(完整word版)现代控制理论习题解答(第二章)
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第二章 状态空间表达式的解
3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。 （1） ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110
A （4） ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A
（5）⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=000010000100
0010A （6）⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：
（1）
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----)2(10)2(11}201{])[()(11
111s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-=---t t e e s s s s L 22105.05.01)2(10)2(5.05.01
（2）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-
+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-=Φ-----t t
t t
s s s s s s
L s s L A sI L t 2cos 2sin 22sin 5.02cos 44
441
4}41{])[()(222211
111
（3）
⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡++-+++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=-=Φ-----222211
111)1()1(1)1(1
)1(2
}211{])[()(s s s s s s L s s L A sI L t ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡--+=Φ------t t t
t t
t te e te te e te t )(
（4）
特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201
P
线性变换后的系统矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==-200010011~1AP P A
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=t t t t t
A e e te e e
2~
0000 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===Φ-1211321200
000421211101)(21
~t t t t
t
A At e te e e
P Pe e t ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡--++-----++-----++--=Φt t t t
t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e e te e te e t 34838424225342222322)(222222222 （5）
为结构四重根的约旦标准型。
04321====λλλλ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡==Φ10
100
21106121110
0100!2110!31!211)(232
232t t t t t t t t t t t t e e t t At
λ （6）
λλλλλ====4321
虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡==Φt A t
A At
e e e
t 2100)( [][]
t t A e e A λλ=⇒=11
⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⇒⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=t t t t t t t
A e te e e t te e e
A λλλλλλλλλ0
002
1001001222 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡==Φt t t t t t t
At
e te e e t te e e e
t λλλλλλλ0
0002100
00)(2 或}0
100010000
{
])[()(1
111----⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t ⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+--+-+--+--+-+--+--=-λλλ
λλλλs s s s s s s L 10
0)(1
100)(1)(1100
00123
2
1 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=t t t t t t t e te e e t te e e λλλλλλλ0
0002100
002 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101)0(,210010001x x x & （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。 【解】： （1）