1.4.光在球面上的反射与折射
单球面反射和折射
5. 特例
（1）球面反射
n n'
1 1 2 p p' r
平行光线入射，p ，代入物像公式 1 1 2 得 pf'' 2r 2r，f ' 此时对应的像点叫焦点（fpocusp）' r 焦点到顶点的距离— 焦距（focal length）
物像公式为
11 1 p p' f '
（Gauss公式）
1.5 1.0
(8) (1)
1.2
,即成正立、放大的实像。
总的横向放大率
1
2
3
0.5 (
1) 1.2 3
为20cm和15cm，薄透镜折射率为1.5，在凸面 镀银。在球面前方40处的主轴上置一高为1cm 的物，求像的位置和成像的性质。
[解]（1）P经凹球面折射成像：
p1=-40cm，n=1.0，n’=1.5，r1=-20cm，代入
n' n n'n p1' p1 r1
1
np1 ' n' p1
1 2
,
1.5 1.0 0.5 p1' 40 20
三、傍轴球面折射的物象关系式
nn'n (u(' u in)) unn('(n'('niu'))') n
p
u
i o
n' h i' c u '
p'
u h p'
r
p
p'
u h p
h
n n nn
p' p r
物像关系式
r
定义 光焦度
Φ n'n r
3-3光在球面介质上的反射、折射
3-3光在球面介质上的反射、折射 光在球面介质上的反射、 光在球面介质上的反射 球面成像的公式
第3章 几何光学 章
n′ n n′ − n − = s′ s r
物、像具有共轭关系，可逆关系. 像具有共轭关系，可逆关系 三 焦点 焦距 焦平面
n′ − n 球面成像的公式； 由球面成像的公式；令：Φ = — 球面光焦度 球面光焦度. r
n r os = f = − n′ − n
且： f ′ /
— 物空间的主焦距 物空间的主焦距 主焦距. （第一主焦距） 第一主焦距）
焦点、焦距是由介质折射率和球面半径决定 焦点、焦距是由介质折射率和球面半径决定.
f = − n′ / n
f ′=
焦距与光焦度关系： 焦距与光焦度关系：
n′ n′ → Φ = Φ f ′ n n f = → Φ = Φ f
像点在像空间无限远处！ 像点在像空间无限远处！
— 像空间的主焦距 像空间的主焦距 主焦距. （第二主焦距） 第二主焦距）
n s=− r n′ − n
3-3光在球面介质上的反射、折射 光在球面介质上的反射、 光在球面介质上的反射
第3章 几何光学 章
n s=− r n′ − n
— 物空间的主焦点 （第一主焦点） 物空间的主焦点 第一主焦点） 主焦点.（
第3章 几何光学 章
n s′ s′ − r = (r − s) (− s) n′
此式表明； 只与已知量有关 具有一个像点. 只与已知量有关， 此式表明；s´只与已知量有关，具有一个像点 球面折射成像条件： ） 球面折射成像条件：1）元光束 . 2）光线近轴传播 ）光线近轴传播.
s′ n 成像的公式： 成像的公式：由： s ′ − r = (r − s) (− s) n′ s′n′ rn′ rn sn ( s ′ − r ) n′ ( r − s ) n − = − = s′ s′ ( − s ) ( − s ) s′ (− s) n′ n n′ − n ∴ − = s′ s r
光在球面上的反射和折射
1 1 1 s s ( ) l l r l l
考虑近轴光线,进一步得到
它的成像规律与介质无关．
1 1 2 s s r
s：物距
s：像距
'
C
FF
o
令 令
s ,
得 得
s ,
r f f 2
凹面镜
r f ; 2 r f , 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 .
P
O n n’
A
P’
r
C
-s
s’
5 近轴光线下球面折射的物像公式
M O n n’
l s, l s
'
'
P
P’
r
C
-s
s’
n' n n'n n'n 定义光焦度(optical power) ： s' s r r
r 的单位为米时，光焦度的单位称为屈光度(diopter)
n'n r
P
-u
f
-i’ C
u’
P’
Q
n’
r
s’
-s
单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则
笛卡尔坐标规则补充
线段
纵向线段 以球面顶点 O 为原点，以入射光线进行 的方向为正方向，建立物空间坐标 s 和像空间坐标 ， 物点坐标为物距，像点坐标为像距 . s 横向线段 以光轴为起点，向上为正向下为负.
n
y
• S
u
O1
R s1 ’
O2
s2 ’ s2
P’
n' n n'n s' s r
(2).
O1面：s1=-2R, r1=+R, n1=1, n1’=1.5
1. 4. 光在球面上的反射与折射
§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。
根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。
光的折射与反射
光的折射与反射光是我们日常生活中的常见现象，也是物质的一个重要性质。
在光学中，我们经常涉及到光的两个重要概念，那就是折射和反射。
一、折射折射是指光线从一种介质进入另一种介质时，光线的传播方向发生改变的现象。
常见的折射现象包括：水中的游泳池边沿的失真、光线从玻璃棱角处的偏折等。
为了更好地理解折射现象，我们需要了解折射率这一概念。
简单地说，折射率是指光在某一介质中的传播速度与真空中传播速度的比值。
折射率越大，表示光在该介质中传播的速度越慢。
当光线从一个介质进入另一个折射率较大的介质时，光线会发生向法线（垂直入射面的直线）的方向偏折。
这是因为光在界面处传播速度的改变导致的。
折射定律是描述光在界面处的折射现象的规律，它的数学表达式是n₁sinθ₁=n₂sinθ₂。
其中n₁和n₂分别为两种介质的折射率，θ₁和θ₂分别为入射角和折射角。
根据折射定律，能够计算出光线在不同介质中的折射角。
二、反射反射是指光线在遇到光滑表面时，经过发射回来的现象。
光在反射过程中，保持了入射角和反射角相等的关系。
我们熟悉的镜子便是通过反射现象形成的。
当光线垂直入射在镜子表面时，光线将会直接反射回来。
除了平面镜，我们还经常接触到的是球面镜。
球面镜也能够实现光的反射，但由于镜面不是平的，所以光线的反射方向将会发生改变。
我们常见的凹面镜和凸面镜就是球面镜的两种形式。
凹面镜能够使光线发生发散效果，使物体看起来更小；凸面镜则是使光线聚焦，使物体看起来更大。
三、应用与现象折射和反射现象在生活中有着广泛的应用和实用性。
我们常常利用折射现象来观察物体的失真情况。
例如当我们在游泳池中看自己的身影时，就会发现身体的形状发生了变化。
这是因为水的折射率大于空气，在光线通过不同介质时，折射角度的变化导致了物体形状的改变。
另外，我们还可以利用折射现象来研究光的速度和性质等。
光的反射现象在光学设备和通信技术中也具有重要作用。
典型的例子是反射镜。
反射镜广泛应用于望远镜、显微镜和照相机等光学仪器中。
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2023年光学教程第三版（姚启钧著）课后题答案下载2023年光学教程第三版（姚启钧著）课后题答案下载本教程以物理光学和应用光学为主体内容。
第1章到第3章为应用光学部分，介绍了几何光学基础知识和光在光学系统中的传播和成像特性，注意介绍了激光系统和红外系统;第4～8章为物理光学部分，讨论了光在各向同性介质、各向异性介质中的传播规律，光的干涉、衍射、偏振特性及光与物质的相互作用，并结合介绍了DWDM、双光子吸收、Raman放大、光学孤子等相关领域的应用和进展。
第9章则专门介绍航天光学遥感、自适应光学、红外与微光成像、瞬态光学、光学信息处理、微光学、单片光电集成等光学新技术。
光学教程第三版（姚启钧著）：内容简介绪论0.1 光学的研究内容和方法0.2 光学发展简史第1章光的干涉1.1 波动的独立性、叠加性和相干性1.2 由单色波叠加所形成的干涉图样1.3 分波面双光束干涉1.4 干涉条纹的可见度光波的时间相干性和空间相干性 1.5 菲涅耳公式1.6 分振幅薄膜干涉(一)——等倾干涉1.7 分振幅薄膜干涉(二)——等厚干涉视窗与链接昆虫翅膀上的彩色1.8 迈克耳孙干涉仪1.9 法布里一珀罗干涉仪多光束干涉1.10 光的干涉应用举例牛顿环视窗与链接增透膜与高反射膜附录1.1 振动叠加的三种计算方法附录1.2 简谐波的表达式复振幅附录1.3 菲涅耳公式的推导附录1.4 额外光程差附录1.5 有关法布里一珀罗干涉仪的(1-38)式的推导附录1.6 有同一相位差的多光束叠加习题第2章光的衍射2.1 惠更斯一菲涅耳原理2.2 菲涅耳半波带菲涅耳衍射视窗与链接透镜与波带片的比较2.3 夫琅禾费单缝衍射2.4 夫琅禾费圆孔衍射2.5 平面衍射光栅视窗与链接光碟是一种反射光栅2.6 晶体对X射线的'衍射视窗与链接与X射线衍射有关的诺贝尔奖附录2.1 夫琅禾费单缝衍射公式的推导附录2.2 夫琅禾费圆孔衍射公式的推导附录2.3 平面光栅衍射公式的推导习题第3章几何光学的基本原理3.1 几个基本概念和定律费马原理3.2 光在平面界面上的反射和折射光导纤维视窗与链接光导纤维及其应用3.3 光在球面上的反射和折射3.4 光连续在几个球面界面上的折射虚物的概念 3.5 薄透镜3.6 近轴物近轴光线成像的条件3.7 共轴理想光具组的基点和基面视窗与链接集成光学简介附录3.1 图3-6中P1和JP1点坐标的计算附录3.2 棱镜最小偏向角的计算附录3.3 近轴物在球面反射时物像之间光程的计算附录3.4 空气中的厚透镜物像公式的推导习题第4章光学仪器的基本原理4.1 人的眼睛4.2 助视仪器的放大本领4.3 目镜4.4 显微镜的放大本领4.5 望远镜的放大本领视窗与链接太空实验室——哈勃太空望远镜4.6 光阑光瞳4.7 光度学概要——光能量的传播视窗与链接三原色原理4.8 物镜的聚光本领视窗与链接数码相机4.9 像差概述视窗与链接现代投影装置4.10 助视仪器的像分辨本领视窗与链接扫描隧显微镜4.11 分光仪器的色分辨本领习题第5章光的偏振5.1 自然光与偏振光5.2 线偏振光与部分偏振光视窗与链接人造偏振片与立体电影 5.3 光通过单轴晶体时的双折射现象 5.4 光在晶体中的波面5.5 光在晶体中的传播方向5.6 偏振器件5.7 椭圆偏振光和圆偏振光5.8 偏振态的实验检验5.9 偏振光的干涉5.10 场致双折射现象及其应用视窗与链接液晶的电光效应及其应用5.11 旋光效应5.12 偏振态的矩阵表述琼斯矢量和琼斯矩阵附录5.1 从沃拉斯顿棱镜出射的两束线偏振光夹角公式(5-15)的推导习题第6章光的吸收、散射和色散6.1 电偶极辐射对反射和折射现象的解释6.2 光的吸收6.3 光的散射视窗与链接光的散射与环境污染监测6.4 光的色散6.5 色散的经典理论习题第7章光的量子性7.1 光速“米”的定义视窗与链接光频梳7.2 经典辐射定律7.3 普朗克辐射公式视窗与链接诺贝尔物理学奖7.4 光电效应7.5 爱因斯坦的量子解释视窗与链接双激光束光捕获7.6 康普顿效应7.7 德布罗意波7.8 波粒二象性附录7.1 从普朗克公式推导斯忒藩一玻耳兹曼定律附录7.2 从普朗克公式推导维恩位移定律习题第8章现代光学基础8.1 光与物质相互作用8.2 激光原理8.3 激光的特性8.4 激光器的种类视窗与链接激光产生106T强磁场8.5 非线性光学8.6 信息存储技术8.7 激光在生物学中的应用视窗与链接王淦昌与惯性的束核聚变习题主要参考书目基本物理常量表光学教程第三版（姚启钧著）：目录点击此处下载光学教程第三版（姚启钧著）课后题答案。
光在球面上的反射和折射.ppt
n {s r 2 1 1 } n'{s' r 2 1 1 }
2 s r
2 s' r
Fermat原理
M
等
r
P
O
P’
光 程
n n’ r C
-s
s’
n PM n'MP' n PO n'OP'
n {s r 2 1 1 } n'{s' r 2 1 1 } n (s) n's'
f
'
(nL
1)
1 r1
1 r2
C2
O
证明： I1面: s1, s1’, r1 I2面: s2, s2’, r2
-r2
nL
I1 I2
r1 C1
薄透镜
s = s1, s’ = s2’, s2 = s1’
I 面：nL 1 nL 1
s1' s1
r1
II 面：1 nL 1 nL
s2 ' s2
r2
透镜制造者公式
s1’
解：
-s1
n' n n'n s' s r
n=1.5
O1 R
O2 P’ P1’ s2’ s2
s1’
(1). O1面：s1=-, r1=+R, n1=1, n1’=1.5 O2面：s2=R, r2= -R, n2=1.5, n2’=1
s1’ = 3R O1
C
n n’ r
-s s’
单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则
线段
笛卡尔坐标规则补充
纵向线段 以球面顶点O为原点，以入射光线进行 的方向为正方向，建立物空间坐标 s 和像空间坐标 ，
大学物理补充内容(几何光学)
会聚透镜成象
•
F1
发出的任一光线PA，与透镜交于A点 （1）从物点 发出的任一光线 ，与透镜交于 点； ）从物点P发出的任一光线 作平行于PA的副轴 （2）过透镜中心 作平行于 的副轴 ）过透镜中心O作平行于 的副轴OB′，与象 ， 方焦平面交于B′点 方焦平面交于 点； 两点， （3）连接 、B′两点，它的延长线就是光的折射 ）连接A、 两点 方向， 方向，它与沿主轴的光线交于 P′点，则P′ 点 点即为所求的象点。 点即为所求的象点。
单一球面是组成光学仪器的基本元件和简单的光 学系统，因而是研究光学系统成象问题的基础。 学系统，因而是研究光学系统成象问题的基础。
一、符号规定
1)物距s： 2)像距s’： 实物取正号，虚物取负号。 实像取正号，虚像取负号。
3)曲率半径r：凸球面对着入射光线时取正号； 凹球面对着入射光线时取负号； 平面的曲率半径 r =∞。
解得
s’=12cm
2) 置于水中时：s =8cm ，n1=1.33，n2 =1.5，r =2cm 代入公式得
解得
s’=－18.5cm
【例2】
一条鱼在水面下1米处，水的折射率n=1.33，若在 鱼的正上方观察，其像的位置在哪里？ 解：s =1m，n1 = 1.33，n2 = 1，r =∞
解得
s’ =－0.752m
或者说所需的时间)为极值的 ●光总是沿着光程(或者说所需的时间 为极值的 光总是沿着光程 或者说所需的时间 路径传播的，即光沿着光程(亦即所需时间 亦即所需时间)为极 路径传播的，即光沿着光程 亦即所需时间 为极 小、极大或恒定的路径传播 L=极值（极小值、极大值或恒定值） 极值（极小值、极大值或恒定值） 极值 或：
1.5 光在单球面上的反射和折射
B y A
n
i
n
A
o
i
C
s
B
y
s
y i . s
在上图的折射系统中, 由几何关系,得
AB 是 AB 的像.
y i , s
近轴条件下，在入射点 O 处，由折射定律:
ni ni
物理科学与信息工程学院 21
将
y y i , i s s
(1) 物和像的虚实
< 0 物像互为倒立实物实像或虚物虚像,
> 0物像互为正立, 实物虚像或虚物实像.
(2) 像的放大和缩小
> 1，像放大； <1，像缩小；
= 1，物象等大.
物理科学与信息工程学院 25
（2）角放大率
B
u
A
h
C
u s
A' B'
s
和
在上图折射系统中, A和A是一对共轭物像点,
物理科学与信息工程学院 14
2、近轴光线条件下，球面折射的物象公式
在近轴光线条件下， 很小，在一级近似下， cos1，
• P
n u
s
i
A
i
C
n
n
O
u
P'
•
r
B
因此
s
l [r (r s )]2 s
l ' [r ( s ' r )]2 s '
u 是一对共轭角. 我们定义角放大率为 u , u
u
物理科学与信息工程学院 26
由上图可得
u s , u s
光在球面上折射
8
9
二、球面折射公式
如图所示，AOB
是折射率分别为
A
n1和 n2的两种介 n1 S i
r S
n2
质的球面界面，
θ
φ
R为球面的曲率 S1 半径，O为曲率
C
O
R
B
S2
中心，C为球面
l1
l2
顶点，CO的延长线为球面的主轴。通过主轴的平面称为主截
面。主轴对于所有的主截面具有对称性。 设n2 > n1，光线 从点光源S1发出,经球面A点折射后与主轴交于S2 ,令：
得 ： l2= 10cm
最后的像是一个虚像，并落在哑铃中间。
26
例1 如图所示，一根折射率为1.50的玻璃棒，其一
端被磨成半径为20.0mm的半球面。若将它先后放在
折射率为1.00的空气中和折射率为1.33的水中，求在
这两种情况下，在棒轴上距离顶点80.0mm处的物点
的像距和像的横向放大率。
n1（空气；水）
ⅶ）还可以用于描述光线在平面上的折射和反射， 因为平面可以认为是曲率半径无限大的球面。
ⅷ）也可以作为研究各种情况下折射和反射成像规 律的基础。
凸面镜成像原理；凹面镜成像原理
19
三、高斯公式
引入焦点焦距的概念后，可得球面折射的另一种形
式，即高斯公式。
如果处于主光轴上的物点离开球面的距离为无限大，
即l1=∞，那么由它发出而投射到球面上的平行光线必
ⅴ）上式对凸状球面和凹状球面都是适用的，只需 按照上面的规定调整球面曲率半径的符号就可以了。
18
ⅵ）上式也可以用于描述光线在各种球面上的反 射，这时除了应调整球面曲率半径的符号外，还需 令n2=﹣n1。物空间与像空间重合，且反射光线与 入射光线的传播方向恰恰相反。这种情况在数学处 理上可以认为像方介质的折射率等于物方介质折射 率的负值。（仅在数学上有意义）
几何光学
s in( u' )
s in( u' )
s' s'r r s' s
单球面反射 的物像公式
1 1 2 s s' r
即s’与-u和-u’均无关，保持单心性.
对于给定r 的球面, s’与s是 唯一对应的,此时存在确定的像 点P’,且s称为物距, s’称为像距.
三. 近轴物在近轴光线条件下球面反射的成像公式
ii. 近轴物,即y<<s,则式中的≈关系才能成立(一级近似)
四. 单个反射球面的成像放大率
1. 横向放大率:像的横向大小与物的横向大小之比.
y y' s s'
像长 物长
y' y
s' s
y P
P’ -y’
O
a. 1为放大像, 1缩小像, 1与物同大；
f, f ’ 符号相反, 永远位于球面界面的两侧.
4. 球面折射成像 的Gauss公式
f' f 1 s' s
5. 球面折射成像牛顿 Newton公式 若分别选用折射球面的物方焦点F 和像方焦点F’
为原点量度物距和像距:
物点在物方焦点之左：-x ; 物点在物方焦点之右：x ; 像点在像方焦点之左：-x’ ; 像点在像方焦点之右：x’ ;
4.当r=∞时,球面镜变成平面镜,这时s’= -s,若s为负, 则s’为正,反之亦然.物和像处于以平面镜为对称中 心的两个对称的位置.
例1.一点状物体放在离凹球面镜前0.05m处,凹球面镜 的曲率半径为0.20m,试确定像的位置和性质.
解: 光线自左向右进行 s=-0.05m r=-0.2m
光学——球面反射和折射
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
P C s r r sP C s rA C r
nsin i1n sin i2
15
P C s i n u P C s i n u n r s s i n u s r s i n u n
已知:s1 5cm,r1 2cm,
n` P n1,n' 1.6
’ 1
O2
O1
P2’
n=1,n’=1.6 由折射成像公式：
n n n n s1 s1 r1
-s1
s1’
代入数据，可求得s1’.
-s2 -s2’
2、P1’为物对球面O2折射成像
s 2 2 0 1 6 4 c m , r 2 2 c m , n 1 . 6 , n ' 1
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， f’ — 象方焦距 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ， f — 物方焦距 反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
10
焦点:沿主轴方向的平行光束经球面反射后会聚
§1.4 球面反射和折射
• 符号法则 • 球面反射 • 球面折射 • 理想成象的两个普适公式
1
E
(1)线段 y
A
C
Or
-y’
-s
s’
以单球面折射系统为例, 从顶点算起： 沿轴线段
A、光线与主轴交于顶点右方者,线段长度为正； 光线与主轴交于顶点左方者,线段长度为负；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，
光在球面上的反射和折射
§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。
一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。
(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。
图3-12表示球面的一个主截面。
在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。
（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。
（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。
（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。
以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。
几何光学基本定律-球面反射和折射成像
11-1-4 全反射
n1 sin i n2 sinr
当
r
i
ic i c
n2
n1 n2
有
ri
临界角 ic ：相应于折射角 为90°的入射角。
n1
全反射：当入射角 i 大于临界角时，将不会出现折 射光，入射光的能量全部反射回原来介质的现象。
n2 sin i c n1
§11-2 平面反射和平面折射成像
焦距（ f ）： 球面镜顶点到焦点的距离。 由物像关系：p →∞
R 球面镜焦距： f 2
物像关系式：
1 1 2 ＝ p p R
1 1 1 p p f
凹面镜，R 取正，则 f 取正，与实焦点相对应； 凸面镜，R 取负，则 f 取负，与虚焦点相对应 。
二、球面镜成像的作图法
球面镜成像作图法的三条特殊光线： • 平行于主光轴的傍轴入射光线经球面镜反射后过 焦点F，或其反向延长线过焦点。（根据焦点的定义） • 过焦点的入射光线经球面镜反射后，其反射光平 行于主光轴。（根据光路可逆性原理）
镜面反射： 界面光滑，反射光束中的各条 光线相互平行，沿同一方向传播。
漫反射： 界面粗糙，反射光线可以有 各种不同的传播方向。
i
i
反射定律：反射光线总是 位于入射面内，并且与入 射光线分居在法线的两侧， 入射角等于反射角 。
i i
11-1-3 光的折射
折射定律： ⑴ 折射光线总是位于入射面内， 并且与入射光线分居在法线的两 侧； n1 n2
p
当m < 0时，成倒立像； 当m > 0时，成正立像。
例1. 一凹面镜的曲率半径为 0.12m，物体位于镜顶 前 0.04m 处，求：⑴ 像的位置，⑵ 横向放大率。
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
光的反射和折射_PPT
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潜望镜
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实验：探索不同物体表面对光 的反射情况
任务一：如果两束平行光线射向光 滑平整表面（平面镜）时，会出现 什么现象？
任务二：如果两束平行光线射向凹凸 不平的表面，又会出现什么现象？
光的反射和折射_PPT
光的反射和折射_PPT
像高____1m.8.当他后退0.5m
时，他在镜中的像高____m，
1像.8距镜面___m。 1
光的反射和折射_PPT
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达标测试
1.物体在平面镜中成的像是 _虚___像，像与物体的大小 _相__等__；物体上每一点和他 的像到镜面的距离都_____， 且相他等们的连线与镜面______。 垂直
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问题：小英为什么能看到书本上的文字？
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光的反射
镜子
光射到物体的表面上时,有一部分光会被物体表面 反射回来.
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入射光线 AO A
法线 ON N
反射光线 OB B
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2.画出物体AB在平面镜中 的像
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• 3.舞蹈演员在练功时，当他向平面镜靠
近时，他在镜中的像将 （c ）
• A.变大 B.变小 C.不变 D.无法判断 • 4.下面各图是物体在平面镜中成像的情
况,其中正确的是（c ）
什么是光的反射和折射
什么是光的反射和折射光的反射和折射是物理学中的基本概念，涉及到光在不同介质中传播时的现象。
下面将分别对光的反射和折射进行详细的介绍。
一、光的反射光的反射是指光线在传播过程中遇到障碍物被反射出去的现象。
光线传播到两种不同介质的表面上时，会发生反射现象。
例如，光线传播到平面镜、球面镜等光滑的表面上时，会发生反射。
1.反射定律：反射定律是描述光的反射现象的基本规律，包括以下三个方面的内容：（1）入射光线、反射光线和法线在同一平面内；（2）入射光线和反射光线分居在法线的两侧；（3）入射角等于反射角。
2.镜面反射和漫反射：根据反射面的不同，光的反射分为镜面反射和漫反射。
镜面反射是指光线射到光滑表面上的反射，如平面镜、球面镜等。
漫反射是指光线射到粗糙表面上的反射，如光线照到地面上、物体表面等。
二、光的折射光的折射是指光线在传播过程中，从一种介质进入另一种介质时，传播方向发生改变的现象。
光线传播到两种不同介质的界面时，会发生折射。
1.折射定律：折射定律是描述光在介质界面折射现象的基本规律，包括以下三个方面的内容：（1）入射光线、折射光线和法线在同一平面内；（2）入射光线和折射光线分居在法线的两侧；（3）入射角和折射角之间满足正弦定律：n1sin(θ1) = n2sin(θ2)，其中n1和n2分别为入射介质和折射介质的折射率，θ1和θ2分别为入射角和折射角。
2.斯涅尔定律：斯涅尔定律是光的折射现象的另一种表达方式，即入射光线、折射光线和法线三者之间的夹角关系：cos(θ1)/cos(θ2) = n2/n1。
3.正常折射和全反射：当光线从光密介质进入光疏介质时，折射角小于入射角，这种折射现象称为正常折射；当光线从光密介质进入光疏介质时，折射角大于90°，这种现象称为全反射。
通过以上介绍，我们可以了解到光的反射和折射是光在传播过程中遇到不同介质时产生的现象，它们遵循相应的定律和规律。
这些知识点对于中学生来说，是光学学习的基础内容，对于深入理解光的传播和光学设备的工作原理具有重要意义。
光的反射与折射成像
光的反射与折射成像光是一种电磁波，它在空气和真空中的传播速度为每秒约299,792.458千米。
光在传播过程中会发生反射和折射现象，这些现象在我们的日常生活中随处可见。
本文将探讨光的反射与折射现象对成像的影响。
一、光的反射成像光的反射是指光线从一种介质射入另一种介质时，在两种介质的交界面上发生改变方向的现象。
根据光的反射定律，入射角等于反射角。
利用这个定律，我们可以解释为什么我们能够看到镜子或者其他光滑表面的反射图像。
当平行的光线照射到光滑平面上时，它们会按照相同的角度反射。
这意味着光线在反射后仍然保持它们的相互位置关系，因此我们能够看到一个与实际物体相同但位于镜面后方的图像。
二、平面镜成像平面镜是一种常见的用于反射成像的光学设备。
平面镜的反射成像规律符合光的反射定律，入射角等于反射角。
因此，对于一束平行光线来说，它们会被平面镜反射后汇聚到一个点上，这个点被称为焦点。
这个焦点与入射光线的垂直平分线相交，形成了虚像。
平面镜成像的特点是图像位置与实物位置关于镜面对称，图像大小与实物大小相等。
例如，如果我们将一根直的铅笔放在一个镜面前，我们会看到铅笔在镜面后形成的反射图像与铅笔在镜面前的位置相对称，且大小相等。
三、球面镜成像球面镜是一种曲面镜，通常由玻璃或者塑料制成，其中一侧为球形。
根据球面镜的形状，我们将球面镜分为凸面镜和凹面镜。
3.1 凸面镜成像当平行光线射入凸面镜时，它们会被逐渐汇聚到一个点上，这个点被称为凸透镜的焦点。
这是因为凸面镜会使平行光线向凸透镜的焦点方向汇聚。
这个焦点与入射光线的垂直平分线相交，形成了实像。
实像的位置取决于物体离凸面镜的距离，距离越远，实像越小。
凸面镜的成像特点是图像位置与实物位置关于焦点对称，图像大小与实物大小有关。
如果物体位于焦点以外，那么图像将位于焦点的一侧，并放大。
如果物体位于焦点内部，图像将位于焦点的另一侧，并缩小。
3.2 凹面镜成像当平行光线射入凹面镜时，它们会被逐渐分散。
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光源的像只能直接射到凹镜上，问 S 经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在
S
何处？
O1
S2
O2
S1
图 1-4-4
4
u1 0.6R
1
S 在凹镜中成像，
， f1
R 2
111
u1
1 f1
1 12 0.6R 1 R
可解得
1 3R O1O2 2.6R ,
根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像
点。焦点 F 到镜面顶点 O之间的距离叫做球面镜的 焦距 f 。可以证明，球面镜焦距 f 等于球面半径 R
图 1-4-1
的一半，即
R f
2 （2）球面镜成像公式
根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：
图 1-4-2 （如图 1-4-3 所示）设在凹镜的主
轴上有一个物体 S，由 S 发出的射向凹镜的光线镜面 A 点反射后与主轴交于 S 点，半径 CA为反射的法线， S 即 S 的像。根据反射定律，
镜的厚度为 o o t ，当物点在主轴上的 P 点时，物距 u OP ，现在来计算像点 P 的像距。 S
入射光的折射，这时假定第二个球面 AOB 不存在，并认为球 AOB 右边，都为折射率等于
n 的介质充满，在这种情况下， P 点的像将成在 P 处，其像距
§1.4 、光在球面上的反射与折射
1.4.1 、球面镜成像
（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射
定律，法线是球Leabharlann 的半径。 一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点
F（图
1-4-1 ），这 F 点称为凹镜的焦点。 一束近主轴的平 O
行光线经凸面镜反射后将发散， 反向延长可会聚于
F
C
主轴上一点 F（图 1-4-2 ），这 F 点称为凸镜的虚焦
倒
实
2f
同侧 2f
等大
倒
实
2f ～f
同侧 f ～ 2f
放大
倒
实
f
放大
f ～0
异侧 ～
放大
正
虚
0
虚物
异侧 0～f
缩小
正
实
表Ⅱ 凸镜成像情况
3
物的性质 实物
虚 物
物的位置 像的位置 像的大小
f～
同侧 0～f
缩小
～2f 同侧 f ～ 2f
缩小
2f
同侧 2f
等大
f ～2f
同侧 ～
放大
2f
f
像的正倒 正 倒 倒 倒
代入①式
u u 2f 2f
化简
11 1
u
f
这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距 为正，虚像 v 为负。
11 1
u
f
f 取正，凸镜焦距 f 取负；实物 u 取正，虚物 u 取负；实像 v
2
上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，
n1 ，
， R R ，即可得到球
11 面镜反射成像公式 u
2
R ，对于凹面镜 R
0 ， f1
f2
R
f1
2 ，对于凸面镜 R 0 ，
f2
R 2 ，厚透镜成像。
（C）厚透镜折射成像
设构成厚透镜材料的折射率为 n，物方介质的折射率为 n1 ，像方介质的折射率为 n2 ，前后两边球面的曲率半径依次为 r1和 r2 ，透
SAC S AC ，则 CA为 SAS 角 A 的平分线，根据角平分线的性质有
1
AS CS
AS CS
①
由为 SA为近轴光线，所以 AS S O ， AS SO ，①式可改写为
OS CS
OS CS
②
②式中 OS叫物距 u， OS 叫像距 v，设凹镜焦距为 f ，则
CS OS OC u 2 f
CS OC OS 2 f
S n1 和 n2，C 是球心， O 是顶点，球面曲率半径为 R，S 是物点，
是像点，
n1i1 n2i2
A0
A0
A0
i1
， i2
， u ， R，
v
联立上式解得
n1 n2 n2 n1
uv
r
这是球面折射的成像公式， 式中 u、υ的符号同样遵循 “实正虚负” 的法则，
对于 R；则当球心 C 在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心 C
u2 (2.6R 3R)
0.4R ， f 2
R 2
111
u2
2 f2
S1 作为凸镜的虚物来处理，
可解得
11 2 0.4R 2 R
2 2R
5
说明凸镜所成的像 S2 和 S 在同一位置上。 1.4.2 、球面折射成像 （ 1）球面折射成像公式 （a）单介质球面折射成像
如图 1-4-5 所示，如果球面左、右方的折射率分别为 1 和 n， S 为 S 的像。因
，这时物距即为
第一焦距 f1，有 f1
n1R ，将 n2 n1
f1 、
f 2 代入成像公式改写成
f1
f2 1
uu
反射定律可以看成折射定律在 n2 n1时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光
的行进方向逆转，像距 υ 和球面半径 R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令 n2
在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。
若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（ u=∝）时， 出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点， （也称像方焦点） ，此时像距
i2 i2
O
图 1-4-6
7
即是第二焦距 f2 ，有 f 2
n2 R 。当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点） n2 n1
因此焦距为负值。在成像中，像长
和物长 h 之比为成像放大率，用 m表示，
mh hu
由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况
物的性质 物的位置 像的位置 像的大小 像的正倒 像的虚实
实物
同侧 f
缩小
倒
实
～2f 同侧 f ～ 2f
缩小
像的性质 虚 虚 虚 虚
f ～0
异侧 ～
放大
正
实
0
（3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又
遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
如图 1-4-4 所示，半径为 R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点
O1 、 O2 相距 2.6R，现于主轴上距凹镜顶点 O1 为 0.6R 处放一点光源 S。设点
为 i 、 r 均很小，行以
sin i i n
①
sin r r
因为 i
，r
代入①式可有
r n( )
②
对近轴光线来说， α、θ、 β同样很小，所以有
x
x
x
u， R，
代入②式可得
1 n n1
u
R
1i
n
r
SuO
Cv S
图 1-4-5
6
当u
时的 v 是焦距 f ，所以
R
f
n
n1
（b）双介质球面折射成像
如图 1-4-6 所示，球形折射面两侧的介质折射率分别 对于近轴光线