第3章 力学量用算符表达
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其中ψ1和ψ2是任意两个波函数，c1和c2是两个任意 常数。满足(1)式的算符就是线性算符。如动量算
符就是线性算符。但量子力学中碰到的算符并不
都是线性算符(如取复共轭)。 2 单位算符I
它是保持波函数不变的操作(运算)，即
I
(2)
4
3 算符相等 两个算符相等是指对体系的任何波函数ψ的运算
转置定义( , A~ˆ *)
即
Aˆ A~ˆ *
可证 ( Aˆ BˆCˆ ) Cˆ Bˆ Aˆ
13
11 厄米算符
满足下列关系的算符 Aˆ 就为厄米算符
( , Aˆ ) ( Aˆ , ) 或 Aˆ Aˆ
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ] [ Aˆ, Cˆ ]
[ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ, Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ]Cˆ
[
Aˆ Bˆ, Cˆ ]
[ Aˆ, Cˆ ]Bˆ
Aˆ[ Bˆ ,
Cˆ ]
[ Aˆ,[Bˆ, Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ , Aˆ ]] [Cˆ ,[ Aˆ, Bˆ ]] 0
d
) e Baidu Nhomakorabeax
n
dn
dx
n0 n! dxn
两个或多个算符的函数也可类似定义
如
F( Aˆ, Bˆ) F (m,n) (0,0) Aˆ m Bˆ n m,n0 m!n!
9
8 复共轭算符
算符 Aˆ 的复共轭 Aˆ *是如下构成的：即把 Aˆ 的
表达式中所有量换成其复共轭。 例如坐标表象中的动量算符的复共轭
可以证明标积满足 ( , ) 0 ( ,)* (, ) （按定义证明）
( , c11 c22 ) c1( ,1) c2 ( ,2 ) (c11 c2 2 ,) c1*(1,) c2* ( 2 ,)
(c1和c2为任意常数 )
11
pˆ* (i)* i pˆ
为下面介绍算符的转置、厄米共轭等的方便，我
们先介绍两个波函数(量子态)ψ与 的“标积”，
定义为
( ,) d *
10
积分是对体系的全部空间进行的，d 是坐标空间
体元。若变量取分立值，则积分变为求和。计算 标积也可在其他表象中进行。
第3章 力学量 用算符表达
由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子状态的 描述用波函数描写（与经典不同） 。量子力学中 微观粒子力学量（如能量、动量等）的性质也不 同于经典粒子。经典粒子在任何状态下，它的力 学量都有确定的值。微观粒子由于其波粒二象性， 力学量的取值一般没有确定的值（首先，坐标与 动量不能同时有确定值）。这种差别的存在，使 得我们不得不用和经典力学不同的方式，既用算 符表示微观粒子的力学量。本章讨论表示力学量 算符的性质，以及用算符表示后，量子力学中一 般规律所取的方式。具体内容如下：
2
本章讨论如下几部分
1 算符的运算规则(性质) 2 角动量算符及其在球坐标系下的表示 3 厄密算符的本征值与本征函数 4 共同本征函数
3
§3.1 算符的运算规则(性质)
1 线性算符 态叠加原理要求，可测物理量的算符必须是线性
算符，即
Aˆ (c1 1 c2 2 ) c1 Aˆ 1 c2 Aˆ 2 (1)
7 算符的函数
设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，幂级数
8
展开收敛
F (x) F (n) (0) x n
n0 n!
则可以定义算符 Aˆ 的函数F ( Aˆ)
F ( Aˆ ) F (n) (0) Aˆ n
n0 n!
如 F (x) ex 则可定义
F( d
运算所得的结果。
注意：一般情况下，算符之积不满足交换律，即
Aˆ Bˆ BˆAˆ
6
这是算符与普通数的运算规则的唯一不同之处。
为简捷描述算符乘积不可交换性引入对易式
(Commutator)
[ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
(6)
不难证明对易式满足如下恒等关系
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ ]
显然算符的求和满足交换律和结合律，可证两个
线性算符之和仍然是线性算符。
5 算符之积
算符Aˆ 与Bˆ之积记为 Fˆ Aˆ Bˆ
定义为 Fˆ ( Aˆ Bˆ ) Aˆ (Bˆ) (5)
ψ是任意的量子态(波函数)。即 Aˆ Bˆ对ψ的运算 结果等于先用 Bˆ 对ψ运算，然后再用 Aˆ 对 (Bˆ )
( Jacobi恒等式)
7
6 逆算符
设Aˆ 能够唯一的解出 ，则可定义算符 Aˆ
之逆 Aˆ 1 为
Aˆ 1
说明：1）并非所有的算符都有逆算符存在(如投
影算符)
2 ) 若Aˆ的逆存在,则 AˆAˆ1 Aˆ1Aˆ I
( Aˆ Bˆ )1 Bˆ 1Aˆ 1
~pˆ x pˆ x
另外易证 ( Aˆ Bˆ )' Bˆ ' Aˆ '
12
10 厄米共轭算符
算符 Aˆ 的厄米共轭算符记为 Aˆ ，其定义为 ( , Aˆ ) ( Aˆ , )
由此可得
( , Aˆ ) (, Aˆ )* (*, Aˆ * *)
9 转置算符
算符 Aˆ 的转置算符标记为 A~ˆ 或 Aˆ ' ，其定义为
d * A~ˆ dAˆ *
(式中和是任意两个波函数 )
即 ( , A~ˆ ) (*, Aˆ*)
例如
~ x x
由此还可证明
(按定义及 x 0证明)
所得结果都相等。即
Aˆ Bˆ
(3)
ψ为任意的波函数(量子态)。算符相等记作
Aˆ Bˆ
4 算符之和
定义为：对任意波函数有
( Aˆ Bˆ ) Aˆ Bˆ Fˆ
(4)
那么 Fˆ Aˆ Bˆ 5
如一个粒子的哈密顿算符 Hˆ Tˆ Vˆ
符就是线性算符。但量子力学中碰到的算符并不
都是线性算符(如取复共轭)。 2 单位算符I
它是保持波函数不变的操作(运算)，即
I
(2)
4
3 算符相等 两个算符相等是指对体系的任何波函数ψ的运算
转置定义( , A~ˆ *)
即
Aˆ A~ˆ *
可证 ( Aˆ BˆCˆ ) Cˆ Bˆ Aˆ
13
11 厄米算符
满足下列关系的算符 Aˆ 就为厄米算符
( , Aˆ ) ( Aˆ , ) 或 Aˆ Aˆ
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ] [ Aˆ, Cˆ ]
[ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ, Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ]Cˆ
[
Aˆ Bˆ, Cˆ ]
[ Aˆ, Cˆ ]Bˆ
Aˆ[ Bˆ ,
Cˆ ]
[ Aˆ,[Bˆ, Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ , Aˆ ]] [Cˆ ,[ Aˆ, Bˆ ]] 0
d
) e Baidu Nhomakorabeax
n
dn
dx
n0 n! dxn
两个或多个算符的函数也可类似定义
如
F( Aˆ, Bˆ) F (m,n) (0,0) Aˆ m Bˆ n m,n0 m!n!
9
8 复共轭算符
算符 Aˆ 的复共轭 Aˆ *是如下构成的：即把 Aˆ 的
表达式中所有量换成其复共轭。 例如坐标表象中的动量算符的复共轭
可以证明标积满足 ( , ) 0 ( ,)* (, ) （按定义证明）
( , c11 c22 ) c1( ,1) c2 ( ,2 ) (c11 c2 2 ,) c1*(1,) c2* ( 2 ,)
(c1和c2为任意常数 )
11
pˆ* (i)* i pˆ
为下面介绍算符的转置、厄米共轭等的方便，我
们先介绍两个波函数(量子态)ψ与 的“标积”，
定义为
( ,) d *
10
积分是对体系的全部空间进行的，d 是坐标空间
体元。若变量取分立值，则积分变为求和。计算 标积也可在其他表象中进行。
第3章 力学量 用算符表达
由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子状态的 描述用波函数描写（与经典不同） 。量子力学中 微观粒子力学量（如能量、动量等）的性质也不 同于经典粒子。经典粒子在任何状态下，它的力 学量都有确定的值。微观粒子由于其波粒二象性， 力学量的取值一般没有确定的值（首先，坐标与 动量不能同时有确定值）。这种差别的存在，使 得我们不得不用和经典力学不同的方式，既用算 符表示微观粒子的力学量。本章讨论表示力学量 算符的性质，以及用算符表示后，量子力学中一 般规律所取的方式。具体内容如下：
2
本章讨论如下几部分
1 算符的运算规则(性质) 2 角动量算符及其在球坐标系下的表示 3 厄密算符的本征值与本征函数 4 共同本征函数
3
§3.1 算符的运算规则(性质)
1 线性算符 态叠加原理要求，可测物理量的算符必须是线性
算符，即
Aˆ (c1 1 c2 2 ) c1 Aˆ 1 c2 Aˆ 2 (1)
7 算符的函数
设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，幂级数
8
展开收敛
F (x) F (n) (0) x n
n0 n!
则可以定义算符 Aˆ 的函数F ( Aˆ)
F ( Aˆ ) F (n) (0) Aˆ n
n0 n!
如 F (x) ex 则可定义
F( d
运算所得的结果。
注意：一般情况下，算符之积不满足交换律，即
Aˆ Bˆ BˆAˆ
6
这是算符与普通数的运算规则的唯一不同之处。
为简捷描述算符乘积不可交换性引入对易式
(Commutator)
[ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
(6)
不难证明对易式满足如下恒等关系
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ ]
显然算符的求和满足交换律和结合律，可证两个
线性算符之和仍然是线性算符。
5 算符之积
算符Aˆ 与Bˆ之积记为 Fˆ Aˆ Bˆ
定义为 Fˆ ( Aˆ Bˆ ) Aˆ (Bˆ) (5)
ψ是任意的量子态(波函数)。即 Aˆ Bˆ对ψ的运算 结果等于先用 Bˆ 对ψ运算，然后再用 Aˆ 对 (Bˆ )
( Jacobi恒等式)
7
6 逆算符
设Aˆ 能够唯一的解出 ，则可定义算符 Aˆ
之逆 Aˆ 1 为
Aˆ 1
说明：1）并非所有的算符都有逆算符存在(如投
影算符)
2 ) 若Aˆ的逆存在,则 AˆAˆ1 Aˆ1Aˆ I
( Aˆ Bˆ )1 Bˆ 1Aˆ 1
~pˆ x pˆ x
另外易证 ( Aˆ Bˆ )' Bˆ ' Aˆ '
12
10 厄米共轭算符
算符 Aˆ 的厄米共轭算符记为 Aˆ ，其定义为 ( , Aˆ ) ( Aˆ , )
由此可得
( , Aˆ ) (, Aˆ )* (*, Aˆ * *)
9 转置算符
算符 Aˆ 的转置算符标记为 A~ˆ 或 Aˆ ' ，其定义为
d * A~ˆ dAˆ *
(式中和是任意两个波函数 )
即 ( , A~ˆ ) (*, Aˆ*)
例如
~ x x
由此还可证明
(按定义及 x 0证明)
所得结果都相等。即
Aˆ Bˆ
(3)
ψ为任意的波函数(量子态)。算符相等记作
Aˆ Bˆ
4 算符之和
定义为：对任意波函数有
( Aˆ Bˆ ) Aˆ Bˆ Fˆ
(4)
那么 Fˆ Aˆ Bˆ 5
如一个粒子的哈密顿算符 Hˆ Tˆ Vˆ