隐函数的求导法则

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微积分课件第5节隐函数的求导公式

z z dx dy. dz xz ( x z) y
2
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法 x z ex2.设 ln , 求dz. z y
解2 （全微分法） x z 原式两边微分得: d ( ) d (ln ) z y zdx xdz y ydz zdy 即 2 z z y2 z z 整理得dz ( dx dy) xz y z z2 dx dy. xz ( x z) y
sin y x cos y y ye x ye x 0
sin y ye 所以, 得 y . x x cos y e
x
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并利用多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式, 给出用偏导数来求隐函数的导数的
F F ( x , f ( x )) F F ( x , y ), y f ( x )
连续函数 y f ( x ), 且y0 f ( x0 ); Fx dy (2)有连续导数（一元隐函数的求导公式） . dx Fy 注意: (1) 证明从略, 求导公式推导如下: x 将函数 y f ( x ) 代入方程 F ( x , y ) 0 得 F dy F[ x, f ( x )] 0, 即Fx Fy 0, y dx 上式两端对x求导，由复合函数求导链式法则，得
Method3.也可先求偏导再代入全微分公式得所求.
一. 由一个方程确定的隐函数的微分法
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz )，求，， . x y z
z 思路：把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 解令 u x y z , v xyz, 则 z f ( u, v ),

高数课件25隐函数求导法则

隐函数的特点
隐函数通常不能通过显式方程表示，只能通过求解方程组来得到。
隐函数的例子
例如，函数$z = f(x, y)$，如果$z$不能表示为$x$和$y$的函数，那么$z = f(x, y)$就是一个隐函数。
隐函数求导的必要性
解决实际问题
在解决实际问题时，经常需要求隐函数的导数，以便更好地理解和分析问题。
优化问题
在优化问题中，求隐函数的导数可以找到最优解。
数值分析
在数值分析中，求隐函数的导数可以用于求解方程组和微分方程。
隐函数求导的方法简介
01 02
对数求导法
对数求导法是求隐函数导数的一种常用方法，其基本思想是通过取对数将隐函数转化为显函数，然后利用显函数的求导法则来求隐函数的导数。
链式法则
03
例如，对于多元函数$F(x,y,z)=0$，我们可以使用隐函数求导法则来找到$z$关于$x$和$y$的偏导数。
在微分学中的应用
隐函数求导法则在微分学中也有着重要的应用，它是解决微分学问题的一种重要工具。
通过使用隐函数求导法则，我们可以更好地理解函数的单调性、极值和曲线的形状等微分学概念。
实例三：隐函数在微积分中的应用
总结词
通过几个实际应用案例，展示隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
详细描述
介绍隐函数在解决一些微积分问题中的应用，如极值问题、曲线的长度和面积计算等。通过这些案例，说明隐函数在微积分中的重要性和应用价值。
05
隐函数求导法则的总结与展望
总结隐函数求导法则的核心内容
步骤2
对反函数求导，得到 $frac{dy}{dx} = frac{1}{frac{dx}{dy}}$。
步骤4

隐函数的求导公式

两种方法相比，方法二较简便，因为可避免商
的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，
dy y 1.已知 ln x y arctan ，求 . x dx
2 2
2. 求由方程
x y
y
x
所确定的
隐函数 y f ( x)的导数.
(２)、二元隐函数求导法则
设方程 F ( x, y, z ) =0确定z是x, y的具有连续偏导数的函数 z f ( x, y),将 z f ( x, y) 代入上述方程，得到关于x,y 的恒等式：
F ( x, y, f ( x, y)) 0
，
如果函数 F ( x, y, z ) 具有连续的偏导数，将上述两端对x,y求偏导，根据复合函数求导法则有
F F z 0, x z x
若
F F z 0, y z y
Fz 0 ，得:
z Fx x Fz
②直接法
方程两边连续求导两次
方程两边对x求导得：Fx Fy 方程两边再对x求导得：
dy 0 dx
Fx
x y
x
Fy dy dy Fx Fx dy Fy d2y 1 ( 1 ) Fy 2 0 x y dx x y dx dx dx dy dy 2 d2y Fxx 2 Fxy Fyy ( ) Fy 2 0 dx dx dx 2 2 2 F F 2 F F F F F xy x y yy x 解得： d y xx y dx2 Fy3
dFy dFx Fy Fx 2 d y dx 于是 2 dx dx Fy2
Fy dx Fy dy Fx dx Fx dy ( ) Fy Fx ( ) x dx y dx x dx y dx Fy2

§8.5隐函数求导法

2. F(x, y, z)=0 隐函数存在定理2: 设函数F(x, y, z)在点 0, y0, z0) 隐函数存在定理设函数在点P(x 在点的某一邻域内有连续的偏导数, 的某一邻域内有连续的偏导数且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)≠0, 则方程在点P ≠ 则方程F(x, y, z)=0在点 0的某一邻域内恒能在点唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x, y), 它满足条件 0=f(x0, y0), 并有它满足条件z Fy Fx ∂z ∂z (2) =− , =− . Fz ∂y ∂x Fz 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图: 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图 x (1) F y x (2) F z y
∂2z 例3: 设 x2+y2+z2–4z=0, 求 2 . ∂x 解: 令 F(x, y, z)=x2+y2+z2–4z. 则Fx=2x, Fz=2z–4, Fx x ∂z , =− = 所以 ∂x Fz 2 − z x ∂z (2 − z ) + x ⋅ (2 − z ) + x 2 ( 2 − z )2 + x 2 ∂ z 2−z = ∂x = = . 2 2 2 3 (2 − z ) (2 − z ) (2 − z ) ∂x
2
dy Fx x+ y =− =− . dx Fy y− x
在点(0, 的某邻域内能例2: 验证方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导, 的隐函数y=f(x), 唯一确定一个单值可导且 x=0 时 y=1 的隐函数时的值. 并求这函数的一阶和二阶导数在 x=0 时的值解: 令F(x, y)= x2+y2–1 = 0, 则Fx=2x, Fy=2y, 而 F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2≠0, ≠ 依定理知, 在点(0, 的某邻域内依定理知方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x=0 时 y=1 的隐函数 y=f(x). 该函数的一阶和二阶导数为函数的一阶和二阶导数为: dy Fx x dy =− | x = 0 = 0, =− , dx Fy y dx x y − x( − ) 2 1 d2y d y y − xy′ y =− | = − 1. =− 3, =− 2 2 2 2 x =0 y dx y y dx

隐函数求导法则

（十）隐函数求导法则由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。

从方程()0,=y x F 中有时可解出y 是x 的显函数 ,如从方程0153=++y x 可解出显函数5153--=x y ；有时，从方程()0,=y x F 中可以解出不止一个显函数，如从方程()00222>=-+R R y x 中可以解出22x R y -±=。

它包含两个显函数，其中22x R y -=代表上半圆周，22x R y --=代表下半圆周。

但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程()100sin <<=--εεy x y 就不能解出来)(x f y =的形式。

现在讨论当y 是由方程()0,=y x F 所确定的x 的函数，并且y 对x 可导（即()x y '存在），那么在不解出y 的情况下，如何求导数y '呢？其办法是在方程()0,=y x F 中，把y 看成x 的函数()x y y =，于是方程可看成关于x 的恒等式:()()0,≡x y x F .在等式两端同时对x 求导（左端要用到复合函数的求导法则），然后解出 y ' 即可。

例2.14 求方程()0222>=+R R y x 所确定的隐函数的导数y '. 解当我们对方程222R y x =+的两端同时对x 求导时，则应有(()x y y =是中间变量) 022='⋅+y y x . 解出()0≠-='y yxy .思考题证明：圆()0222>=+R R y x 在其上一点()000,y x M 处的切线方程为200R y y x x =+.问：法线方程是什么？例2.15 求曲线1ln =+y xy 在点()1,1处的切线方程。

解将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即01='⋅+'+y yy x y . 于是 12+-='y x y y . 过点()1,1处的切线斜率=k y '()1,1=12+-y x y ()1,1=21-.故所求切线方程为 ()1211--=-x y ，即 032=-+y x .例2.16 已知(),0sin 2=-y y x π 求()1,0-'y . 解方程两边对x 求导，得0)]'[sin()'(2=-x x y xy π，即 ()02cos 2='⋅-'+y y y y x y ππ.,)cos(22y y x y y ππ--=' ().21cos 211,0πππ-=⋅='-y 例 2.17 证明双曲线2a y x =上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数22a .证在双曲线2a xy =上任取一点()00,y x ，过此点的切线斜率为 ().0,000x y xyy k y x x x -=-='== 故切线方程为 00x y y y -=-)(0x x -.此切线在y 轴与x 轴上的截距分别为02y ，02x , 故此三角形面积为20000222221a y x x y =⋅=⋅. 例2.18 设 ()11lnsin =+-y x xy ，求 0=x dx dy.解两边对x 求导，有 ()[]()011cos ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-'y x x y xy xy ()[]()()011'cos 2='+-⋅+-+⋅y y x y x y xy y xy ()())(011cos cos *='++-'+yy x xy y x xy y当0=x 时，由 ()11lnsin =+-y x xy 可解出11ln =-y, 即 .,1ln e y y =∴=而当 e y x ==,0 时，由()*可解出 01='+-ey e . ()e e y x -='∴=10.（十一）取对数求导法（是要点）先看几个例题。

隐函数的求导法(4)

二、设2 sin( x 2 y 3z) x 2 y 3z, 证明：z z 1. x y
23
三、如果函数 f ( x, y, z) 对任 t何恒满足关系式
f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z),则称函数 f ( x, y, z)为
k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程
解令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
5
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z (2 z) x x
(2 z)2 x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
12
u 1 (F ,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y,v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv 例5 设 xu yv 0， yu xv 1，
求 u，u，v 和v . x y x y
27
v
g1 ( xf1 uf1 1)
.
x ( xf1 1)(2 yvg2 1) f2 g1
26
六、 du dx
f x
f x gx gy
f y gz hx gy hz
f x gyhz f x gxhz f ygzhx . g y hz
七、 dy Ft f x Fx f t . dx Ft F y f t
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 )，
并有 z Fx ， z Fy .

隐函数的求导法则__取对数求导法

隐函数的求导法则__取对数求导法隐函数是指用一个或多个自变量与一个或多个函数关系式所定义的函数。

在一般情况下，我们可以通过将隐函数转化为显函数来求导。

然而，有时候转化为显函数非常困难或不可行，这时我们可以使用隐函数求导法则来求解。

在隐函数求导法则中，最常用且重要的方法之一是取对数求导法。

本文将详细介绍隐函数的取对数求导法则，包括基本原理、具体步骤以及一些实际应用。

1.基本原理：隐函数的取对数求导法则基于以下数学原理：如果一些变量随着另一个变量的变化而变化，我们可以通过取对数来将这个关系式转化为线性关系，从而更容易进行求导。

2.取对数求导法的具体步骤：(1)首先，将隐函数表示为等式或方程的形式，用x和y表示自变量和函数变量，记隐函数为f(x,y)=0。

(2) 对等式两边同时取对数，得到ln(f(x, y)) = ln(0)。

(3) 使用链式法则对等式两边进行求导。

对左侧进行求导时，考虑y是x的函数，即y = g(x)，则ln(f(x, y)) = ln(f(x, g(x)))。

根据链式法则，左侧的导数为f'(x, y) / f(x, y)。

对右侧进行求导时，由于ln(0)为常数，其导数为0。

(4)最后，解方程求得f'(x,y)/f(x,y)的表达式，即为隐函数的导数。

3.举例说明：假设有一个方程为x^2 + y^2 = 1、我们想要求解方程中y关于x的导数。

首先，我们将隐函数表示为等式的形式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。

然后，取等式两边的对数，得到ln(f(x, y)) = ln(x^2 + y^2 - 1)。

根据链式法则，左侧的导数为 f'(x, y) / f(x, y)。

右侧的导数为0。

于是，我们可以得到 f'(x, y) / f(x, y) = 0。

最后，解方程可得f'(x, y) = 0，即 y 关于 x 的导数为0。

4.实际应用：隐函数的取对数求导法则在实际问题中有着广泛的应用。

第五节隐函数求导法则

第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。

在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。

本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。

一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。

对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。

但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。

假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。

隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。

2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。

3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。

这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。

1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。

2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。

3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。

4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。

10-4 隐函数求导法则

2
其中
dFy dFx Fy Fx Fx d dx dx [ ] 2 dx Fy Fy
dFx dFx ( x, y ) Fx Fxx Fxy dx dx Fy
dFy dx dFy ( x, y ) dx Fx Fyx Fyy Fy
E-mail: xuxin@
解
x 把 x 看成 z, y 的函数对y 求偏导数得， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z 令 u x y z, v xyz ,
则
z f ( u, v ),
E-mail: xuxin@
把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得
z z f u (1 ) f v ( yz xy z ), x x x z f u yzf v 整理得 , x 1 f u xyf v
把 x 看成 z, y 的函数对y 求偏导数得
x x 0 f u ( 1) f v ( xz yz ), y y
行列式 :
F F ( F , G ) u v J G G (u , v) u v 在点P ( x0 , y0 , u0 , v0 )不等于零.
E-mail: xuxin@
则方程组 F ( x, y, u , v) 0, 在点( x0 , y0 , u0 , v0 ) G ( x, y, u , v) 0 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y)，v=v(x,y)，它们满足条件
2
(2 z ) x . 3 (2 z )
2 2
E-mail: xuxin@
z x y 例 3 设 z f ( x y z , xyz )，求，， . x y z z 思路： z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得，把 x

十隐函数求导法则

（十）隐函数求导法则由方程()0,=y x F 所确定的y 是x 的函数称为隐函数。

它包含两个显函数，其中22x R y -=代表上半圆周，22x R y --=代表下半圆周。

但也有时隐函数并不能表示为显函数的形式，如方程()100sin <<=--εεy x y 就不能解出来)(x f y =的形式。

解将曲线方程两边对x 求导，得 0)'(ln )'(=+x x y xy ，即01='⋅+'+y yy x y . 于是 12+-='y x y y . 过点()1,1处的切线斜率=k y '()1,1=12+-y x y ()1,1=21-.故所求切线方程为 ()1211--=-x y ，即 032=-+y x .例2.16 已知(),0sin 2=-y y x π 求()1,0-'y . 解方程两边对x 求导，得0)]'[sin()'(2=-x x y xy π，即 ()02cos 2='⋅-'+y y y y x y ππ.,)cos(22y y x y y ππ--=' ().21cos 211,0πππ-=⋅='-y 例 2.17 证明双曲线2a y x =上任意一点的切线与两坐标轴形成的三角形的面积等于常数22a .证在双曲线2a xy =上任取一点()00,y x ，过此点的切线斜率为 ().0,000x y xyy k y x x x -=-='== 故切线方程为 00x y y y -=-)(0x x -.此切线在y 轴与x 轴上的截距分别为02y ，02x , 故此三角形面积为20000222221a y x x y =⋅=⋅. 例2.18 设 ()11lnsin =+-y x xy ，求 0=x dx dy.解两边对x 求导，有 ()[]()011cos ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-'y x x y xy xy ()[]()()011'cos 2='+-⋅+-+⋅y y x y x y xy y xy ()())(011cos cos *='++-'+ΛΛyy x xy y x xy y当0=x 时，由 ()11lnsin =+-y x xy 可解出11ln =-y, 即 .,1ln e y y =∴=而当 e y x ==,0 时，由()*可解出 01='+-ey e . ()e e y x -='∴=10.（十一）取对数求导法（是要点）先看几个例题。

隐函数求导法.

隐函数的求导法则
1、隐函数的定义
以前所接触到的函数通常是y=f (x)的形式, 特点：左边只有因变量y,而右边是一个不含y的表达式.明显地给出了因变量与自变量之间的关系,叫做显函数
如y=lnx+sinx, y=ex+1−tanx
根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现.
比如，给二元方程
y3+2x2−1=0
任给一个x，都可根据上面的方程，解出唯一的一个y来．即，任给一个x都有唯一的一个y与之对应，因此, y是x的函数.称y为由方程
y3+2x2−1=0 所确定的隐函数.
没有明显地给出了因变量与自变量之间的关系称为隐函数.
由方程F(x,y)=0所确定的函数y=y(x)称为隐函数.y=f(x)形式的函数称为显函数. F(x,y)=0y=f(x)隐函数的显化有些隐函数很容易表成显函数的形式.如，由
y3+2x2−1=0，解得y=−2x.2
有些隐函数不一定能显化或者很难显化.如y−x−εsiny=0 (0< ε<1), e=xyy
问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?
2、隐函数的求导先进行隐函数的显化，然后再求导
方法
直接求导√
隐式求导法的基本思想：
方程两端同时对x求导，在求导过程中视y为x的函数，即把y视为中间变量．。

6.5隐函数求导法则

z z 类似地，可求得 2 及 . xy y
2 2
[方法二] 直接对原方程接连求偏导两次.
此时 z 要视作 z z( x, y ). z 方程两边对 x 求偏导得 : Fx Fz 0, x 上式两边再对 x 求偏导得 :
z 2z z Fxx 2 Fxz Fzz Fz 2 0, x x x
2z z 由上式解出 2 并将代入求出结果. x x 2z 2z 类似地，可求得 2 及 . xy y
2
2 z z t 例2.设 ln z x y e dt , 求 , . y x xy x
2
1 z x2 解： 1 e z x z x2 z 1 e x 1 z y2 1 e z y z y2 z 1 e y
F ( x, y, z ) 0 则方程组在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某 G ( x , y , z ) 0 一邻域内恒能唯一确定一对单值连续且具有连续 y y( x ) 偏导数的函数，，它们满足条件 z z( x ) y0 y( x0 ) , z0 z ( x0 ) ，并有
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
x y e xy 0 前述引例:
令
F ( x,y ) e x y xy 0,
当 Fy ( x,y) e x y x 0 时,
就可确定可导函数 y y( x ) , 且
x y e y dy Fx x y . e x dx Fy
(F ,G ) dy ( x, z ) ( F , G ) dx ( y, z )

隐函数求导

xy ln y − y . ∴ y′ = 2 xy ln x − x
2
作业：作业：
P130 习题习题3.5 1.(5)(6)(7)(8) 2.(2)(4) 3.(1)(2)(3)(4)
练习：练习：求 y = (1 + 2 x ) ( x > 0)的导数 .
y 解： ′ = (1 + 2 x ) [ln(1 + 2 x ) ]′
例5
( x + 1) 3 x − 1 , 求y ′. 设 y= 2 x ( x + 4) e
1 解 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
的导数. 例1 求由方程 x 2 + y 2 = a 2 所确定的隐函数 y = y( x ) 的导数.
解
求导( 的函数), ),得方程两边关于 x 求导(将 y 视为 x 的函数),得
2 x + 2 y ⋅ y′ = 0 ，解得
x y′ = − . y
比较：显化后, 比较：显化后, y = a 2 − x 2 , 1 y′ = ⋅ (a 2 − x 2 )′ 2 a2 − x2 x 1 −x =− ； = ⋅ ( −2 x ) = y 2 a2 − x2 a2 − x2 x x 2 2 ′= 另一分支: 另一分支: y = − a − x , y =− . y a2 − x2
′ x −1 1 f ′( x ) = 2 ln x 2 − 1 − ln x − ln 2 x + 1 2x + x 2

隐函数的求导公式

隐函数的求导公式
在微积分中，隐函数是一种由x和y的关系表示的函数，其中y是x 的函数表示，但是y的显式表达式未给出。

在一些情况下，我们需要求解隐函数的导数，以找到关于x的斜率。

隐函数的求导公式是一种用于计算这个导数的公式。

在此文章中，我们将介绍具有一个独立变量和一个因变量的隐函数的求导公式。

假设我们有一个由x和y的关系表示的隐函数：
F(x,y)=0
我们将假设这个函数可以在一些区域上对x和y进行微分，因此我们可以得到以下的链式法则：
∂F/∂x+∂F/∂y*∂y/∂x=0
我们可以通过这个公式来求解y对x的导数
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
这个公式是隐函数的求导公式的基础。

它使用了偏导数的概念，表示了在一个多变量函数中相对于单个变量变化的速度。

偏导数通过将其他变量视为常数来计算，从而提供了函数对特定变量的变化率。

应用隐函数的求导公式的一个例子如下：
假设我们有一个由隐函数表示的圆的方程式：
x^2+y^2=r^2
该方程表示了半径为r的圆。

我们希望计算圆上点的斜率的导数。

因此，我们首先需要将方程转化为隐函数的形式。

我们可以得到：
F(x,y)=x^2+y^2-r^2=0
然后，我们计算偏导数：
∂F/∂x=2x
∂F/∂y=2y
接下来，我们将这些偏导数代入隐函数的求导公式：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) = - (2x) / (2y) = - x / y 这个导数表示了圆上点的斜率，对于每一个特定的点。

总结:。

隐函数求导的方法与应用

隐函数求导的方法与应用隐函数求导是微积分中的重要内容之一，它在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍隐函数求导的基本方法和一些常见的应用实例。

一、基本方法在解析函数、显式函数和隐函数的区别之前，我们先来了解一下隐函数的定义。

隐函数是指由两个或多个变量之间的方程所确定的函数，其中其中一个变量无法通过显式的表达式表示出来。

1. 隐函数的求导公式对于一个具有两个变量的隐函数 f(x, y) = 0，我们可以通过求导来计算隐函数的导数。

首先，我们将隐函数对 x 进行求导，然后对于 y，我们使用链式法则。

举个例子，设有一个隐函数方程 x^2 + y^2 - 25 = 0，我们希望求出y 对 x 的导数。

首先，对 x 进行求导，我们得到 2x + 2y * dy/dx = 0。

接着，根据链式法则，我们可以得到 dy/dx = -2x / 2y = -x / y。

2. 隐函数求导的步骤为了更好地理解和应用隐函数求导的方法，我们可以遵循以下步骤：步骤一：确定隐函数的方程。

步骤二：对隐函数方程两边同时求导。

步骤三：将导数项整理至一边，将原函数项整理至另一边。

步骤四：解出导数，即得到隐函数的导数。

二、应用实例隐函数求导在实际问题中有着广泛的应用。

下面，我们将介绍几个常见的应用实例。

1. 隐函数求切线方程在平面几何中，通过求导可以得到隐函数的切线方程。

例如，设有一个隐函数方程 x^2 + y^2 - 25 = 0，我们希望求出曲线在点（3，4）处的切线方程。

首先，根据隐函数求导的方法，我们得到 dy/dx = -x / y。

将点（3，4）代入方程，我们可以求得该点的斜率 m = -3 / 4。

进一步，我们可以通过点斜式公式 y - y1 = m(x - x1) 得到切线的方程。

2. 隐函数求极值点隐函数求导也可以应用于寻找隐函数的极值点。

以一个典型的例子来说明这一应用。

设有隐函数方程 y^3 + x^2 - 16 = 0，我们希望找出函数的最小值点。

高等数学--隐函数的求导法则

第五节隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =，它满足条件00()y f x =，并有d d x yF yx F =-．说明：1）定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入(,)0F x y =，得恒等式(,())0F x f x ≡，等式两边对x 求导得d 0d F F y x y x∂∂+=∂∂，由于0y F ≠ 于是得d d x yF yx F =-． 2）若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数:22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x∂∂=-+-⋅∂∂22()x x y y x xx y y y y xxy y yF F F F F F F F F F F F --=---2232x x y x y x y y y x yF F F F F F F F-+=-．例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =，并求22d d ,00d d y yx x x x ==．解设(,)sin e 1x F x y y x y =+--，则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠．因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =．d 0d y x x =0x y F x F =-=e 10,0cos x yx y y x -=-=-==-，22d 0d y x x = d e ()0,0,1d cos x yx y y x y x -=-'===-- 0201(e )(cos )(e )(sin 1)(cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----⋅-=--3=-．隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数．隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =，它满足条件000(,)z f x y =，并有x z F z x F ∂=-∂，y zF zy F ∂=-∂．说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入(,,)0F x y z =，得(,,(,))0F x y f x y ≡，将上式两端分别对x 和y 求导，得0=∂∂⋅+xz F F z x ， 0=∂∂⋅+y z F F z y ．因为z F 连续且000(,,)0z F x y z ≠，于是得x z F z x F ∂=-∂， y zF zy F ∂=-∂．例2 设22240x y z z ++-=，求22zx∂∂．解设222(,,)4F x y z x y z z =++-，则2x F x =，24z F z =-，2242x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--，2222223(2)(2)()(2)2(2)(2)(2)z xx xx x zx x x z xz z z ∂-+-+∂-+∂-===∂---．二、方程组的情形在一定条件下，由方程组(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩ 可以确定一对二元函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，例如方程0xu yv -=和1yu xv +=可以确定两个二元函数22y x yu +=，22y x x v +=．事实上，0xu yv -= ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22yx yu +=，2222yx x y x yy x v +=+⋅=．下面讨论如何由组求u ，v 的导数．隐函数存在定理3 设(,,,)F x y u v ，(,,,)G x y u v 点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0000(,,,)0F x y u v =，0000(,,,)0G x y u v =，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（Jacobi ）行列式）(,)(,)FF FG u v J G G u v uv∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 在点0000(,,,)P x y u v 不等于零，则方程组(,,,)0F x y u v =，(,,,)0G x y u v =，在点0000(,,,)P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，．它们满足条件000(,)u u x y =，000(,)v v x y =，且有1(,)(,)xvx v u v uv F F G G u F G F F x J x v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)ux u xu v uvF FG G v F G F F x J u x G G ∂∂=-=-∂∂， 1(,)(,)yv y v u v uvF FG G u F G F F y J y v G G ∂∂=-=-∂∂，1(,)(,)u yu y u v u vF FG G v F G F F y J u y G G ∂∂=-=-∂∂．说明：方程组所确定的隐函数的偏导数可分别对方程组中各方程两边求偏导数，然后解关于各偏导数的方程组，其中偏导数x u ∂∂，xv ∂∂由方程组0,0x u v x uv u v F F F x xu v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩确定；偏导数yu ∂∂，y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y vG y u G G yv F y u F F v u y v u y 确定．例3 设0xu yv -=，1yu xv +=，求u x ∂∂，v x∂∂，uy ∂∂和v y ∂∂．解两个方程两边分别对x 求偏导，得关于u x ∂∂和vx∂∂的方程组 00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，．当220x y +≠时，解之得22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22v yu xvx x y ∂-=∂+．两个方程两边分别对y 求偏导，得关于u y ∂∂和vy∂∂的方程组 00uv x v y y y u v u y x y y ∂∂⎧--=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，．当220x y +≠时，解之得22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+．另解将两个方程的两边微分得d d d d 0d d d d 0u x x u v y y v u y y u v x x v +--=⎧⎨+++=⎩，，即d d d d d d d d x u y v v y u x y u x v u y v x -=-⎧⎨+=--⎩，．解之得2222d d d xu yv xv yu u x y x y x y +-=-+++，2222d d d yu xv xu yvv x y x y x y-+=-++．于是22u xu yv x x y ∂+=-∂+，22u xv yu y x y ∂-=∂+，22v yu xv x x y ∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+．例4 设函数(,),(,)x x u v y y u v ==在点(,)u v 的某一领域内连续且有连续偏导数，又(,)0(,)x y u v ∂≠∂． 1）证明方程组(,)(,)x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 在点(,,,)x y u v (的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==．2）求反函数(,),(,)u u x y v v x y ==对,x y 的偏导数．解 1）将方程组改写成下面的形式(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u v G x y u v y y u v ≡-=⎧⎨≡-=⎩，，则按假设 (,)(,)0(,)(,)F G x y J u v u v ∂∂==≠∂∂，由隐函数存在定理3，即得所要证的结论．2）将方程组所确定的反函数(,),(,)u u x y v v x y ==代入原方程组，即得[(,),(,)][(,),(,)].x x u x y v x y y y u x y v x y ≡⎧⎨≡⎩，将上述恒等式两边分别对x 求偏导数，得10.x u x v u x v xy u y v u x v x ∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪⎪∂∂∂∂⎨∂∂∂∂⎪=⋅+⋅⎪∂∂∂∂⎩，由于0J ≠，故可解得1u y x J v ∂∂=∂∂， 1v yx J u∂∂=-∂∂．同理，可得1u x y J v ∂∂=-∂∂， 1v x y J u∂∂=∂∂．。

隐函数怎么求导

隐函数的三种求导方法如下：一、隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。

由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。

在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。

三、显函数与隐函数1、显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。

显函数可以y=f(x)来表示。

2、隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

3、隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。

2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。

比如:y=2x+1。

隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。

3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。