400米标准跑道中的数学问题

400米标准跑道中的数学问题

湖北省来凤县接龙中学 445700 张杰

我们都观看过大型的国际田径比赛，我们发现在400米及400米以上的中长跑中，所有的运动员的起跑线都不在同一条直线上，这是什么原因呢？而所有的运动员都必须跑完第二个弯道后才能抢道，这样是不是跑里圈的或外圈的运动员最有利呢？要想回答上面的问题，首先得了解田径场中跑道的结构和相关的赛跑知识。 图1E

D C

B

A

国际田联田径场地设施标准手册规定标准的体育跑道内圈周长约400米，其中由长389.84米的两条直道（如图1中的AB 和CD ）及半径为5.36米的两条半圆弧（称弯道，如图中AD 和BC ）连接而成，国际上统一规定终点线设置在第一分界线 （即图中AE ）处，使得100米以上的各个项目的赛跑比赛，运动员都要通过直道BA ，从而便如裁判员作出裁判，因为内圈约为400米，举行400米跑比赛时，运动员都要经过弯道，于是跑外圈的运动员在弯道处要比跑内圈的运动员多跑一些距离，为了消除这个差距，就要考虑在起跑时让运动员处于不同的起跑线上。

首先考虑第一道（最里道）的起点在哪里。假设画8条跑道，每条跑道的宽为22.1米。按规定：第一道的全程应由离开内圈30厘米处沿跑圈丈量，也就是说，跑第一道的运动员应沿跑道内圈向外30厘米的跑圈跑，这是因为按此规定，第一道全长

)400]389.843.05.36[2389.84221（米）（=++⨯=⨯+=ππR C

类似的，规定跑第二道至第八道的运动员不是踩着分道线跑而是沿着各自分道线向外20厘米的跑圈跑（如图2）。

图2

知道了上面的规定，我们来计算第二道到第八道的周长：

第二道全长为

)04.407]389.842.022.15.36[2389.84222（米）（=+++⨯=⨯+=ππR C

同理，第三道全长)(70.4143米=C ，第四道全长)(37.4224米=C ，第五道全长)(03.4305米=C ，第六道全长)(70.4376米=C ，第七道全长)(36.4457米=C ，第八道全长)(03.4538米=C 。

于是第二道比第一道长04.7米，若第一道地起跑线定在图1中的AE 处，第二起跑线向前伸出04.7米处，这个向前伸的距离称为“前伸数”。

于是第三道至第八道的“前伸数”分别是：

第三道：70.14米；第四道：37.22米；第五道：03.30米；第六道：70.37米；第七道：36.45米；第八道：03.53米。

我们知道了每道的“前伸数”，于是在每条跑道上都要向前延伸相应的距离，即在园弧上依次画出相应的“前伸数”长的弧长。每一“前伸数”的弧长所对的圆心角可用公式i

i R L πθ180=（8,7,6,5,4,3,2=i ,L 为“前神数”，i R 为每条弧所对的半径）计算出来，结果如下：

6.102=θ， 5.213=θ， 8.314=θ， 4.415=θ， 5.506=θ， 597=θ， 2.678=θ。

这样我们就可以比较精确地画出每条跑道的起跑线，如图2。

由于田径跑道受到地域和跑道道数的影响，即直道的长度和半径的大小的影响，同时画几条跑道也直接影响到上面的计算，但方法是一样的，只是代入的数据不同。

我们知道了上述的相关赛跑知识，我们也就能回答为什么运动员不能站在同一起跑线上，为什么运动员必须跑完第二弯道才能抢道，其目的是为了让运动员跑的路程一样长，这样才能体现体育竞赛的公平性和观赏性。