《近世代数》模拟试卷
近世代数复习
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设人=B=R (实数集)，如果A 到B 的映射：x-x+2,xCR,则是从A 到B 的() A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合AXB 中含有()个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b,a,bCG 都有解，这个解是()乘法来说 A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数() A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是门的() A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分) 1、设集合A1,0,1;B1,2,则有BA 。
2、若有元素eCR 使每aCA,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个。
4、偶数环是的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个。
6、每一个有限群都有与一个置换群。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是,元a 的逆元是。
8、设I 和S 是环R 的理想且ISR,如果I 是R 的最大理想，那么 9、一个除环的中心是一个。
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合M m {0,1,2,,m1,m}(m1),定义M m 中运算“m ”为a m b=(a+b)(modm),则(M m,m)是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、设G 是群。
《近世代数》模拟试题及答案
近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。
A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕg a是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。
《近世代数》模拟试题1及答案.pdf
近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。
A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪−⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解：e 是R 的单位元。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。
近世代数模拟试题一
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
《近世代数》模拟试卷
一、（16分）叙述概念或命题1．正规子群；2．唯一分解环；3．代数数；4．鲁非尼-阿贝尔定理二、（12分）填空题1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。
2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。
3．一个有单位元的无零因子 称为整环。
4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。
三、（10分）设G 是群。
证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。
四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元dk cj bi a x +++=，定义其共轭dk cj bi a x ---=。
1．证明：x x x x =是一个非负实数；2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。
六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。
1．21I I +；2．21I I ⋂；3．21I I ⋅七、（10分）设有置换)1245)(1345(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1；2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。
一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。
2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。
3．有理数域上的代数元称为代数数。
4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。
二、1．32．253．交换环4．6三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。
近世代数模拟试题--附详细答案
近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔 〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 〕个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔 〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔 〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔 〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。
近世代数期末考试题库完整
世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R（实数集），如果A至UB的映射中：x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（d）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A“T0」＞；B=42},则有BMA=。
2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想，那么。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）［写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。
近世代数基础模拟试题01
《近世代数基础》模拟试题一1．设M 是西昌学院全体学生的集合，以下关系中哪个是M 上的等价关系？（ ）A ．同姓关系B ．朋友关系C ．师生关系D ．不同乡关系 2．以下映射哪个是代数结构),(⋅R 的自同态？（ ）A ． x x 2→B ． x x -→C ． ||x x →D ． 32x x →3．在有理数集Q 上定义代数运算2b)(a b a += ，则这个代数运算（ ）。
A ．既适合结合律又适合交换律B ．适合结合律但不适合交换律C ．不适合结合律但适合交换律D ．既不适合结合律又不适合交换律4．12U 对输的乘法构成一个群，它的子群共有（ ）个。
A ．6B ．8C ．10D ．125．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Z b a b a R ,00，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是 （ ）。
A ．有单位元的可换环B ．无单位元的可换环C ．无单位元的非可换环D ．有单位元的非可换环6．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )。
A ．(1)，(132)B ．(12)，(13)，(23)C ．(1)，(123)，(132)D ．3S 中的所有元素一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填 写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
7． =]:)3Q 2,[Q( ( )A ．2B ．3C ．4D ．68．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )。
A ．B ．C ．D ．9．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )A ．B ．C ．(1)，(123)，(132)D ．10．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )A ．B ．C ．D ．11．设},,{c b a A =，则A 的一一变换共有______个。
12．由实数集合R 上的等价关系: 1~≥+⇔∈∀22b a b a R,b a,所决定的集合R 上的元素的分类共有 个。
近世代数10套试题
《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本。
（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。
以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。
答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。
答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。
答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。
例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。
2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。
例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。
四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。
答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。
- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。
- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。
- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。
例如，a的逆元是a^3。
G的子群有：- {1}：平凡子群。
- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。
- G本身：{1, a, a^2, a^3}。
2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。
答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。
《近世代数》模拟试题2与 答案
近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。
A 0B 1C －1D 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。
A G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（）。
A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( )。
A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类( )。
5、下列哪个不是3A （1）B （123），（132），（23）C （123），（132）D （12），（13），（23）二、计算题(每题10分，共30分)1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群S的正规化子和中心化子。
32.设G ＝{1，－1，i ，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。
3.设R 是由一切形如,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分，共45分) 1、设R 是由一切形如,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，证明,00,0是其零因子。
2、设Z 是整数集，规定a ·b ＝a ＋b －3。
证明：Z 对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。
3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。
近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)1．A 2．D 3．C 4．D 5．B二、计算题(每题10分，共30分)1．解：正规化子N （S ）＝{（1），（23）}。
（6分）中心化子C （S ）＝{（1）}。
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射B 、单射而非满射 C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
近世代数模拟试题
近世代数模拟试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个选项是群的一个例子？A. 整数集合B. 偶数集合C. 正实数集合D. 所有实数的集合2. 群的运算满足以下哪个性质？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足3. 在群中，单位元具有什么性质？A. 唯一性B. 可逆性C. 交换性D. 以上都不是4. 以下哪个选项是环的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 复数集合D. 所有选项都是5. 环中的加法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足6. 以下哪个选项是域的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 实数集合D. 所有选项都是7. 域中的乘法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足8. 向量空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足9. 线性变换的定义域和值域必须是？A. 向量空间B. 群C. 环D. 域10. 以下哪个选项是线性无关的例子？A. 一组线性方程的解B. 一组线性方程的系数C. 一组线性方程的增广矩阵D. 一组线性方程的系数矩阵二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个群的元素个数是有限的，则称该群为________群。
12. 群的运算满足封闭性，即对于任意两个元素a和b，它们的运算结果________。
13. 环中的元素a和b，如果满足ab=ba，则称这两个元素________。
14. 域中的元素a和b，如果满足ab=1，则称b为a的________。
15. 向量空间中的一组向量，如果它们之间不存在非平凡的线性组合等于零向量，则称这组向量________。
三、解答题（每题20分，共40分）16. 给定一个群G，证明群G中的单位元是唯一的。
17. 证明如果一个环R的乘法运算满足交换律，则称R为交换环。
近世代数期末考试试卷及答案
近世代数期末考试试卷及答案近世代数模拟试题三⼀、单项选择题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1、6阶有限群的任何⼦群⼀定不是（）。
A、2阶B、3 阶C、4 阶D、 6 阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数⼀定等于（）。
A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）A、（N,≤）B、（Z,≥）C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系））D、 (P(A),?)5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素⼆、填空题(本⼤题共10⼩题，每空3分，共30分)请在每⼩题的空格中填上正确答案。
错填、不填均⽆分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果f是A与A间的⼀⼀映射，a是A的⼀个元，则()[]=-aff1----------。
3、区间[1，2]上的运算},{min baba=的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因⼦有 -----------------------。
6、⼀个⼦群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它⾃⼰的---------。
8、⽆零因⼦环R中所有⾮零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群G中元素a的阶为m，如果ea n=，那么m与n存在整除关系为--------。
三、解答题（本⼤题共3⼩题，每⼩题10分，共30分）1、⽤2种颜⾊的珠⼦做成有5颗珠⼦项链，问可做出多少种不同的项链？2、S 1，S 2是A 的⼦环，则S 1∩S 2也是⼦环。
近世代数模拟试题7
2、设H是群G的子群，对a,bG，定义a～bab1H，证明：～是G上的一个等价
关系。
3、设R1, R2都是环，是环R1到R2的满同态映射，01和02分别是环R1和R2的零元，
Nker{ x | xR1,( x)02}，证明：是同构映射当且仅当N{ 01}。
近世代数试卷第4页（共4页）
6、（
）无零因子环的同态象无零因子。
6、（
）欧氏环一定是唯一分解整环。
8、（
）整除关系是整环
R的元素间的一个等价关系。
9、（
）循环群有且仅有一个生成元。
10、（
）循环群的子群是不变子群。
近世代数试卷第1页（共4页）
得分评卷人复查人
三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设H{( 1), (12)}是3次对称群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是
题
号
一
二
三
四
五
六
是否缺考
题
分
15
20
15
10
20
20
得
分
《近世代数》试卷
得分
评卷人
复查人
一、填空题（每空2分，共20分）
1、设有集合A和B，|A|=3,|B|=2,
则共可定义____个从A到B的映射，其中有_____个单射，
_____个满射，______个双射。
2、设G=(a)是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数为_________.
得分
评卷人
复查人
二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2
分共
20分）
1、（
近世代数模拟试题四
近世代数模拟试题三一、填空题1、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2、如果G 是一个交换群，那么G 的任一个子群H 都是-------------子群。
3、设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数--------。
.4、设集合M=﹛1，2，3﹜，G 是M 上的置换群，H=﹛I ，（1，3）﹜是G 的子群，则H 的右陪集为 。
5、变换群一般 ------------- 交换群。
6、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---------，元a 的逆元是-----------。
7、任一个群G 的子群G 和e 总是-------------子群。
8、设 , 为 的两个子群, 则 为 的子群的充分必要条件是-----------------。
.9、集合A 到A 的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个-----------群。
二、选择题1、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群。
A. G 为整数集合，*为加法B. G 为偶数集合，*为加法C.G 为有理数集合，*为加法D. G 为有理数集合，*为乘法2、剩余类加群Z18的子群有( )。
A.3个B.6个C.9个D.12个3、设S 是群G 的非空子集，G 的含 S 的所有的子群的交仍是G 的子群，这个子群称为G 的由（ ）子群。
A 、G 生成的B 、G 不作成的C 、S 生成的D 、元0生成的。
4、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ）A.若a 是零元，则b 是零元；B.若a 是单位元，则b 是单位元；C.若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 若2R 是不交换的，则1R 不交换。
5、子群包含的三层意思是（ ）A 、H G ；H 成群；H 与G 有相同的运算B 、H ≠G ；H 是G 的子半群；H 有两种运算。
C 、H G ；H 有单位元；H 的运算相同。
近世代数模拟试题
近世代数模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 群的定义中，下列哪一项不是必要的？A. 封闭性B. 单位元存在性C. 逆元存在性D. 交换律2. 对于一个环，以下哪项是正确的？A. 必须有加法单位元B. 必须有乘法单位元C. 必须满足交换律D. 必须满足分配律3. 以下哪个选项正确描述了域的特征？A. 域中的每个元素都有逆元素B. 域中的每个元素都有加法逆元素C. 域中的乘法是交换的D. 域中的乘法是结合的4. 如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，那么G被称为：A. 阿贝尔群B. 循环群C. 有限群D. 正规子群5. 以下哪个选项是群的同态映射？A. 恒等映射B. 逆映射C. 任意映射D. 单位元映射二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个群G的拉格朗日定理指出，如果H是G的一个子群，那么|H|整除______。
2. 环R中的元素a被称为______，如果对于R中的每个元素b，都有ab=ba。
3. 一个环R被称为______，如果它的乘法满足交换律。
4. 一个环R的雅可比恒等式是a^2(b+c)=ab^2+ac^2，这表明R是一个______。
5. 一个群G的正规子群N，如果它满足G/N是一个阿贝尔群，那么N 被称为G的______。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是群的同构，并给出一个例子。
2. 描述环的整环和域的区别。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。
2. 证明：如果一个环R有单位元且每个非零元素都是可逆的，那么R是一个域。
五、应用题（每题15分，共30分）1. 已知群G={1, a, b, c}，其中a^2=b^2=c^2=1，且ab=c，ba=c。
确定G是否为阿贝尔群，并找出所有可能的群结构。
2. 考虑环Z_6，其中Z_6是由模6的整数组成的环。
证明Z_6不是域，并找出它的所有单位元素。
注意：请根据所学知识，认真审题，仔细作答。
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一、（16分）叙述概念或命题
1．正规子群；
2．唯一分解环；
3．代数数；
4．鲁非尼-阿贝尔定理
二、（12分）填空题
1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。
2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。
3．一个有单位元的无零因子 称为整环。
4．如果710002601a 是一个国际标准书号，那么=a 。
三、（10分）设G 是群。
证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。
四、（10分）证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
五、（15分）设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元
dk cj bi a x +++=，
定义其共轭
dk cj bi a x ---=。
1．证明：x x x x =是一个非负实数；
2．对k j i x 221-+-=，k j i y -+-=22，求xy ，yx 和1-x 。
六、（15分）设)6(1=I ，)15(2=I 是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。
1．21I I +；
2．21I I ⋂；
3．21I I ⋅
七、（10分）设有置换)1245)(1345
(=σ，6)456)(234(S ∈=τ。
1．求στ和στ-1；
2．确定置换στ和στ-1的奇偶性。
八、（12分）求剩余类加群Z 12中每个元素的阶。
一、1．若H 是群G 的子群，且对每个G a ∈，有Ha aH =，那么H 称为是G 的正规子群。
2．设R 是个整环，若对于R 中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R 为唯一分解环。
3．有理数域上的代数元称为代数数。
4．如果5≥n （特征为0），那么n 次的一般方程没有根式解。
二、1．3
2．25
3．交换环
4．6
三、对于G 中任意元x ，y ，由于e xy =2)(，所以yx x y xy xy ===---111)(（对每个x ，从e x =2可得1-=x x ）。
四、设A 是任意方阵，令)(21A A B '+=，)(2
1A A C '-=，则B 是对称矩阵，而C 是反对称矩阵，且C B A +=。
若令有11C B A +=，这里1B 和1C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则C C B B -=-11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1B B =，1C C =，所以，表示法唯一。
五、1．02222≥+++==d c b a x x x x
2．k j i xy 8424-+--=，k j i yx 2484-+--=，)221(10
11k i i x +-+=
- 六、1．)3(21=+I I ；
2．)30(21=⋂I I ；
3．)90(21=⋅I I
七、1．)56)(1243(=στ，)16524(1=στ-； 2．两个都是偶置换。
八、。