1 根轨迹法超前校正
根轨迹法校正设计
1 根轨迹法校正设计如果设计指标是时域特征量，应采用时域校正方法，即将设计指标转换为对闭环主导极点位置的设计，常称为根轨迹法。
设计过程中，不必绘制根轨迹图。
根轨迹法同频率分析法一样也可以有串联超前校正、串联滞后校正和串联滞后-超前校正，因“超前”和“滞后”是频域中的概念，在根轨迹法中不使用。
基本概念： ⑴ 动态性能校正使开环增益满足设计要求。
例：)2)(5()(0++=s s s k s G ；111)(p s z s s G c ++=；222)(p s z s s G c ++=； ⑴ 动态性能校正 配置。
配置)(1s G c 的零极点应使需要的闭环极点在校正后的系统根轨迹上，同时还要满足“闭环主导极点”条件。
⑵ 增益校正 配置)(2s G c 零极点，使校正后的开环增益满足要求v c c s K s G s G s sG =→)()()(lim 0120。
说明：以根轨迹的相角条件，图解1z 和1p 的选取；图解2z 和2p 选取原系统的闭环极点位置基本不变，并使开环可以取较大的数值。
典型设计指标：开环增益K ，超调量σ，和调节时间s t 。
无论是典型设计指标还是其它形式的设计指标，都需要转换成满足指标要求的闭环主导极点位置。
设计步骤：1.1 根据动态性能指标，计算闭环主导极点1s 和2s ；1.2 按闭环主导极点条件，选取动态特性校正环节结构)(1s G c ；依据校正后系统特征多项式与期望特征多项式相等，计算出校正环节的参数；1.3 根据开环增益K ，计算增益校正环节)(2s G c 参数；为使根轨迹(起始段除外)形状基本不变，即闭环主导极点基本不变，又要有较高的开环增益，校正环节的零点和极点必须相互接近，且接近原点。
p s z s s G c --=)(2，需满足0)()()(2≈-∠--∠=∠p s z s s G i i i c 和α==∞→pz s G c s )(lim 2； 零点和极点选取方法，1.0)Re(/1<s z ，α/z p =。
控制系统校正的根轨迹方法
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进行校正的基础，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进行校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：已知系统开环传递函数： 试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解： 由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1])); G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。
控制系统的根轨迹分析与校正
程序如下：
clf;
num=1;
den=conv([1 1 0],[1 5]);
rlocus(num,den) %绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
figure(2)
r=rlocus(num,den); %返回根轨迹参数
plot(r,'-')
%绘制根轨迹
axis([-8 8 -8 8])
gtext('x')
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Amplitude Amplitude
Step Response 1.8
1.6 System: G0
Peak amplitude: 1.64
1.4
Overshoot (%): 64.4
At time (sec): 1.44
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
Time (sec)
在线交流，有问必答
开环传递函数可表示为，
m
K * (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
(s p j )
j 1
系统的闭环传递函数为 (s)
G(s)
1G(s)H(s)
系统的闭环特征方程为 1G (s)H(s)0
m
K * ( s z i )
即
G(s)H(s) i1 n
1 式（4-8）
北京航空航天大学出版社，2009.8.
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Imaginary Axis
Root Locus 15
10
5
0
-5
根轨迹法校正
1 j1.73
按例１，先确定超前网络
c 60 超前角
取 zc 1 ，
得 pc 4
s 1 Gc2 s s4
s1处， 23.8 k* 在
k* k 4 4 1.49
取希望的
k' 5
k' 5 1 3.3 k 1.49
留余量 4 则 0.25
2. 由给定性能指标，确定希望主导 极点（动态性能满足时，希望主导极点 在轨迹上或附近）
* 3. 计算主导极点处增益 k 或需增 大 k 的倍数
4. 计算网络的
值，且留余量
5. 计算zc
s zc G ，构成网络， c s s p c
6. 检验，不满足时，改变余量，重新
设计。
k* 例2：设开环传递函数 Gc s ss 1s 4
s 4.95
s1 处增益 k1* =30.4 在
6. 检验，画根轨迹
1.2 kk 1.84 4 4.95
* 1
k * s 1.2 Gc s Gs ss 1s 4s 4.95
可见：在轨迹 s1, 2 附近。
注意：未校正系统具有距虚轴较近、 开环复数极点时，或系统开环极点 虽均为实数，但过分接近原点，以 及系统具右半平面开环极点时，均 不宜采用串联超前校正。 利用超前校正，其最大超前角 一般取 20 ~ 60
0.5 要求：经校正 t s 10
k 5 1
s
解：1. 画出根轨迹
2. 0.5 ,t s 10 有 n 0.66 s1,2 0.33 0.57 j
可见： s1 在轨迹上或附近，满足动态性能 3. 但在 s1 处的 k * 0.66 0.9 2.66 1.58
用根轨迹法设计相位超前校正网络.
10
例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G( s) 足下列性能指标；
2500k ，要求满 s( s 25)
（1）当输入是一个1 rad s的单位速度函数时，输出的速度函数
与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad；
R( s)
Kr s ( s 2)
C (s)
3
解： 2 （1）.由 p 20% ，由式 p e 1 可求得 0.46 ，取 0.5 由 ts 3 得 n 6 rad s ； n 得闭环主导极点 A1,2 n jn 1 2 3 j 3 3
（3）根据稳态指标求出系统所需要的误差系数 K（即开环增益 K0）； 0 （4）求出系统为了满足稳态性能指标，误差系数需要增加的倍数
1 K0 ，这 个需要增加的倍数由滞后网络的这一对偶极子提 b K
供；
9
（5）选择滞后校正网络的零点 Z c 及极点 Pc ，使满足 Z c Pc 1 ，
原系统的开环传函为：
根轨迹增益为：
Kr
m
G( s) H ( s)
v n
sv (s p j )
j v 1
i 1 n
s
s pj j v 1
m
s zi i 1
开环增益为： K Kr
7
zi
pj j v 1
i 1 n
1 K ( s z ) ( s )b rc i 校正后系统的开环传函为： bT i 1 Gc ( s)G( s) H ( s) n 1 v s (s p j ) (s ) 校正后在A点的根轨迹增益 T j v 1
21 ， 3.画水平线 A1B ，作角平分线 AC ，再作 CA D EAC A1D 1 2
基于根轨迹法的串联超前校正器的设计
基于根轨迹法的串联超前校正器的设计
张白莉
【期刊名称】《长春师范学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(031)003
【摘要】本文提出了用几何法与根轨迹法结合起来设计串联超前校正装置的计算方法。
利用该方法直接可以得到比较精确的校正装置参数,而不需要经过多次凑试,简便有效。
在MATLAB环境下进行实例仿真,验证了该方法的准确性。
%In this paper, a calculation method of series leading corrector that combine geometric method with root locus is proposed. Precise parameters could be obtained by the method without repeated trying. The simulation result in MATLAB showed that the method was effective and utility.
【总页数】4页(P63-66)
【作者】张白莉
【作者单位】忻州师范学院物理电子系,山西忻州034000
【正文语种】中文
【中图分类】TN713
【相关文献】
1.基于根轨迹法的滞后-超前补偿器的计算机辅助设计 [J], 李钟慎
2.基于根轨迹法与串联PID法的激光操作控制系统设计 [J], 吴剑威;唐立新
3.基于MATLAB的串联超前校正器设计 [J], 刘姜涛
4.超前校正器的根轨迹法设计及其MATLAB实现 [J], 李钟慎
5.基于根轨迹法的串联超前校正器的设计 [J], 张白莉;
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控制系统校正的根轨迹方法
控制系统校正的根轨迹方法用根轨迹法进展校正的根底，是通过在系统开环传递函数中增加零点和极点以改变根轨迹的形状，从而使系统根轨迹在S 平面上通过希望的闭环极点。
根轨迹法校正的特征是基于闭环系统具有一对主导闭环极点，当然，零点和附加的极点会影响响应特性。
应用根轨迹进展校正，实质上是通过采用校正装置改变根轨迹的，从而将一对主导闭环极点配置到期望的位置上。
在开环传递函数中增加极点，可以使根轨迹向右方移动，从而降低系统的相对稳定性，增大系统调节时间。
等同于积分控制，相当于给系统增加了位于原点的极点，因此降低了系统的稳定性。
在开环传递函数中增加零点，可以使根轨迹向左方移动，从而提高系统的相对稳定性，减小系统调节时间。
等同于微分控制，相当于给系统前向通道中增加了零点，因此增加了系统的超调量，并且加快了瞬态响应。
根轨迹超前校正计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置；如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1)此相角差φ说明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件。
(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置； 微分校正装置的传递函数为：11++=sTp sTz KcGc (2)例题：系统开环传递函数：试设计超前校正环节，使其校正后系统的静态速度误差系数Kv ≤4.6，闭环主导极点满足阻尼比ζ=0.2，自然振荡角频率ωn=12.0rad/s ，并绘制校正前后系统的单位阶跃响应曲线、单位脉冲响应曲线和根轨迹。
解：由6.4)(*)(0*lim 0==→s Gc s G s Kv s 得kc=2计算串联超前校正环节的matlab 程序如下： 主函数: close; num=2.3;den=conv([1,0],conv([0.2,1],[0.15,1]));G=tf(num,den) %校正前系统开环传函 zata=0.2;wn=12.0; %要求参数 [num,den]=ord2(wn,zata); %追加系统动态特性 s=roots(den); s1=s(1);kc=2; %增益kc Gc=cqjz_root(G,s1,kc)GGc=G*Gc*kc %校正后系统开环传函 Gy_close=feedback(G,1) %校正前系统闭环传函 Gx_close=feedback(GGc,1) %校正后系统闭环传函 figure(1);step(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位阶跃响应 hold onstep(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位阶跃响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(2);0 2.3s(1+0.2s)(1+0.15s)G =impulse(Gx_close,'b',3.5); %校正后单位冲激响应 hold onimpulse(Gy_close,'r',3.5); %校正前单位冲激响应 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的'); figure(3);rlocus(G,GGc); %根轨迹图 grid;gtext('校正前的'); gtext('校正后的');为使校正后系统的根轨迹能经过期望闭环主导极点，其闭环特征方程跟必须满足幅值和相角条件，即πθj j e e M Tp s Tz s Kcs G S Gc 111)(0)(0011=++=-，式中，M 0是校正前系统在1s 处的幅值，θ0是对应的相角。
基于根轨迹法的超前滞后校正
基于根轨迹法的超前-滞后校正超前校正的根轨迹设计法。
滞后环节的根轨迹设计方式超前滞后校正的根轨迹设计法。
1．1．1大体概念1．根轨迹根轨迹是指系统的增益K由零到正无穷大时的闭环特征方城的根在s平面上的转变的轨迹。
在系统的增益K由零转变到负无穷大时闭环特征方程的根的轨迹为补根轨迹。
系统闭环特征方程的根轨迹与补根轨迹称为全根轨迹。
通常情形下根轨迹时指增益K由零到正无穷大下的根的轨迹。
2．超前校正的根轨迹设计法。
基于根轨迹的超前校正设计是通过串联超前校正环节，即增加开环极点和零点，对原来的根轨迹进行调整，取得所需的根轨迹。
通常常利用解析法取得超前校正环节。
设校正环节的传递函数为：sT Z＋1G C（s）＝K C一一一一――sT P＋1解析法的设计步骤如下：（1）按照所需闭环系统稳态误差和瞬态特性，肯定闭环极点s1,并设定校正环节的增益K C;（2）按照闭环特征方程的幅值和相位角条件，应该知足如下条件：s1T Z+1G C(s1)G(s1)=K C―――――M G E^-jӨG=1E^jπs1T P+1式中，Mg是开环系统G在s1的幅值，ӨG是开环系统G在s1的相位角。
（3）设s1表示为s1=M S E^-jӨS,则有1E^jπM S E^-jӨsTz+1= ――――――[M S E^-jӨS T P+1]K C M G E^-jӨG（4）上述方程分解为实部和虚部两个方程，取得有两个未知数的两个方程，其解为sinӨS-K C M G sin(ӨG－ӨS) K C M G sinӨS+sin(ӨG＋ӨS)T Z=―――――――――――；T P=――――――――――――K C M G sinӨG M S sinӨG(5) 按照T Z, T P,K C取得超前校正环节的传递函数G C(s);(6) 检查闭环系统的其它性能指标是不是知足要求，若是不知足，则改变K C,从头计算。
例如：已知燃油调节控制系统的开环传递函数为2G P(s)=――――――――s(1+(1+试设计超前校正环节，使其校正后系统静态速度误差系数小于K V=10，闭环主导极点知足阻尼比ζ=和自然频率Wn=s。
基于根轨迹的相位超前校正装置的解析方法
2014~ 2015学年第二学期《控制系统仿真与CAD》题目：基于根轨迹的相位超前校正装置解析方法专业：电气工程及其自动化班级：12电气工程及其自动化2班姓名：张鹏指导教师：潘慧慧电气工程学院2015年6月2日基于根轨迹的相位超前校正装置的解析方法已知单位反馈控制系统的开环传递函数为Go(s )=5/s(0.2s+1)( 0.5s+1), 试设计超前校正装置，使系统满足：最大超调量σ%≤30%;调整时间ts≤0.8s ;系统单位斜坡响应稳态误差ess≤0.1。
n1=50;d1=conv(conv([1 0],[1 2]),[1 5]);g0=tf(n1,d1)g0=tf(n1,d1)s1=-4.3755+11.4157i;kc=2;n0=2;d0=conv(conv([1 0],[0.5 1]),[0.2 1]);ng0v=polyval(n0,s1);dg0v=polyval(d0,s1);gs1=ng0v/dg0v;m0=abs(gs1),phi0=angle(gs1),ms=abs(s1),phis=angle(s1), m0 =0.0123phi0 =1.0543ms =12.2255phis =1.9368Tz=(sin(phis)-kc*m0*sin(phi0-phis))/(kc*m0*ms*sin(phi0)), Tz =3.651Tp=-(kc*m0*sin(phis)+sin(phi0+phis))/(ms*sin(phi0)),Tp =-0.0163gc=tf([Tz 1],[Tp 1]),Transfer function:-3.652 s - 1-------------0.01626 s - 1。
一种基于根轨迹串联超前校正的计算方法
统 的动态性能指标 可 由靠 近虚轴 的一对共 轭闭环 主导极点 来表征 ， 因此 ， 可把对 系统提 出的时域 性能 指标 的要 求转化 为一对期望闭环 主导极 点。 定这 对 闭环 主导极 点 的位置 确 后， 首先根据绘制根轨迹的相 角条件判 断一下它们是否位于
故据是要估算和试凑的。而在根轨迹法 校正 当中， 献 虽 文
凑 出了系统闭环主导极 点到所 附加 负实数 开环零 点和到 算 厅村加负实数开环极点 两直线 间的夹角 ， ＿Ｉ 但夹 角定 了， 上述 酉 直线 的具体 位置 还是 不能 唯一确 定 ， 仍要 进行 试凑 和核
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能否给出一种完全不用试凑的定量计算方法呢？ 本文把解析几何与根轨迹法相结合 ， 出了一种实现串 给
图 ｌ 超 前 校 正 装 置 对 数 频 率特 性
示。 因为 ｎ＞ｌ 所以超前校正装置的负实数极点 Ｐ ， ＝一１ Ｔ ／ 总在负实数零点 ＝一ｌｎ ／ 之左 ， 两者之 间的距离 由分度系 数 ｎ决定 ， 改变参数 ｎ和 ， 其零极点 可在 平 面的负实 轴上
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第３ ｌ卷第 ６期
２０ ０ ７年 ｌ ２月
南昌大学学报 （ 理科版 ）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ａ ｃ ａ ｇＵ ｉ ｒ ｔ （ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒ ａ ｏ Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎｖ ｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃ ） ｅｉ ｕ ｅ
摘
要： 提出了一种把解析几何与根轨迹法结合起来实现 串联超前校正 计算方法 ， 无需精确绘 图和繁琐 的试 凑运
串联校正原理
1、根轨迹串联超前校正原系统可能对于所有的增益值都不稳定，也可能虽属稳定，但不具有理想的瞬态响应特性。
为了矫正这些问题，可以在前向通道中串联一个或几个适当的超前校正装置，是闭环主极点位于复平面内希望的位置上。
说明：采用PD控制器gc(s)=Ts+1=T(s-z);采用带惯性的PD控制器，gc=aTs+1/Ts+1=a*(s-z)/(s-p),(a=z/p>1)采用根轨迹的几何设计方法设计串联超前校正装置步骤：（1）根据动态性能指标要求确定闭环主极点的希望位置。
（2）计算出校正装置需要提供的补偿相角。
若相角为零，则说明根轨迹的辐角条件已经满足，只需调整系统增益就可，否则需要超前校正装置来补偿相角。
若相角大于90度，可考虑采用两个PD控制器串联。
（3）确定校正装置的参数。
（4）验算性能指标。
不能达到指标则需调整s1的位置重复上述步骤。
例：开环传函G0=k/(s(s+5)(s+20))指标要求：开环增益>=12;超调量<=25%,ts<=0.7s(delt=0.02)。
KK=1200;bp=0.25;ts=0.7;delta=0.02;ng0=[1];dg0=conv([1,0],conv([1,5],[1,20]));G0=tf(KK*ng0,dg0); %构造开环传函s=bpts2s(bp,ts,delta) %求期望的闭环主极点[ngc,dgc]=rg_lead(KK*ng0,dg0,s); %得到校正装置Gc=tf(ngc,dgc)G0c=tf(G0*Gc);b1=feedback(G0,1); %未校正系统的闭环传递函数b2=feedback(G0c,1); %校正后系统的闭环传递函数step(b1,'r--',b2,'b');axis([0,1.2,0,1.8]);grid on %绘制校正前后的单位阶跃响应[pos,tr,ts,tp]=stepchar(b2,delta) %验算时域性能指标注：如果某参数不能满足（如调整时间），需要调整闭环主极点的位置。
系统校正设计：根轨迹法超前校正
系统校正设计：根轨迹法超前校正 一．校正原理如果原系统的动态性能不好，可以采用微分校正，来改善系统的超调量p M 和调节时间s t ，满足系统动态响应的快速性与平稳性的定量值。
微分校正的计算步骤如下。
(1)作原系统根轨迹图；(2)根据动态性能指标，确定主导极点i s 在S 平面上的正确位置； 如果主导极点位于原系统根轨迹的左边，可确定采用微分校正，使原系统根轨迹左移，过主导极点。
(3)在新的主导极点上，由幅角条件计算所需补偿的相角差φ； 计算公式为：is s=︒±=(s)][G arg -180o ϕ (1-1)此相角差φ表明原根轨迹不过主导极点。
为了使得根轨迹能够通过该点，必须校正装置，使补偿后的系统满足幅角条件(4)根据相角差φ，确定微分校正装置的零极点位置；注意满足相角差φ的零极点位置的解有许多组，可任意选定。
在这里给出一种用几何作图法来确定零极点位置的方法如下 ○1过主导极点i s 与原点作直线OA ， ○2过主导极点i s 作水平线，○3平分两线夹角作直线AB 交负实轴于B 点， ○4由直线AB 两边各分ϕ21识作射线交负实轴，左边交点为D P -，右边交点为为D Z -，如图1-1所示。
微分校正装置的传递函数为D D c P s Z s (s)++=G(1-2)图1-1 零极点位置的确定(5)由幅值条件计算根轨迹过主导极点时相应的根轨迹增益gc K 的值，计算公式为1(s)(s)G G o c ==i s s(1-3)(6)确定网络参数。
（有源网络或者无源网络）；(7)校核幅值条件(s)(s)o c G G 、幅角条件(s)](s)G [G arg o c 、动态性能指标p M 和s t 等。
二．校正实例已知系统的开环传递函数为)2s(s 4(s)o +=G ,要求s t s 2%,20M p <<，试用根轨迹法作微分校正。
解：（1）作原系统的根轨迹图如图1-3所示 ○1 原系统的结构图如图1-2所示图1-2 原系统的结构图○2仿真原系统的根轨迹程序如下：k=4; %零极点模型的增益值z=[]; %零点p=[0,-2]; %极点sys=zpk(z,p,k);rlocus(sys);图1-3 原系统的根轨迹图(2)计算原系统性能指标042s 2=++s(1-4)闭环极点为 31-s j ±=核算系统的动态性能o 60=β，5.0=ζ，2n =ω%20%3.16%1002-1_p <=⨯=πζζe M (1-5)原系统的超调量满足要求。
根轨迹超前校正设计-7页精选文档
控制系统课程设计报告书 学院名称 ： 自动化学院学生姓名 ：陈 晶 06101078孙菲菲 06101090刘 洋 06101103陈和登 06101104专业名称 ： 自动化班 级 ： 自动1003班时间 ： 2012年11月19日 至2019 年11月30日根轨迹超前校正设计一、设计要求： 控制系统为单位负反馈系统，开环传递函数为)4)(1()(0++=s s s k S G ，设计超前校正装置，要求：1.超调量%20%≤δ；2.调节时间不超过)02.0(4s s t s ±=∆=；3.掌握MATLAB 根轨迹校正方法及EDA 工具的实现；4.通过搭建实际电路，掌握校正对实际系统的影响。
二、设计方案分析:1、背景知识介绍：系统校正，就是在系统中加入一些参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生改变，从而满足给定的各项性能指标，在系统校正中，当系统的性能指标以单位阶跃响应的峰值时间、调节时间、超调量、阻尼比、稳态误差等时域特征量给出时，一般采用的是根轨迹校正法，实验所用软件为MATLAB 、EWB 软件，使用MATLAB 软件绘制系统校正前后的根轨迹图，系统的闭环阶跃响应，观察系统校正前后的各项性能指标是否满足系统所需性能指标，在Simulink 界面下或使用EWB 软件对校正前后的系统进行仿真运行，观察系统输出曲线的变化。
在控制系统设计中，常用的校正方法为串联校正和反馈校正，串联校正比反馈校正设计简单，也比较容易对信号进行各种必要形式的转换，特别在直流控制系统中，由于传递直流电压信号，适合采用串联校正。
在确定校正装置的具体形式时，根据校正装置所需提供的控制规律选择相应的元件，常常采用比例、微分、积分控制规律，或基本规律的组合，如比例微分、比例积分等。
2、方案设计：系统电路设计思路、原因、框图、器材选择等等。
1) 校正后开环传递函数的计算：由题意要求知：由此可得闭环主导极点为：需要补偿的超前角为：校正后系统的开环传递函数为：校正装置为：由于 c c p z < 所以 11<=c c p z α 为了弥补开环增益的损耗，则校正后的系统开环传递函数为：计算校正系统的零极点，从1s 点作平行于实轴的射线1s A ，然后作角A 1s 0的角平分线1s B ，最后1s c p 作1s c z 和，它们和1s B 的夹角为c ϕ/2。
东北大学matlab课程设计根轨迹超前校正
目录目录 (1)1课题概述 (3)1.1课设目的 (3)1.2根轨迹法超前校正 (3)1.3 Matlab简介 (4)2 根轨迹超前校正法 (5)2.1 根轨迹校正步骤 (5)2.2 根轨迹超前校正设计的具体方法——几何法 (5)3 系统校正 (7)3.1 已知条件及要求 (7)3.2 系统分析 (7)3.3 调节参数a (10)3.4 零极点配置 (11)4 课设总结 (16)参考文献 (16)摘要近年来，自动控制系统在现代文明和技术的发展与进步中，起着越来越重要的作用。
在工程实践中,有时需要在系统分析的基础上将原有系统的特性加以修正和改造，使系统能够实现给定的性能要求，因此，系统中就需要校正控制器的存在。
时域分析表明，闭环特征根是自然模式的指数系数，决定了系统的响应性能。
根轨迹法的提出让系统中容易设定的参数在可能的范围内连续变化，引起特征根也连续变化，将特征根的变化轨迹在根平面上绘制出来，从中选择有好的响应性能的特征根，对应的参数也就确定了，这是根轨迹分析要完成的任务。
根轨迹分析讨论了影响根轨迹改变的因素。
但当改变参数都找不到适合的特征根时，通过配置具有合适的传递函数的控制器来改变系统的结构，改造系统的根轨迹，从而获得好的特征根，使其满足性能指标。
根轨迹的超前校正使用了Matlab软件，通过它可以对根轨迹进行可视化设计，具有操作简单、界面直观、交互性好、设计效率高等优点、克服了之前超前校正装置往往依赖于试凑的方法，重复劳动多，运算量大，又难以得到满意的结果。
Matlab作为一种高性能软件和编程语言，以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个简单易用的交互式工作环境中，是进行控制系统计算机辅助设计的方便可行的实用工具。
因此，随着计算机的发展和Matlab软件的普及，避免了繁琐的计算和绘图过程，从而为线性控制系统的设计提供了一种简单有效地途径。
本文将基于根轨迹法设计超前校正器，并给出它的Matlab实现。
根轨迹法校正
6 检验，不满足时，重新确定一组 zc , pc
k* 例1 ：设开环传递函数 Gs ss 1s 4
要求校正，使 0.5
n 2
解 ：1. 绘制轨迹如图示：
2. 由 0.5
n 2
s1, 2 n j n 1 2 1 1.73 j
具体步骤： 1. 确定超前部分参数 2 , 2. 由
1
求出
3. 确定滞后部分参数
4. 写出 Gc s
5. 检验
例3：
单位反馈系统传递函数
k1 Gs ss 1s 4
0.5
,
n 2 , k 5
解：希望主导极点：
s1, 2 n n 1 2
s 4.95
s1 处增益 k1* =30.4 在
6. 检验，画根轨迹
1.2 kk 1.84 4 4.95
* 1
k * s 1.2 Gc s Gs ss 1s 4s 4.95
可见：在轨迹 s1, 2 附近。
注意：未校正系统具有距虚轴较近、 开环复数极点时，或系统开环极点 虽均为实数，但过分接近原点，以 及系统具右半平面开环极点时，均 不宜采用串联超前校正。 利用超前校正，其最大超前角 一般取 20 ~ 60
s zc * 为保证 Gc s 的串入稳态性能 s pc
不受影响， 则
s z c 1 Ts 1 Gc s s pc Ts 1
1 zc 1 P C T
可同时串入放大器 1
t s 稍大，或 余量更 6. 检验不满足时，可取
大，重新设计
注意：滞后校正系统可能具有的最小调节 时间 tmin d max
1 根轨迹法超前校正
实验8 系统校正设计：根轨迹法超前校正一.实验目的对于给定的控制系统，采用根轨迹法设计满足时域性能指标的超前校正装置，并通过仿真结果验证设计的正确性。
二.实验步骤1. 在Windows界面上用鼠标双击matlab图标，即可打开MATLAB命令平台。
2. 键入命令simulink，打开结构图设计界面。
3. 建立时域仿真的结构图文件“mysimu.m”。
给定结构图如图20所示图20 SIMULINK仿真结构图4.结构图单元参数设置。
用鼠标器双击任何一个结构图单元即激活结构图单元的参数设置窗口，完成结构图单元的参数设置。
5.仿真参数设置。
用鼠标选择主菜单的“Simulation”选项，选择“Simulation Parameter”选项，打开仿真参数设置窗口，完成仿真参数设置。
6.仿真操作。
选中“simulation”菜单项中的选项“start”即启动系统的仿真。
（或者使用工具栏上的启动按钮。
）三.实验要求1. 作原系统的根轨迹图。
numo=[10];deno=[0.5 1 0]; rlocus(numo,deno);2. 求出闭环极点的位置，计算时域性能M p0和t s0。
numo=[10];deno=[0.5 1 0];[numc,denc]=cloop(numo,deno,-1);printsys(numc,denc);pzmap(numc,denc);用于在s 平面上作图，作出零点.极点的位置如图21所示。
[p,z]=pzmap(numc,denc);图21开环极点用于求得零点.极点的值。
pp =-1.0000 + 4.3589i-1.0000 - 4.3589izz =[]3. 作时域仿真。
sysc=tf(numc,denc);step(sysc)求出阶跃响应曲线，记录未校正系统的时域性能指标M p0和t s0；4.按照根轨迹法超前校正设计步骤，设计超前校正装置G c (s)，实现希望的时域性能指标为M p <15%t s <1.5sk v>205.按照超前校正装置G c (s)的参数，修改结构图的校正单元参数，进行新的时域仿真，作出阶跃响应曲线，记录校正后系统的时域性能指标Mp和ts。
基于根轨迹的相位超前校正
学号：11091410312013 - 2014学年第1学期《基于根轨迹的相位超前校正》题目：基于根轨迹的相位超前校正设计专业：电气工程及其自动化班级： 11电气工程及其自动化（1）班姓名：刘翔宇指导教师：朱云国老师成绩：电气工程学院2013年12月23日已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为： )16)(8(256)(00++=s s s s K G试用根轨迹解析方法对系统进行超前串联校正设计，使之满足：（1）阶跃响应超调量σ%≤30%;（2）阶跃响应的调节时间t s ≤0.8s ；解：（1）求增益K 0根据%1010≤==K K v e v v ssv ，故有%10≥K v ，又根据自动控制的理论，有下式成立 10)16)(8(256)(0000lim lim ≥++⋅⋅=⋅=→→s s S s s s K G K s s v 有50≥K ,取K 0=5（2）校验原系统的阶跃响应超调量是否满足要求。
clearn1=256*5;d1=conv(conv([1 0],[1 8]),[1 16]);sope=tf(n1,d1);sys=feedback(sope,1);step(sys ）运行后如图，由曲线可知，系统阶跃超调量接近50%，没有达到题目要求，所以需要进行校正。
（3）确定极点位置。
根据题意超调量σ%≤30%，求ζ。
输入以下MATLAB 语句：sigma=0.3;zeta=((log(1/sigma))^2/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2)运行后得：zeta =0.3579取ς=0.4，由()5%s t =3nςω=1可得n ω=9.4rad/s ，取n ω=10rad/s . 输入以下MATLAB 语句求系统主导极点：zeta=0.4;wn=10;p=[1 2*zeta*wn wn*wn];roots(p)执行语句后得：ans =-4.0000 + 9.1652i-4.0000 - 9.1652i即主导极点：i s 1652.90000.42,1±-=（4）求校正补偿器的传递函数为： 11)(++=s s s t t K G p z c c根据根轨迹解析法校正理论，取50==K K c ，即将增益5置于校正器里实现，使用根轨迹解析法求超前校正器传递函数的rtloc （）。
6.2串联超前校正参数确定
| zc | <| pc |
超前校正装置
K * ( s − zc ) G ( s) = s( s + 2)( s − pc )
为了使希望主导极点位于根轨迹上，根据相角条件应有： 为了使希望主导极点位于根轨迹上，根据相角条件应有：
∠G ( s1 ) = ∠( s1 − zc ) − ∠s1 − ∠( s1 + 2) − ∠( s1 − pc ) = (2k + 1)π
2
1. 增加极点的影响 在开环系统中增加极点， 在开环系统中增加极点，可以使根轨迹向 右方移动，从而降低了系统的相对稳定性， 右方移动，从而降低了系统的相对稳定性，增 加系统响应的调节时间。 加系统响应的调节时间。下图清楚地显示了在 单极点系统中增加极点对系统根轨迹的影响。 单极点系统中增加极点对系统根轨迹的影响。
R1
1 + bTs Gc ( s ) = 1 + Ts
R2
R (s)
C (s)
C
b=
R1 <1 R1 + R2
T = ( R1 + R2 )C
20
此校正网络的对数频率特性： 此校正网络的对数频率特性： 1.幅频特性小于或等于 dB。是一个低通滤波器。 幅频特性小于或等于0 1.幅频特性小于或等于0dB。是一个低通滤波器。 小于等于零。 2. ϕ(ω)小于等于零。可看作是一阶微分环节与惯
由三角函数有： 由三角函数有：
| zc | sin γ = sin δ | s1 + zc | sin(ϕc + γ ) | pc | = sin δ | s1 + pc |
由根轨迹的幅值条件有： 由根轨迹的幅值条件有：
( s + zc ) α K * ( s + zc ) | G0 ( s )Gc ( s) |= = | |= 1 s ( s + 14)( s + 5) ( s + pc ) M ( s + pc )
根轨迹的超前校正
学号：1109141002 2013 - 2014学年第1学期《MATLAB应用设计》题目：基于根轨迹的相位超前校正专业：电气工程学院班级：电气工程及自动化（1）姓名：操勇指导教师：***成绩：电气工程系基于根轨迹的相位超前校正摘要：根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为增益）从零变化到无穷大时，如何根据开环极点和零点的位置确定全部闭环极点位置。
从根轨迹图可以看出，只调整增益往往不能获得所希望的性能。
事实上，在某些情况下，对于所有的增益，系统可能都是不稳定的。
因此，必须改造系统的根轨迹，使其满足性能指标。
利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。
因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。
通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。
借助MATLAB，通过编写函数和程序，可以容易地设计出超前校正器，避免了繁琐的计算和绘图过程，从而为线性控制系统的设计提供了一种简单有效的途径。
本文将基于根轨迹法设计超前校正器，并给出它的MATLAB实现。
关键词：根轨迹，超前校正，闭环零点，MATLAB一、根据轨迹法根据轨迹法进行超前校正的一般步骤为：1)根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环增益和闭环主导极点的位置。
2)画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左侧，以确定是否应加超前校正装置。
3)根据题目要求解出超前校正网络在闭环主导极点处应提供的相位超前角。
根据图解法求得Gc(s)的零点和极点，进而求出校正装置的参数。
5)画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。
二、超前校正的原理和方法2、1前校正的原理所谓校正，就是在调整放大器增益后仍然不能全面满足设计要求的性能指标的情况下，加入一些参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，达到设计要求。
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实验8 系统校正设计：根轨迹法超前校正
一.实验目的
对于给定的控制系统，采用根轨迹法设计满足时域性能指标的超前校正装置，并通过仿真结果验证设计的正确性。
二.实验步骤
1. 在Windows界面上用鼠标双击matlab图标，即可打开MATLAB命令平台。
2. 键入命令simulink，打开结构图设计界面。
3. 建立时域仿真的结构图文件“mysimu.m”。
给定结构图如图20所示
图20 SIMULINK仿真结构图
4.结构图单元参数设置。
用鼠标器双击任何一个结构图单元即激活结构图单元的参数设置窗口，完成结构图单元的参数设置。
5.仿真参数设置。
用鼠标选择主菜单的“Simulation”选项，选择“Simulation Parameter”选项，打开仿真参数设置窗口，完成仿真参数设置。
6.仿真操作。
选中“simulation”菜单项中的选项“start”即启动系统的仿真。
（或者使用工具栏上的启动按钮。
）
三.实验要求
1. 作原系统的根轨迹图。
numo=[10];deno=[0.5 1 0]; rlocus(numo,deno);
2. 求出闭环极点的位置，计算时域性能M p0和t s0。
numo=[10];deno=[0.5 1 0];
[numc,denc]=cloop(numo,deno,-1);
printsys(numc,denc);
pzmap(numc,denc);
用于在s 平面上作图，作出零点.极点的位置如图21所示。
[p,z]=pzmap(numc,denc);
图21开环极点用于求得零点.极点的值。
p
p =
-1.0000 + 4.3589i
-1.0000 - 4.3589i
z
z =
[]
3. 作时域仿真。
sysc=tf(numc,denc);step(sysc)
求出阶跃响应曲线，记录未校正系统的时域性能指标M p0和t s0；
4.按照根轨迹法超前校正设计步骤，设计超前校正装置G c (s)，实现希望的时域性能指标为
M p <15%
t s <1.5s
k v>20
5.按照超前校正装置G c (s)的参数，修改结构图的校正单元参数，进行新的时域仿真，作出阶跃响应曲线，记录校正后系统的时域性能指标Mp和ts。
三.实验结果分析
1.分析根轨迹法超前校正的特点；
2.超前校正装置的零.极点对于原系统根轨迹的影响；
3.根轨迹法超前校正对系统稳态性能的影响。