高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分培训教材

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偏导数与全微分课件

dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x

. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x

高等数学微积分教程第四章多元函数微分学--偏导数与全微分

∂2z y2 − x2 ∂2z = = 2 2 2 ∂y∂x (x + y ) ∂x∂y
例6. z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z , , , 求 2 , 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x 3
∂z = 3x 2 y 2 − 3 y3 − y, ∂x
例4. f ( x, y ) =| x | + | y |
y →0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0) 故在(0,0)点连续. x →0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan α
例7.求 u = x + sin
y + e yz 的全微分 2 ∂u ∂u 1 y ∂u yz = 1, = ye yz = cos + ze , ∂x ∂z ∂y 2 2 1 y ∴ du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别一元函数: 一元函数可导连续多元函数: 多元函数可微
f ( x0 + ∆x, y0 , z0 ) − f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆x → 0 ∆x

高等数学全微分PPT课件

若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续函数可微函数可导
偏导数连续
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算估计误差
机动
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结束
一、全微分的定义

高等数学-全微分PPT课件

200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
11
例4.计算 1.042.02的近似值. 解: 设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)y xy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1.02.4 0 2f(1.0,4 2.0)2
f( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y 1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 28
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：δ S
S a
δa
S b
δb
S c
δc
1 2
bsinCδa12
asinC
δb12
abcoC s δC
故a 绝 1 对误.5 ,差2 b 约为8 .3 δ,SC 03 .1 3,δ 0 a δ b 0 .0 ,δ 1 C 18
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
解: z ye xy , x
z xexy y
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2. 计算函数 uxsinyeyz的全微分. 2
解: du 1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyz dz
9
*二、全微分在数值计算中的应用
所以 S 的相对误差约为 δ S 0.13 0.5% S 25 .94
15
例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为 0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .

《偏导数和全微分》PPT课件

.
(先求后代)
z x
(1,
2)
ln 5
2. 5
5
例4
设
z
arctan
(x 2) y y2 xy (x 2)2 y3
求
z y
|( 2, 0 )
.
解
z
|x2
z(2,
y)
arctan
y 2
,
z y
|( 2 , 0 )
dz(2, dy
y)
|y0
d
arctan dy
y 2
|y0
1
1
2 y
2
|y0
1. 2
程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.
15
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
开关键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防
x0
x
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 x 的偏导数，记作
z x
x0 , y0
,
f
x0,
x
y0 ,
zx 或 x0 , y0
fx x0, y0
若 lim f x0 , y0 y f x0 , y0 存在，则称此极限为
y 0
y
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 y 的偏导数，记作

高等数学教学：偏导数与全微分

轮换对称性

f
x
(0,0,0)

3

x cos
x

x

0

1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数：两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设

f(x,y)=
xy
x2 x2

y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形：即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2

y2

z
2

2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y

f y

f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u

第九章第二讲高阶偏导数全微分PPT课件

结论：
1. 如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则
函数在该点连续. （逆否命题：不连续一定不可微）
事实上 z A x B y o (), limz0, 0
lim f(xx,yy)li[m f(x,y)z]
x 0
0
y 0
f(x,y)
故函数 z f ( x ,y ) 在点 ( x , y ) 处连续 .
11
《高等数学》精品课程教学团队
第九章多元函数微分法及其应用第二讲高阶偏导数、全微分
2.（必要条件）如果函数z f ( x, y)在点( x, y) 可微分，则该函数在点( x, y)的偏导数 z 、 z 必
x y 存在，且函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分为
dz z x z y． x y
几何意义:
z f (x, y)
偏导数
f x ( x0 ,
y0 ) 就是曲线
y
y0
在
点
M
处的切线
0
M
0Tx
对
x
轴的斜率.
z f (x, y)
偏导数
f
y
(
x0
,
y0
)就是曲线曲线
y
y0
在点
M
处的切线
0
M
0Ty
对
y
轴的斜率.
2
《高等数学》精品课程教学团队
第九章多元函数微分法及其应用第一讲多元函数的基本概念、偏导数
9
《高等数学》精品课程教学团队
第九章多元函数微分法及其应用第二讲高阶偏导数、全微分
1. 在一点的全微分的定义：

偏导数与全微分--华南理工大学高数课件

2 z z f ( x , y ) = 2 = yy y y y
z 2 z z 2 z = f yx ( x , y ) = = f xy ( x , y ), = x y yx y x xy
混合偏导高阶偏导数. 定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
求z = x 3 y 2 + xy 的四个二阶偏导数例的四个二阶偏导数. 2 z z 解 = 3 x 2 y 2 + y, = 6 xy 2 , x x 2 2z = 6 x 2 y + 1; xy 2 z z = 2 x 3 y + x, = 2 x3 , y y 2 2z = 6 x 2 y + 1. yx
偏导数
如果函数 z = f ( x , y ) 在区域内任一点在区域D内任一点 (x, y)处对的偏导数都存在那么这个偏导数处对x的偏导数都存在处对的偏导数都存在,
、的二元函数, 仍是 x、y 的二元函数它称为函数 z = f ( x , y )
对自变量x的偏导函数简称偏导数简称偏导数), 对自变量的偏导函数 (简称偏导数记作 z , f , z x 或 f x ( x , y ). x x 对自变量y的同理, 同理可定义函数 z = f ( x , y ) 对自变量的简称偏导数), 偏导函数 (简称偏导数简称偏导数记作
第二节偏导数
偏导数的定义及其计算法偏导数的几何意义高阶偏导数
higher-order partial derivative
偏导数
一、一阶偏导数的定义
定义设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义，固定为内有定义， y固定为 0 , 若极限 y 将

人大微积分课件8-3全微分

全微分的几何解释
局部线性逼近
全微分提供了函数在某点处的局部线性逼近，即在该点附近，函数值可以用切平面上的值来近似。
误差估计
全微分可以用来估计函数值与切平面值之间的误差，即 $|f(x, y) [f(x_0, y_0) + A(x - x_0) + B(y y_0)]| leq Msqrt{(x - x_0)^2 + (y y_0)^2}$，其中 $M$ 为某常数。
应用于微分方程
全微分是微分方程的基础，通过求解微分方程可以研究各种自然现象和社会现象的变化规律，如物理、化学、经济等领域的问题。
对全微分的进一步理解和探讨
与偏微分的联系与区别
全微分与偏微分都是研究函数变化率的工具，但偏微分仅研究函数沿坐标轴方向的变化率，而全微分则研究函数在任意方向的变化率。
提高解决实际问题的能力
学习微积分的最终目的是为了解决实际问题。在未来的学习中，需要注重提高解决实际问题的能力，通过大量的练习和实践来掌握微积分的应用技巧和方法，培养自己的数学素养和创新能力。
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感谢您的观看
微分与增量的关系
全微分 $df$ 是函数增量 $Delta f$ 的线性主部，当 $Delta x, Delta y to 0$ 时，$Delta f approx df$。
近似计算与误差估计
利用全微分进行近似计算
当函数在某点的偏导数已知时，可以通过全微分公式近似计算函数在该点附近的值。
误差估计
在实际问题中，由于测量或计算误差的存在，我们需要对结果进行误差估计。全微分可以用来估计误差的传播和影响。
03 全微分的几何意义
切平面与切线

《偏导数和全微分》课件

光学：描述光场、折射率场等物理量
量子力学：描述波函数、概率密度等物理量
相对论：描述时空弯曲、引力场等物理量
全微分在几何中的应用
计算曲面的切平面
计算曲面的法线
计算曲面的曲率
计算曲面的旋转曲面
全微分在物理中的应用
力学：计算力、力矩、能量等物理量
热力学：计算温度、压力、体积等物理量
电磁学：计算电场、磁场、电磁波等物理量
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全微分的几何意义
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全微分描述了函数在某点处的变化趋势
全微分是函数在某点处的线性近似
全微分是函数在某点处的切线斜率
全微分是函数在某点处的切线方程
全微分的物理意义
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全微分表示函数在某点处的变化率
全微分是函数在某点处所有偏导数的线性组合
全微分可以用来计算函数在某点处的变化量
全微分是微积分中的重要概念，用于解决实际问题
偏导数和全微分的应用
偏导数在几何中的应用
求曲线的切线斜率
求曲面的切平面参数方程
求曲面的切平面法线
求曲面的切平面方程
偏导数在物理中的应用
力学：描述力场、速度场、加速度场等物理量
热力学：描述温度场、压力场等物理量电磁学：描述电场、磁来自等物理量偏导数的物理意义
偏导数可以用于求解多元函数的极值和条件极值
偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述函数在某一点处的局部性质
偏导数可以用于求解多元函数的梯度和方向导数
全微分的概念
全微分的定义
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偏导数与全微分ppt课件

③ 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个；等等。
24
7. 偏导数的经济意义
边际需求: 两种商品，价格分别为 p1 和 p2
偏弹性:
需求函数： Q1( p1, p2 ) Q2 ( p1, p2 )
Q1 , Q1 , Q2 , Q2 称为边际需求 p1 p2 p1 p2
p2 0
2Q1 / Q1 p2 / p2
p2Q1 Q1p2
ln Q1 ln p2
E22
lim 2Q2 / Q2 p10 p2 / p2
p2Q2 Q2p2
ln Q2 ln p2
其中：2Q1 Q1( p1, p2 p2 ) Q1( p1, p2 )
格E1偏1 称弹为性1；商E品12需称求为量1商Q品1 需对求自量身价Q1格对相p1关的价直格接p价2
dz z dx z dy x y
32
证明：
由条件当(x+△x,y+△y)∈∪((x,y))时
△z=A△x +B△y+o()
特别地(x+△x,y)∈∪((x,y)) ，有
△z=A△x + o()=A△x + o( △x )
z f (x x, y) f (x, y) A o( x )
r
y
y x2 y2 z2
r
z
z x2 y2 z2
15
5. 偏导数的几何意义
z
z=f(x,y0)
M0
Ty
Tx
z=f(x0,y)
o
y0
y
x0
P0
x
—— z
x xx0 y y0
切线M0Tx对x轴的斜率

高等数学偏导数PPT课件.ppt

故函数 f (x, y) 在点(0, 0) 处不连续.
f
(x, y)
xy x2 y2
( x2 y2 0 ),
f (0, 0) 0
但是
lim f (x , 0) f (0, 0) lim 0 0 ,
x0
x
x0
lim f (0, y) f (0, 0) lim 0 0 ,
y0
y
y0
( f y(0,0))x .
例验证函数 u( x, y) ln x2 y2 满足拉普
拉斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln
x2
y2
1 ln( x2 2
y2 ),
u x
x x2
y2 ,
2u (x2 y2) x 2x y2 x2 x2 ( x2 y2 )2 ( x2 y2 )2 ,
求偏导数时,只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量,其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
例求 z x2 3xy y2在(1,2)处对 x 的偏导数．
解法一 (用定义)
z x
x 1 y2
lim z(1 x,2) z(1,2)
x0
x
8
.
解法二 (用定义)
f (x x, y, z) f (x, y, z)
fx
(
x,
y,
z)
lim
x0
x
,
f y ( x,
y, z)
lim
y0
f
(x,
y
y, z) y
f
(x,
y, z) ,
fz ( x,
y, z)

偏导数和全微分的概念共47页PPT

END
偏导数和全微分的概念
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•

49、勤学如春起之苗，不见其增，日有所长。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结，箪瓢屡空，晏如也。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃

《高数偏导数》课件

高阶偏导数计算
总结词
高阶偏导数的计算需要遵循一定的规律和技巧。
详细描述
高阶偏导数的计算需要理解二阶偏导数和更高阶偏导数的概念，掌握高阶偏导数的求导法则，如高阶乘积法则、高阶链式法则等，以便在遇到高阶偏导数时能够正确计算。
隐函数求导法则
总结词
隐函数求导法则是解决隐函数偏导数的关键。
详细描述
隐函数求导法则是基于复合函数求导法则的扩展，适用于解决由一个方程组确定的隐函数组的偏导数问题。通过对方程两边同时求导，并利用方程组中其他方程的导数，可以求得隐函数组的偏导数。
法线方程
根据法线方向向量和原点坐标，可以求出法线方程。
法线与切线的夹角
在曲面上某一点，法线与切线的夹角可以通过求法线方向向量和切线方向向量的夹角得到。
04ห้องสมุดไป่ตู้
偏导数的计算技巧
链式法则
总结词
链式法则是偏导数计算中的重要技巧，用于计算复合函数的偏导数。
详细描述
链式法则是基于复合函数求导法则的，当一个复合函数中包含多个中间变量时，链式法则能够将外层函数的偏导数通过中间变量传递到内层函数，从而简化计算过程。
2
如果函数在某点处偏导数不存在，则该函数在该点处不可微。
3
偏导数的连续性是保证函数可微的必要条件。
可微性的概念
可微性是指函数在某点处的极限值等于函数在该点的值，即函数在该点处具有切线。
如果函数在某点处可微，则该点处的切线存在，且切线的斜率等于该点处的偏导数值。
可微性的判定
01
如果函数在某点处的左右极限相等，则该函数在该点处可微。
乘积法则
对于两个函数的乘积的偏导数，其偏导数是各自函数的偏导数的乘积。

高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分共29页

高等数学(微积分)课件--83偏导数与全微分
6
、
露
凝
无
游
氛
，天高风景 Nhomakorabea澈
。
7、翩翩新来燕，双双入我庐，先巢故尚在，相将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、陶渊明（约 365年 —427年），字元亮，（又一说名潜，字渊明）号五柳先生，私谥“靖节”，东晋末期南朝宋初期诗人、文学家、辞赋家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
文家。汉族，东晋浔阳柴桑人（今江西九江）。曾做过几年小官，后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》、《归园田居》、《桃花源记》、《五柳先生传》、《归去来兮辞》等。