20全等三角形中的角平分线-学生版

全等三角形中的角平分线中考要求 知识点睛板块考试要求 A 级要求B 级要求Ｃ级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的，公共边常是对应边． （４）有公共角的，公共角常是对应角． （5）有对顶角的，对顶角常是对应角.（6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边(或对应角）,一对最短边(或最小角）是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：（1） 边角边定理(SA Ｓ)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (２) 角边角定理(A ＳＡ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （３） 边边边定理(S ＳS ）:三边对应相等的两个三角形全等.(４) 角角边定理(A ＡS ）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (５) 斜边、直角边定理（H Ｌ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.第十讲例题精讲 奥数赛点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等; ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下，有下列三种作辅助线的方式: 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2. 过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形,3. OA OB =,这种对称的图形应用得也较为普遍，AB OPPOB A A B OP【例1】 如图，已知ABC ∆的周长是21,OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ，且3OD =,求ABC ∆的面积．【例2】 在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =,求证:AB AC =．【例3】 如图所示:AB AC =,AD AE =,CD 、BE 相交于点O .求证:OA 平分DAE ∠．ADOC BD CBAABCDEO【例4】 已知ABC ∆中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．ED CB A【例5】 (200６年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明.OED CBA【例6】 如图，在ABC ∆中,60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F .求证:FE FD =．FBEDCA【例7】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠.求证：ED EB =.E DC B A4321【例8】 (06北京中考题)如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线,OA OC =,OB OD =.求证:AB CD =．PDBOCA【例9】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中,ＡB =4,ＢＣ=7,∠B ＡＤ的角平分线交ＢＣ于点E ,EF ⊥ED 交AB 于F ,则E Ｆ=________＿_．FEDCBA【例10】 如图所示，已知ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD上．DE CD =,EF AC =.求证:EF ∥ABFA CD E B【巩固】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若BG CF =,求证:AD 为BAC ∠的角平分线.F GE DCBA【例11】 如图所示，ＡD 是ABC ∆的角平分线,DE 、DF 分别是ABD ACD ∆∆和的高,0DEF 20∠=,则BAC ∠等于_＿__＿___.FEDC BA【例12】 如图，已知△ABC 中,AD 平分∠BAC ,ＡB =6，ＡＣ=３，∠B ＡＣ=１20°.求A Ｄ的长.DCBA【例13】 (北京市西城区2００6年抽样测试八年级（上)附加题,黄冈市数学竞赛试题)如图所示,在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的外角平分线,P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB PC +与AB AC +的大小，并说明理由.DPC B A【巩固】在ABC ∆中，AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点．求证:AB AC PB PC ->-．CD B PA【例14】 如图,在ABC ∆中，2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证:AB BD AC +=.DC B A【巩固】如图,ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点.求证:BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=.BAF EDC321【例15】 如图所示，在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 的中点，ME AD ⊥且交AC 的延长线于E ,12CE CD =,求证2ACB B ∠=∠.EMDCBA【例16】 如图所示,在ABC ∆中，AC AB >，M 为BC 的中点,AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证()12MF AC AB =-．MFD CB A【巩固】如图所示,AD 是ABC ∆中BAC ∠的外角平分线，CD AD ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证DE AB ∥ 且1()2DE AB AC =+．E DCA【巩固】如图所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠，AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=．MD CBA【例17】 如图，ABC ∆中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ,AE CE ⊥于E ．求证:AD AE =．HG D AB C E【巩固】已知:AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线,CD AD ⊥，CE BE ⊥,求证：⑴ DE AB ∥;⑵ ()12DE AB BC CA =++.EBA D C【例18】 在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线,AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证:MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++FEN M CBA【巩固】在ABC ∆中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N .求证:MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-N MCBA【例19】 在ABC △中,CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高,60B =∠,求证：12DE AC =．CE DB A【巩固】(北京市中考模拟题）如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，并且)(21AD AB AE +=，则ADC ABC ∠+∠等于多少?EDCBA【例20】 如图，180A D ∠+∠=︒,BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠,点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系. ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系.EDCB A【例21】 如图所示,在ABC ∆中,90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD与F ，交AB 于E ，FG 平行于BC 交AB 于Ｇ． ＡＥ＝４，AB ＝１4,则BG =＿＿＿___.GFE DCB A【巩固】如图所示,在R ｔ三角形ＡＢC 中,090,C CH AB ∠=⊥于Ｈ,AG 平分BAC ∠,交CH于D ，交B Ｃ于G ，在ＢC 上取BE =ＣG ，连接E Ｄ,证明:CDE ∆是直角三角形．HEG DBA【例22】 如图所示，90BAC DAE ︒∠=∠=,M 是BE 的中点,AB AC =，AD AE =,求证AM CD ⊥．MECBA【巩固】⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试）在ABC ∆中，96A ∠=,延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠ 的角平分线相交于点1A ，1A BC ∠与1ACD ∠的角平分线交于2A ，…,依次类推4A BC ∠与4A CD ∠的角平分线交于5A ，求5A ∠大小．A 2A 1ABC D A B CDEFG⑵(初二第5届希望杯1试）如右上图,BF 是ABD ∠的角平分线,CE 是ACD ∠角的平分线，BE 与CF 交于G ,若140BDC ∠=,110BGC ∠=，求A ∠的度数.【例23】 如图，在ABC ∆中,AB AC =,BD 、AM 分别是ABC ∠、BAC ∠的平分线,DN BC ⊥，GF BD ⊥．求证：14MN BF =．家庭作业 F NM DCB A【例24】 在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D .自C 作CG AB ⊥交AD于E ，交AB 于G .自D 作DF AB ⊥于F ，求证：CF DE ⊥．GABC D EF12【习题1】在ABC △中,3AB AC =,BAC ∠的平分线交BC 于D ,过B 作BE AD ⊥,E 为垂足,求证：AD DE =.C EDB A【习题2】如图，在ABC ∆中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证：2B C ∠=∠.DC B A【习题3】(0４年山东中考题)AD 是ABC ∆的角平分线,BE AD ⊥交AD 的延长线于E ,EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =．DECFBA【习题4】如图所示，ＡＤ平行于BC ,DAE EAB ∠=∠，ABE EBC ∠=∠,AD =4,ＢC =2，那么ＡＢ=__＿_____.【习题5】ABC ∆中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E ，EF AB ⊥于FEG AC ⊥于G ．求证：BF CG =.EDCBAEGF DC BA。