相似理论

(9-12)
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9.2.3 流动相似的充要条件
边界条件的无量纲表达式有 固壁条件：
~ vi 0
它们的有量纲式分别是vi=0(粘 附条件)； Vi＝Vcosαi(αi是V的方向余弦角)；
~ 来流条件： v0i cos i
自由面运动学条件：
~ ~ ~ ~ v z Sr ~ v x ~ t x
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9.1.2 特征量和无量纲量
物理量与其特征量之比为无量纲量，常用上 ~ ~ ~ =v /V, p=p/p , t=t/T等分别 标“~”表示。例如，vx x 0 是无量纲速度分量，无量纲压力，无量纲时间等。 在相似流场中，对应点的同名无量纲量相等。这 一重要特性可以直接从相似流场的定义得到证明。 以速度为例，根据流场相似的定义(9-1)式和(92)式，在任意两组对应点上，它们的速度比尺一 样，因而有
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9.2.4 相似参数的物理意义
流动相似的充要条件要通过无量纲参数Sr, Fr, Eu, Re是否相等来加以判定，所以常常将这些
参数称为相似参数。这些参数的物理意义可以
从 (9.2.5) 式 到 (9.2.6) 式 的 过 程 ， 以 及 各 参 数 在 (9.2.6)式中的位置看出来。下面对它们的物理意 义作简要说明。
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9-3 流动相似的充要条件
常粘性不可压缩流动有量纲变量的纳维—斯托克斯方 程组为 i=1,2,3——行标记 v j (a) 0 j=1,2,3——列标记 x j
v i v v i f 1 p ( v i ) j i t x j x i x j x j
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9.2.5 相似理论的应用
2. 局部相似 水面船舶的阻力包括粘性阻力和兴波阻力两部分，相应的 船模试验应该满足两个相似条件：Re和Fr分别相等。在 水池中用缩尺模型想一次完成这个试验是不可能的。原因 很简单，若用下标“m”表示模型，用“p”表示实船，根 据相似律，应有
Re相等 Fr相等
vm Lm
v1 Cv v z2 v 2 p1 Cp p2
v z1
(9-2)
1 1 C , C 2 2
式中，Cv ，Ct，Cp ，Cf，Cρ 和Cμ——速度比尺，时间 比尺，压力比尺，质量力比尺，密度比尺和粘性比尺， 这些比尺在全流场均为常数。
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9.1.2 特征量和无量纲量
将质量方程除以(V/L)，N—S方程除以(V2/L) ，得到如下无 量纲方程：
~ v j ~ 0 x j ~ v i ~ Sr ~ vj t
(e)
~ v i 1 ~ ~ Fr 2 f i Eu x j
~ ~ p 1 v i ~ Re x ( x ) ~ ~ xi j j
~ V v j ( ) ~ 0 L x j ~ V v i V 2 ~ ( ) ~ ( )v j T t L
(d)
~ ~ v i p0 ~ p V v i ~ ~ ( g ) f i ( L ) x ( L2 ) x ( x ) ~ ~ ~ x j i j j
流体力学的实验要模拟真实情况，首先要保 证模型和实物在几何上相似。在初等几何中 知道：对应线段成比例，对应角相等的几何
形状称为几何相似。将这个概念推广到整个
流场，就有相似流场(或相似流动)：在几何相 似的基础上，时空对应点上各同名物理量都
自成一定比例(若是矢量，还要方向相同)的两
个流场称为相似流场。
当地加速度 V /T L ~ 2 Sr 迁 移 加 速 度 V / L VT
Sr数是非定常性的标志，而且只有当L，v，T独
立给出时，Sr才是与Re无关的参数。否则，像 圆柱尾流中产生的卡门涡衔那种情况，在没有 外部强迫而产生的非定常流中，Sr和Re就有密 切的关系。
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9.2.4 相似参数的物理意义
vz vx t x
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9.2.3 流动相似的充要条件
从以上无量纲基本方程(e)式和边界条件式可知，它们含有无量纲参数 Sr、Fr、Eu、Re和αi，因此，解的一般形式为
~ ~ ~ ~ v i v i ( xi , t , S r,Fr, Eu , Re , i ) ~ ~ ~ ~ p p( xi , t , S r,Fr, Eu , Re , i )
(1)风洞试验。 按Re相等条件 可知，
在螺旋桨理论中，与Sr相当的是螺旋桨相对进 程(进速系数)：
VA nD
(9.2.15)
式中，VA——螺旋桨进速； D——螺旋桨的直径； n——螺旋桨的转速。 这时转速n是独立给出的，因而λ是独立的相 似参数
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4. 欧拉数Eu 欧拉数是压力与惯性力量级之比：
p0 /( L) p0 压力 ~ Eu 2 2 惯性力 V / L V
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9.2.3 流动相似的充要条件
式中，Sr—斯特劳哈尔(Strouhal)数， L (9-9) Sr VT Fr——弗劳德(Froude)数，
V Fr gL
p0 Eu V 2
Re LV
(9-10)
Eu——欧拉(Euler)数， (9-11)
Re——雷诺(Reynolds)数，

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2. 弗劳德数Fr
弗劳德数是惯性力与重力的量级之比：
惯性力 V 2 / L V 2 ~ Fr 2 重力 g Lg
和重力有关的现象都是由Fr决定的。例如，波
浪运动，船舶的兴波阻力等问题都和Fr有关。
如果Fr变大，则重力的影响将变得较小，反之 则大。
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3. 斯特劳哈尔数Sr
斯特劳哈尔数是当地加速度和迁移加速度量级 之比：
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9.1.1 流动相似
两个流动要相似，首先要几何相似。用下标“1” 和“2”表示两个流动，几何相似是说，如果流动1 有一个点(x1, y1, z1)，流动2必有一个点(x2, y2, z2)与 之对应；如果流动1中有一线段L1 ，流动2必有一 线段L2 与之对应，并且任意两对应线段的比值都 等于同一常数，即
v p1 10 0.515m / s 5.15m / s
实艇的雷诺数 Re p
v p1 L
水
5.15 78 3.5 108 1.1/ s 6.70m / s
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例 9.2.1
实艇的弗劳德数
Frp v p2 6.70 0.242 Lg 78 9.81
可见，Eu数反映了压力和单位体积的质点动能 的相对大小。 p p Cp 压力系数
1 2 v 2
就是Eu的不同表达方式。
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9.2.5 相似理论的应用
1. 风洞和水池 风洞和水池是流体力学的两类重要试验设备，它 们根据不同的用途又可分为好几种类型。按照相 似律，只要能保证所需要的相似参数相等，两类 设备的试验结果是可以通用的。例如，浸没体水 下的流体动力试验既可在水池做，也可以在风洞 中做。这时可以不计自由面波动的影响，只要满 足Re数相等的条件就可以了。试验结果用无量纲 形式整理出来就可以直接用于实体的流场。
v i 1 V1 Cv v i 2 V2
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9.1.2 特征量和无量纲量
若取V1和V2这一组为特征量，就有无量纲量
~ vi 1 vi 2 v ~ vi 1 i2 V1 V2
所以，对应点上无量纲速度相等。同样可以证明， 任意一个物理量的无量纲量在对应点上均相等。
利用相似流场对应点的同名无量纲量相等这一特性，可以找到流动相似 的充耍条件。因为两个相似的流动应当有同一个无量纲的解，这个解只 有从相同的无量纲方程和定解条件才能得到，因此，找到了相同的无量 纲方程和定解条件，也就找到了流动相似的充要条件。
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9-1 相似概念
我们首先定义什么样的两 个流动为彼此相似的。所 谓两个流动现象彼此相似， 有以下四个不同的层次：
1. 几何相似：指两
流场(实验流场和实际流场) 中的被绕流物体和流场中 各对应线元之间夹角相等， 且对应长度成比例。分别 取模型与实物的特征长度 和特征时间构成无量纲量， 那么两流场中无量纲坐标 和无量纲时间相同的点称 为时空对应点。
2
9-1 相似概念
2．运动相似：指两个几何相似的流场中时空 对应点上的速度方向相同，大小成比例；
3．动力相似：指两个运动相似的流场中时空对
应点上对应面元所受的力方向相同，大小成比例；
4．热力相似：指两个动力相似的流场中时空对
应点的温度成比例，通过对应点上对应面元的热 流方向相同，大小成比例．
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9.1.1 流动相似
定义如下无量纲量：
~ t ~ xi ~ v i ~ f i ~ p t , xi , v i , f i , p T L V g p0
(c)
式中，g——重力加速度，以此作为单位质量力的特征量， 这说明质量力只考虑重力
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9.2.3 流动相似的充要条件
根据上述定义，方程(a)可以写成
几何相似的两个流场的αi必相等，如果两个流场的无量纲参 数Sr, Fr, Eu, Re相等，无量纲方程和边界条件就完全一样， 因而，若有同一个无量纲解，两流场就是相似的。于是， 流动相似的充要条件是：几何相似的流场中，若无量纲参 数Sr, Fr, Eu, Re相等，则流动相似。确切地说，这只是常粘 性不可压缩流体运动的相似律。可压缩流动还要求马赫 (Mach)数Ma相等，若考虑到传热、传质问题，则还要求更 多的无量纲参数相等。
流场中某一指定状态的物理量称为特征量，例如：
特征长度L——可以用物体的长度，如机翼的平 均弦长、或圆柱的直径作为此特征量； 特征速度V——可以用远前方来流速度作为此特 征量；
特征时间T——在定常流中，可以用特征长度和 特征速度的比值L/V，在非定常流中可用振动频 率的倒数作为此特征量， 其他还有特征压力，特征粘性系数，特征密度， 等等。


v p Lp

vp Lp g
vm v p
vm v p
Lp Lm
vp
vm Lm g
Lm vp Lp
很明显，这两个条件根本无法同时满足。因此，要分开 做试验，每次只保证一个相似参数相等。这就是所谓局 部相似。
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例 9.2.1
一潜艇长为L=78m，水下航速为10kn，水面航速 为13kn。现在用1/50缩尺模型在风洞中测水下航 行的粘性阻力，在水池中测水面航行的兴波阻力， 试确定风洞试验的风速和水池拖车的拖拽速度。 解 实艇水下航行速度
第九章 相似理论
粘性流体的N—S方程组在数学上相当复杂，除了极 少数特殊情况外，无法求得它的解析解。因此为了解决各 种工程实际问题，需要广泛进行各种模拟实验。例如，把 飞机或火箭模型放到风洞中吹风，或者把舰船模型放到水 池中做牵引试验。很显然，把模型做得和实物一样大小是 很不经济的或者不现实的，因此模拟实验中一般采用缩小 了的模型。这就产生了两个问题：为了保持模拟流场与实 物流场之间的一定对应关系，或者说相似性，实验中的各 种特征参数(例如所用的流体性质，来流速度等)要不要相 应地调整?由模拟实验测出的各种数据，例如模型所受的 流体作用力，又需要怎样换算才能给出实物上的对应值? 这些就是相似律所要讨论的内容。这里，我们只限于讨论 均质粘性不可压流体流动的相似律。
x1 y1 z1 L1 Cl x2 y2 z2 L2
式中，Cl——长度比尺。
(9-1)
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9.1.1 流动相似
在几何相似的基础上，两流场相似时，在时空对应点上有
v x1 v y1 v x2 v y2 t 1 Ct , t2 f1 Cf , f2
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1. 雷诺数Re
雷诺数是惯性力与粘性力的量级之比：
惯 性 力 V 2 / L LV ~ Re 粘 性 力 V L2 雷诺数相等的两个流场中，一切与粘性有 关的现象都相似，如流态是层流还是湍流，流 态在何处发生变化，流动在什么地方产生旋涡， 流动发生分离的情况如何，等等。另外，雷诺 数数值的大小还反映粘性作用的大小，Re小意 味着粘性作用大，Re大则粘性作用小，这都是 相对于惯性力而言的。