马尔柯夫链在班级成绩预测中的应用【文献综述】

文献综述

数学与应用数学

马尔柯夫链在班级成绩预测中的应用 马尔柯夫链是数学中具有马尔科夫性质的离散随机过程. 在该过程中, 给定当前信息的情况下, 过去(即当期以前的历史状态)对于预测将来(即当期以后的未来状态)是无关的. 考虑只取有限个或可数个值的随机过程{}n ,0,1,2,X n =K , 若不另外说明, 过程可能取得值的集合将以非负整数集{}0,1,2,K 来表示. 若n X i =, 就说过程在时刻n 处于状态i , 假设每当过程处于状态i , 则在下一时刻处于状态j 的概率是固定的ij P , 也即假设对一切状态011,,,,,n i i i i j -K 及一切0n ≥又

{}1111100,,,,/n n n n ij P X j P X i X i X i X i +--======K , 这样的随机过程称为马尔柯夫链. 式(2.1)解释为, 对马尔柯夫链, 给定现在的状态n X 及过去的状态011,,,n X X X -K , 将来的状态1n X +的条件分布于过去的状态无关, 只依赖于现在的状态, 这称为马尔科夫性. 马尔柯夫链是一个有着广泛应用的随机过程模型, 它对一个系统由一种状态转移到另一种状态给出了定量分析. 马尔柯夫在1906年首先做出了这类过程. 而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的. 马尔柯夫链与布朗运动以及遍历假说被列为二十世纪初期重要课题, 但马尔柯夫寻求的不仅在于数学动机, 名义上是对于纵属事件大数法则的扩张. 其中, 马尔柯夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟. 这一应用类似于“克里金”地理统计学, 被称为是“马尔柯夫链地理统计学”. 经过近百年的发展已形成完整的理论体系, 并且广泛被应用于社会、经济、科技、生态、农业、环境、医学、水利水电等众多科学领域.

自从我国著名的数学家、教育家中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔柯夫理论引入国内以后, 我国学者对马尔柯夫过程的研究也取得了丰硕的成果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔科夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔柯夫过程与位势理论的关系、多参数马尔柯夫过程等方面做了很多开创性工作, 近年来也不断有新的研究成果推出, 这些都标志着我国数学界对马尔柯夫理论的研究理论研究达到了世界领先水平.

在现实世界中, 有很多过程都是马尔柯科夫过程, 如独立随机变量和的序列、直线上的随机游动、车站的候车人数、离散分支过程等都可视为马尔柯夫过程. 所谓马尔柯夫链是指时间连续(或离散)、状态可列、时间齐次的马尔柯夫过程. 这种过程之所以重要, 一是由于它的理论比较完整深入, 可以作为一般马尔柯夫过程及其他随机过程的借鉴; 二是由于它在自然科学和许多实际问题(如教育学、经济学、规则论、排队论等)中有着丰富的应用; 三是由于虽然它是解决随机转移过程的工具, 但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理.

马尔科夫链的应用一直是国内外学者研究的重点和热点,这方面的成果也相对比较多, 主要体现在:

(1) 人力资源流动时间序列都符合马氏性.可按转移概率, 根据当前的状态预测以后的状态预测以后的状态, 从而采取相应的策略, 这就是运用马尔柯夫链的方法进行人力资源分析的基本思想.

(2) 马尔柯夫链在宏观经济形式的变化、企业市场占有率及期望利润的变化过程都具有随机性和“无后效性”, 符合马尔柯夫链的的应用要求. 在对它们进行预测时马尔柯夫链预测方法不需要连续不断的历史数据, 只需要近期的资料就可以采用马尔柯夫链来描述. 马尔柯夫链是预测市场的占有率和期望利润的有力工具.

(3）在很多灾变的过程中, 马尔柯夫链都已一定的参考性, 比如应用马尔柯夫链方法测报草原蝗虫. 我国北方草原区, 草原蝗虫一年发生一代, 都以卵的形式在土壤内越冬, 次年孵化由于种类不同, 出土期处于一定的变化状态. 蝗虫是渐变态, 即若虫和成虫栖息于同一生境, 并取食相同的食物即草原牧草. 了解蝗虫的出土期、系统地掌握蝗虫的个体发育以及种群数量动态变化, 对草原畜牧业生产具有非常大的参考作用.

马尔柯夫链在其它的应用还有很多, 比如在银行不良资产管理、企业破产概率等. 在教育方面的应用也是极为突出的, 主要表现在预测班级学科的成绩、个人的学习成绩、班级的综合测评和个人的综合测评.

在教育领域进行预测从整体上看有一定的规律性, 班级成绩预测和课程研究的任务, 就在于认识班级活动中各种的规律. 班级成绩变化现象是个随时间变动的过程, 可以视为已相依的随机变量序列, 其前后影响因素是错综复杂的, 可视为随机马尔柯夫过程. 在检测其具有一定的马氏性后, 应用某种分类的方法划分出指标值的变化区间, 可以建立马尔柯夫链模型来做预测分析. 最重要的是根据实际观测资料对某些刻画系统的关键定量指标进行系统分析并预测未来.

本文将建立马尔柯夫链的预测模型, 在预测班级整体成绩做一个应用, 坚持理论与实证分析相结合. 使用数据主要来自具体班级的数据. 合理处理原始数据的基础上, 建立合理模型, 科学预测班级未来三年成绩发展趋势, 为教师的教学工作提供帮助.

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submitted, 2000.