导数的乘法与除法法则

导数的乘法与除法法则

一、学习目标

1．了解两个函数的积、商的求导公式，会运用其求含有积、商综合运算的函数的导数. 2．会用导数的四则运算法则进行导数计算.

3．能灵活运用导数的几何意义，解决曲线切线问题．

二、课前自学

A 阅读教材P44-47 （重点演算例3，例4）

知识点1 导数的乘法法则

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数__________第二个函数，__________第一个函数乘以第二个函数的___________.即若两个函数

()f

x 和()g x 是___________,且导数分别是

()'

f

x 和()'

g x ，则有()()'

f x

g x ⎡⎤⎣⎦=____________________________，特别地，当()g x =k 时，

()'

k f

x ⎡⎤⎣⎦

=________________________________.

知识点2 导数的除法法则

两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的__________， __________分母的导数与分子的___________，再___________分母的________,即若两个函数()f x 和()g x 是__________,且导数分别是

()'

f

x 和()'

g x ，

且()0g x ≠，则有 ()()'

f

x g

x ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

=____________________________. 特

别地，当()f x =1

时，()'

1g x ⎡⎤⎢⎥

⎣⎦

=________________________________.

B 小试牛刀

1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）32

234

y x x =--； （2）s in y

x x

=⋅；

（3）2

(251)x

y x x e

=-+⋅； （4）4

x

x y

=

；

2．已知函数

()

f x 在1x =处的导数为3，则

()

f x 的解析式可能为：

A.

()2(1)

f x x =- B.

2

()2(1)

f x x =-

C .2

()(1)3(1)

f x x x =-+- D.

()1

f x x =-

3．函数2

1

y

a x =+的图像与直线y

x

=相切，则a

=

（ ） A .1

8

B .

14

C .

12

D . 1

4.函数()3

121

f x x x =

++的导数是____________________.

三、合作学习

1.结合上节多个函数的和（或差）的求导，你能否给出多个函数乘积的导数？

2.日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()

(80100)

100c x x x

=

<<-求净化

到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：

四、课堂训练

1．求下列函数的导数

（1）2lo g y x

= ； （2）2x

y

e

=；

（3）ln ln x y x x

x

=

+ （4）3c o s 4sin y

x x

=-；

（5） ()()5

3

5

3

3443y x x

x

x

=-+ ； （6）1s in 1c o s x y

x

-=

+

2.曲线 21

x y x =

-在点（1,1）处的切线方程为( ) A. 20x y --= B. 20x y +-= C. 450x y +-=

D. 450

x y --=

3.设曲线11

x y

x +=

-在点（3,2）处的切线与直线10

a x y +

+=垂直，则a 的值是（ ）

Ａ．２ Ｂ．－12

Ｃ．－

12

Ｄ．－２

我的收获：______________________________________________________________

我的困惑：______________________________________________________________