2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)

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2018年上海市虹口区中考数学二模试卷带答案解析(解析版)

2018年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．02．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．3．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2．4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（）A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.245．（4分）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线B．一条高C．一条角平分线D．不确定6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB=6，BC=4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）a6÷a2=．8．（4分）某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为毫米．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）方程的解为．11．（4分）已知反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为．12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是．13．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是株．15．（4分）如果正六边形的两条平行边间的距离是，那么这个正六边形的边长为．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果，，17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为．18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，其中．20．（10分）解方程组：21．（10分）如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF ⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5，求BF的长与sinC的值．22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．（1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为，点B的坐标为，4小时后的y与x 的函数关系式为（不要求写定义域）．23．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB=ED且∠ABE=∠ADE．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF•AG=BC•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；（2）求tan∠BCD；（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）2018年上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．0【分析】根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．【解答】解：，，π是无理数，0是有理数，故选：D．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k 的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4k＞0，解得k＜1，故选：A．3．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2．【分析】先把函数化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论【解答】解：∵抛物线y=x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y=（x+1）2，4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（）A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.24【分析】根据乘车的人数和频率，求出总人数，再根据直方图给出的数据求出步行的人数，从而得出步行的频率．【解答】解：∵乘车的有20人，它的频率是0.4，∴总人数是=50人，∴步行的频率为=0.36；故选：B．5．（4分）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线B．一条高C．一条角平分线D．不确定【分析】利用基本作图可判定射线平分∠AOB，从而可判断OP为△ABC的角平分线．【解答】解：利用作法可判断OC平分∠AOB，所以OP为△AOB的角平分线．6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB=6，BC=4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【分析】直接利用已知得出两圆的半径，进而得出两圆位置关系．【解答】解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN=（AB+DE）=4.5，∵EC=3，BC=AD=4，∴BE=5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5=4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）a6÷a2=a4．【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．【解答】解：a6÷a2=a4．故答案为：a4．8．（4分）某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为 6.8×10﹣5毫米．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 068=6.8×10﹣5．故答案为：6.8×10﹣5．9．（4分）不等式组的解集是x＜﹣1．【分析】根据一元一次不等式的解法分别解出两个不等式，根据不等式的解集的确定方法得到不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得x＜﹣1，解不等式②，得x＜2，所以不等式组的解集为：x＜﹣1．10．（4分）方程的解为x=1．【分析】方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x的值，经检验即可得到无理方程的解．【解答】解：两边平方得：﹣x+2=x2，即（x﹣1）（x+2）=0，解得：x=1或x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为：x=111．（4分）已知反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为a＞3．【分析】根据反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，可以得到3﹣a＜0，从而可以解答本题．∴3﹣a＜0，解得，a＞3，故答案为：a＞3．12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是y=﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【分析】设二次函数解析式为y=ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．【解答】解：∵对称轴为y轴，∴设二次函数解析式为y=ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c=﹣2，不防取a=﹣1，c=﹣1，得解析式为y=﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案为：y=﹣x2﹣1等（答案不唯一）．13．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为=，故答案为：．14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是6株．【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．【解答】解：这10个小组植树株数的平均数是=6（株），故答案为：6．15．（4分）如果正六边形的两条平行边间的距离是，那么这个正六边形的边长为2．【分析】根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠ABC的度数，连接AC，过B作BD⊥AC于点D，有垂径定理可得出AD=AC，求出∠ABD的度数，再根据锐角三角函数的定义即可得出AB的长．【解答】解：如图所示，∵此正多边形是正六边形，∴∠ABC=120°，连接AC，过B作BD⊥AC于点D，∵AC=2，∴AD=，∠ABD=∠ABC=60°，∴AB===2．故答案为：2．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果，，那么用向量、表示向量是﹣．【分析】根据平行四边形的性质可得出==、==﹣，将其代入=+中即可求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴==，==﹣，∴=+=﹣．故答案为：﹣．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或．【分析】根据三角函数可得BC，AC，根据直角三角形斜边上的中线的性质可求CD，BD，根据三角形面积公式可求CD边的高，再根据直线与圆的位置关系即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，∴BC=6，AC=8，∵CD为AB边上的中线，∴CD=BD=5，∴CD边的高=6×8÷2÷2×2÷5=，∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点，∴⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或．故答案为：5＜r≤6或．18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为．【分析】如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，连接BB′交CD于H．只要证明∠AB′B=90°，求出AB、BB′，理由勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，连接BB′交CD于H．∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=4，在Rt△ABE中，∵tanB==，∴AE=6，AB==2，∵DK∥AE，BD=AD，∴BK=EK=2，∴DK=AE=3，在Rt△CDK中，CD==3，∵B、B′关于CD对称，∴BB′⊥CD，BH=HB′=•BC•DK=•CD•BH，∵S△BDC∴BH=，∴BB′=，∵BD=AD=DB′，∴∠AB′B=90°，∴AB′==，故答案为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，其中．【分析】首先将括号里面通分运算，再将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．【解答】解：原式===，当时，原式==﹣7﹣4．20．（10分）解方程组：【分析】根据平方根的意义，把方程组中①变形为：x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2，它们与方程组②组成二元一次方程组，求解即可．【解答】解：由①得，x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2将它们与方程②分别组成方程组，得：解，得；解得．所以原方程组的解为：，．21．（10分）如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF ⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5，求BF的长与sinC的值．【分析】过点A作AD⊥CB，垂足为点D，根据解直角三角形的计算解答即可．【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，∵，∴，在Rt△ABD中，，∵AB=AF AD⊥CB，∴BF=2BD=6，∵EF⊥CB AD⊥CB，∴EF∥AD，∴，∵AE：EC=3：5DF=BD=3，∴CF=5，∴CD=8，在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，，∴．22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．x（小时）y（千米）（1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为（4，240），点B的坐标为（12，600），4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60（不要求写定义域）．【分析】（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时，根据图象列出方程解答即可；（2）根据图象得出坐标和关系式即可．【解答】解：（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时由题意得，解得x1=﹣50x2=60经检验，x1=﹣50x2=60都是原方程的解，但x1=﹣50不符合题意，舍去∴x=60，答：甲车原计划的速度为60千米/小时；（2）4×60=240，所以点A的坐标为（4，240）；点B的坐标为（12，600）；4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60；故答案为：（4，240）；（12，600）；y=45x+6023．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB=ED且∠ABE=∠ADE．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF•AG=BC•BE．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；（2）由AD∥BC，推出，同理，由DE=BE，四边形ABCD是正方形，推出BC=DC，可得解决问题；【解答】（1）证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．（2）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴，同理，∵DE=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴，∴EF•AG=BC•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；（2）求tan∠BCD；（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；（2）利用锐角三角函数关系得出EC，BF的长，进而得出答案；（3）分别利用①点P在x轴上方，②点P在x轴下方，分别得出点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+3=（x2﹣8x）+3=（x﹣4）2﹣1，∴D（4，﹣1）；（2）可得点E（3，0），OE=OC=3，∠OEC=45°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F在Rt△OEC中，EC==3，在Rt△BEF中，BF=BE•sin∠BEF=，同理，EF=，∴CF=3+=，在Rt△CBF中，tan∠BCD==；（3）设点P（m，）∵∠PEB=∠BCD，∴tan∠PEB=tan∠BCD=，①点P在x轴上方∴，解得：，∴点P（，），②点P在x轴下方∴，解得：m=12，∴点P（12，﹣3），综上所述，点P（，）或（12，﹣3）．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）【分析】（1）首先求出DM的长，再证明四边形ABMD是平行四边形即可解决问题；（2）如图2中，过点C作CH⊥BD，垂足为点H．首先用x表示BE的长，再根据，求解即可；（3）分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，连接DM．在Rt△DCM中，，∵AD∥BC BM=AD，∴四边形ABMD为平行四边形，∴AB=DM=，即⊙B的半径为．（2）如图2中，过点C作CH⊥BD，垂足为点H．在Rt△BCD中，，∴，可得∠DCH=∠DBC，∴，在Rt△DCH中，，∵CH⊥BD，∴，∴，∵⊙C与⊙B相交于点E、F，∴EF=2EG，BC⊥EF，在Rt△EBG中，，∴（）．（3）①如图3中，当PE∥AD时，设PC交DE于H，则CH垂直平分线段DE．在Rt△BCD中，BD==5，CH==2，DH==，∴EH=DH=，∵AD∥BC，PE∥AD，∴PE∥BC，∴∠HEP=∠HBC，∴cos∠HEP=cos∠CBD，∴=，∴=，∴PE=，∴⊙P的面积为π．②如图4中，当AP∥DE时，作AT⊥BC于T，设AD交PC于Q，BD交PC于H．由①可知：DE=2，BE=BA=3，AT=CD=5，在Rt△ABT中，BT==2，∴AD=CT=10﹣2，由△DQH∽△BDC，可得DQ=，QH=，∴AQ=AD﹣DQ=﹣2，由△APQ∽△DHQ，可得PQ=﹣2，在Rt△PDH中，PD2=DH2+PH2=29﹣8，∴⊙P的面积为（29﹣8）π．③如图5中，当DP∥AE时，作AR⊥BD于R．由△ADR∽△DBC，∴==，∴AR=2﹣2，DR=4﹣4，∴ER=DR﹣DE=2﹣4，在Rt△ARE中，AE==，∵AE∥DP，∴∠AER=∠PDQ，∴cos∠AER=cos∠PDH，∴=，∴PD=，∴⊙P的面积为．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

上海市虹口区达标名校2018年高考二月适应性考试数学试题含解析

上海市虹口区达标名校2018年高考二月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，圆锥底面半径为2，体积为22π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（）A ．12B ．1C 10D 5 2．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x C ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x3．下列命题中，真命题的个数为（） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．34．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（） A ．0B ．1C ．3D ．45．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（） A ．－2B ．－4C ．3D ．－37．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（）A ．5B ．10C ．15D ．208．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（） A ．3B ．2C ．1D ．09．已知集合{}15{|},|2M xx N x x =-≤<=<，则M N =（）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值11．函数()cos 2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（） A ．3B ．－3C ．2D ．－2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海2018届高三二模数学卷汇总(全)

宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）．若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的（） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于（）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。

上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控(二模)数学试题 Word版含解析

虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1. 已知，，且，则实数的范围是___________．【答案】【解析】由题意，当时，，所以实数的范围是。

2. 直线与直线互相平行，则实数________．【答案】2【解析】，解得。

3. 已知，，则________．【答案】【解析】，所以。

4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则________．【答案】2【解析】设长方形的长、宽、高分别为，则对角线长，所以5. 已知函数，则_________．【答案】-2【解析】，则。

.......... .....【答案】【解析】由题意，，所以。

7. 已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则 _______．【答案】或【解析】解：因为数列是公比为的等比数列，且成等差数列，所以8. 若将函数表示成则的值等于___________．【答案】20【解析】令，则，所以，所以就是的系数，因为，所以当时，。

9. 如图，长方体的边长，，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于_________．【答案】【解析】由题意，，所以，所以。

10. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.【答案】【解析】由题意，椭圆的标准方程为，矩形第一象限内的一点为，所以矩形面积，所以。

点睛：本题考查椭圆的应用。

本题中利用三角换元进行解题。

三角换元在圆锥曲线中是比较重要的技巧，在解决最值问题中，往往能起到很好的效果。

本题利用三角换元就得到，显然。

11. 是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是___________．【答案】或【解析】时，，当时，，则，所以，所以；当时，，则，所以，所以；所以或。

点睛：本题考查高斯函数在函数中的应用。

时，，则本题应该分两类讨论，所以得到和的分类情况，解得答案。

2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)

1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时刻120分钟，总分值150分）一．填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题总分值54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，那么实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=彼此平行，那么实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，那么tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个极点的三个表面所成的角别离为α，β，γ，那么222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，那么11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，那么方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，那么q=_______．8．假设将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-则3a的值等于．AD=，它9．如图，长方体1111ABCD A B C D-的边长11AB AA==，的外接球是球O，那么A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，那么此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，那么方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦知足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，关于123nx x x x<<<<且[]12,,,0,8nx x xπ∈（10n≥），记1223341()()()()()()()()n nM f x f x f x f x f x f x f x f x-=-+-+-++-，那么M的最大值等于．二．选择题（每题5分，总分值20分）13．以下函数是奇函数的是（）．.A ()1f x x =+ .B ()sin cos f x x x =⋅ .C ()arccos f x x = .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且知足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B两点，且AB =，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，那么MN 等于（）.A.B 4 .C.D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，那么以下结论正确的选项是（）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题总分值76分）17．（此题总分值14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（此题总分值14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边别离为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.P 2P 1C 1A N 2N 1x19．（此题总分值14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，假设是关于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，那么称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，假设是01 ≠b 且关于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），那么称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）假设是“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．20．（此题总分值16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）假设是直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在座标轴上，直线MA ，M B 别离交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个核心别离为1F 和2F ，判定过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是不是相等？并说明理由．21．（此题总分值18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.）已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），.f (x )=ax 3+x -a .3()1xg x x =-（x R ∈）. （1）假设是x x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判定()g x在-(1,2和[,1)2的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x f (x )存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++++a =q +q 4+x 7+⋯+q 3n−2+⋯成立的充要条件是3a ≥>−12．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每题4分，7～12题每题5分，本大题总分值54分）一、1a ≥；二、2； 3、17-； 4、2；五、2-；六、12； 7、1或12-；八、20；九、3π； 10、12mn ； 1一、1x =-或12x =； 1二、16；二、选择题（每题5分，总分值20分）13、B ； 14、C ； 1五、D ； 1六、A ；三、解答题（本大题总分值76分） 17、（14分）解:（1） 12ABC S ∆=，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分（2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12PM ，1PC.12A N ∥1PC ，1AM ∥12PM，∴ 21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分121PM AM ==1PC =，2M C =. ∴211cos 2M PC ∠==-.P 2P 1C 1A N 2N 1∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 1八、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为12z =±.…………2分 1cos 2A ∴=，sin 2A = ，3A π= .…………4分 ∴5sin sin124C π==，sin sin c a C A =，得2c =……………7分（2）2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此刻max 1sin 24S bc A ==.∴ABC ∆的面积的最大值等于4.……………14分 1九、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =，12(,)d d d =.由1n n a a d +-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，因此数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d =+-.………………6分（2）设(,)n n n a x y = ，(,)n n n b m k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅，得5(35)2n n S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m =，代入椭圆方程得22220m y m -==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n =-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mx ny =-代入消y ，取得x 的一元二次方程，然后证明0∆= （2）点(,)M m n 不在座标轴上，:AM y x =+，得(0,P.:BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mxl ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+=+===-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mx l ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 与1MF 的夹角α，d 与2MF 的夹角β.………12分11cos 4d MF d MF α⋅====22cos4d MFd MFβ⋅====，因此cos cosαβ=，有αβ=，从而有l与直线1MF，2MF所成的夹角相等.……16分2一、（18分）解：(1) 由3((022a a+--≤，得3a≥………………3分（2）设21x x>，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x xg x g xx x x x-++-=-=----当x x-<<121时，21x x->，3210x->，3110x->，1212x x<，122x x-<+有12122()1x x x x-<+<-，121211()0x x x x-<++<，∴21()()0gx g x-<.………………6分当122x x-≤<≤时，21x x->，3210x->，3110x->，122x x≤<，12x x+<，有12121()0x x x x-<+≤，121201()1x x x x<++≤，∴21()()0g x g x->.当1201x x≤<<时，21x x->，3210x->，3110x->，x x x x++>12121()0，∴21()()0g x g x->.∴()g x在(1,]2--递减，在[,0]2-和[0,1)上递增，从而在[,1)2-上递增.………10分(3) 充分性：当a≥时，有3(022af aa=--=-≤，又(1)10f=>，函数3()f x ax x a=+-在[内的图像持续不断，故在[内必然存在零点q且1q<，∴有30aq q a+-=，得31qaq=-，从而4732na q q q q-=+++++.……14分必要性：当0q=时，0a=.当0q≠时，由4732na q qq q-=+++++成立，可得311q-<<从而得11q-<<，31qaq=-，由（2）中的结论可知3()1xg xx=-在(1,2--递减，在[,1)2-递增，从而，1()32g x-≤<-或()3g x≥-.从而31q a q =-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。

2018届高三虹口数学二模

“ ” 已知椭圆 C 如果直线与椭圆只有一个交点 ,称该直线为椭圆的切线。
— ∶
为 2 ^
2
+
2
△
,
`=上
亻 f且是椭圆C的 “ 。点3r(阴 9刀 )是椭圆C上的任意一点,直线J过点且切线”
′ ″ ?0豸 ” — (1)证明:过椭圆C上的点M(阴 ,刀 )的 “ y=1; 切线方程是 + 刀
o),瓦 =(1, 1),可
)·
=(石刀 , `刀 );
{可 }是
” “ 比向量列” · +瓦 · ,“ 公比 g=2,可 =(1, 3),可 =(%,气求可等可可+
十可· 可。
虹口区高三数学共4页第 3页
20.(本题满分 16分。 ) 第 (1)小题 4分 ,第 (2)小题 5分 ,第 (3)小题 7分。
13.下列函数是奇函数的是 (
/./° (豸 )==J十 1
)。
r -^
豸
B。
/·
(万 )==sinJ。
cos艿
C。
/·
(万 )==arccos石
D。 /(△ )==1~豸
(o
14。
/BC中 ,/B=/C,点在 R莎 △
夕
BC,当 nM· PⅣ 取得最小值时 ,实数七的值为运动且满足 PC=乃 ·
虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷 201:4
(时间 120分钟 ,满分 150分 )
一。填空题 (1~6题每小题 4分 ,7~12题每小题 5分 ,本大题满分 54分 )

2018高三二模汇编(精)(带参考答案)

2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______．【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________．【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是．【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ．【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是．【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ．【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________．【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是．【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是．【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为【答案】2424.77-或【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =．若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________．【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是．11、【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________．【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为．【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是．【答案】（0，14）【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是．（用一般式表示）11、【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________．【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为（结果保留π）【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______．【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________．【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________．【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是．【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的体积是．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是．（用数字作答）【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石（精确到小数点后一位数字）【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____．【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是．【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，．则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

2018年上海市虹口区中考数学二模试卷含答案解析

2018年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．02．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．3．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2．4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（）A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.245．（4分）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线B．一条高C．一条角平分线D．不确定6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结B E，如果AB=6，BC=4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）a6÷a2=．8．（4分）某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为毫米．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）方程的解为．11．（4分）已知反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为．12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是．13．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是株．15．（4分）如果正六边形的两条平行边间的距离是，那么这个正六边形的边长为．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果，，那么用向量、表示向量是．17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为．18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，其中．20．（10分）解方程组：21．（10分）如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF ⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5，求BF的长与sinC的值．22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．x（小时）y（千米）（1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为，点B的坐标为，4小时后的y与x 的函数关系式为（不要求写定义域）．23．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB=ED且∠ABE=∠ADE．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF•AG=BC•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；（2）求tan∠BCD；（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）2018年上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．πD．0【解答】解：，，π是无理数，0是有理数，故选：D．2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣2）2﹣4k＞0，解得k＜1，故选：A．3．（4分）如果将抛物线y=x2向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2D．y=（x﹣1）2．【解答】解：∵抛物线y=x2向左平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y=（x+1）2，故选：C．4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（）A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.24【解答】解：∵乘车的有20人，它的频率是0.4，∴总人数是=50人，∴步行的频率为=0.36；故选：B．5．（4分）数学课上，小明进行了如下的尺规作图（如图所示）：（1）在△AOB（OA＜OB）边OA、OB上分别截取OD、OE，使得OD=OE；（2）分别以点D、E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于△AOB内的一点C；（3）作射线OC交AB边于点P．那么小明所求作的线段OP是△AOB的（）A．一条中线B．一条高C．一条角平分线D．不确定【解答】解：利用作法可判断OC平分∠AOB，所以OP为△AOB的角平分线．故选：C．6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB=6，BC=4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【解答】解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN=（AB+DE）=4.5，∵EC=3，BC=AD=4，∴BE=5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5=4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）a6÷a2=a4．【解答】解：a6÷a2=a4．故答案为：a4．8．（4分）某病毒的直径是0.000 068毫米，这个数据用科学记数法表示为 6.8×10﹣5毫米．【解答】解：0.000 068=6.8×10﹣5．故答案为：6.8×10﹣5．9．（4分）不等式组的解集是x＜﹣1．【解答】解：，解不等式①，得x＜﹣1，解不等式②，得x＜2，所以不等式组的解集为：x＜﹣1．10．（4分）方程的解为x=1．【解答】解：两边平方得：﹣x+2=x2，即（x﹣1）（x+2）=0，解得：x=1或x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，无理方程的解为x=1，故答案为：x=111．（4分）已知反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为a＞3．【解答】解：∵反比例函数，如果当x＞0时，y随自变量x的增大而增大，∴3﹣a＜0，解得，a＞3，故答案为：a＞3．12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是y=﹣x2﹣1等（答案不唯一）．【解答】解：∵对称轴为y轴，∴设二次函数解析式为y=ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得a+c=﹣2，不防取a=﹣1，c=﹣1，得解析式为y=﹣x2﹣1，答案不唯一．故答案为：y=﹣x2﹣1等（答案不唯一）．13．（4分）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是．【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中2、3、5是素数，所以概率为=，故答案为：．14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是6株．【解答】解：这10个小组植树株数的平均数是=6（株），故答案为：6．15．（4分）如果正六边形的两条平行边间的距离是，那么这个正六边形的边长为2．【解答】解：如图所示，∵此正多边形是正六边形，∴∠ABC=120°，连接AC，过B作BD⊥AC于点D，∵AC=2，∴AD=，∠ABD=∠ABC=60°，∴AB===2．故答案为：2．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果，，那么用向量、表示向量是﹣．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴==，==﹣，∴=+=﹣．﹣．故答案为：17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，CD为AB边上的中线，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinA=，∴BC=6，AC=8，∵CD为AB边上的中线，∴CD边的高=6×8÷2÷2×2÷5=，∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点，∴⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或．故答案为：5＜r≤6或．18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为．【解答】解：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，连接BB′交CD于H．∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=4，在Rt△ABE中，∵tanB==，∴AE=6，AB==2，∵DK∥AE，BD=AD，∴DK=AE=3，在Rt△CDK中，CD==3，∵B、B′关于CD对称，∴BB′⊥CD，BH=HB′=•BC•DK=•CD•BH，∵S△BDC∴BH=，∴BB′=，∵BD=AD=DB′，∴∠AB′B=90°，∴AB′==，故答案为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：，其中．【解答】解：原式===，当时，原式==﹣7﹣4．20．（10分）解方程组：【解答】解：由①得，x﹣2y=2或x﹣2y=﹣2将它们与方程②分别组成方程组，得：解，得；解得．所以原方程组的解为：，．21．（10分）如图，在△ABC中，sinB=，点F在BC上，AB=AF=5，过点F作EF ⊥CB交AC于点E，且AE：EC=3：5，求BF的长与sinC的值．【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为点D，∵，∴，在Rt△ABD中，，∵AB=AF AD⊥CB，∴BF=2BD=6，∵EF⊥CB AD⊥CB，∴EF∥AD，∴，∵AE：EC=3：5DF=BD=3，∴CF=5，∴CD=8，在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，，∴．22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．x（小时）y（千米）（1）求甲车原计划的速度；（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为（4，240），点B的坐标为（12，600），4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60（不要求写定义域）．【解答】解：（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时由题意得，解得x1=﹣50x2=60经检验，x1=﹣50x2=60都是原方程的解，但x1=﹣50不符合题意，舍去∴x=60，答：甲车原计划的速度为60千米/小时；（2）4×60=240，所以点A的坐标为（4，240）；点B的坐标为（12，600）；4小时后的y与x 的函数关系式为y=45x+60；故答案为：（4，240）；（12，600）；y=45x+6023．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是对角线AC上的一点，EB=ED且∠ABE=∠ADE．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长DE交BC于点F，交AB的延长线于点G，求证：EF•AG=BC•BE．【解答】（1）证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．（2）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴，同理，∵DE=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴，∴EF•AG=BC•BE．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与直线y=﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；（2）求tan∠BCD；（3）点P在直线BC上，若∠PEB=∠BCD，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2﹣2x+c得，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+3=（x2﹣8x）+3=（x﹣4）2﹣1，∴D（4，﹣1）；（2）可得点E（3，0），OE=OC=3，∠OEC=45°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F在R t△OEC中，EC==3，在Rt△BEF中，BF=BE•sin∠BEF=，同理，EF=，∴CF=3+=，在Rt△CBF中，tan∠BCD==；（3）设点P（m，）∵∠PEB=∠BCD，∴tan∠PEB=tan∠BCD=，①点P在x轴上方∴，解得：，∴点P（，），②点P在x轴下方∴，解得：m=12，∴点P（12，﹣3），综上所述，点P（，）或（12，﹣3）．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD为半径的⊙C与以AB为半径的⊙B相交于点E、F，且点E在BD上，联结EF交BC于点G．（1）设BC与⊙C相交于点M，当BM=AD时，求⊙B的半径；（2）设BC=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当BC=10时，点P为平面内一点，若⊙P与⊙C相交于点D、E，且以A、E、P、D为顶点的四边形是梯形，请直接写出⊙P的面积．（结果保留π）【解答】解：（1）如图1中，连接DM．在Rt△DCM中，，∵AD∥BC BM=AD，∴四边形ABMD为平行四边形，∴AB=DM=，即⊙B的半径为．（2）如图2中，过点C作CH⊥BD，垂足为点H．在Rt△BCD中，，∴，可得∠DCH=∠DBC，∴，在Rt△DCH中，，∵CH⊥BD，∴，∴，∵⊙C与⊙B相交于点E、F，∴EF=2EG，BC⊥EF，在Rt△EBG中，，∴（）．（3）①如图3中，当PE∥AD时，设PC交DE于H，则CH垂直平分线段DE．在Rt△BCD中，BD==5，CH==2，DH==，∴EH=DH=，∵AD∥BC，PE∥AD，∴PE∥BC，∴∠HEP=∠HBC，∴cos∠HEP=cos∠CBD，∴=，∴=，∴PE=，∴⊙P的面积为π．②如图4中，当AP∥DE时，作AT⊥BC于T，设AD交PC于Q，BD交PC于H．由①可知：DE=2，BE=BA=3，AT=CD=5，在Rt△ABT中，BT==2，∴AD=CT=10﹣2，由△DQH∽△BDC，可得DQ=，QH=，∴AQ=AD﹣DQ=﹣2，由△APQ∽△DHQ，可得PQ=﹣2，在Rt△PDH中，PD2=DH2+PH2=29﹣8，∴⊙P的面积为（29﹣8）π．③如图5中，当DP∥AE时，作AR⊥BD于R．由△ADR∽△DBC，∴==，∴AR=2﹣2，DR=4﹣4，∴ER=DR﹣DE=2﹣4，在Rt△ARE中，AE==，∵AE∥DP，∴∠AER=∠PDQ，∴cos∠AER=cos∠PDH，∴=，∴PD=，∴⊙P的面积为．。

2018年上海市虹口区高考二模文科数学试题及答案精品

虹口区2018年数学学科高考练习题(文科)（时间120分钟，满分150分） 2018.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是．2、已知复数ii z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ．4、设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于．9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是．11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+AB AC AB ，则ABC ∆面积等于．12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（）.A 1 .B 5 .C 7 .D 816、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有（）条．.A 1． .B 2． .C 3． .D 4．17、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M等于（）.A π6 .B π7 .C π12 .D π13 18、若22παπ≤≤-，22πβπ≤≤-，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0sin 3=+--m ββ，则)cos(βα+值为（）． .A 1- .B 0 .C21.D 1三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E为BC 的中点．（1）求异面直线PE 与AB 所成的角的大小；（2）求四棱锥ABED P -的侧面积．20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；D（2）求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线l 过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记)0,(p N ，如果直线l 过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”．（1）判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论；（2）如果函数xa x x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围；（3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21)2(221221n nx f x f x f x x x f nn+++≥+++ ．虹口区2018年数学学科高考练习题答案（文）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-； 2、2； 3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、74； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ；二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ；三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小．……2分D由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF ．………………5分∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos．………………6分（2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S ．BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S ． …………………………9分连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++．………………12分20、（14分）解：（1） 1=⋅，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B (7)分（2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ．又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224……10分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分∴3sin 21==∆B ac S ．………………14分21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ．由iz z z n n n 221++=+得ib a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分（2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．①i n i b b b a a a z z z n n n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ．……10分②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ）将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n （Ⅱ）将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n ．)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由⎩⎨⎧=+=pxy p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分注：本题可设p my x l -=:，以下同．（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=px y b kx y 22得0222=+-pb py ky ． p k pb y y -==∴221，从而2kb -=．………………6分假设直线l 过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而200kkx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==02100y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(．综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．………………10分（3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为k py y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p kp x P -=2，即),(2k p p k p P -．…………12分设),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k py p p kp x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p，点Q 到它们的距离相等．…………16分23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分（2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分若21x x =，a 可以取任意值．若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ．综上所述得8-≤a ．………………10分（3）当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立．假设当mk =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立．那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++)]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ．即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。

2018年上海市虹口区高三二模数学卷含答案

虹口区2017学年度第二学期期中教学质吊监控测试高三数学试卷（时间120分伸，満分150分）罚（4 7 12 r * 5 I，、:K稱分54 : i1. U知A »(-«c t a] • B =[1.2J . 11 AcB农©・曲实数a的范也是_______________________2. Att ax *<a -1)y >1 ・0 与去线4x *ay-2.0 OTW, IM实ST a- ________________4.长方体的对侑找与过同一个頂点的三个农面所成并角分别为a . B. 丫 .対co® + c6i ♦知_____________________25匚知函ftt f(Q=八•则f」["(〜)]= ____________________________________ ・2 -1 x <06从累合(-1, 1, 2, 3施片山? -个为m・从兔合(-2, -1, 1. 3随HUI?个为n.朝方程X=1表用双曲找的概半为_______________m n7. Cffltt列UiU公比为q的寺比牧刊，且a2, a«.為成寻荒数X, M q-小轨f (x) = J g I：；. f (x) p炖(x-1)令q(x-M ♦务(x-1)?♦川♦比“-卄則觅的值尊于____________ ・9.勿国•长方休 ABCD - A B C 0K边长AB= AA=1AD =逅.EfFJ讣佞球毘琢 O・噂A . A席冋点旳球庶比円寻于__________ ・10. ■（!的整林尊于m ■翩（帐尊于n ■则JRM曲内接魁形的■枫的■大值为笛・（X】是不世过x的处大则方岂（2¥・2・[2T」M ONA1 X<1的所右实教能12・两数f （x） =$in x .对T Xg<冷卅I qxfl斷，&・川.忌色（0. &】（n^10）,兄M 咐(为)T(创H『g)T(冷)|r(4)-“xj4l)l牛(Xnj)T()q|・ MM 0»大偵第干-----------------------ai)K«-tt? Wt 4f( » ix 2018.43.巳知a •(()“).cos a =-- Nf tan(a +・rjtei 旳小已5分.满分20分)13A. f (x) > x B f ( x)B si nc ex C ・ f (x) ■ arccosx D ・ f (x) ■ 14 V RtMBC ip. AB = AC , > M - N 是线段 AC 卜 / P・ M BC 总动Fl 満定 Ftf =k BC*. PFf« k 的值为().1 o 1小 1. 1 A. - B -C. —D.-234815 Sm ：kx-y *k *1=0«jfi X 2*/=8^ 于 A. B 两点.KIAB =4^/5 .过虑 A. B 分别作 I的乖钱厅y<*交尸点M . N . ijf MN 寻尸<A. 2>l2 B 4 C ・ 4湮 D ・ 8X ・4 3n > 416.巳知a 珂 g 冶汁绷a, =a , n.0<aS4・比參■ J 「S 汽此敬刊的曲n 网他S-3n 去 <4m KMitiEW 的圧()A.何，aWntt^ S n -2015B. a «1 n =2016C,；存在 aMn 便谢 5=2017D.f 仔花 afunfttt & -2018vna (本大at 肯分 m17.(厶也淸分14分.5? (1)小地7分•第(2)小越7分・) 81 IS .止三枝仏的底面余铮啜出付三命賂.AB - AC -1.ZBAC ■；.跡于 3,点 M ・，M 2, N, , N,为浚段的三夸分点.<1)求此餐林的体积和Wtt A -AM.Ni 的体机；(2)求异|&儿戈AN 2t AM 】所城的耶大小.18 (本览满分14分•第(1)小Ift 7分.第< 2)小H11 7分・) Z 2 -2*1 -omm. a »3.SIL]K«-tt7 Wt 4^ 第 2员若.求边长c 的低4(2)次AABC 曲机的鼓火偵・x x>0 -xx<0巳知 MBC 中.« A,B,C 所対更的边分别为a.b,c , z =cosA*i -sin A ( I .trlftt 单位)址力丹B2C19. 分14分•第(1)小運6分■第＜2)小锂8分・) _丫町內的•ifijtt列・Qr如宋时干仟意的I「幣收n,均竹a^-a? -d . 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B 17, (14 分｝ M ： (1) •••1 3 1ABBA 的R 离?H' 1 ,・•• V AJWZ =\/町护人=x M3 Z Z・・.三梭住ABC-ARC,的体帜等丁 -（立方E 位）•丨馬显A _ AM N,的体枳每丁・-（立方单 2 2 位） ......... 7分・・・AN 「’PQ. AM 「RMi ・・・ /MfC 的父小爹于片创立怕 AN- AM (所成的角或其补角的人小•• ... 9分••・ RM 2 -AM, ^y/2. RC =>/2 ■ M 2C=V6 ・ “ 2*2-6 1.・・ cosZM ?RC = ---- 一—— =一一・2K 渥x 渥 2:.界Bifittft AN- AM 曲it 的角的-. .............................. "分318、( M 分)昭：(1) z -z*1 =0 的阿卜權为 z»-± —I. .............................. 2 分2 2 A cos A =— , sin A = — . A =—・ .................. 4 分2 2 3，.卯CM 的竺■应，亠■亠•側C ■返匝 ............................................ 7分12 4 sin C sin A 2<2i v a 2 =b 2 -2kx:cosA•・• 9 -b *c -bciax: -be ・bc •从而be 59 •爭弓M b-c 时皈立.此时2・门4分)M ：⑴设1=(— yj t d =(d, dj ・•斯以朝列GJ 址以片为件项.公盖为a 的寻靈钦列；铁列{%}&以为甘険,公劲 dz 的需笊数列•・X “2 ♦ll(+a n =(x, ♦xj*||rx ni yi*y 2*IIPyJ= (nx, *2n(n -1)d b ny f *2n(n -1)d 2) =%斗.y,)+ ^0(0-1)(d 1t d 2)（2）取戻段AA A 零分广R ・R ・3 PM a ・PC—? "BC 細耐*大值奇于—14分iba^-a, =d.得=n? -*-ln(n -1)d.2J.鬲* ■(心4 ■ (Xn. % ) ■(心彳一Xn ・ y(i 4 * %) ■ (3・ 0)・从mjXn4・Xn・3, y n^-yn UJttil 1 ww,公龙为3的雪穴數判，从血j Xn・3n-2.敢外｛%｝足#效外，y n«1.山订! =2?得g.=加人.=2心•只m, =1・k, =3.・・・啟列｛叽｝是口1为白坪，公比为2的帑比数刘；效嵋(kjis以3勺冇项•公比为2的耳比数列，从而有rn, - 2nJ. kn・3 2 J.……K)分T T V T M —Ia, b,・a? * lira. d・x,m 叫♦心g ・y2b-III"> S =x.m l "x?叫♦ Ill^Xnnv =1X14-4K2*7X2： *|||*(3n -2)X 2 j................... 』25 =1x2 ^4x22+7x23 + |||*(3n-2)x2n............................... 区.3>-m t 5 十3(21 令2s+川令2^)-(3n・2) 0. ft S, =5*(3n-5)x 2n> T R = *y^2 *lll*y r k n，丿=3〈2” -1)1 -2-> -4 ―— V从血a bP b+IIHanb=S+h=(3n・2)・2 +2 ............................................. M分20. i 16分解：(1)由点M(m,n)生HR1 C 上，y *n2=1. • M(m,n)^Ktt y *ny = 1 上=Oaj. ill 弓一m2 - 2. AiUfjWfj x--■代入稀网方稈得『.丄屮得2 m m个交点(2 0)・2f饯I址懂関C切如m勺n# 0时.右竺♦(“，适綴为y S_J!L X4-1代入悟网方樫側丄J-mxr-『=0,有2 2n n 2A -m1 M g(1 *2 ) m2诃-2 铀爼MO C 切皱........................ ............. 4 分2 2丹轉：不讨— ^n2y2»n\ ny=1-—代入fl) y. x的•兀2 2(2 )・••点M(m,n)不在坐怎越上.AM ：y = ---------------------------- (覧十厲 • ft P( 0 ,m *722过点M(m.n)的5塩为|：竺个吋』■静D (o,丄).由性J ■鮒亦-2 =-2〃 •从而肖2 n 2Y 宀Q ■-+二・—^M ・ --2y D ・・••点D 是线段PO 的中点・・・・9分m+血 m -血 m -2 n(3)M (m.n).| >ny -1.1 的力|R|h|fit 3 ・(2n. un}, — >n a -1. ^(-1, 0) , F ?(1. 0),2 2Mh-f-l-m, «n)■詞-n)■记S 勺胡的史角a , 3勺晶的夬角B. ............................ 12 ；>所以cosa «cosP , f] a ・P ,从njft IMF, . MF 訂听成的文如4舟.…恂分21. ( 1«；» W: (1) ill a( )3⑵仏…4…哉说®品严当-1<片<片0乎臥 Xf-x, >0 , 1-彳>0 ,¥<的<1. -2<為♦冷<-齿,冇《2<斗4斗怙)<-1・-1<1*)^x 2(x l *x 2)<0 ・・・・ aO-aivO-•…当-耳“ <冷 s0 时.冷-片>0 . 1 -X ； >0 . 1-x?>0. 0《冰2<乎.-V5<x, *$<0. H|n(m + 2)(1 *m)z2n *mncosa =£当0^x, <Xj <1W ・ Xj-X >0 ・ 1-)^ >0 . 1 -£>0. 1 *x l x i (x,4x 2)>0.g(卷)一g(x,)>0・\、0］卸P 1）上運增.从而a 【号■ 1）上逶堆. io 分⑶充分性；当a —晋叭有f （弓—［¥，= ■》・曽SO, 乂 f ⑴=1> aaq' +q-a = 0 . f? a,从向 a=q*q 4 卅| 2 *|||.……14 分1-A好性：半 q -ODj, a «0.当 q 社0 时.ilia -q +q“ -q? + IH+q""2 卄“成之.nj 科-1 <q'<1 从向特-l<q<l. a -y^3 .■■' 2中的结论可E 】g （x ） = •'I*-1. — f ］遥械，在【一^, 1）倉8 .川饥 ~^sg （x ）v-寸战l-・・.a x)^( -1,在［ l(x) -ax'-tx-a ft不斯・故仏£,1）内疋仔在茅心qfl|q<l ・.•.右从仙a-1 <q <U1,冇 ai- —3。

虹口区2018届二模高三数学(定稿)

2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案).doc

虹口区 2017 学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间 120 分钟，满分 150 分）2018.4一．填空题（ 1～ 6 题每小题 4 分， 7～ 12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）1．已知 A ( , a] ， B [1,2] ，且 AB ，则实数 a 的范围是．2．直线 ax (a 1) y 1 0 与直线 4xay 2 0 互相平行，则实数 a．3．已知(0,) ， cos3 ，则 tan()．544．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则cos 2cos 2 cos 2．5．已知函数 f ( x)x 2 x 0 1[ f 1( 9)]2 x 1 x，则 f．6．从集合1, 1, 2, 3 随机取一个为 m ，从集合2, 1, 1, 2 随机取一个为 n ，则方程x 2 y 2．m1表示双曲线的概率为n7．已知数列 a n 是公比为 q 的等比数列，且 a 2 ， a 4 ， a 3 成等差数列，则 q_______．8．若将函数f ( x) x 6 表示成 f (x)a 0 a 1( x 1) a 2 (x 1)2 a 3( x 1)3 La 6 (x 1)6 则 a 3 的值等于．D 1C 1A 1B 19 ．如图，长方体ABCDA 1B 1C 1D 1 的边长 AB AA 1 1 ，OAD2 ，它的外接球是球O ，则 A ， A 1 这两点的球面距离等D CAB于．10．椭圆的长轴长等于 m ，短轴长等于 n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11 ． x 是不超过 x 的最大整数，则方程 (2 x )2 72 x1 0 满足 x 1 的所有实数解44是．12 ．函数 f (x) sin x ，对于 x 1 x 2x 3 L x n 且 x 1, x 2 ,L , x n 0, 8 （ n 10 ），记M f (x 1) f (x 2) f (x 2 ) f (x 3) f (x 3) f (x 4 ) Lf (x n 1) f (x n ) ，则 M 的最大值等于．二．选择题（每小题5 分，满分 20 分）13．下列函数是奇函数的是（）．A. f (x)x 1B. f ( x) sin x cos xC. f (x)arccos xx x 0 D. f ( x)xx14．在 Rt ABC 中， AB AC ，点 M 、 N 是线段 AC 的三等分点，点 P 在线段 BC 上运动且满足uuuv uuuv uuuuv uuuv k 的值为（PC k BC ，当 PM PN 取得最小值时，实数）A.1B. 1C.1D.1234815．直线 l : kx yk 10 与圆 x 2 y 28交于 A ，B 两点，且 AB4 2 ，过点 A ， B 分别作 l的垂线与 y 轴交于点 M ， N ，则 MN 等于（）A. 2 2B. 4C. 4 2D. 816．已知数列 a n 的首项 a 1a ，且 0 a 4 ， a n 1a n 4 a n 46 a na n， S n 是此数列的前 n 项和，4则以下结论正确的是（）A.．．．a 和 n 使得 S n 2015B.．．．a 和 n 使得 S n 2016不存在不存在C.．．． a 和 n 使得 S n 2017D.．．． a 和 n 使得 S n 2018不存在不存在三．解答题（本大题满分 76 分）17．（本题满分 14 分 .第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 7 分 .） A 1C 1如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，PBN 221ABAC 1, BAC ，高等于 3，点 M 1，M 2， N 1， N 2为M 2所在2线段的三等分点．P 1N 1（ 1）求此三棱柱的体积和三棱锥A 1 AM 1N 2 的体积；AM 1C（ 2）求异面直线 A 1N 2 ， AM 1 所成的角的大小．B18．（本题满分 14 分 .第（ 1）小题 7 分，第（ 2）小题 7 分 .）已知ABC 中，角 A, B,C 所对应的边分别为a, b, c ， z cos A i sin A （ i 是虚数单位）是方程z 2 z 1 0 的根， a3 .（ 1）若 B，求边长 c 的值；4（ 2）求ABC 面积的最大值 .19．（本题满分 14 分 .第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 8 分 .）uurnuuur uurur平面内的“向量列”a n ，如果对于任意的正整数，均有 an 1 a nd ，则称此“向量列”为“等．．．uruur差向量列” ， d 称为“公差向量” .平面内的“向量列” b n ，如果 b 1 0 且对于任意的正整数n ，均有uuuruur，常数 q 称为“公比” .bn 1q b n （ q 0 ），则称此“向量列”为“等比向量列”uur ur ur ur uur uur（ 1）如果“向量列” a n 是“等差向量列” ，用 a 1 和“公差向量” d 表示 a 1 a 2 L a n ；uur ur ur uur ( x n , uur（ 2）已知 a n 是“等差向量列” ，“公差向量” d (3, 0) ， a 1 (1, 1) ， a n y n ) ； b n 是ur uur ur ur uur uur uur u ur“等比向量列” ，“公比” q 2 ，b 1(1, 3)，b n (m n , k n ) .求 a 1 b 1 a 2 b 2 L a n b n ．20．（本题满分 16 分 .第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 5 分，第（ 3）小题 7 分 .）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆 C :x 2y 2 1，点 M ( m,n) 是2椭圆 C 上的任意一点，直线 l 过点 M 且是椭圆 C 的“切线” .（ 1）证明：过椭圆 C 上的点 M (m, n) 的“切线”方程是mxny 1；2（ 2）设 A ， B 是椭圆 C 长轴上的两个端点，点 M (m,n) 不在坐标轴上，直线 MA ， MB 分别交 y 轴于点 P ， Q ，过 M 的椭圆 C 的“切线” l 交 y 轴于点 D ，证明：点 D 是线段 PQ 的中点；（ 3）点 M (m,n) 不在 x 轴上，记椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ，判断过 M 的椭圆 C 的“切线” l 与直线 MF 1 ， MF 2 所成夹角是否相等？并说明理由．yAF 1OF 2Bx21．（本题满分 18 分 .第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 7 分，第（ 3）小题 8 分 .）已知函数 f ( x)ax 3 x a （ aR ， x R ）， g( x)1 x （ x R ） .x 3340 的解，求实数 a 的取值范围；（ 1）如果 x是关于 x 的不等式 f( x)2（ 2）判断 g( x) 在( 1,3434] 和[, 1) 的单调性，并说明理由；2 2（ 3）证明：函数 f (x) 存在零点 q ，使得 aq q 4 q 7 Lq 3 n 2L 成立的充要条件是 a34 ．3虹口区 2017 学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（ 1～ 6 题每小题 4 分， 7～12 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）1、 a1；2、2；3、 1 ；4、2；5、 2；6、1；7、1或 1 ；7228、20；9、； 10、 1mn ；11、 x 1 或 x 1 ；12、16；3 22二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分）13、B ；14、C ； 15、D ；16、 A ；三、解答题（本大题满分 76 分）17、（ 14 分）解 :（ 1） QSABC1 VABC ABC3 2A 1C 1，21 1 12分P 2B 1 N 2SAMA3， C 1 到平面 ABB 1 A 1 的距离等于 1 ，即 N 2 到平面M 2211P 1N 1M 1ACBABB 1 A 11VA 1 AM 1N 2VN 2 AM 1A11 3 132 2ABC A 1B 1C 13A 1AM 1N 212272AAPPP M2PC.1 1 211Q A N 2 PC AM 1 PM 12M 2PC 1A N AM 1111 2.9Q PM2 AM12 PC2M2 C6 .11cosM 2PC 12 2 6122 2.2A 1N 2 AM 13 .1418 141 z2z 10z1 3i .222cos A 13.4sin A2 A32sin C sin56 4 2c a c3 26712sin C sin A22 Q a 2b 2c 2 2bc cos A .9 b 2 c 2 bc 2bc bc bc bc9b cSmax1bc sin A 9 3 .ABC9 3 .142 44uur( x ,y ur ( d ,d ) .19 141a) dnnn 1 2uuur uurur x n 1 x nd 1x nx 1d 1y na n 1 a ndy n 1 y n d 2y 1d 2.3ur uur uura 1 a 2 La n （ x 1 x 2 Lx n , y 1 y 2 Ly n )(nx 11 n(n 1)d 1, ny 1 1n(n 1)d 2 ) n( x 1 , y 1 )1n(n 1)(d 1 , d 2 )uv2 uv 221na 1n(n1)d .6 分2uuruur ( x n ,（ 2）设 a n y n ) ， b n (m n , k n ) .uuur uur由 a n 1 a n ( x n 1 , y n 1) ( x n , y n ) ( x n 1 x n ,y n 1 y n ) (3, 0) ，从而 x n1x n3 ，y n 1yn0 .数列 x n 是以 1 为首项，公差为 3 的等差数列，从而 x n 3n 2 .数列 y n 是常数列， y n 1 .uuur uur 由 b n 1 2b n 得 m n 1 2m n ， k n 1 2k n ，又 m 1 1 ， k 1 3 ，数列 m n 是以 1 为首项，公比为 2的等比数列；数列k n 是以 3 为首项，公比为 2 的等比数列，从而有 m n2n 1 ， k n 3 2n 1.10分ur ur uur uur uur uura 1b 1 a 2 b 2 L a n b n x 1m 1 x 2m 2 Lx n m n y 1k 1 y 2k 2 Ly n k n令 S nx 1m 1 x 2m 2 L x n m n1 1 42 7 22 L (3n 2)2n 1 ①2S n 1 24 22 7 23 L(3n 2) 2n ② .① - ②得， S n1 3(2 2223 L2n 1 ) (3n 2) 2n ，得 S n5(3n 5) 2n令 T ny 1k 1 y 2k 2 Ly n k n3 (1 2n ) 3 (2 n 1)1 2ur ur uur uuruuruur2) 2n从而 a 1 b 1 a 2 b 2 La nb nS n T n (3n214 分20、（ 16 分解：（ 1）由点 M (m,n) 在椭圆 C 上，有m 2n 21， M (m, n) 在直线mxny 1上22当 n0 时，由 m 2 n 2 1 ，得 m 22 ，直线方程为 x 2 ，代入椭圆方程得 y 2m 2 20 ，得2mm 2一个交点（2, 0) ，直线 l 是椭圆 C 切线 .m当 n 0 时，有m 2n21 ，直线为 ym x 1代入椭圆方程得 1x 2 mx 1 n 2 0 ，有22nn2m241(1 n 2 ) m 2 2n 22 0 ，直线是椭圆 C 切线 .4 分2另解：不讨论将椭圆方程化为n 2x2n 2 y2n 2，将直线方程 ny1mx代入消 y ，得到 x 的一元二22次方程，然后证明2Q M (m, n)AM : yn ( x 2) P(0,2n ) .m2m2BM : yn ( x 2)Q (0,m 2n)6 m 22M (m, n)l : mxny1D(0,1 ) . m 2n 2 1m 222n 22n2y P y Q2n2n4n 2 2y DD PQ .9m2m2m22n3 M ( m,n) ,: mx1 , lurm22l ny d(2 n, m)n 1. F 1( 1,F 2 (1,220） 0）uuuuruuuururuuuururuuuurMF 1 ( 1 m,n) MF 2 (1 m,n)d MF 1d MF 2 .12ur uuuurn(m 2)2 ncos d MF 12n mnur uuuur 4n 2 m 2(1 m)2 n 24n 2d MF 14n 222m 2m 2m2ur uuuurn(2 m) 2 ncosd MF 22n mnur uuuur4n 2m 2(1 m)2n 224n 2 m 2d MF 24n 2m 2m22coscoslMF 1 MF 2.1634 )3 34 )3421 18(1)a(( a 0a332 22xx ()( ) x 2 x 1 ( x 2 x 1 )[1 x 1 x 2( x 2 x 1 )]21g x 2g x 1 1 x 23 1 x 13 (1 x 23 )(1 x 13 )1 x 1x 23433 032x 1 x 2 134x 2x 1 0 1 x 20 1 x 122 x 1 x 222 x 1x 2( x 1 x 2 )111 x 1 x 2( x 1 x2 ) 0g( x 2 ) g( x 1 ) 0 .634x 1 x 20x x0 1 x 31 x 30 0 x 1x 23234 x x 022 1212121 x 1 x 2( x 1 x2 ) 0 0 1 x 1x 2( x 1x 2 ) 1g( x 2 ) g( x 1 ) 0 .0 x 1x 2 1x 2 x 10 1 x 23 0 1 x 130 1 x 1x 2( x 1 x 2 ) 0g( x 2 ) g( x 1 ) 0 .g( x) 在(1,34]递减，在 [ 34 , 0] 和[0, 1) 上递增，从而在 [34 , 1) 上递增 .10 分222(3) 充分性：当 a34 时，有 f (34 ) a34 a3 a 34 0 ，又 f (1) 1 0 ，函数32222 2f ( x) ax3x a 在 [31,1) 内的图像连续不断，故在[ 3 1,1) 内一定存在零点 q 且 q 1 ，有22aq 3 q a 0 ，得 a1 q ，从而 a q q 4 q 7 Lq 3n 2 L .14分q 3必要性：当 q 0 时， a 0 .当 q0 时，由 a q q 4 q 7 Lq 3n 2L 成立，可得 1 q 3 1 从而得 1 q 1 ，aq ，1 q 3由（ 2）中的结论可知 g(x)x 在( 1, 34 ] 递减，在 [34 , 1) 递增，从而， 34g( x)1 或x 322 321g( x)34.3从而 aq ， 1 q 1 时，有 a34 .18分1 q 33。

上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控(二模)数学试题

O C 1D 1B 1A 1DCBA虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分） 2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1．已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B φ⋂≠，则实数a 的范围是． 2．直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = ． 3．已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222c os c os c os αβγ++= ．5．已知函数2()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为． 7．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = _______． 8．若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++- 则3a 的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA == ，2AD = ，它的外接球是球O ，则A ，1A 这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______. 11．[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是．12．函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<< 且[]12,,,0,8n x x x π∈ （10n ≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++- ，则M 的最大值等于．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（）．.A ()1f x x =+ .B ()s i n c o s f x x x =⋅.C ()a r c c o s f x x= .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅ ，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且42AB =，过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（）.A 22 .B 4 .C 42 .D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．P 2P 1C 1B 1A 1N 2N 1M 2M 1CBA18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-= ，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++ ；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d = ，1(1,1)a = ，(,)n n n a x y = ；{}nb是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b = ，(,)n n n b m k = .求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．OF 2F 1BAxy20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，M B 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.）已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），错误！未找到引用源。

2018年上海市虹口区高考数学二模试卷含详解

2018年上海市虹口区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知A=（﹣∞，a]，B=[1，2]，且A∩B=∅，则实数a的范围是2．（4分）直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则实数a= 3．（4分）已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=．4．（4分）长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=5．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]=6．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程表示双曲线的概率为7．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=．8．（5分）若将函数f（x）=x6表示成f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x ﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB=AA1=1，AD=，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．10．（5分）椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为11．（5分）[x]是不超过x的最大整数，则方程（2x）2•[2x]满足x＜1的所有实数解是12．（5分）函数f（x）=sinx，对于x1＜x2＜x3＜…＜x n且x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），记M=|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f （x n）﹣f（x n）|，则M的最大值等于﹣1二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x+1B．f（x）=sinx•cosxC．f（x）=arccosx D．f（x）=14．（5分）在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．15．（5分）直线l：kx﹣y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，且|AB|=4，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（）A．2B．4C．4D．816．（5分）已知数列{a n}的首项a1=a，且0＜a≤4，a n+1=，S n是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A．不存在a和n使得S n=2015B．不存在a和n使得S n=2016C．不存在a和n使得S n=2017D．不存在a和n使得S n=2018三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．18．（14分）已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA （i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．（1）若B=，求边长c的值；（2）求△ABC面积的最大值．19．（14分）平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=q（q≠0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”．（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知{}是“等差向量列”，“公差向量”=（3，0），=（1，1），=（a n，y n），{}是“等比向量列”，“公比”q=2，=（1，3），=（m n，k n），求．20．（16分）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．21．（18分）已知函数f（x）=ax3+x﹣a（a∈R，xR），g（x）=（x∈R）．（1）如果x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，求实数a的取值范围；（2）判断g（x）在（]和[）的单调性，并说明理由；（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．2018年上海市虹口区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知A=（﹣∞，a]，B=[1，2]，且A∩B=∅，则实数a的范围是（﹣∞，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】由集合A，B，以及A∩B即可得出a＜1．【解答】解：∵A∩B=∅；∴a＜1；∴实数a的范围为（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】考查区间表示集合的概念，交集的概念及运算．2．（4分）直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则实数a=2【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5B：直线与圆．【分析】根据两直线平行的条件列出方程求得a的值．【解答】解：直线ax+（a﹣1）y+1=0与直线4x+ay﹣2=0互相平行，则a2﹣4（a﹣1）=0，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查了直线方程平行条件的应用问题，是基础题．3．（4分）已知α∈（0，π），cosα=﹣，则tan（α+）=．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数关系式求解sinα，可得tanα，结合正切的和与差公式即可求解tan（α+）的值．【解答】解：由α∈（0，π），cosα=﹣，α在第二象限．∴sinα==．则tanα=．则tan（α+）===．故答案为：．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式，正切的和与差公式的应用，属于基本知识的考查．4．（4分）长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2【考点】L2：棱柱的结构特征．【专题】35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】跟据题意知，分别找出对角线AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，与面AD1所成的角为∠C1AD1=β；与面AC所成的角为∠C1AC=γ；，并且求出它们的余弦值，可求cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解：设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中三边为a、b、c，如图对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，=2∴则cos2α+cos2β+cos2γ=2，故答案为：2．【点评】考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．5．（4分）已知函数f（x）=，则f﹣1[f﹣1（﹣9）]=﹣2【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】推导出，从而f﹣1（﹣9）=3，进而f﹣1[f﹣1（﹣9）]=f﹣1（3），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴x≥0时，y=﹣x2，x=，x，y互换，得，x≤0，x＜0时，y=2﹣x﹣1，x=﹣log2（y+1），x，y互换得f﹣1（x）=﹣log2（x+1），x＞0，∴，∴f﹣1（﹣9）=3，f﹣1[f﹣1（﹣9）]=f﹣1（3）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（4分）从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，则方程表示双曲线的概率为【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】基本事件总数N=4×4=16，由方程表示双曲线，得mn＜0，从而方程表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，由此能求出方程表示双曲线的概率．【解答】解：∵从集合{﹣1，1，2，3}随机取一个为m，从集合{﹣2，﹣1，1，2}随机取一个为n，∴基本事件总数N=4×4=16，∵方程表示双曲线，∴mn＜0，∴方程表示双曲线包含的基本事件个数M=3×2+1×2=8，∴方程表示双曲线的概率为p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查双曲线、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7．（5分）已知{a n}是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q=或1．【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】先利用等比数列的性质分别用a2和q表示出a3和a4，进而代入2a4=a2+a3中求得q．【解答】解：a3=qa2，a4=q2•a2∵a2，a4，a3成等差数列∴2a4=a2+a3即2a2•q2=a2+q•a2解得，q=1或﹣故答案为1或﹣【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．8．（5分）若将函数f（x）=x6表示成f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x ﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于20【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；38：对应思想；4A：数学模型法；5P：二项式定理．【分析】由f（x）=x6=[（x﹣1）+1]6，展开即可求得a3的值．【解答】解：∵f（x）=x6=[（x﹣1）+1]6，∴a3（x﹣1）3=，则．故答案为：20．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，是基础题．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB=AA1=1，AD=，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于．【考点】L*：球面距离及相关计算．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】求出球的半径和∠AOA1，根据弧长公式得出答案．【解答】解：A1C==2，∴外接球半径为OA1=A1C=1，∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1=，∴球A、A1这两点的球面距离为=．故答案为：．【点评】本题考查了球面距离的计算，属于基础题．10．（5分）椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，分析可得椭圆中a=，b=，则椭圆的方程为+=1，进而设x=cosθ，y=sinθ，则有椭圆的内接矩形的面积S=|2x||2y|=4|xy|=|sin2θ|，结合正弦函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，即2a=m，2b=n，则有a=，b=，则椭圆的方程为+=1，设x=cosθ，y=sinθ，则椭圆的内接矩形的面积S=|2x||2y|=4|xy|=|sin2θ|，又由|sin2θ|≤1，则S≤，当θ=时等号成立；即此椭圆的内接矩形的面积的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的参数方程的应用．11．（5分）[x]是不超过x的最大整数，则方程（2x）2•[2x]满足x＜1的所有实数解是x=或x=﹣1【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】35：转化思想；4C：分类法；51：函数的性质及应用．【分析】分0≤x＜1，x＜0，分别求解符合条件的x．【解答】解：当0≤x＜1，[2x]=1，∴（2x）2=2⇒x=符合题意；当x＜0，[2x]=0，∴（2x）2=⇒x=﹣1符合题意，∴满足条件的所有实数解为x=或x=﹣1．故答案为：或﹣1【点评】本题考查了新定义问题，分类思想，属于中档题．12．（5分）函数f（x）=sinx，对于x1＜x2＜x3＜…＜x n且x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），记M=|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f ）﹣f（x n）|，则M的最大值等于16（x n﹣1【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据正弦函数的图象及性质x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），在[0，8π]有4个周期，要使M的最大值，则|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f （x3）﹣f（x4）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|最大．则x1，x2，…x n都是顶点的横坐标．可得结论．【解答】解：根据正弦函数的图象及性质x1，x2，…x n∈[0，8π]（n≥10），在[0，8π]有4个周期，要使M的最大值，则|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+|f（x3）﹣f（x4）|+…+|f（x n﹣1）﹣f （x n）|最大．则x1，x2，…x n都是顶点的横坐标．故得M最大值为4×4=16．故答案为：16【点评】本题考查正弦型三角函数的图象性质的应用．属于基础题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x+1B．f（x）=s inx•cosxC．f（x）=arccosx D．f（x）=【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x+1，则f（﹣x）=﹣x+1，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f （x），则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）=sinxcosx，则f（﹣x）=sin（﹣x）cos（﹣x）=﹣sinxcosx=﹣f（x），函数f（x）为奇函数，符合题意；对于C，f（x）=arccosx，为反三角函数，则函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；对于D，f（x）=，有f（﹣x）=f（x），函数f（x）为偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，注意函数奇偶性的判定方法．14．（5分）在Rt△ABC中，AB=AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足=k，当取得最小值时，实数k的值为（）A．B．C．D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面向量数量积的最小值与对应点P的坐标，即可求出k的值．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；设AB=AC=3，点P（x，3﹣x），M（1，0），N（2，0），则•=2x2﹣9x+11，其中x∈[0，3]，∴当x=时•取到最小值，此时P（，），∴k==．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．15．（5分）直线l：kx﹣y+k+1=0与圆x2+y2=8交于A、B两点，且|AB|=4，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（）A．2B．4C．4D．8【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】35：转化思想；48：分析法；5B：直线与圆．【分析】由|AB|=4等于圆的直径，可得直线l：kx﹣y+k+1=0经过原点，从而求出k=﹣1，则|MN|可求．【解答】解：∵|AB|=4等于圆的直径，∴直线l：kx﹣y+k+1=0经过原点，∴k=﹣1，∴|MN|=AB=8．故选：D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1=a，且0＜a≤4，a n+1=，S n是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A．不存在a和n使得S n=2015B．不存在a和n使得S n=2016C．不存在a和n使得S n=2017D．不存在a和n使得S n=2018【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】令a1=1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1=2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，问题得以解决．【解答】解：令a1=1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1=2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选：A．【点评】本题考查了数列的递推公式，关键是利用特值法，属于中档题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1﹣AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2、AM1所成的角的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．×AA1；三棱锥A1﹣AM1N2的体积【分析】（1）三棱柱的体积V=S△BAC=．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1N2、AM1所成的角．【解答】解：（1）∵直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，，高等于3，∴此三棱柱的体积V=S×AA1==．△BAC∵点M1、M2、N1、N2为所在线段的三等分点．M1到平面AA1N2的距离d=AB=1，∴三棱锥A1﹣AM1N2的体积：==×d==．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，3），N2（0，1，2），A（0，0，0），M1（1，0，1），=（0，1，﹣1），=（1，0，1），设异面直线A1N2、AM1所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=，∴异面直线A1N2、AM1所成的角为．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18．（14分）已知△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA（i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．（1）若B=，求边长c的值；（2）求△ABC面积的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）方程z2﹣z+1=0的解为i，从而A=再由B=，a=3，利用正弦定理能求出边长c的值．（2）由a=3，A=，得△ABC的面积S=，由此能求出△△ABCABC面积取最大值．【解答】解：（1）∵△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，z=cosA+i•sinA （i是虚数单位）是方程z2﹣z+1=0的根，a=3．方程z2﹣z+1=0的解为i，∴A=，∵B=，∴由正弦定理得：，即==，解得b=，c=．==，（2）∵a=3，A=，∴△ABC的面积S△ABC当AB=AC=BC=a=3时，△ABC面积取最大值为S==．【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的最大值求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．（14分）平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”，平面内的“向量列”{}，如果对于任意的正整数n，均有=q（q≠0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q称为“公比”．（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；（2）已知{}是“等差向量列”，“公差向量”=（3，0），=（1，1），=（a n，y n），{}是“等比向量列”，“公比”q=2，=（1，3），=（m n，k n），求．【考点】8L：数列与向量的综合．【专题】34：方程思想；4H：作差法；54：等差数列与等比数列；5A：平面向量及应用．【分析】（1）运用等差数列的求和公式和向量的加减运算，即可得到所求和；（2）求得•=（3n﹣2，1）•（2n﹣1，3•2n﹣1）=（3n﹣2）•2n﹣1+3•2n﹣1=（3n+1）•2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）如果“向量列”{}是“等差向量列”，由和“公差向量”，=n+（1+2+…+n﹣1）=n+；（2）•=（3n﹣2，1）•（2n﹣1，3•2n﹣1）=（3n﹣2）•2n﹣1+3•2n﹣1=（3n+1）•2n﹣1，S n==4•20+7•21+…+（3n+1）•2n﹣1，2S n=4•2+7•22+…+（3n+1）•2n，相减可得﹣S n=4+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n+1）•2n=4+3•﹣（3n+1）•2n，化简可得=（3n﹣2）•2n+2．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列、等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．20．（16分）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆C：，点M（m，n）是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”．（1）证明：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点M（m，n）不在坐标轴上，直线MA、MB分别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点；（3）点M（m，n）不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等？并说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）方法一：设切线方程，代入椭圆方程，由M在椭圆方程，利用△=0，即可求得k的值，求得“切线”方程是；方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△=0，则直线与椭圆只有一个交点，故直线与椭圆相切；（2）求得直线MA，MB的方程，令x=0，即可求得P和Q点坐标，令x=0，求得D点坐标，由y P+y Q=2y D，即可求得点D是线段PQ的中点；（3）求得交点坐标，即可求得MF1及MF2斜率，根据直线的夹角公式，求得tanθ1=tanθ1，过M的椭圆C的“切线”l与直线MF1、MF2所成夹角是否相等【解答】解：（1）方法一：当n=0时，m=±，则切线方程x=±，满足，当m≠0时，设直线y=k（x﹣m）+n，联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4k（km﹣n）x+2（km﹣2）2﹣2=0，由△=16k2（km﹣n）2﹣4×（1+2k2）[2（km﹣2）2﹣2]=0，整理得：（2﹣m2）k2+2mnk+1﹣n2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，1﹣n2=，∴2n2k2+2mnk+=0，则（nk+）2=0，解得：k=﹣，∴切线方程y=﹣（x﹣m）+n，整理得：；综上可知：过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；方法二：由直线，整理得：mx+2ny=2，，整理得：（2n2+m2）y2﹣4ny+2﹣m2=0，由M（m，n）在椭圆上，则，2﹣m2=2n2，2n2+m2=2，则y2﹣2ny+n2=0，则△=0，∴过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是；（2）由椭圆的左顶点A（﹣，0），右顶点B（，0），由直线MA的方程：y=（x+），令x=0，则y P=，同理y Q=，切线方程，令x=0，则y D=y P+y Q===2y D，∴点D是线段PQ的中点；（3）相等，由椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），过椭圆C上的点M（m，n）的“切线”方程是，则直线MF1的斜率=，直线MF2的斜率=，则切线的斜率k=，由夹角公式tanθ1=||=，tanθ1=||=，所以所成夹角相等．【点评】本题考查椭圆的标准方程的性质，直线的切线方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查直线夹角公式的应用，中点坐标公式，考查转化思想，属于中档题．21．（18分）已知函数f（x）=ax3+x﹣a（a∈R，xR），g（x）=（x∈R）．（1）如果x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，求实数a的取值范围；（2）判断g（x）在（]和[）的单调性，并说明理由；（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，可得≤0，解出即可得出．（2）g′（x）==，利用导数研究其单调性即可得出．（3）函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．a=成立，根据无穷等比数列相关性质，q∈（﹣1，1），q≠0，结合第（2）问，a=在（]上单调递减，在[）上单调递增．可得a≥=．【解答】解：（1）x=是关于x的不等式f（x）≤0的解，∴=a﹣﹣a≤0，解得：a≥﹣．∴实数a的取值范围是．（2）g′（x）==，∴函数g（x）在（]上单调递减，在[）上单调递增．（3）证明：函数f（x）存在零点q，使得a=q+q4+q7+…+q3n﹣2+…成立的充要条件是a．∴a=成立，根据无穷等比数列相关性质，q∈（﹣1，1），q≠0，结合第（2）问，a=在（]上单调递减，在[）上单调递增．∴a≥==﹣．反之亦然．【点评】本题考查了函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值、不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

虹口区高三二模数学word版附解析

年虹口区高三二模数学word版(附解析)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且AB ≠∅，则实数a 的范围是2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程 221x y m n+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =，它的外接球是球O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（） A.12 B. 13 C. 14D. 1815. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||42AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（）A. 22B. 4C. 42D. 8 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x =-（x ∈R ）. （1）如果342x -=是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在34(1,]2--和34[,1)2-的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是343a -≥.上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【解析】画数轴，1a ≥2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=⇒=3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=【解析】设三边为a 、b 、c ，对角线为d ，∴2222a b c d ++=2222cos a b d α+=，2222cos b c d β+=，2222cos c a dγ+=，∴222cos cos cos 2αβγ++= 也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】12,0()log (1),0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==-6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为【解析】32121442⨯+⨯=⨯7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q =【解析】22342210a a a q q +=⇒--=，∴1q =或12q =-8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【解析】66[(1)1]x x =-+，33620a C ==9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，2AD =，它的外接球是球O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【解析】外接球半径为1，3πα=，球面距离为3π 10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为2mn 11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =，∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【解析】由()()f x f x -=-，选B14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（） A.12 B. 13 C. 14 D. 18【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ⋅=-+，[0,3]x ∈，∴94x =时取到最小值，此时14PC k BC ==，选C15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||42AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（）A. 22B. 4C. 42D. 8【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，28MN AB ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S = 【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.【解析】（1）13322V =⨯=；1121121311322A AM N M A AN V V --==⨯⨯=（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为3π18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值. 【解析】（1）解为1322i ±，∴3A π=，由正弦定理6b =，6322c +=；（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==时，面积最大，为934.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.【解析】（1）121(1)2n n n a a a na d -++⋅⋅⋅+=+；（2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---⋅=-⋅⋅=+⋅，错位相减求和为(32)22n n -⋅+20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+，联立椭圆，0∆=，可证结论；（2）:(2)2MA nl y x m =++，∴22P n y m =+，同理22Q n y m -=-，1D y n =24222P Q D n y y y m n-+===-，即点D 是线段PQ 的中点（3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2mk n-=切，由夹角公式1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，所以所成夹角相等.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x =-（x ∈R ）. （1）如果342x -=是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在34(1,]2--和34[,1)2-的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是343a -≥.11 【解析】（1）3344()023f a -≤⇒≥-；（2）根据单调性定义分析，在34(1,]2--上递减，在34[,1)2-上递增；（3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明 473231n q a q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-，结合第（2）问，31q a q =-在34(1,]2--上递减，在34[,1)2-上递增， ∴33min 344()()123q a g q -≥==--，反之亦然.。

上海2018届高三二模数学卷—三角函数汇编

上海2018届高三二模数学卷——三角函数汇编1. （2018宝山二模4）函数()x x x f 4cos 4sin 2=()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 答案：4π 2. （2018宝山二模12）将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S .3.（2018虹口二模3）已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4.（2018虹口二模12）函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=5.（2018虹口二模）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.【解析】（1）解为12，∴3A π=，由正弦定理b =c =（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==时，面积最大，为4.6.（2018杨浦二模9）若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为．答案：2424.77-或（2018杨浦二模13）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为（） )(A4π )(B 2π )(C 2π-)(D 3π-答案： C（2018黄浦二模4）已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是．答案：4π（2018黄浦二模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知10,(010)OA OB x x ==<<米米，线段BA CD 、线段与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度． (1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值．答案：解 (1)根据题意，可算得弧BC x θ=⋅(m )，弧10AD θ=(m ). 又30BA CD BC CD +++=弧弧，于是，10101030x x x θθ-+-+⋅+=，所以，210(010)10x x x θ+=<<+.xy O12π4π1-(2) 依据题意，可知22111022OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇化简，得2550yx x =-++25225()24x =--+. 于是，当52x =(满足条件010x <<)时，max 2254y =(2m ).答所以当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米.（2018静安二模15）函数的部分图像如图所示，则)3(πf 的值为（）． A ．22 B 3 C ．26D ． 0答案：C（2018闵行二模18）已知函数()3cos f x x x ωω=+. （1）当()03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，3a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω= （2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =（2018青浦二模3）若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．答案：13（2018青浦二模18）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知向量(cos,1)2x m =-，2(3sin ,cos )22x xn =，设函数()1f x m n =⋅+．（1）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求x 的值； ()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 2,b A c ≤求()f B 的取值范围．解：（1）21cos ()cos cos 112222x x x xf x x +=-+=-+111cos sin()2262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+ （2）由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得2sin cos 2sin()B A A B A ⇒≤+2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ⇒≤+-2sin cos cos (0,]6A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即（2018崇明二模15）将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫ ⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6πB ．t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．t ，s 的最小值为3π答案：C（2018崇明二模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．）如图，某公园有三条观光大道,,AB BC AC 围成直角三角形，其中直角边200BC =m ，斜边400AB =m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,AB BC AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点,,D E F ．（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF θ∠=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．19、解（1）6π=w ………………………………………………………………………2分⎩⎨⎧=-=+100500A k k A ……………………………………………………………………1分⎩⎨⎧==300200k A ………………………………………………………………………2分 32πθ=…………………………………………………………………………2分()300326cos 200+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴ππn n f ………………………………………………………1分（2）令()()400cos ≥++=k wn A n f θ……………………………………………2分21326cos ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒ππn []()Z k k k n ∈--∈⇒212,612[]12,1∈n[]10,6∈∴n 10,9,8,7,6=⇒n …………………………………………………3分答：一年中10,9,8,7,6月是该地区的旅游“旺季”。

2018年虹口区高考数学二模含答案

2018年虹口区高考数学二模含答案O 1D 1B 1A DB2018年虹口区高考数学二模含答案（时间120分钟，满分150分） 2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B φ⋂≠，则实数a 的范围是．2．直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = ．3．已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos coscos αβγ++=．5．已知函数20()210xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]ff ---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m ，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}na 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = _______．8．若将函数6()f x x =表示成值等23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的于．9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的边11AB AA == ，2AD =，它的外接球是球O ，则A ，1A 这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是．12．函数()sin f x x=，对于123nx xx x <<<<且[]12,,,0,8n x x x π∈（10n ≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-，则M 的最大值等于．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（）．.A ()1f x x =+.B ()sin cos f x x x=⋅.C ()arccos f x x=.D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（）.A 12 .B 13 .C 14.D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228xy +=交于A ，B 两点，且42AB =A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN等于（）.A 22.B 4 .C42.D 8（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}na ，如果对于任意的正整数n ，均有1n na a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}nb ，如果01≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n nbq b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列”{}na 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12na a a +++；（2）已知{}na 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)nn n ax y =；{}nb 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n na b a b a b ⋅+⋅++⋅．OF 2F 1BAxy20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，M B 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.）已知函数3()f x ax x a=+-（a R ∈，x R ∈），3()1x g x x =-（x R ∈）.（1）如果x -34是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在--34(1,]和-34[,1)的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++++成立的充要条件是343a ≥．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1、1a ≥； 2、2； 3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-；8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ；三、解答题（本大题满分76分） 17、（14分）解:（1） 12ABC S ∆=，∴ 11132ABC A B C V-= (2)分1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴112211131322A AM N N AM A V V --==⨯= ∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分（2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12PM ，1PC.12A N ∥1PC ，1AM ∥12PM ，∴21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分1212PM AM ==12PC =，26M C =.∴211cos 2222M PC ∠==-⨯⨯.∴异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为132z =±.…………2分1cos 2A ∴=，3sin A =，3A π= .…………4分 ∴ 562sin sin12C π+== ，sin sin c a C A = ，得326c +=……………7分 P 2P 1C 1B 1A N 2N 1M 2M 1B（2）2222cos a b c bc A=+-.∴2292b c bc bc bc bc=+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 193sin 2S bc A ==.∴ABC∆的面积的最大值等于934.……………14分19、（14分）解：（1）设(,)nn n a x y =，12(,)d d d =.由1n n aa d+-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}nx 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}ny 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d=+-.………………6分（2）设(,)nn n a x y = ，(,)nn n bm k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，1n n yy +-=.数列{}nx 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32nxn =-.数列{}ny 是常数列，1ny=.由12n nbb +=得12n nmm +=，12n nkk +=，又11m =，13k=，∴数列{}nm 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}nk 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n nm -=，132n nk-=⋅ (10)分112211221122n n n n n na b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①232124272(32)2nn S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，23113(2222)(32)2n nn S n --=+++++--⋅，得5(35)2nnS n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n nn n Ty k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+ (14)分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mxny +=上当0n =时，由2212m n +=，得22m=，直线方程为2x m =，代入椭圆方程得22220m y m-==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线.当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n=-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202mn m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mx ny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆=（2）点(,)M m n 不在坐标轴上，:2)2AM y x m =++，得2(0,2nP m +.:2)2BM y x m =--，得2(0,2nQ m --……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n.由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有222422222P Q Dn n n yy y m nm m --+=+===-+-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mxl ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 与1MF 的夹角α，d 与2MF 的夹角β.………12分1222222221(2)22cos 24(1)4422n m n d MF n mn d MF n m m nn mn m m α+⋅+====+⋅++++⋅+， 2222222222(2)22cos 24(1)4422n m n d MF n mnd MF n m m nn mn m m β-⋅-====+⋅-+++⋅-所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1) 由33344((022a a -+--≤，得343a ≥ ………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=----当x x --<<≤312412时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，312212x x <，31224x x -<+<-有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g x g x -<.………………6分当312402x x -<≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，312202x x ≤<，31240x x -+<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴21()()0g x g x ->.∴()g x 在34(1,]--递减，在34[,0]-和[0,1)上递增，从而在34[1)-上递增.………10分(3) 充分性：当343a ≥-时，有3334434(022222a f a a -=---=--≤，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a=+-在31[,1)2内的图像连续不断，故在31[,1)2内一定存在零点q 且1q < ，∴有3aqq a +-=，得31q a q =-，从而4732n a q qq q -=+++++.……14分必要性：当0q =时，0a =.当0q ≠时，由4732n a q qq q -=+++++成立，可得311q-<<从而得11q -<<，31q a q =-，由（2）中的结论可知3()1xg x x =-在34(1,2--递减，在34[1)2-递增，从而，341()32g x -<-或34()3g x ≥-.从而31q a q =-，11q -<<时，有34a ≥.………………18分。

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1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）2018.4一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222c o s c o s c o sαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q=_______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A BC D-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<且[]12,,,0,8nx x xπ∈（10n≥），记1223341()()()()()()()()n nM f x f x f x f x f x f x f x f x-=-+-+-++-，则M的最大值等于．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（）．.A ()1f x x =+ .B ()s i n c o sf x x x =⋅.C ()arccos f x x = .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（）.A.B 4 .C.D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积；（2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =.P 2P 1C 1A N 2N 1（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01 ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=；（2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，M B 分别交y 轴于x点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等？并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.）已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x =-（x R ∈）. （1）如果x =2是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[1)2的单调性，并说明理由；（3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++成立的充要条件是a ≥虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ；三、解答题（本大题满分76分） 17、（14分）解:（1） 12ABCS ∆= ，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面P 2P 1C 1A N 2N 111ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分（2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12PM ，1PC .12A N ∥1PC ，1AM ∥12PM ，∴ 21M PC ∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分121PM AM ==1PC，2M C = . ∴211cos 2M PC ∠==-.∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为12z =±.…………2分 1cos 2A ∴=，sin A = ，3A π= .…………4分 ∴5sin sin12C π== ，sin sin c a C A =，得c =7分（2）2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时m a x 13s i n 2S bc A ==.∴ABC ∆.……………14分19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =，12(,)d d d =.由1n n a a d +-=，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y 是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d =+-.………………6分（2）设(,)n n n a x y = ，(,)n n n b m k =.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =. 由12n n b b +=得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯…………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅，得5(35)2n n S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m =，代入椭圆方程得22220m y m-==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n =-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mx ny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆= （2）点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,)P. :BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mx l ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---，2(1,)MF m n =--，记d 与1MF 的夹角α，d 与2MF 的夹角β.………12分11cos 4d MF d MFα⋅====22cos 4d MF d MFβ⋅====，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1) 由3((0a a +-≤，得a ≥ ………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=---- 当x x-<<≤1212时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1212x x <， 122x x -<+有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g xg x -<.………………6分当1202x x -≤<≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1202x x ≤<120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->.∴ ()g x 在(1,-递减，在[0]和[0,1)上递增，从而在[1)上递增.………10分(3) 充分性：当a ≥时，有3(022a f a a =-=-，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[内的图像连续不断，故在[内一定存在零点q 且1q < ，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++.……14分必要性：当0q =时，0a =. 当0q ≠时，由4732n a q q q q -=+++++成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q=-，由（2）中的结论可知3()1x g x x =-在(1,]2--递减，在[1)2-递增，从而，1()32g x -<-或()g x ≥.从而31q a q =-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。

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