第七章 系统抽样

1 9 Yi Y 9
无偏
例如：若总体单元数 N 10, n 3, k 取3 ，
i 1 时，n=4,Y 1 Y 4 Y 7 Y 10 y1
i 2 时，n=3 ,Y2 Y5 Y 8 i 3 时，n=3 ,Y3 Y6 Y 9
y2
y3
1 3 E ( y sy ) y i 3 1 Y1 Y4 Y7 Y10 Y2 Y5 Y8 Y3 Y6 Y9 ( ) 3 4 3 3 Y 有偏
同理可证 k=4 时， E ( y sy ) Y 2. 如何解决有偏问题 (1)圆形等距抽样
1
2
3
10 9
8 7 6
从 [1,10] 选取一个起点 4
5
y1 y2 y3 y4 y5
1 ( y1 y4 y7 ) 3 1 ( y2 y5 y8 ) 3 1 ( y3 y6 y9 ) 3 1 ( y4 y7 y10 ) 3 1 ( y5 y8 y1 ) 3
例：1.调查某作物品种产量时，按种植面积排序；
2.学生的某科成绩按从低到高排序
系统抽样
其实抽样单元的位置偏高或偏低 直接影响整个样本的代表性。
周期性波动总体：
周期性波动是指总体单元指标值按其顺序 呈一定间隔即周期变化。例如：超市的销售额 对于周期性波动总体的系统抽样，其效 果与抽样间距k及单元指标值的变化周期T直 接有关。
1 ( y6 y9 y2 ) 3 1 y7 ( y7 y10 y3 ) 3 1 y8 ( y8 y1 y4 ) 3 1 y9 ( y9 y2 y5 ) 3 1 y10 ( y10 y3 y6 ) 3 y6
1 10 E ( y ) ( y i ) Y 10 1
* r
* * 2K- r +1 r +2K
* 4K- r +1
* r +(n-2)K
* nK- r +1
对线性趋势总体的抽样方法的改进
例：当N=200时，抽取10个样本单元。 3，38；43，78；83，118；123，158；163， 198；为依次抽得的结果 当N=nk,n为奇数时，前面和上面步骤类似，最后增加 靠近终端的一个单元[r+(n-1)k] 当N=180时.抽取9个样本,k=20 除了选取 3，38；43， 78；83，118；123，158；再增加一样本单元： 3+8*20=163 例如：35位学生，r=4为随机起点，利用Sethi对称系 统抽样从中抽出7位。 4 ，7 ；14 ，17； 24， 27； 4+6*5=34即为抽样结果。
系统抽样的排序 随机排列总体：
当总体单元的排列顺序与其指标值不相关时，单元 的排列顺序就可以看作是随机排列的（按无关标识 排列）。如研究人口的收入状况时，按身份证号码、按门
牌号码排序非常方便。
系统抽样的排序
趋势总体：
当总体单元按指标值的从小到大顺序排列 。 对于线性趋势总体，系统抽样优于简单随机抽样，但比分层随机抽样差。
对线性趋势总体的抽样方法的改进
当N=nk, n为奇数时，和上面步骤类似， 最后增加靠近中间的一个单元 r+(n-1)k /2 例如：36位学生，r=5为随机起点，利用Singn对称 系统抽样从中抽出6位。 5,32;11,26;17,20; 即为抽样结果. 例如：35位学生，从中抽出7位,利用Singn对称系统 抽样， r=4为随机起点。 4， 32； 9 ，27； 14 ，22 ；19 即为抽样结果。
对线性趋势总体的抽样方法的改进
Sethi对称系统抽样
对称等距抽样法 Singh对称系统抽样
对线性趋势总体的抽样方法的改进
对称等距抽样法
• (1) Sethi对称系统抽样 当N=nk, n为偶数时，将总体分为n/2个组， 每组内包含2K个单位，在每组中随机确定与 两端等距的两个单位作为样本单位，设起始 样本单位的顺序号为r (1<r<K)，则入选样本 的这些单位的顺序号为： [r+2jK，2(j+1)K- r +1] （j=0,1,2,…, ）
循环等距抽样是无偏的
7.3 不同特征总体的系统抽样的 方差估计和改进
一、随机排列总体：
系统抽样单元的排列位置不同，则方差也不同，假设总体个数是N, 有N!种不同的排列，从而有N!个不同的系统抽样方差，可证明这N! 个系统抽样方差的均值是简单随机抽样的方差：
E (V (Y sy )) V ( y srs ) 从平均意义上来说，系统抽样方差等于简单随机抽样的方差 因此，当总体单元按无关标志排列，即随机顺序排列时， 就可用简单随机抽样的方差作为系统抽样的方差： N n 2 1 f 1 n v(ysy )=v(ysrs )= S ( yi ysy ) Nn n n 1 1 1 n ysy yi n 1
抽样间隔K的计算公式： 总体面积A K 样本量n
每块的边长为K，然后在1~K之间抽选两个随机起点， 设为i和j，则点（ i，j ）即为初始样本点； 然后按直角坐标的方向， i和j每隔距离K所确定的位置，
就是每个样本点在每个小格的固定位置。
．
．
．
Baidu Nhomakorabea
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． ． ．
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． ． ．
． ． ．
M0 45 n 假设在[1， 45]中产生随机数为36， 解：M 0 135, n 3, k 则36、 81、 126分别属于5、6、部门 7 的代码范围，这三个部门被抽中。 当单元的M i 太大时有可能被重复抽到。
5
6 7
15
85 8
36
121 129
8
6
135
系统抽样特点：
简便易行，对抽样框的要求较低 将总体各单元按一定的顺序排列后再抽样，使得样本单 元的分布更加均匀，因而样本也就更具代表性，比简单随 机抽样更精确， 易被不熟悉抽样的非专业人员所掌握 系统抽样的精度与总体单元的排列顺序密切相关 局限性： 对于一般的直线等距抽样，当N≠nk时，样本平均数作 为总体均值的估计不是无偏的 系统抽样和排列方式有关，方差估计较为复杂
实施方法：
一、直线等距抽样：在总体中的N个单元按直线排列时
1、若N是n的k整数倍，即
N= n k：在1到k范围内随机抽取
一个整数r，以单元r为起始单元，以后每隔k抽取一个单元 ， 一共抽取n个样本单元，其中k称为抽样间距。
例：某县有30000个农户，要抽300个作为样本，进行某种 农作物品种产量调查。试用直线等距抽样方法进行抽样。 解：将30000个农户的名单按一定的顺序排列，编上序号。 抽样间隔=30000/300=100 在1~100中抽取一个随机数，假设为12 ，则序号为12的单 元为抽中单元，以此为起点，相应被抽中的序号为：12、112、 212 、312 、412等等，这300户组成一个样本。 2、若N不是n的整数倍，根据样本量n确定最接近不大于N/n 的一个整数k。此时样本均值是总体均值的有偏估计。用等 概率的方法删去一些单元，以使k＝N/n ；也可采用下面， 圆形等距抽样
对线性趋势总体的抽样方法的改进
（2）Singh对称系统抽样(总体对称等距抽样)
若n为偶数，当在1—K之间确定一个随机整数之后， 对样本单位由下式确定 [r+jK，N-jK- r +1] （j=0,1,2,…, n/2-1）
*
K * r+K
2K 3K * i +2K
r
(n-3)K (n-2)K (n-1)K nK * * (n-2)K- i +1 (n-1)K- r +1 nK- r +1
1 n y sy yi n i 1
2. 连续差：从第二个样本单元开始，每个样本单元 与前一个样本单元组成一对，共n-1对。
第七章 系统抽样
1. 系统抽样的具体实施：直线型，循环等距 2. 有趋势的总体系统抽样方法的改进
3. 系统抽样估计量及其抽样误差
4. 周期波动总体的交叉子样本
第一节 概述
定义：系统抽样（systematic sampling）也称为机
械抽样，将总体中的单元按某种顺序排列，在规定的范围内随 机抽取起始单元，然后按一套规则确定其他样本单元的一种抽 样方法。
三、未知趋势情形：
由科克伦（1946）、耶茨（1948）提出，对线性趋势总体也 可按下面的公式计算。
1. 合并层：把系统看作是每层抽取一个单元的分层 抽样，设n为偶数，将样本观察值按顺序两两分为 一组。
1 f 2 1 n /2 v1 ( y sy ) ( yi1 yi 2 )2 n n 2 i 1
1 n 174 psy yi 0.87 n 1 200 1 f v ( psy ) psy (1 psy ) 0.00056266 n 1 v ( psy ) 0.0237 成活率的95%的置信区间为： psy 1.96 0.0237 [0.8236, 0.9165], 成活的棵树[16471,18330]
对线性趋势总体的抽样方法的改进
对称等距抽样既不违反随机原则，又能避免样本产 生系统性偏差，改进样本的代表性，因而其估计效率 比一般等距抽样要高，所以是实际中应用最多的方法。
一 、 估 计 量 性 质
7.2 等概率系统抽样——等距抽样
（ 一 ） 估 计 量 Y 的 1 ． 当 N = n K ,
y 为的 无 偏 估 计 量 ， Y sy
． ． ．
． ． ．
K K K
例：设有10公顷林地，欲调查木材畜积量，拟用抽样40块样地来推 断总体，每块样地是半径5米的一个圆形，是说明如何布点。
解：抽样间隔为：
10 10000 K 50 （米） 40
样地的边长为50米，每个样本点中心间距50米，在1~50确定两 个随机起点i和j, 以（ i，j ）为圆心做半径为5米的圆，以此作为第 一个样本点，依次找到其余样本点。
田间常用的系统抽样方式:
以农作物田间测产的抽样调查为例，如小麦成熟前的测产，在面 积不大的田块上常用棋盘式五点抽样，遍布整块麦田。
4、pps系统抽样
例:设总体由8个村庄组成，N=8，每个村庄的人数Mi如下。 利用PPS系统抽样抽取n=3个行政村。
代码法:
i
Mi
累计
1
2 3 4
2
4 5 10
2
6 11 21
2 ． 当 N ,y 为的 有 偏 估 计 量 nK Y sy
1 ysy yi n i 1
n
例： N 9, n 3, k 3,1 i 3 ，
i 1 时，Y1 Y 4 Y 7
i 2 时，Y2 Y 5 Y 8 i 3 时，Y3 Y 6 Y 9
y1
y2
y3
1 3 1 Y Y4 Y7 Y2 Y5 Y8 Y3 Y6 Y9 E ( y sy ) y i ( 1 ) 3 3 3 3 3
二、 循环/圆形等距抽样：
当N不是n的整数倍，即抽样间距N/n不是整数时，实际抽取的样本
量是不固定的，每个总体单元的入样概率也是不等的，用直线等距抽 样就有可能产生偏倚，为得到无偏估计，采用循环等距抽样方法。
方法 : 编号不是直线排列而是环状（圆形） 排列， 是随机起点的选择范围由1到k 扩展到 1到N，抽取的样本量是固定的。 例：从总体为10个的单元中，循环 等距抽选3个单元。 解：抽样间隔= [10/3]=3
2 1 10 3 4
9 6 8 7
5
假设从1~10中随机抽 取7，则抽中的样本 单元号为：7、10、3
3.二维系统抽样：在平面上直接抽取样本。
例如进行农产量或病虫害调查时，要在一大块土地上布设样本点； 进行森林的木材蓄积量调查时，要在某一林区布设样本点等，这种方法 又称平面系统抽样。 具体实施过程：设总面积为A，代表总体N，现欲从中抽取样本量 为n的样本，即把总面积划分成n个面积相等的小方块；
2
例如：居民家庭调查中按姓氏排列的总体单位，
农产品调查中按地理区域顺序排队的总体单位等， 这种按无关标志排列的总体单元可以看做是随机排列的。
例：某乡村公路两旁种植了20000棵小树，一年后检查小树的成活率， 采用系统抽样的方法抽取200棵，其中成活了174棵，试估计成活率及其 95%的置信区间。 解：小树的排列可看作是随机的，因此可按简单随机抽样来估计其抽样误差：