导数的乘法与除法法则

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四则运算求导法则

四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。

在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。

首先，我们需要了解什么是导数。

导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。

我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。

四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。

那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。

例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。

减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。

例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。

乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。

例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。

除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。

例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。

以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。

但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。

在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。

导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。

最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。

导数的基本公式和四则运算法则

导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。

首先，我们来看导数的基本公式。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。

通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。

接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。

四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。

对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。

2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。

3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。

利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。

在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。

它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。

因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。

希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。

导数与微分导数的基本公式与运算法则

导数与微分导数的基本公式与运算法则导数和微分导数是微积分中非常重要的概念，它们描述的是函数的变化率。

导数是研究函数变化趋势的工具，而微分则是描述函数变化的量。

一、导数的基本定义给定一个函数f(x)，在x点处的导数可以通过以下公式来定义：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h)-f(x))/h]其中，h表示一个趋近于0的数值，称为增量。

导数描述的是函数f(x)在特定点处的变化率。

二、导数的运算法则1.常数规则：如果c是一个常数，那么导数的值为：d(c)/dx = 02.幂函数规则：如果f(x)=x^n，其中n是一个常数，那么导数的计算规则为：d(x^n)/dx = n * x^(n-1)3.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么它们的和的导数可以通过每个函数的导数求和来计算：d(f(x) + g(x))/dx = d(f(x))/dx + d(g(x))/dx4.差的规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么它们的差的导数可以通过每个函数的导数求差来计算：d(f(x) - g(x))/dx = d(f(x))/dx - d(g(x))/dx5.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么它们的乘积的导数可以通过以下公式来计算：d(f(x) * g(x))/dx = f(x) * d(g(x))/dx + g(x) * d(f(x))/dx 6.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么它们的商的导数可以通过以下公式来计算：d(f(x) / g(x))/dx = (g(x) * d(f(x))/dx - f(x) * d(g(x))/dx) / (g(x))^27.链式法则：如果f(u)是关于u的可导函数，而u=g(x)是关于x的可导函数，那么复合函数f(g(x))的导数可以通过以下公式来计算：d(f(g(x)))/dx = d(f(u))/du * d(g(x))/dx即导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。

导数基本运算法则

导数基本运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。

导数的计算可以根据导数的基本运算法则进行简化和推导。

本文将介绍导数基本运算法则，并通过几个例子来说明其应用。

一、常数函数的导数我们来看一个简单的情况，即常数函数的导数。

对于一个常数函数f(x)=C，其中C为常数，其导数为0。

这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即导数为常数0。

二、幂函数的导数接下来，我们来考虑幂函数的导数。

对于幂函数f(x)=x^n，其中n 为正整数，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。

这是因为幂函数的导数可以通过指数法则和常数函数的导数来推导得到。

三、和差法则导数的和差法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的和（差）函数在该点的导数等于f(x)和g(x)在该点的导数之和（差）。

即(f(x)±g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

四、乘法法则导数的乘法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的乘积函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)加上g(x)在该点的导数乘以f(x)。

即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

五、除法法则导数的除法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点不为0，则它们的商函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)减去g(x)在该点的导数乘以f(x)，再除以g(x)的平方。

即(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。

六、复合函数的导数导数的复合函数法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点的导数不为0，则复合函数h(x) = f(g(x))在该点的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)。

基本求导法则与导数公式

基本求导法则与导数公式基本求导法则是微积分中的基本技巧之一，用于计算函数的导数。

导数是描述函数变化率的概念，它可以在一点上表示函数的斜率，也可以通过函数在不同点上的导数值描绘函数曲线的特性。

掌握基本求导法则对于理解和应用微积分非常重要。

以下是一些常用的基本求导法则：1.常数规则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数为0。

2.乘法规则：如果f(x)=u(x)v(x)，那么它的导数为f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。

这个规则是求两个乘积函数的导数。

3.除法规则：如果f(x)=u(x)/v(x)，那么它的导数为f'(x)=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)²。

这个规则是求两个商函数的导数。

4. 指数函数规则：如果f(x)=aˣ，那么它的导数为f'(x)=aˣ·ln(a)，其中a是一个常数。

5. 对数函数规则：如果f(x)=logₐ(x)，那么它的导数为f'(x)=1/(x·ln(a))，其中a是一个常数。

6.幂函数规则：如果f(x)=xʳ，那么它的导数为f'(x)=r·xʳ⁻¹，其中r是一个常数。

7. 正弦函数规则：如果f(x)=sin(x)，那么它的导数为f'(x)=cos(x)。

8. 余弦函数规则：如果f(x)=cos(x)，那么它的导数为f'(x)=-sin(x)。

9. 正切函数规则：如果f(x)=tan(x)，那么它的导数为f'(x)=sec²(x)。

10.反函数规则：如果f和g是互为反函数的函数，那么f'(x)=1/g'(f(x))。

除了上述的基本求导法则外，还有一些常用的导数公式，便于计算特定类型的函数的导数：1. 复合函数法则：如果y=f(g(x))，那么y对x的导数可以写为dy/dx=df/dg·dg/dx。

《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单

《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单一、学习这部分知识的目的咱们为啥要学习导数的乘法与除法法则呢？就好比你要计算一些复杂的变化关系的时候，光靠之前的知识可不够。

比如说，你在研究一个物理问题，物体的速度和它受到的力之间有某种乘积关系，或者是在经济领域，成本和产量之间有除法关系，而且它们都是在不断变化的，这时候导数的乘法和除法法则就能派上大用场啦。

就像我上次去超市，发现商品的总价和单价、数量之间的关系，当单价和数量都随着促销活动等因素变化时，就类似这种复杂的关系需要用特殊的法则来处理。

二、导数乘法法则（一）法则内容1、如果我们有两个函数，设为\（u(x)＼）和\（v(x)＼），那么它们乘积的导数\（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＼）。

这里的\（u'（x)＼）就是\（u(x)＼）的导数，＼（v'（x)＼）就是\（v(x)＼）的导数。

这个法则看起来有点复杂，不过咱们可以把它想象成是一种分配工作的方式。

比如说，＼（u(x)＼）和\（v(x)＼）是两个小伙伴一起完成一项任务，它们的乘积的变化率（也就是导数）就等于\（u(x)＼）自己的变化率乘以\（v(x)＼）（这就好像\（u(x)＼）变化的时候拉着\（v(x)＼）一起），再加上\（u(x)＼）乘以\（v(x)＼）自己的变化率（就像\（v(x)＼）变化的时候也影响着整体）。

例如，设\（u(x)＝x^2\），＼（v(x)＝＼sin x\）。

首先我们求\（u'（x)＼），根据求导公式\（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼），＼（u'（x)＝2x\）；＼（v'（x)＝＼cos x\）。

那么\（（u(x)v(x)）＇＝（x^2\sin x)＇＝u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＝2x\sin x ＋ x^2\cos x\）。

（二）推导过程1、从导数的定义出发，＼（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（＼lim\limits_{＼Delta x\rightarrow0}＼frac{u(x ＋＼Delta x)v(x+＼Deltax)u(x)v(x)｝｛＼Delta x}＼）。

微分运算法则范文

微分运算法则范文微分运算法则是微积分中的重要内容，它们是求导的基本规则，能够帮助我们方便地计算各种函数的导数。

在下面的文章中，我将详细介绍微分运算法则，包括导数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。

1.导数的加法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，则它们的和函数y=f(x)+g(x)在该点可导，且有导数f'(x0)+g'(x0)。

2.导数的减法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，则它们的差函数y=f(x)-g(x)在该点可导，且有导数f'(x0)-g'(x0)。

3.导数的乘法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，则它们的乘积函数y=f(x)g(x)在该点可导，且有导数(f(x0)g'(x0)+g(x0)f'(x0))。

4.导数的除法法则：设函数y=f(x)和g(x)都在特定点x0处可导，且g(x0)≠0，则它们的商函数y=f(x)/g(x)在该点可导，且有导数(f'(x0)g(x0)-g'(x0)f(x0))/[g(x0)]^25.导数的乘幂法则：对于任意正整数n和任意实数a，导数的乘幂法则可以描述为：(a^n)'=n*a^(n-1)*a'特殊地，(x^n)'=n*x^(n-1)。

6.导数的常数法则：设函数 y = c 是一个常数，则它的导数为零，即 d/dx c = 0，其中c 是一个常数。

7.导数的复合函数法则：设 y = f(g(x)) 是由两个函数组合而成的复合函数，其中 f(u) 和g(x) 分别是两个函数，且 f(u) 在 u 处可导，g(x) 在 x 处可导。

则复合函数 y = f(g(x)) 在 x 处可导，且有导数 dy/dx = f'(g(x)) *g'(x)。

这些是微分运算法则的基本内容，它们能够帮助我们方便地求解各种函数的导数。

导数的四则运算法则

导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。

即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。

即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。

即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。

下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。

例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。

解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。

f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。

解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。

g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。

求导数公式及运算法则

求导数公式及运算法则求导数公式及运算法则导数是微积分中非常重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率。

在实际应用中，求导数可以帮助我们确定函数的最大值、最小值、驻点等，因此对求导数的理解和掌握是非常重要的。

本文将介绍一些常见的求导数公式及运算法则。

一、求导数的定义假设函数f(x)在区间[a,b]内可导，则函数在某一点x的导数表示为：f'(x) = lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示x自变量的增量。

二、求导数常用的公式1. 常数函数的导数：若c是常数，则f(x)=c的导数为0。

2. 幂函数的导数：对于任意实数n，f(x)=x^n的导数为：f'(x) = nx^(n-1)特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1。

3. 指数函数的导数：f(x)=e^x的导数为：f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x)=log_a(x)的导数为：f'(x) = 1/(x*log_a)其中a为常数，且a>0且a≠1。

5. 三角函数的导数：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)这里的sec(x)表示secant（正割）函数。

三、四则运算法则求导数不仅可以针对单个函数进行，还可以对多个函数之间进行四则运算。

下面介绍求导数的四则运算法则。

1. 和差法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)+g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x)-g(x)]' = f'(x) - g'(x)即求和或求差的导数等于各自的导数之和或差。

2. 乘法法则：若f(x)和g(x)都可导，则有：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + g'(x)f(x)即求两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第二个函数的导数乘以第一个函数。

第二章 4.2导数的乘法与除法法则

4．2 导数的乘法与除法法则[学习目标]1．理解导数的乘法与除法法则．2．将导数公式和导数四则运算相结合，灵活解决一些导数问题．[知识链接][f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )对吗？试举例说明．答不一定正确．当f (x )＝2，g (x )＝x 2时，[f (x )·g (x )]′＝(2·x 2)′＝4x ≠2′·(x 2)′＝f ′(x )·g ′(x )，而当f (x )＝2，g (x )＝2时，[f (x )·g (x )]′＝(2·2)′＝4′＝0＝2′×2′＝f ′(x )·g ′(x )．[预习导引]1．两个函数积的导数(1)符号语言：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(2)文字语言：两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．由上面的式子可以得到[cf (x )]′＝cf ′(x )．2．两个函数商的导数(1)符号语言：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (2)文字语言：两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．要点一利用乘法和除法法则求导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x ＋sin x x 2(2)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)y ＝ln x ＋2xx 2；(4)y ＝1－12sin 2x 2.＝3x 2－32x 5＋cos x x 2－2sin x x 3. ∴y ′＝3x 2＋cos x x 2－32x 2x－2sin x x 3. (2)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2(1＋x )1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝4′(1－x )－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2x x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2′ ＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x4 ＝(1－2 ln x )x ＋(ln 2·x 2－2x )·2xx 4＝1－2ln x ＋(ln 2·x －2)2x x 3. (4)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2 ＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x .规律方法求较复杂的式子进行化简变形对求导十分必要，否则将增大计算量甚至导致错误．如题中(1)、(2)、(4)变形后求导很方便．跟踪演练1 求下列函数的导数；(1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝x sin x －2cos x .解 (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x(2)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2. (3)y ′＝(x sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x . 要点二导数运算法则的简单应用例2 已知函数y ＝sin x 1＋cos x，x ∈(－π，π)，当y ′＝2时，求x 的值．解 y ′＝(sin x 1＋cos x )′＝cos x (1＋cos x )＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2＝11＋cos x＝2，所以cos x ＝－12.又x ∈(－π，π)，所以x ＝2π3或x ＝－2π3.规律方法应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确记忆公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．跟踪演练2曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．答案y＝3x＋1解析∵f′(x)＝(x e x＋2x＋1)′＝e x＋x e x＋2，∴f′(0)＝3.∴函数f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.要点三导数的应用例3求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．解设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x20－2故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－1 2.故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.规律方法(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．跟踪演练3已知某运动物体的运动方程为s(t)＝t－1t2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．解∵s(t)＝t－1t2＋2t2＝tt2－1t2＋2t2＝1t－1t2＋2t2，∴s′(t)＝－1t2＋2·1t3＋4t，∴s′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t＝3 s时的瞬时速度为32327m/s..1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x 1－x 的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2 ＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 ln 2－1解析设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础达标1．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2. ∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．3．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)答案 D 解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π)．4．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)答案 D解析在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0,2x 20)(x ＞0)，∵y ＝2x 2，∴y ′＝4x ，y ′|x ＝x 0＝4x 0.令2x 20＋2x 0＝4x 0，得x 0＝1，此时D (1,2)，k AD ＝2－(－2)1－0＝4， ∴直线AD 的方程为y ＝4x －2.要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．5．曲线f (x )＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．答案 x ＋y －2＝0解析 f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2， ∴f ′(1)＝－1，∴切线方程为x ＋y －2＝0.6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2.解 (1)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .二、能力提升8．曲线y ＝sin xsin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2 ＝1(sin x ＋cos x )2，故＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.9．当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝()A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．答案(－2,15)解析设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，y′|x＝x0＝3x20－10＝2，∴x20＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P点的坐标为(－2,15)．11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程的斜率k＝x30－0x0－2＝y′|x＝x0＝3x20，即x30x0－2＝3x20，解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，即27x－y－54＝0.综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.12．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x0，y0)，则由导数的几何意义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，∴切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，∴y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，∴切线方程为9x－y＋16＝0.三、探究与创新13．已知曲线f(x)＝1a x2－1(a＞0)在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解f′(x)＝2a x，则f′(1)＝2a，又f(1)＝1a－1，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1，切线l 的方程为y －1a ＋1＝ 2a (x －1)．令x ＝0，得y ＝－1a －1；令y ＝0，得x ＝12(a ＋1)．所以切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪12(a ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2≥14×4＝1，当且仅当1a ＝a (a ＞0)，即a ＝1时等号成立，因此所求面积的最小值为1.。

4导数的四则运算法则

4导数的四则运算法则四导数的四则运算法则是微积分中基本的运算规则，用于计算函数的导数。

常用的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面将介绍每种运算的具体计算法则。

1.加法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的和f(x)+g(x)，它们的导数等于各自函数的导数之和。

即：(d/dx)[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)2.减法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的差f(x)-g(x)，它们的导数等于各自函数的导数之差。

即：(d/dx)[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)3.乘法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的乘积f(x)*g(x)，它们的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数再乘以第二个函数的导数。

即：(d/dx)[f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)4.除法法则：对于两个函数f(x)和g(x)的商f(x)/g(x)，它们的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。

即：(d/dx)[f(x) / g(x)] = [f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)] /[g(x)]^2以上四则运算法则是微积分中的基本法则，可以通过这些法则计算各种复杂函数的导数。

在使用这些法则时，需要注意函数的定义域和需要应用的法则，并进行一定的代数化简，以得到最终的导数表达式。

举例说明：1.对于函数f(x)=x^2+2x和g(x)=3x-1，计算它们的和的导数：利用加法法则，有：(d/dx)[f(x) + g(x)] = (d/dx)[x^2 + 2x + 3x - 1]= (d/dx)[x^2 + 5x - 1]=2x+52.对于函数f(x)=x^3-4x和g(x)=2x^2+3，计算它们的差的导数：利用减法法则，有：(d/dx)[f(x) - g(x)] = (d/dx)[x^3 - 4x - (2x^2 + 3)]= (d/dx)[x^3 - 2x^2 - 4x - 3]=3x^2-4x-43. 对于函数f(x) = x^2 * sin(x)和g(x) = e^x，计算它们的乘积的导数：利用乘法法则，有：(d/dx)[f(x) * g(x)] = (d/dx)[x^2 * sin(x) * e^x]= (d/dx)[x^2 * sin(x)] * e^x + x^2 * sin(x) * (d/dx)[e^x]= (2x * sin(x) + x^2 * cos(x)) * e^x4.对于函数f(x)=3x^2-2x+5和g(x)=x+1，计算它们的商的导数：利用除法法则，有：(d/dx)[f(x) / g(x)] = [(d/dx)(3x^2 - 2x + 5) * (x + 1) - (3x^2 - 2x + 5) * (d/dx)(x + 1)] / (x + 1)^2=[(6x-2)*(x+1)-(3x^2-2x+5)]/(x+1)^2=(3x^2+2x-7)/(x+1)^2综上所述，四导数的四则运算法则是微积分中的基本运算法则，通过这些法则可以计算各种复杂函数的导数。

导数的基本公式及运算法则

导数的基本公式及运算法则导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化率的工具。

它在求解函数的最值、判断函数的增减性和曲线的弧长等方面有广泛的应用。

在微积分中，导数的基本公式和运算法则是必须掌握的基本内容。

本文将就导数的基本公式和运算法则进行详细介绍。

1.基本函数的导数公式(1)常数函数的导数：f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。

(2) 幂函数的导数：f(x) = x^n，其中n为整数，则f'(x) =nx^(n-1)。

(3) 指数函数的导数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x) =ln(a) * a^x。

(4) 对数函数的导数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

(5)三角函数的导数：① f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。

② f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。

③ f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。

(6)反三角函数的导数：① f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / √(1-x^2)。

② f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / √(1-x^2)。

③ f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1+x^2)。

2.导数的四则运算公式设函数f(x)和g(x)可导，常数k为实数，则有以下四则运算法则：(1)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

(2)乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

(3)除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)(其中g(x)≠0)。

导数加减乘除运算公式

导数加减乘除运算公式
一、加法和减法微分规则
1、加法微分规则：如果要计算函数f（x）=u（x）+v（x）的导数，则它的导数是f'（x）=u'（x）+v'（x）；
2、减法微分规则：如果要计算函数f（x）=u（x）-v（x）的导数，则它的导数是f'（x）=u'（x）-v'（x）；
二、乘法微分规则
1、以f（x）=u（x）×v（x）为例，它的导数可以通过乘法微分规则计算得出，f'（x）=[u'（x）×v（x）]+[u（x）×v'（x）]；
2、其中，“[ ]”表示只有在括号里面的式子为真的时候，乘法微分的结果才是真的；也就是说，只有当f（x）=u（x）×v（x）两边都有变量x时，乘法微分规则才有效；
三、除法微分规则
1、设f（x）=u（x）÷v（x）表示一个有x变量的函数，那么它的导数可以通过以下除法微分规则求得：f'（x）=[u'（x）×v（x）]－[u（x）×v'（x）]÷[v（x）×v（x）]；
2、其中，“[ ]”功能同乘法微分规则中的，只有当除数存在x变量时，除法微分规则才有效。

以上就是加减乘除运算微分公式的介绍，可见，要使用这些规则进行微分运算，要求先根据被微分函数是加法、减法、乘法、除法，然后
将其转化为对应的规则表达式，对运算结果进行运算，从而得出函数的导数。

导数计算公式和法则

导数计算公式和法则导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点处的变化率。

导数的计算公式和法则如下：1. 基本导数公式：(1) 若y=f(x)，则y的导数为f(x)在x点处的导数，即f'(x)。

(2) 若y=u/v，其中u、v为两个可导函数，v(x)不为0，则y的导数为：y'=(u'v-uv')/v²2. 常见函数的导数：(1) 常函数y=C的导数为0，即y'=0。

(2) 幂函数y=xⁿ的导数为y'=nxⁿ⁻¹。

(3) 正弦函数y=sin(x)的导数为y'=cos(x)。

(4) 余弦函数y=cos(x)的导数为y'=-sin(x)。

(5) 指数函数y=aˣ的导数为y'=aˣln a。

(6) 对数函数y=logₐx的导数为y'=1/(xln a)。

3. 基本导数法则：(1) 常数因子法则：若y=Cf(x)，其中C为常数，则y'等于f(x)的导数乘以常数C，即y'=Cf'(x)。

(2) 常数和法则：若y=f(x)±g(x)，则y'等于f(x)的导数和g(x)的导数的和（减法同理），即y'=f'(x)±g'(x)。

(3) 乘法法则：若y=f(x)g(x)，则y'等于f(x)的导数乘以g(x)加上g(x)的导数乘以f(x)，即y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)。

(4) 除法法则：若y=f(x)/g(x)，其中g(x)不为0，则y'等于f(x)的导数乘以g(x)减去f(x)乘以g(x)的导数除以g(x)的平方，即y'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g²(x)。

(5) 复合函数法则：若y=f(u)，u=g(x)，则y'等于f(u)对u的导数乘以u对x的导数，即y'=f'(u)g'(x)。

高阶导数四则运算法则

高阶导数四则运算法则一、导数的加法法则1. 如果两个函数f 和g 的导数分别为f' 和g'，那么它们的和f+g 的导数为：(f+g)' = f' + g'2. 如果函数 f 和常数c 的导数分别为f' 和0，那么它们的和f+c 的导数为：(f+c)' = f'二、导数的减法法则1. 如果两个函数f 和g 的导数分别为f' 和g'，那么它们的差f-g 的导数为：(f-g)' = f' - g'2. 如果函数 f 和常数c 的导数分别为f' 和0，那么它们的差f-c 的导数为：(f-c)' = f'三、导数的乘法法则1. 如果两个函数f 和g 的导数分别为f' 和g'，那么它们的乘积fg 的导数为：(fg)' = f'g + fg'2. 对于常数c，它的导数为0，所以c 与任何函数的乘积的导数为：(fc)' = fc'四、导数的除法法则1. 如果函数f 的导数为f'，那么它的倒数1/f 的导数为：(1/f)' = -f'/f^22. 对于常数c，它的倒数的导数为0。

五、复合函数的导数复合函数的导数是复合函数中各个组成部分的导数的乘积。

设u 是x 的函数，v 是u 的函数，则(v(u(x)))' = u'(x)v'(u)。

六、隐函数的导数如果一个函数y 是另一个函数x 的隐函数，那么y 关于x 的导数可以通过求偏导数得到。

七、对数函数的导数对数函数的导数是：(log_a x)' = 1/(xlna)。

八、幂函数的导数幂函数的导数是：(x^a)' = ax^(a-1)。

九、指数函数的导数指数函数的导数是：(e^x)' = e^x。

十、常数函数的导数常数函数的导数是：(c)' = 0。