八年级数学上册第十四章勾股定理14.1勾股定理14.1.3反证法课件(新版)华东师大版

已知：如图两条相交直线a、b. 求证：a与b只有一个交点.
a b
●
●
A
A′
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A′ 因为两点确定一条直线，即经过点A和A′的直线有且只有一 条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点.
例2：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
讲授新课 1.反证法的概念 反证法是一种间接证明命题的基本方法，通常在证明一个数学命题 时，如果运用直接语法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法.
2.反证法证题的步骤 （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面 成立；
14.1.3 反证法
甲：在五一长假里， 我和爸爸、妈妈去 新加坡玩了整整6天， 真是太高兴了.
丙：是啊,5月 4号我确实和 甲在长安街逛 街！
乙：这不可能，5月4号上午 还看见你和丙在长安街逛街 呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天， 那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在新加坡， 即5月4号甲在新加坡， 这与“5月4号甲在苏州的观前街”矛盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
综合① 和②知假设不成立, 所以∠B一定是锐角.
训练2：证明：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行. 已知：如图，AB//EF，CD//EF， 求证：AB//CD
A C E B D F
A C E
B D F
O
证明：
假设AB ∥ CD，即AB与CD相交于点O ∵AB//EF，CD//EF ∴过点O有两条直线AB、CD与直线EF平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行”矛盾，
（3）关于唯一性、存在性的问题.
（4）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题.
常用的互为否定的表述方式： • • • • • • • 是——不是； 存在——不存在 平行——不平行；垂直——不垂直 等于——不等于；都是——不都是 大于——不大于；小于——不小于 至少有一个——一个也没有 至少有三个——至多有两个 至少有n个——至多有(n-1)个
∴假设不成立
∴AB//CD
考考你 “对角线相等的四边形是矩形”
是真命题吗？为什么？ 你是用什么方法说明的？
B
A
D
C
A B D
C
你能说说举反例和反证法的联系和区别吗？
一般什么时候，适合用反证法？ （1）结论本身是以否定形式出现的. 如：证明“不可能……”，“没有……”，“不存在……”等等. （2）有关结论是以“至多……”、“至少……”的形式出 现的命题.
这节课你有什么收获?
1、体会了反证法源于生活又应用于生活,有时反证法 的威力很大.
2、反证法的一般步骤：（1）反设；（2）归谬； （3）结论. 3、反证法与举反例的区别与联系.来自求证： ∠B一定是锐角.
A
B
C
证明：假设∠B不是锐角，即∠B是直角或钝角. ①当∠B是直角，即∠B= 90°时, ∠B+ ∠C=90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C= ∠ A +180°＞180°, 这与三角形的内角和等于180°相矛盾; ②当∠B是钝角，即∠B ＞ 90°时, ∠B+ ∠C ＞ 90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C ＞ ∠ A +180°＞180°, 这与三角形的内角和等于180° 相矛盾;
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即 ∠A+∠B+∠C>180° 这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
训练1：已知：在△ABC中，∠C=90°.
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 论正确.
反证法的一般步骤: 假设命题结论反 面成立 假设 假设命题结论 不成立 推理得出的 结论
什么时候运用反证法呢？ 所证命题 成立
假设不 成立
与已知条件 矛盾 与定理，定义， 公理矛盾
例题讲解 例1：求证：两条直线相交只有一个交点.
方法的迁移 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c， BC=a， AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由. b C a A c B
证明：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形， 且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原 结论a2 +b2 ≠ c2 成立.