2014成都二诊数学理含答案(word版)

成都市2014届高三第二次诊断性考试
数学（理工类）
第I 卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10个小题，每个小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.
1. 设复数3z i =+（i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针转90得到OB ，则点B 在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为7，则输出x 的值为
A. 2
B. 3
C. 2log 3
D. 14 3. 10(1)x -的展开式中第6项的系数是
A. 510C -
B. 510C
C. 610C -
D. 610C -
4. 在直角平面坐标系xOy 中，P 为不等式组12010y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
所表示的平面区
域上一点，则直线OP 斜率的最大值为
A. 2
B. 1
C. 12
D. 13
5. 已知α，β是两个不同的平面，则“平面α//平面β”成立的一个充分条件是
A. 存在一条直线,,//l l l αβ⊂
B. 存在一个平面,,γγαγβ⊥⊥
C. 存在一条直线,,l l l αβ⊥⊥
D. 存在一个平面,//,γγαγβ⊥
6. 设命题000000:,,cos()cos cos p R αβαβαβ∃∈+=+；命题:,,q x y R x ∀∈≠
且,,22k y k k Z ππππ+≠+∈，若x y >，则tan tan x y >.则下列命
题中真命题的是 A. p q ∧ B. ()p q ∧⌝ C. ()p q ⌝∧ D. ()()p q ⌝∧⌝
7. 已知P 是圆22(1)1x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若||OP d =，则函数()d f θ=的大致图像是
8. 已知过定点(2,0)的直线与抛物线2x y =相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点.若12,x x 是方程2sin cos 0x x αα+-=的两个不相等实数根，则tan α的值是 A.
12 B. 12
- C. 2 D. 2- 9. 某市环保部门准备对分布在该市的A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 等8个不同监测点的环境监测设备进行检测维护.要求在一星期内的星期一至星期五检测维护完所有监测点设备，且每天至少去一个监测点进行检测维护，其中A 、B 两个监测点分别安排在星期一和星期二，C 、D 、E 三个监测点必须安排在同一天，F 监测点不能安排在星期五，则不同的安排方法种数为
A. 36
B. 40
C. 48
D. 60
10. 已知定义在[0,)+∞上的函数()f x ，当[0,1]x ∈时，1()24||2f x x =--；当1x >时，()(1),,f x af x a R a =-∈为常数.有下列关于函数()f x 的描述：
○1当2x =时，3()42
f =； ○
2当||1a <时， 函数()f x 的值域为[2,2]-； ○3当0a >时，不等式1
2()2x f x a -≤在[0,)+∞上恒成立；
○4当10a -<<时，函数()f x 的图像与直线1*2()n y a n N -=∈在[0,]n 内交点个数为1(1)2
n
n +--. 其中描述正确的个数有
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第II 卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共25分.
11. 如图所示的正三角形是一个圆锥的侧视图，则这个圆锥的侧面积为_______.
12. 已知定义在(0,)+∞上的函数()3x f x =，若()9f a b +=，则()f ab 的最大值为_______.
13. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示.如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是______.
14. 如图，在平行四边形ABCD 中BH CD ⊥于点H ，BH 交AC 于点E ，已知||3BE =，215AB AC AE AC BE CB AE -⋅+⋅-⋅=，则||||AE EC =__. 15. 已知单位向量i ，j ，k 的夹角为(0,)2π
θθπθ<<≠，若平面向量a 满足
a =x i +y j+z k (,,)x y z R ∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系Oxyz （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作a =(,,)x y z θ.有下列命题： ○1已知a =(2,0,1)θ-，
b = (1,0,2)θ
，则a ⋅b =0； ○2已知a =3(,,0)x y π，b =3
(0,0,)z π
，其中0xyz ≠，则当且仅当x y =时，向量a ，b 的夹角取得最小值；
○3已知a =111(,,)x y z θ，b =222(,,)x y z θ，则a -b =121212(,,)x x y y z z θ---； ○4已知(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)OA OB OC θθθ
===，则三棱锥O ABC -的体积 16. （本小题满分12分）
设函数2()sin()2sin (0)62
x f x x πωωω=++>，已知函数()f x 的图像的相邻两对称轴间的距离为π.
（I ）求函数()f x 的解析式；212
V =. 其中真命题有____________（写出所有真命题的序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（II ）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c （其中b <c ），且3()2f A =，ABC ∆的面积为63S =，27a =，求b ，c 的值.
17. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差为2，其前n 项和2*2,n S pn n n N =+∈.
（I ）求p 的值及n a ；
（II ）在等比数列{}n b 中，3142,4b a b a ==+，若等比数列{}n b 的前n 项和为n T .
求证：数列1{}6
n T +为等比数列.
18. （本小题满分12分）
已知斜三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，12AA AC BC ===，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D .
（I ）求证：11AC BA ⊥；
（II ）求二面角1A A B C --的余弦值.
19. （本小题满分12分）
节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使
用时间越长，表明质量越好.且使用时间大于或
等于6千小时的产品为优质品.现用A 、B 两种
不同型号的节能灯做实验，各随机抽取部分产
品作为样本，得到实验结果的频率分布直方图
如图所示.
若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率.
（I ）先从大量的A 、B 两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是
优质品的概率；
（II ）已知该节能灯生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”.通过多年统计可知：该型号节能灯每件产品的利润y （单位：元）与其使用时间
若从大量的A 型号节能灯中随机抽取两件，其利润和记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.
20. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,M N ，平面上一动点P 满足||||4PM PN +=，记点P 的轨迹为Γ.
（I ）求轨迹Γ的方程；
（II ）设过点(0,1)E 且不垂直于坐标轴的直线11:l y k x b =+与轨迹Γ相交于A ，B 两点，若在y 轴上存在一点Q ，使得直线QA ，QB 关于y 轴对称，求出点Q 的坐标；
（III ）是否存在不过点(0,1)E 且不垂直于坐标轴的直线l ，它与轨迹Γ及圆22(1)9x y +-=从左到右依次交于C ，D ，F ，G 四点，且满足ED EC EG EF -=-？若存在，求出当OCG ∆的面积S 取得最小值时2k 的值；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分14分）
已知函数32ln ,6()(3),6x x x f x x e x x ax b x -⎧>⎪=⎨⎪+++≤⎩
，其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数.
（I ）当3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间；
（II ）当6x ≤
时，若函数3()()(1)x h x f x e x b -=-+-存在两个相距大于2的极值点，求实数a 的取值范围；
（III ）若函数()g x 与函数()f x 的图像关于y 轴对称，且函数()g x 在(6,),(2,)m n -单调递减，在(,2),(,)m n +∞单调递增，试证明：()f n m -<.。