高考数学总复习第七章立体几何39空间几何体的表面积和体积课时作业

作业39 空间几何体的表面积和体积
一、选择题
1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是( )
A．3∶2 B．2∶1
C．4∶3 D．5∶3
解析：底面半径r＝
2
3
π
2π
l＝
1
3
l，故圆锥中S侧＝
1
3
πl2，S表＝
1
3
πl2＋π⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
3
l2＝
4
9
πl2，所以表面积与侧面积的比为4∶3.
答案：C
2．(2018·东北三省四市联考)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )
A．12＋2 2 B．8＋2 2
C．4＋4 2 D．8＋4 2
解析：本题考查三视图及几何体的表面积．由三视图可知，该几何体是底面为正方形，一条棱垂直于底面的四棱锥，其底面边长为2，高为2，故该四棱锥的表面积为S＝2×2＋2×
1
2×2×2＋2×
1
2
×2×22＝8＋42，故选D.
答案：D
3．(2018·南昌模拟)某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则这个几何体的体积是( )
A.
323 B.643
C ．16
D ．32
解析：本题考查三视图、几何体的体积．由三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥A －BCD ，底面BCD 是以4为直角边的等腰直角三角形，面积为8，高为4，则该几何体的体积为13×8×4＝32
3
，故选A.
答案：A
4．(2018·合肥市第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )
A ．72＋6π B．72＋4π C ．48＋6π D．48＋4π
解析：由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的1
4部分组合而成(如图
所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故选A.
答案：A
5．(2018·杭州一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．18
B ．16
C ．15
D ．12
解析：由三视图可知该几何体为一个横放的大直三棱柱中挖去一个小直三棱柱后的图形．两个三棱柱的侧棱长都为4，大直三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为4＋1＝5，小直三棱柱的底面三角形底边长为2，该边上的高为1，所以该几何体的体积是V ＝
1
2×2×5×4－1
2
×2×1×4＝16.故选B.
答案：B
6．(2018·省五校协作体第一次诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.
10＋22π2＋1 B.13π
6
C.
11＋2π2
＋1 D.11＋22π2
＋1
解析：由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为2
2
π＋1＋2π×2＋32π＝
11＋2
π
2
＋1，故选C.
答案：C
7．(2018·甘肃省五掖市高三第一次考试)若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为( )
A.62π
B.52π
C.
22π D.32
π 解析：由三视图易知该几何体为四棱锥，可将该四棱锥放入正方体中，正方体的外接球即为四棱锥的外接球，正方体的外接球的半径R ＝12
＋12
＋12
2＝32，所以V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323
＝
3
2
π. 答案：D
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )
A.83
B.163
C.
32
3
D ．16 解析：本题考查三棱锥的三视图及体积．由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥
A －BCD (其中正方体的棱长为4，A ，C 分别是两条棱的中点)，故所求体积为1
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
2×2×4×4
＝16
3
，故选B.
答案：B
9．(2018·深圳调研)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．36
B ．48
C ．64
D ．72
解析：本题考查三视图、空间几何体的体积．由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C ，G 均为长方体对应边的中点，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V ＝1
2×6×4×4＝4，故选
B.
答案：B
10．(2018·陕西省宝鸡市高三质检)已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，
OB ，OC 两两垂直，三棱锥O －ABC 的体积为43
，则球O 的表面积为( )
A.16π
3
B ．16π C.
32π
3
D ．32π 解析：设球O 的半径为R ，以球心O 为顶点的三棱锥三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R ，另外一个侧面是边长为2R 的等边三角形．因此根据三棱锥的体积公式得13×12R 2
·R
＝4
3
，∴R ＝2，∴S 球的表面积＝4π×＝16π，故选B. 答案：B 二、填空题
11．(2018·南昌模拟)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为________．
解析：本题考查几何体的表面积．所得几何体的表面积是底面圆半径为1、高为1的圆柱的下底面积、侧面积和底面圆半径为1、高为1的圆锥的侧面积之和，即为π＋2π＋2π＝(3＋2)π.
答案：(3＋2)π
12．(2018·深圳调研)已知M，N分别为长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，A1B1的中点，若AB＝22，AD＝AA1＝2，则四面体C1－DMN的外接球的表面积为________．解析：本题考查球的表面积．由于四面体C1－DMN的外接球即为三棱柱DMC－D1NC1的外接球，由题可知DC＝22，DM＝CM＝6，取CD中点E，连接ME，在Rt△DME中，可得sin∠CDM ＝
ME
DM
＝
2
6
＝
6
3
.设△DMC的外接圆的半径为r，由正弦定理可知2r＝
CM
sin∠CDM
＝
6
6
3
＝3，则r＝
3
2
.设外接球的半径为R，则有R2＝r2＋12＝
13
4
，故外接球的表面积为S＝4πR2＝13π.
答案：13π
13．(2018·湖北调考)网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．
解析：本题考查三视图、棱柱的体积．由三视图知该几何体由两个相同的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为2的三棱柱组合而成，其中一个是立放的，一个是平放的，其直观图如图所示，则体积为V＝2×
1
2
×1×1×2＝2，故填2.
答案：2
14．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在表面积为289π
16的球面上，底面ABC 是边长为3
的等边三角形，则三棱锥P －ABC 体积的最大值为________．
解析：依题意，设球的半径为R ，则有4πR 2
＝289π16，R ＝178，△ABC 的外接圆半径为r
＝
32sin60°
＝1，球心到截面ABC 的距离h ＝R 2－r 2
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1782－12＝158，因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等于h ＋R ＝
178＋158＝4，因此三棱锥P －ABC 体积的最大值为1
3
×⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
3
4
×3
2
×4＝ 3. 答案： 3
[能力挑战]
15．(2018·合肥一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．2 B.8
3
C ．3 D.10
3
解析：该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后的图形．原直三棱柱的体积为
V 1＝12×2×2×2＝4，切去的三棱锥的体积为V 2＝13×12×2×2×1＝23
，则该几何体的体积为V
＝V 1－V 2＝4－23＝10
3
.故选D.
答案：D
16．(2018·东北三省四市联考模拟)点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝1，
∠ABC ＝120°.若四面体ABCD 体积的最大值为
3
4
，则这个球的表面积为( ) A.500π
81
B ．4π C.
25π9 D.100π
9
解析：本题考查多面体的外接球、四面体的体积、球的表面积．因为AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，所以由正弦定理知△ABC 外接圆的半径r ＝12×AB sin30°＝1，S △ABC ＝
1
2
AB ×BC sin120°＝
3
4
.设外接圆的圆心为Q ，则当DQ 与平面ABC 垂直时，四面体ABCD 的体积最大，所以13S △ABC ×DQ ＝34
，所以DQ ＝3.设球心为O ，半径为R ，则在Rt△AQO 中，OA 2
＝
AQ 2＋OQ 2，即R 2＝12＋(3－R )2，解得R ＝5
3，所以球的表面积S ＝4πR 2＝
100π
9
，故选D.
答案：D
17．(2017·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，
AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，
使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3
)的最大值为________．
解析：如图，连接OD ，交BC 于点G ，。