大学经济数学

经济数学
第一章 函数的极限与连续
函数的极限与连续
函数的极限 XXXXX
极限的运算 函数的连续性
函数的概念 函数的极限 无穷小与无穷大 极限的运算法则 两个重要极限
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数学建模案例
数学模型的概念 数学建模过程
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1.1 函数的极限
一、 函数的概念 二、 函数的极限 三、 无穷小与无穷大
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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（4）函数的周期性:
对于函数f(x) ，若存在一个不为零的数l，使得 关系式 f (x l) f (x) 对于定义域内任何x值都成立， 则 f(x)叫做周期函数，l 称为是f(x)的周期。
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
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几个特殊的函数举例
(1)符号函数
y
1 当x 0
y
sgn x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
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(3)取整函数 y=[x]
y
[x]表示不超过 x的最
4
大整数
3
2
-4 -3 -2 -1 1o-11 2 3 4 5 x
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
y M
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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（2）函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x)在区间I上是单调增加的 ;
o
x1 x2
x
I
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经济数学 （3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
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设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
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4. 初等函数
(1) 幂函数 y x (是常数)
y
y x2
1
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
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(2) 指数函数 y a x (a 0, a 1) y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
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(3) 对数函数 y log a x (a 0, a 1) y = lnx
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y 反函数y ( x)
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Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
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（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
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1、函数的概念
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定义 1 设数集 D R，则称映射 f : D R为定义
在 D上的函数.
即对于每个数 x D, 变量 y按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y是 x的函数，记作
y f (x)
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值. 数集D叫做这个函数的定义域
3l
l
2
2
l 2
3l 2
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3、反函数与复合函数
(1) 反函数 设函数的定义域为D，值域为W. 若对∀y∈W，D上 都有唯一确定一个数值 x 与 之对应，且ƒ(x)=y. 若把 y 看作自变量, x 看作因变量,则称函数 x=f-1(y)为函数 y =ƒ(x) 的反函数.而原函数 y =ƒ(x)为直 接函数; x , y 互换便有y=φ(x) （y=f-1(x)）, 从而函数与 反函数定义域、值域及图象间有一定的关系.
(1,0)
•
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y log a x
(a 1)
y log 1 x
a
(4) 三角函数
正弦函数 y sin x
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y sin x
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余弦函数 y cos x
y
y f (x) f (x2 )
f (x1)
o
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x1
x2
x
I
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如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
1 x2
解
f (x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
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2、函数的性质
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（1）函数的有界性:
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
-2 -3 -4
阶梯曲线
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(3)分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
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例1
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(
x
3)的定义域.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
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注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如：y u ,u x2 1
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如： y = y=
cot x , 2
u,
u=
cot v, v =
x. 2
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函数值全体组成的数集
W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
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函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
( W
y
f (x0 )
自变量
)
因变量
约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1