人教A版高中数学选修4-4同步练习-柱坐标系与球坐标系简介

第一讲 坐标系

四、柱坐标系与球坐标系简介

A 级 基础巩固

一、选择题

1．在柱坐标中，方程ρ＝2表示空间中的( ) A ．以x 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 B ．以y 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 C ．以z 轴为中心轴，底半径为2的圆柱面 D ．以原点为球心，半径为2的球面

解析：由柱坐标的几何意义可知，方程ρ＝2表示以z 轴为中心，底面半径为2的圆柱面．

答案：C

2．若点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

8，π3，

5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6，23，4) B ．(6，23，4) C ．(－6，－23，4)

D ．(－6，23，－4)

解析：由x ＝8sin π3cos 5π

6＝－6，

y ＝8sin π3sin 5π

6

＝23，

z ＝8cos π

3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4)．

答案：A

3．设点M 的直角坐标为(2，0，2)，则点M 的柱坐标为( )

A ．(2，0，2)

B ．(2，π，2)

C ．(2，0，2)

D ．(2，π，2)

解析：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 所以ρ＝x 2

＋y 2

＝2，tan θ＝y

x

＝0，

所以θ＝0，z ＝2，所以点M 的柱坐标为(2，0，2)． 答案：A

4．空间点P 的柱坐标为(ρ，θ，z )，关于点O (0，0，0)的对称的点P 的坐标为(0<θ≤π)( )

A ．(－ρ，－θ，－z )

B ．(ρ，θ，－z )

C ．(ρ，π＋θ，－z )

D ．(ρ，π－θ，－z )

解析：点P (ρ，θ，z )关于点O (0，0，0)的对称点为P ′(ρ，π＋θ，－z )．

答案：C 二、填空题

5．空间点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫6，π

3，4，则点P 关于z 轴的对称点

为________．

答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫6，4π

3，4

6．已知点M 的球坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫

4，π4，3π4，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．

答案：(－2，2，22) ⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，3π4，22 7．已知在柱坐标系中，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，2π

3，5，且点M

在数轴Oy 上的射影为N ，则|OM |＝________，|MN |＝________．

解析：设点M 在平面Oxy 上的射影为P ，连接PN ，则PN 为线段MN 在平面Oxy 上的射影．

因为MN ⊥直线Oy ，MP ⊥平面Oxy ， 所以PN ⊥直线Oy .

所以|OP |＝ρ＝2，|PN |＝⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

ρcos 2π3＝1，

所以|OM |＝ρ2＋z 2＝22＋（5）2＝3. 在Rt △MNP 中，∠MPN ＝90°，

所以|MN |＝|PM |2＋|PN |2＝（5）2＋12＝ 6. 答案：3

6

8．在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2，3π4，3π4的距离为________． 解析：A ，B 两点化为直角坐标分别为：A (1，1，2)，B (－1，1，－2)．

所以|AB |＝[1－（－1）]2＋（1－1）2＋[2－（－2）]2＝

2 3.

答案：23 三、解答题

9.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的

球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫8，π4，θA 、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

8，34π，θB ，求出这两个截面间的

距离．

解：在△OO 1A 中，由球坐标知∠AOO 1＝π

4，|OA |＝8，

所以|OO 1|＝8cos ∠AOO 1＝8×

2

2

＝42， 同理在△OO 2B 中，|OB |＝8，∠O 2OB ＝π

4，

所以|OO 2|＝42，所以|O 1O 2|＝82， 所以两个截面间的距离为8 2.

10．在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系．有A 、B 两个城

市，它们的球坐标分别为A ⎝

⎛⎭

⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝

⎛⎭

⎪⎫

R ，π4，2π3，飞机沿球的大

圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．

解：如图所示，因为A ⎝

⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，

可知∠AOO1＝∠O1OB＝π4，

所以∠O1AO＝∠O1BO＝π4.

又∠EOC＝π

6，∠EOD＝

2π

3，

所以∠COD＝2π

3－

π

6＝

π

2.

所以∠AO1B＝∠COD＝π2.

在Rt△OO1B中，∠O1BO＝π

4，OB＝R，

所以O1B＝O1A＝

2

2R.

因为∠AO1B＝π

2，所以AB＝R.

在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，所以∠AOB＝π3.

故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为π

3R.

[B级能力提升]

1．点M的球坐标为(r，φ，θ)，φ，θ∈(0，π)，则其关于点(0，0，0)的对称点的球坐标为________．

答案：(r，π－φ，π＋θ)

2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx 坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．