高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分培训教材

表示商品i关于商品j价格pj的边际需求。
而 E ij lpji 0 m ip Q ji//p Q ji Q pij p Q 2 1 ((llQ p n n ij))
表示商品i需求量对商品j价格pj的需求价格偏弹性。 通常，当i=j时称直接需求价格偏弹性；
当ij时称交叉需求价格偏弹性；
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增加经济学例题
ln
x
x z
y
zz
uxzy z
y lnx(z2)
y z2
y
xz
ln x
(2) u x
1[x (1 y)z]2z(xy)z1
z(x y)2z 1 (x y)2z
u y
z(x y)z1 1(x y)2z
,
u z
(xy)z ln(xy) 1(xy)2z
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有关偏导数的几点说明
偏导数记号∂z/∂x、∂z/∂y是整体记号,不能拆分; 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。
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全微分的定义
定义：如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的全增
量z可表示为z = Ax+By+ ；其中
A=A(x0,y0) 、B=B(x0,y0)与x 、y无关,
(x)2(y)2,()为0时的无穷,小
即在(x,y)(0,0)时,是的高阶无穷小量； 则称z的线性主部Ax+By为函数z=f(x,y)在 点P0(x0,y0)处的全微分,记为dz,即 dz= Ax+By 并称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微。
偏导数fy(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面x=x0所截得的 曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Ty对y轴的斜率。
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例题与讲解
y
例：求下列偏导数 (1)u x z ; (2)uarctxany()z.
解：
பைடு நூலகம்(1)
u
y
(
x
y1) z
,
u
y
xz
lnx
1
1
x
y z
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全微分
多元函数偏导数只描述了某个自变量变化而其 它自变量不变时所引起的函数变化特征。
为了研究所有自变量同时发生变化时函数的变 化特征,需引入全微分概念。
为说清全微分概念,先引入全增量概念。 全增量：若函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域
内有定义,设点P(x0+x, y0+y)是该邻域内任一 点,则称这两点函数值之差 为函数z =在f点(x0P+0处x,对y0应+于y)自- f变(x量0,y改0) 变量x 、y 的全增量。即z = f(x0+x, y0+y) - f(x0,y0)。
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偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导连续。 多元函数中在某点偏导数都存在连续？
例如,函数f(x,
xy y)x2 y2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依 定 义 知 在 ( 0 ,0 )处 ， fx ( 0 ,0 ) fy ( 0 ,0 ) 0 .
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在 /连续.
其 , 中 fx 1 ( x ,y ) x 2 x x f y y 2 (x ,y 2 ) y x 2 y y 2 x 2 y 2 0 0
P(xx,yy)P 的某个邻域
z A x B y o ()总成立,
当 y 0 时 ， 上 式 仍 成 立 ， 此时|x|,
f ( x x ,y ) f ( x ,y )A x o ( |x|),
lim f(x x ,y)f(x ,y)A z ,
x 0
x
x
同理可得 B z .
§8.3偏导数与全微分
一、偏导数 二、全微分
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偏导数定义及记法
定义：fx(x0,y0) lx i0m f(x0 x,y 0 x )f(x0,y0)
fy(x0,y0) lx i0m f(x0,y0 yy )f(x0,y0)
z f
z x x 0 x x y y 0
x x0 y y0
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可微与连续
微分函数：若函数在某区域各点内处处可微,则称函 数在该区域可微。此时,在该区域上就有了微分函数 dz=A(x,y)x+B(x,y)y。
定理：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P(x,y)连 续。
事实上 z A x B y o (),limz0, 0
lim f(x x ,y y )li[m f(x,y)z]
x x x0 y y0
z f x x
z x fx(x,y)
f z
y z y x x0 y y0
x x0 y x x0
y y0
y y0
z y
f y
z y fy(x, y)
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偏导数的几何意义
偏导数fx(x0,y0)就是曲面z=f(x,y)被平面y=y0所截得的 曲线在点M0(x0,y0, f(x0,y0))处切线M0Tx对x轴的斜率。
y
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可微的充分条件
定理2：如果函数z=f(x,y)的偏导函数fx'(x,y)、 fy'(x,y) 在点P(x,y)处连续,则该函数在点P处可微。
证*: z f ( x x , y y ) f ( x , y )
[ f ( x x , y y ) f ( x , y y )]
fx (x 1 x ,[yf ( x y ,) y x y f) y( x,fy(x ,y 2)y] )y
fx (x,y) xfy (x,y) y
(01,21)
[fx ( x 1 x ,y y ) fx ( x ,y ) x ]
[fy (x ,y 2 y ) fy (x ,y ) ] y
例 , 设 z f ( 如 x ,y ) x , 求 f x y ( 0 , 0 )f y , ( 0 , 0 )
解
|x0|0 fx(0,0)lx i0m x
0
fy(0,0).
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偏导数的经济意义(详细展开！)
设需求函数: Q1=Q1(p1,p2)、 Q2=Q2(p1,p2)。
则
Q p
i j
( x , y ) (0 ,0 )
0
f(x,y)
故 函 数 z f ( x ,y ) 在 点 ( x ,y ) 处 连 续 .
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可微的必要条件
定理1：若函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微,则在点P处偏
导数都存在,且点P处有 dzzxzy
证：
x y
如 果 函 数 z f(x ,y )在 点 P (x ,y )可 微 分 ,