结构在地震地面运动作用下结构的非线性反应时程，写出线性加速度法、Wils on- 9法、Newmark- B法、中央差分法等几种方法中的一种方法分析求解非线性多自由度体系的动力反应的步骤，并就你所知，讨论用于结构非线性时程反应分析的这些逐步积分方法在稳定性和求解精度方面的优缺点，提出你的改进意见和方法。
8•试分析惯性式测振仪的工作原理，力学模型，并比较位移计和加速度计在力学原理和应用方面的的异同。
9.图示一悬臂梁，长为l ,质量和刚度的分布规律可表示为：：： (x)二代1(1 XS) ，El(x) =EI°(1 f)3，(选取系统的假设模态为：咒(x)=(1-令2申」，1二1, n)试采用Rayleigh-Ritz法求：(1) 求系统的前2阶频率和振型函数。
(2)若在梁的自由端作用有集中力P0 sin • ‘t，求梁的横向稳态振动10.图示为汽车的拖车在波形道路上行驶时在垂直方向上振动的力学模型，已知：拖车的质量满载时为m1 = 1000kg ，空载时为m2 = 500kg，悬挂弹簧的刚度为k =350KN/m，阻尼比在满载时为^0.5，车速为v = 100km/h，路面呈正弦波形，可表示为X s =asi门*^，其中，丨=5m。
结力(下)复习(结构动力学)解析
k11
k12
12m1
1 7.5661
8．欲使图示体系的自振频率增大，在下述办法中可采用：
A．增大质量m； C．减小梁的EI；
m EI
B．将质量m 移至梁的跨中位置 ； D．将铰支座改为固定支座 。
k 1
m m
(D )
9．图 示 体 系 的 自 振 频 率 3EI1 / (mh3) 。 ( )
m
EI=oo
EI1
EI1
h
k 6EI1 , k 6EI1
h3
m mh3
10．图示体系 EI 2105 kN m2, 20s-1, k 3105 N/m, P 5103 N, W 10kN。 求质点处最大动位移和最大动弯矩 。
Psin t
k W
2m
2m
解：
1 (1 21 2 1 2) 1 1
Psin t
A
W
l /2
l /2
3l 16 5l 32 M1
解：自振频率
B
1 ( 1 l l 3l 1 l l 2 l 2)
EI 2 4 32 2 4 2 3 4
l3 ( 1 3 ) EI 48 256
要点：
结构动力学
1. 单自由度体系的自由振动，自振频率 (刚度法和柔度法) 2. 单自由度体系的强迫振动，动力系数，动内力和动位
移幅值(振幅) 3. 多自由度体系的自由振动的频率及主振型的计算 (刚度
法和柔度法) 4. 多自由度体系受同步简谐动荷作用下的动内力和动位
移幅值的计算
掌握所涉及到的所有公式。
2 1 [( k11 k22 ) ( k11 k22 )2 4(k11k22 k12k21) ]
2 m1 m2
结构动力学复习题全解
*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。 **学习本章注重动力学的特征------惯性力。 *结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化 的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。 *动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。 一、 本章重点 1．振动方程的建立 2．振动频率和振型的计算 3．振型分解法求解多自由度体系 4．最大动位移及最大动应力 二、 基础知识 1．高等数学 2．线性代数 3．结构力学 三、 动力荷载的特征 1．大小和方向是时间 t 的函数 例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等 2．具有加速度，因而产生惯性力 四、 动力荷载的分类 1．周期性动力荷载 例如：①机械运转产生的动力荷载，②打桩时的锤击荷载。 P（t） P（t）
Δt 时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为 v (t ) = 的自由振动。 由（3）式可知：
p∆t p ( ∆t ) 2 ，初位移为 y(t ) = =0 m 2m
y(t ) = y 0 cosωt +
v0 p∆t sinωt sinωt = ω mω
---------------------（9）
& (t ) FD= - C y
，称为粘滞阻尼力，阻尼力 与运动方向相反。
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括 EI ①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的紫力） ③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 ④通过基础散失的能量 2．弹性恢复力 FE= - K y(t) ，K 为侧移刚度系数，弹性恢复力 与运动方向相反。 3．惯性力
，阻尼系数为 C ，横梁具有分布质量 m =
m L
。
结构动力学复习
（5）连续系统的虚位移原理——假定振型法：虚位移在一定程度上近似于连续系统的挠曲特征，这种方法成为假定振型法。
第三章SDOF系统自由振动
（1）线性SDOF系统的运动方程：
无阻尼固有圆频率；粘滞阻尼因数；临界阻尼系数
边界条件：外力-自由端
固定端
（2）线弹性梁横向振动的伯努利-欧拉理论假定：梁上有一根沿x轴的中性轴，表现即没有拉伸也没有压缩；在未变形的梁中，横截面垂直于中性轴，并保持平面，在变形的中性轴上亦保持垂直，忽略横向剪切变形；材料为线弹性，任何截面性质相同；y、z向应力相对x向来说可忽略不计；x-y为柱主平面。可以忽略转动惯量。
（3）无阻尼DPF系统短时作用脉冲响应为：
无阻尼SDOF系统单位脉冲响应函数，即I=1时：
=1的粘滞阻尼SDOF系统单位脉冲函数：
第六章SDOF系统一般动力激励
（1）三种方法得到一般动力荷载系统响应的解析表达式：杜哈梅积分法（时域解），拉普拉斯变换法（拉域解）和傅立叶变换法（频域解）。
（2）杜哈梅积分法：叠加原理为依据，仅对线性系统有效。
总响应的特点：稳态响应与激励频率相同，相位据r而定；
强迫振动和固有运动出现拍的现象，即时而相互增强，时而相互抵消；
最大总响应比最大稳态响应大：总动力放大因数为
共振：r=1时，用假定解求解
（2）粘滞阻尼SDOF系统简谐激励运动方程：
稳态响应与激励不同相位，稳态响应的解可写成：
则稳态响应方程可以写成：
其中：
边界条件：固定端
简支端
自由端
（3）连续系统固有频率瑞利近似表示法：即假定振型法，用来估算无阻尼连续系统基频。
第十六章 结构动力学复习题.
第十二章 矩阵位移法【例12-1】 图 a 所示 连 续 梁 ，EI=常数，只 考 虑 杆 件 的 弯 曲 变 形 。
分别用位移法和矩阵位移法计算。
图12-1解：（1）位移法解∙基本未知量和基本结构的确定 用位移法解的基本结构如图c 所示。
这里我们将结点1处的转角也作为基本未知数，这样本题仅一种基本单元，即两端固定梁。
∙位移法基本方程的建立⎪⎭⎪⎬⎫=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ=+θ+θ+θ000333323213123232221211313212111P P P R K K K R K K K R K K K 将上式写成矩阵形式⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000321321333231232221131211P P P R R R K K K K K K K K K∙系数项和自由项 计算（须绘出单位弯矩图和荷载弯矩图）由图d ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 l EI K 411=，l EI K 221=，031=K由图e ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得l EI K 212=，l EI l EI l EI K 84422=+=，EI K 232=由图f ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得 013=K ，l EI K 223=，EI l EI EI K 84433=+=由图g ，结点力矩平衡条件∑=0M ，得1Pl R p -=，2Pl R P -=，03=P R将系数项和自由项代入位移法基本方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000118820282024321Pl l EI ∙解方程，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧θθθ14114162321EI Pl ∙由叠加法绘弯矩图，如图h 所示。
（2）矩阵位移法解∙对单元和结点编号（图a ） 本题只考虑弯曲变形的影响，故连续梁每个结点只有一个角位移未知数。
结构动力学的刚度系数柔度系数
P
1 k1
P
1 k2
P
1 k1
1 k2
k1 、k2 — 楼层刚度
k1
12i1 h12
k2
12i2 h22
总刚度: k P 1
1 k1
1 k2
串联一般公式:
1 1 1 1 n 1
k k1 k2
kn k j1 j
▲ 楼层刚度与位移法刚度系数的关系
EI∞
k2
EI∞
1 k1
i
两端固支梁侧移刚度:
1 k
k
12EI l3
12i l2
一固一铰支梁的侧移刚度:（同悬臂梁）
i
1
1
k
k
3EI l3
3i l2
简支梁中点柔度、刚度:
δ
l3
48EI
k
48EI l3
2.柱的并联、串联刚度
（1）并联
h EI
EI
总侧移刚度:
k
k左柱
k右柱
3EI h3
3EI h3
6EI h3
h1
m
m
l/2
l/2
解:
1
3l/16
, 先求δ
m
1
l3 48EI
l/2
l/2
l/2
P=1
2
7l53l/32 768PE=I1
l/2
l/2
3
l3 192EI
1
48EI ml 3
2
E1I2
l2 (2
6
7726lm8El1336Il
l 2
352l)37678l1E39mI2lE3 I
据此可得: ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 2 ׃1.512 ׃
最新11第十一章结构动力学汇总
11第十一章结构动力学第十一章结构动力学？？？本章的问题：A.什么是动力荷载？B.结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？C.本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？D.建立振动微分方程的方法有几种？E.什么是体系的自振频率、周期？F.什么是单自由度体系的自由振动？G.什么是单自由度体系的受迫振动？H.什么是多自由度体系的自由振动？I.什么是多自由度体系的受迫振动？J.什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？K.单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？L.在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？§11—1 概述前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。
荷载分：静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。
在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。
变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。
有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。
在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。
当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。
在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。
如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。
荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种：(1) 简谐周期荷载这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响就是这种荷载。
结构动力学复习
8.建立运动方程的方法特点？（1）D’ Alembert原理：矢量方法，直观，建立了动平衡概念（2）虚位移原理：半矢量法，可以处理复杂分布质量和弹性问题（3）哈密顿原理：标量方法，表达简洁（4）Lagrange方程：标量方法，运用面广
5.广义力的概念及性质？广义力为广义坐标对应的力，是虚位移对广义坐标的偏导数。广义力是标量而非矢量，广义力与广义坐标的乘积具有功的量纲。
6.阻尼力的概念，产生阻尼力的物理机制有哪些？引起结构能量的耗散，使结构的振幅逐渐变小的这种作用称为阻尼，也称为阻尼力.物理机制：（1）固体材料变形时引起的内摩擦或材料快速应变引起的热耗散（2）结构连接部位的摩擦，混凝土微裂缝的张开闭合结构部件与非结构构件之间的摩擦（3）结构周围外部介质引起的阻尼
3.结构动力计算的特点（与静力学的区别）：1、动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间。2、与静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
4.结构离散化方法的种类、实质？离散化方法有：集中质量法、广义坐标法、有限元法。离散化方法的实质就是把无限自由度问题转化为有限自由度的过程。
确定荷载根据时间变化规律可分为：周期荷载、非周期性荷载。周期性荷载分为：简谐荷载（荷载随时间周期性变化，并可以用简谐函数表示；正弦、余弦荷载）、非简谐荷载（荷载随时间作周期变化，是时间t的周期函数，但不能简单的用简谐函数表示；平稳情况下波浪对堤坝的动水压力、轮船螺旋桨产生的推力）。非周期荷载可分为：冲击荷载（荷载的幅值在很短时间内急剧增大或急剧减小；爆炸引起的冲击波、突加重量）、一般任意荷载（荷载的幅值变化复杂，难以用解析函数表示的荷载；由环境振动引起的地震动、地震引起的地震动、脉动风的风压）
结构动力学例题复习题含答案-2021年推荐必备
结构动力学例题复习题第十六章结构动力学【例 16- 1 】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图 16-6 所示刚架的动力自由度。
图 16-6【解】各刚架的自由度确定如图中所示。
这里要注意以下两点：1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。
根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。
2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。
【例 16- 2 】试用柔度法建立图 16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载作用的运动方程。
【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。
对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。
设图 a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为 y （向下为正）。
把惯性力、阻尼力及动荷载，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图 b 、 c 、 d 及 e ），则式中，，。
将它们代入上式，并注意到，，得图 16-7经整理后可得式中，，称为等效动荷载或等效干扰力。
其含义为：直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。
图 a 的相当体系如图 f 所示。
【例 16- 3 】图 16-8 a 为刚性外伸梁， C 处为弹性支座 , 其刚度系数为，梁端点 A 、 D 处分别有和质量，端点 D 处装有阻尼器 c ，同时梁 BD 段受有均布动荷载作用，试建立刚性梁的运动方程。
【解】因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。
这个单自由度体系可能产生的位移形式如图 b 所示，可以用铰 B 的运动作为基本量，而其它一切位移均可利用它来表示。
图 16-8以顺时针向为正。
则 A 点有位移和加速度； D 点有位移和加速度及速度； C 点约束反力为。
由，有将惯性力、阻尼力及约束反力代入上式，得经整理，运动方程为小结：例 16- 2 及例 16- 3 讨论的是单自由度的一般情况下的运动方程的建立。
结构动力学-总复习
3） T和ω是结构动力性能的一个重要数量标志。
广西科技大学《结构动力学》 课件. Copyright (c) 2012 by professor Pan. All rights reserved.2020年3月23日
自振周期和自振频率计算举例——例1
m
求δ，作单位荷载作 用下弯矩图，如图示
1 EI
y(0) y0 0产生的静C位2 移0;C1 yst
y&(0) v0 0
y(t)
yst
1
1
2 2
sin
t
稳态反应
sin
t
瞬态反应
1
2 2
稳态反应：按荷载频率振动的部分，起主要作用
瞬态反应：按自振频率振动的部分，在实际振动中，由于 阻尼存在，这部分将会逐渐消失。
广西科技大学《结构动力学》 课件. Copyright (c) 2012 by professor Pan. All rights reserved.2020年3月23日
广西科技大学《结构动力学》 课件. Copyright (c) 2012 by professor Pan. All rights reserved.2020年3月23日
§10.2 单自由度体系的自由振动
h EI
m
EI1 y
EI
y
m k
y km
c y
实际模型
简化模型
弹簧-质点模型
自由振动：结构受到干扰离开平衡位置以后，不再受到任何
m
解：（1）求自振频率
EI
为E1I避 12免 单14 位2l 弄 错23 ，4l 建 议2 都采用l/2国际单1 位l/2！
l3 48EI
l/4
2016年《结构动力学》复习题
2016年《结构动力学》复习题2016年《结构动力学》复习题一、(概念题)(1) (填空题)某等效单自由度振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，阻尼比0.2ξ=，则系统的固有频率ω为 rad/s ，等效阻尼系数c 为 N. s/m 。
(2) (填空题)某振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，0.7/c N s cm =⋅，则系统的固有频率ω为 ，阻尼比ξ为 ，衰减系数n 为 。
(3) (简单计算题)一弹簧悬挂某质量块，弹簧产生了静变形mm 4=∆st ，试确定系统作自由振动的固有频率 (重力加速度取2s m /10=g )。
(10分)(4) (填空题)当系统受简谐力作用发生共振时，系统所受的外力是由 来平衡。
(5) (问答题)某单自由度系统具有非线性的弹簧，其运动方程为：()()mx cx f x F t ++=，能否用杜哈美积分计算该系统的受迫振动响应？并说明理由。
(6) (填空题)同种材料的弦承受相同的张力，如果长度增加到原来的4倍，截面积减小到原来的4倍，则作该弦横向振动的各阶固有频率将 。
(7) (填空题)图示两个系统，已知各质点的质量 i m ，刚架的质量不计，忽略杆的轴向变形，试分别确定两系统的动力自由度： (1) n = ; (2) n = 。
(8) (作图题) 0.1ξ=时单自由度系统受迫振动的相频曲线如图所示，其中ω为系统的固有频率，p 为激振力的频率，ϕ为位移响应滞后于激振力的相位角。
试大致绘出0.05ξ=和0.2ξ=时相频曲线的形状。
(9) (问答题)模态分析法能否求解多自由度系统的弹塑性地震响应？并说明理由。
(10) (选择题) 对于一个单自由度系统而言，其临界阻尼与系统的固有特性参数 ，与系统所受的阻尼力 。
(a) 有关，有关；(b) 无关，无关；(c) 有关，无关；(d) 无关，有关1m 2m 3m (2m 3m (1m ωpϕ10.1ξ=ππ二、(计算题)（1） 图示两个系统，已知EI 和M ，弹簧刚度316k EI l =，不计梁的质量，试确定：(1) 简支梁的等效刚度L k ；(2)两个系统的等效刚度a k 和b k ；(3) 两个系统的固有频率a ω和b ω。
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结构动力学与稳定复习1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。
1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。
确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。
1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。
结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。
1.4 结构的动力特性一般指什么？答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。
动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。
动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。
1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。
产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。
当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。
阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。
粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。
粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。
1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。
质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。
广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。
所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。
考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。
有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。
一般的广义坐标中，广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。
而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。
在有限元分析中，形函数被称为插值函数。
综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点：(l) 与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念。
但不同于广义坐标法在整体结构上插值（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以相对简单。
(2) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。
2.1 建立运动微分方程有哪几种基本方法？各种方法的适用条件是什么？答：常用的有 3 种：直接动力平衡法、虚功原理、变分法（哈密顿原理）。
直接动力平衡法是:在达朗贝尔原理和所设阻尼理论下，通过静力分析来建立体系运动方程的方法，也就是静力法的扩展，适用于比较简单的结构。
虚功原理的优点是：虚功为标量，可以按代数方式相加。
而作用于结构上的力是矢量，它只能按矢量叠加。
因此，对于不便于列平衡方程的复杂体系，虚功方法较平衡法方便。
哈密顿原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别采用对动能和势能的变分代替。
因而对这两项来讲，仅涉及标量处理，即能量。
而在虚功原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量。
2.2 直接动力平衡法中常用的有哪些具体方法？它们所建立的方程各代表什么条件？答：常用方法有两种：刚度法和柔度法。
刚度法方程代表的是体系在满足变形协调条件下所应满足的动平衡条件；而柔度法方程则代表体系在满足动平衡条件下所应满足的变形协调条件。
2.3 刚度法与柔度法所建立的体系运动方程间有何联系？各在什么情况下使用方便？答：刚度法与柔度法建立的运动方程在所反映的各量值之间的关系上是完全一致的。
由于刚度矩阵与柔度矩阵互逆，刚度法建立的运动方程可转化为柔度法建立的方程。
一般说来，对于单自由度体系，求[δ]和求[k]的难易程度是相同的，因为它们互为倒数，都可以用同一方法求得，不同的是一个已知力求位移，一个已知位移求力。
对于多自由度体系，若是静定结构，一般情况下求柔度系数容易些，但对于超静定结构就要根据具体情况而定。
若仅从建立运动方程来看，当刚度系数容易求时用刚度法，柔度系数容易求时用柔度法。
2.4 计重力与不计重力所得到的运动方程是一样的吗？答：如果计与不计重力时都相对于无位移的位置来建立运动方程，则两者是不一样的。
但如果计重力时相对静力平衡位置来建立运动方程，不计重力仍相对于无位移位置来建立，则两者是一样的。
3.1 为什么说结构的自振频率是结构的重要动力特征，它与哪些量有关，怎样修改它？答：动荷载（或初位移、初速度）确定后，结构的动力响应由结构的自振频率控制。
从计算公式看，自振频率和质量与刚度有关。
质量与刚度确定后自振频率就确定了，不随外部作用而改变，是体系固有的属性。
为了减小动力响应一般要调整结构的周期（自振频率），只能通过改变体系的质量、刚度来达到。
总的来说增加质量将使自振频率降低，而增加刚度将使自振频率增加。
3.2 自由振动的振幅与哪些量有关？答：振幅是体系动力响应的幅值，动力响应由外部作用和体系的动力特性确定。
对于自由振动，引起振动的外部作用是初位移和初速度。
因此，振幅应该与初位移、初速度以及体系的质量和刚度的大小与分布（也即频率等特性）有关。
当计及体系阻尼时，则还与阻尼有关。
3.3 阻尼对频率、振幅有何影响？答：按粘滞阻尼假定分析出的体系自振频率计阻尼与不计阻尼是不一样的，二者之间的关系为:计阻尼的自振频率此小于不计阻尼频率。
计阻尼时的自振周期会长于不计阻尼的周期。
由于相差不大，通常不考虑阻尼对自振频率的影响。
阻尼对振幅的影响在频率比不同时大小不同，当频率比在1附近（接近共振）时影响大，远离1 时影响小。
为了简化计算在频率比远离1 时可不计阻尼影响。
3.4 什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？答：动力系数是指最大动位移()max y t ⎡⎤⎣⎦与最大静位移st y 的比值，其与体系的自振频率和荷载频率θ有关。
当单自由度体系中的荷载作用在质量处才有位移动力系数与内力动力系数一样的结果。
3.5 什么叫临界阻尼？什么叫阻尼比？怎样量测体系振动过程中的阻尼比？若要避开共振应采取何种措施？答：当阻尼增大到体系在自由反应中不再引起振动，这时的阻尼称为临界阻尼。
阻尼比是表示体系中阻尼大小的一个量，它为体系中实际阻尼系数与临界阻尼系数之比。
若阻尼比为0.05，则意味着体系阻尼是临界阻尼的5％。
方法：根据公式即测出第k次振幅和第k+n次振幅即可测出阻尼比。
(振幅法) 措施：1.可改变自振频率，如改变质量、刚度等。
2.改变荷载的频率。
3.可改变阻尼的大小，使之避开共振。
3.6 增加体系的刚度一定能减小受迫振动的振幅吗？答：增加体系的刚度不一定能减小受迫振动的振幅。
对于简谐荷载作用下的振幅除与荷载有关以外，还与动力放大系数有关。
动力放大系数与频率比有关，频率比小于1时动力放大系数是增函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频率比减小，动力放大系数减小，振幅会相应减小；频率比大于1时动力放大系数是减函数，这时增加刚度会使自振频率增加，从而使频率比减小，动力放大系数增大，振幅会相应增大。
可见，减小体系的动位移不能一味增加刚度，要区分体系是在共振前区工作还是在共振后区工作。
3.7 突加荷载与矩形脉冲荷载有何差别。
答：这两种荷载的主要区别是在结构上停留的时间长短。
与结构的周期相比，停留较长的为突加荷载，较短的是矩形脉冲荷载。
矩形脉冲荷载属于冲击荷载，在它的作用下，结构的最大动力响应出现较早，分析时应考虑非稳态响应。
此外，由于最大响应出现时结构阻尼还未起多大作用，故在分析最大响应时可不计阻尼影响。
而突加荷载则不然。
3.8 杜哈迈积分中的变量τ与t有何差别？答：杜哈迈积分是变上限积分，积分上限t是原函数的自变量；τ是积分变量。
t 是动力响应发生时刻，τ是瞬时冲量作用的时刻。
3.9 什么是稳态响应？通过杜哈迈积分确定的简谐荷载的动力响应是稳态响应吗？答：稳态响应是指：由于阻尼影响，动力响应中按自振频率振动的分量消失后，剩下的按动荷载频率振动的部分。
通过杜哈迈积分确定的简谐荷载动力响应是非稳态响应，积分中并没有略去荷载所激起的按结构自振频率变化的伴随自由振动部分。
4.1 什么是振型，它与哪些量有关？答：振型是多自由度体系所固有的属性，是体系上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状。
它仅与体系的质量和刚度的大小、分布有关，与外界激励无关。
4.2 对称体系的振型都是对称的吗？答：像静力问题对称结构既可产生对称变形，也能产生反对称变形一样，究竟受外界作用产生什么变形要取决于外界作用。
对称体系的振型既有对称的，也有反对称的。
4.3 满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量组一定是振型吗？答：体系的某一振型是按其对应频率振动时各质点的固定振动形式，是各质点间振动位移的比例关系，具体的振动位移值是不确定的。
由于满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量{}()j A 并不一定满足振型方程[][](){}(){}20jj K M A ω+=， 所以并不一定是振型。
但是，满足对质量矩阵、刚度矩阵正交，且满足振型方程的向量组一定是振型。
4.4 振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？答：物理意义：第k 主振型的惯性力与第i 主振型的位移做的功和第i 主振型的惯性力与第k 主振型的静位移做的功相等，即功的互等定理。
作用：1.判断主振型的形状特点。
2.利用正交关系来确定位移展开公式中的系数。
4.5 柔度法与刚度法所建立的自由振动微分方程是相通的吗？答：由柔度法建立的自由振动微分方程为{}[][][]y M yδ=- ；而用刚度法建立的方程为[]{}[][]K y M y=- 。