边界层理论
04第四章 边界层理论基础
d ρ ∫ (ux − u0 )ux dy = τ s dx 0
δ
（5—14） ） ——卡门边界层积分动量方程 卡门边界层积分动量方程
适用于层流、湍流，精度取决于 适用于层流、湍流，精度取决于ux=f(x,y) 可预先假定一个速度分布方程，如： x = a + by + cy 2 可预先假定一个速度分布方程， u 代入，求得近似解。 代入，求得近似解。
δ
0
δ
第三节 边界层积分动量方程
一、边界层积分动量方程的推导
方向流动： 只考虑 x 方向流动： d dp ρ ∫ ( u x − u0 )u x d y = τ s + l d x dx 0
作数量级分析时，有 ∂p ＝0 即边 作数量级分析时， 界层压力p在 方向近似不变 方向近似不变， 界层压力 在y方向近似不变，等于边界 层外面流体的压力，边界层外按理想流 层外面流体的压力， 体处理。 体处理。
∂ 2uy ∂ 2uy 1 ∂p ux + uy =− +v + 2 2 ∂x ∂y ∂y ρ ∂y ∂x
经化简后， 经化简后，得：
(4- 5a)
∂uy
∂uy
(4 - 5b)
1 ∂p ∂ 2ux ∂ux ∂ux ux + uy =− +v 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ux ∂uy + =0 ∂x ∂y
d δ dux (4 - 21) ρ ∫ ux (u0 − ux )dy = µ y =0 0 dx dy 次方为例： 以3次方为例： ux = a + by + cy2 + dy3 次方为例 B.C. y = 0, ux = 0 3 2 d ux ux 3 y 1 y y = 0, =0 ⇒ = ⋅ − ⋅ (4 - 22) 2 dy u0 2 δ 2 δ
第四章 边界层理论
普兰德首先发现，当Re较 大时，边界层的厚度<<x。 可以通过比较数量级简化 方程。
普兰德边界层方程
通过数量级比较得到的简化方程：
普兰德边 界层方程
u x u x 1 dP 2u x ux uy x y dx y 2 u x u y 0 x y
【例】沿平壁层流边界层的计算
温度为20℃的空气在常压下以5m/s的速度流过一块宽1 m的平板壁 面。试计算距平板前缘0.5m处的边界层厚度及进入边界层内的质量 流率，并计算这一段平板壁面的曳力系数与承受的摩擦曳力。假设 临界雷诺数Rexc=5×105。 解：
(1)判断边界层流型：20oC空气， 1.81105 Pa.s 1.205kg / m3 Re0.5 1.664 105 5 1050.5处的边界层为层流边界层
4.2曳力系数和范宁摩擦因数
圆柱体在流体中的运动：
Fd ' CD
u0
2
2
D
Fd’－流体对圆柱体所施加的总曳力（drag force） u0－圆柱体的运动速度 CD－曳力系数（drag coefficient） D－圆柱体的直径 球体或其他形状的物体在流体中的运动 u0 2 2 Fd Fd CD A CD 2 u0 2 A A－物体在垂直于它的运动方向的平面上的投影面积 流体在圆管中流动所受到的摩擦阻力，习惯上采用范宁摩擦因数： τs－流体流过管壁的剪应力 2 s f= f－Fanning friction factor ub2 ub－流体的主体流速
递过程和质量传递过程有着密切的关系。
边界层概念
Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一 的流场，划分成两个区域，边界层和外 流区；其流体流动（沿流动方向和沿与 流动方向垂直的方向）有不同的特点。 边界层：流体速度分布明显受到固体壁 面影响的区域。 边界层的形成： 壁面处流体的“不滑脱”no-slip 流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ U＝00.99 U0
边界层理论
1•边界层理论概述 (1)1.1边界层理论的形成与发展 (1)1.1.1边界层理论的提出 (1)1.1 边界层理论存在的问题 (2)1.2边界层理论的发展 (2)2边界层理论的引入 (3)3边界层基础理论 (4)3.1边界层理论的概念 (4)3.2边界层的主要特征 (6)3.3边界层分离 (7)3.4层流边界层和紊流边界层 (9)3.5边界层厚度 (10)3.5.1排挤厚度 (11)3.5.2动量损失厚度 (11)3.5.2能量损失厚度 (12)4边界层理论的应用 (14)4.1边界层理论在低比转速离心泵叶片设计中的应用 (14)4.2边界层理论在高超声速飞行器气动热工程算法中的应用 (14)4.3基于边界层理论的叶轮的仿真 (15)参考文献 (17)1.边界层理论概述1.1边界层理论的形成与发展1.1.1边界层理论的提出经典的流体力学是在水利建设、造船、外弹道等技术的推动下发展起来的，它的中心问题是要阐明物体在流体中运动时所受的阻力。
虽然很早人们就知道，当粘性小的流体（像水、空气等）在运动，特别是速度较高时，粘性直接对阻力的贡献是不大的。
但是，以无粘性假设为基础的经典流体力学，在阐述这个问题时，却得出了与事实不符的“ D'Alembert之谜”。
在19世纪末叶，从不连续的运动出发，Kirchhoff ，Helmholtz，Rayleigh等人的尝试也都失败了。
经典流体力学在阻力问题上失败的原因，在于忽视了流体的粘性这一重要因素。
诚然，在速度较高、粘性小的情况下，对一般物体来说，粘性阻力仅占一小部分；然而阻力存在的根源却是粘性。
一般，根据来源的不同，阻力可分为两类：粘性阻力和压差阻力。
粘性阻力是由于作用在表面切向的应力而形成的，它的大小取决于粘性系数和表面积；压差阻力是由于物体前后的压差而引起的，它的大小则取决于物体的截面积和压力的损耗。
当理想流体流过物体时，它能沿物体表面滑过（物体是平滑的）；这样，压力从前缘驻点的极大值，沿物体表面连续变化，到了尾部驻点便又恢复到原来的数值。
边界层理论(Boundary layer theory)--西安交大
）之外的流体速度就形成：润湿→附着→内摩擦力→减速→梯度
边界层内：沿板面法向的速度梯度很边界层外：不存在速度梯度或速度梯度
流体在平板上流动时的边界层：
流动边界层：存在着较大速度梯度的流体层区域，即流速降为主体流速的99％以内的区域。
边界层厚度：边界层外缘与壁面间的垂直距离。
层流边界层：在平板的前段，边界层内的流型为层流。
湍流边界层：离平板前沿一段距离后，边界层内的流
直管内：流体须经一定的距离才能形成稳定的边界层。
由于总流量不变，中心流速增加。
边界层占据整个管截面。
与物体的长度相比，边界层的厚度很小；边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；
边界层中各截面上的压强等于同一截面上在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级边界层内流体的流动存在层流和紊流两种
圆柱后部：猫眼
扩张管（上壁有抽吸）
B
S′
A
涡，这种旋涡具有一定的脱落频率，称为卡门涡街.
湍流产生的原因：
湍动强度
在模型实验中，模拟湍流，要求雷诺数和湍动强边界层的转变、分离以及热量和质量传递系数等
依微分方程的个数：零方程模型、一方
FLUENT软件在化学处理领域主要可应用 于：
燃烧 干燥 过滤 传热和传质 材料处理 混合 反应 分离 蒸馏 喷射控制 成型 焚化 测量/控制 聚合 沉淀 通风
。
边界层理论
边界层理论边界层理论始于20世纪50年代，是一种以社会学中的社会心理学为基础的理论。
由于受到社会中的文化差异的影响，社会的边界层不同于一般的社会结构，它是一种身份认同和社会化过程的实质性结构。
其主要内容包括边界层的组成、功能、社会定位和边界层的调整等。
边界层理论主要聚焦于社会层次之间的关系，侧重考察如何管控不同社会层次之间的实证关系，揭示边界层的特征和机理，也为不同社会层次的社会活动提供了一种新的研究框架。
边界层理论告诉我们，每一个社会都由不同的社会层次组成，而每一个社会层次都有它自己的特点，例如在国家层次，就存在不同国家之间的文化差异和经济利益分配差异；在社会机构层次，就存在社会经济地位差异等。
边界层是社会层次之间连接的桥梁，在不同层次上，边界层有着不同的功能。
首先，边界层能够承载社会分类信息，从而使每个社会层次的身份认同更加清晰，例如在民族层次上，边界层有着民族特征，即民族分类的功能，而在宗教层次上，边界层有着宗教的认同，也就是运用边界层的宗教特征来区分每一个宗教信仰。
其次，当边界层作用于不同社会层次之间时，它还具有一种吸引力，它能够将不同社会层次之间的交流促进，以此来实现平等和融合。
这种吸引力可以表现为模仿或认可他人的行为，获得他人的认可和关注，以此来拓展自身的社会地位，最终可以实现融合或社会化。
最后，边界层理论还提供了一些有效的措施来加强边界层的建设，首先，政策立法应该重视社会层次之间的不平等问题，加强社会层次之间的调整，如政府可以以财政补贴的形式来实现资源分配的公平，减少社会层次之间的不公平。
其次，政府需要加强文化教育，确保建立一种同理心的文化氛围，减少不同社会层次之间的文化冲突，从而让边界层的建设更加有效。
社会的发展和进步，不仅需要不同社会层次之间的动力，而且也需要有效的边界层，只有社会的边界层得到加强和完善，才能有效地联系不同的社会层次，推动社会的发展。
边界层理论给我们提出了一种新的观点，用于解读不同社会层次之间的联系，进而让边界层更加有效地联结不同的社会层次，从而为社会发展提供了全新的基础。
流体力学中的边界层理论
流体力学中的边界层理论流体力学是研究流体运动和相互作用的学科。
在流体力学中，边界层理论是一个重要的概念，它描述了流体靠近固体壁面时的流动特性。
本文将介绍流体力学中的边界层理论，从基本原理到应用实例，全面探讨这一理论的重要性和实际价值。
一、边界层现象的定义和意义在流体力学中，边界层是指流体流动中靠近固体表面的一层，其流动特性与远离边界的无限远处的流体不同。
边界层现象的产生和发展对于很多实际问题都具有重要意义。
例如，当空气流过汽车的外表面时，边界层的存在会对气流的分离和阻力产生影响。
准确理解和掌握边界层理论，对于优化设计和改善物体运动性能具有重要作用。
二、边界层理论的基本原理1. 平衡条件边界层理论的基本假设是边界层内的流动是定常流动和局部平衡的。
在这一假设下，可以利用物理量的守恒方程和牛顿运动定律来进行分析和计算。
2. 边界层方程边界层方程是描述边界层内流体运动的关键方程组。
它包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程考虑了流体内部各个物理量的平衡和变化，并通过求解边界层方程组可以得到流体在边界层内的运动状态。
3. 粘性效应粘性是边界层理论考虑的一个重要因素。
由于流体的粘性特性，边界层会出现剪切应力和速度剖面变化。
这些粘性效应对于固体表面的摩擦力和阻力产生重要影响，因此必须在边界层理论中加以考虑。
三、边界层理论的应用实例1. 空气动力学在航空航天工程中，边界层理论被广泛应用于翼型设计和气动力分析。
通过准确计算边界层内的流动特性，可以优化飞行器的升力和阻力性能，提高飞行效率。
2. 水力学在水力学领域，边界层理论被用于河流和水泥工程的设计和分析。
通过控制边界层内的水流运动，可以减小底摩擦阻力，提高水流的输送能力。
3. 汽车工程在汽车设计中，边界层理论被用于研究车体表面的空气流动。
通过优化车体形状和减小边界层厚度，可以降低空气阻力，提高汽车的燃油经济性。
四、结语流体力学中的边界层理论是研究流体流动与固体界面相互作用的重要理论框架。
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象一．边界层理论1. 问题的提出在流体力学中，雷诺数RP惯性力/粘性力，当Re<1时，惯性力<<粘性力，可以略去惯性力项，用N-S方程解决一些实际问题（如沉降、润滑、渗流等），并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力，略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904 年，德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论，即大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固壁的极薄流层中，惯性力琲占性力，这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2. 边界层的划分I流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<S （边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>&层外主流层）：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy〜0所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
可按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y= 3处），ux= 0.99u T 3为流动边界层厚度，且3= &x）。
II传热边界层（温度边界层）当流体流经与其温度不相等的固体壁面时，在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y< 8t （传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy 很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2）y>8t （层外区域）：法向温度梯度dt/dy 可忽略法向热传导。
工程流体力学 第六版 第7章 边界层理论
1
2
1+ ? 0
1
? ~ 即：y ,
2 y 2 y y y x
y2 x2 y x
y
x y
x
x
x 2 x 2x
y x2 y2
2
12
1
1ε
1ε
1 1
1
1 12
1
2
简化N-S方程：
x
x x
y
x y
1
p x
v(
2 x x 2
2 x y 2
)
1
11
ε
1
1
1 （2 12
1
7.1.1 边界层概念 7.1.2 边界层内的流态
7.1 边界层概念
边界层：（1904年，第三届国际数学家学会，普朗特第一次提出）
实际流体绕过物体流动时，由于流体粘性的影响在物 体表面附近形成沿面的法线方向速度变化很快的薄层。
常见绕流现象
飞机/汽车阻力、 炮弹/球体飞行、 建筑、叶片绕流...
y 无黏性区
Fsx
p x
(
δ 0
ρυxdy )dx
动量：e
x
(
0
x dy )dx
e 边界层外边界上的速度
平板: υ∞ 曲面:υe(x)
流出动量 -流入动量 =
x
( δ 0
ρυx2dy )dx
υe
x
(
δ 0
ρυxdy )dx
➢ x方向的表面力：
AB面： p
y A
p 1 p dx
dl 2 x
θ
C
d
BD面： τwdx
即：(
p y
0)
，
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象一．边界层理论1.问题的提出在流体力学中，雷诺数Re∝惯性力/粘性力，当Re<1时，惯性力<<粘性力，可以略去惯性力项，用N-S方程解决一些实际问题（如沉降、润滑、渗流等），并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力，略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论，即大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固壁的极薄流层中，惯性力≈粘性力，这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分Ⅰ流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
可按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），ux＝0.99u∞，δ为流动边界层厚度，且δ＝δ(x)。
Ⅱ传热边界层（温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时，在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。
通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），ts－t＝0.99(ts－t0) ≈ ts－t0，δt 为温度边界层厚度，且δt＝f(x)；ts为壁面温度；t0为热边界层外（主流体）区域的温度。
传输原理-第六章 边界层理论
6.2 边界层微分方程
一、微分方程的简化
• 由于雷诺数很大时边界层相当薄，因此纳维-斯托克 斯方程得到若干重要的简化。对于流经平板的不可压 缩、稳定的二维流动，连续性方程为：
x y 0
x y
• 又因为质量力可以忽略，因此纳维-斯托克斯方程如下：
x
x
x
y
x
y
1
P x
2x
x2
2x
y2
x
y
• 下图中的整个流场可划分为边界层，尾迹流和势流三
个区域。III区是有流体向右流动的，图中画成空白是
为了与另外两个区域区分。
III
υ
υ
I
II
6.1 边界层理论的基本概念
二、边界层的厚度
• 一般规定，边界层厚度δ是主体流动速度99%处到平 板表面的距离。下图给出流体流过一固定平板的边界 层厚度δ的变化情况，板的长度记为L。在平板的前缘 o处(称为驻点)，边界层厚度为零，在流体流动的方向 上，边界层厚度逐渐增加。
第六章 边界层理论
第六章 边界层理论
• 6.1 边界层理论的基本概念 • 6.2 边界层微分方程 • 6.3 冯·卡门动量积分方程
6.1 边界层的基本概念
边界层理论建立的意义
• 雷诺数很大时，纳维-斯托克斯方程中的黏性项 与惯性项相比是很小的，黏性项的作用可以忽略 不汁，因此纳维-斯托克斯方程就简化为理想流 体的欧拉方程。在这样的情况下，流体运动的阻 力等于零，而这显然违背事实。历史上，这个矛 盾被称为达朗贝尔之迷，并一度使人们对理想流 体模型莫衷一是。
~ 1
x Rex
或
~
x x Rex
式中
Rex
x
流体力学第六章边界层理论(附面层理论)
通过减小边界层的阻力，降低流体机械的能耗，提高运行效率。
流动分离控制
控制边界层的流动分离，防止流体机械中的流动失稳和振动，提 高设备稳定性。
流体动力学中的边界层效应
流动特性的影响
边界层内的流动特性对整体流动行为产生重要影响，如湍流、分离 流等。
流动阻力
边界层内的流动阻力决定了流体动力学的性能，如流体阻力、升力 等。
在推导过程中，需要考虑流体与固体表面之间的相互作用力，如粘性力和压力梯 度等，以及流体内部的动量传递和能量传递过程。
边界层方程的求解方法
边界层方程是一个复杂的偏微分方程，求解难度较大。常用的求解方法包括分离变量法、积分变换法、有限差分法和有限元 法等。
分离变量法是将多维问题简化为多个一维问题，通过求解一维问题得到原问题的解。积分变换法是通过积分变换将偏微分方 程转化为常微分方程，从而简化求解过程。有限差分法和有限元法则是将偏微分方程离散化，通过求解离散化的方程组得到 原问题的近似解。
边界层内的流动可以从层流转变为湍流，或从湍 流转为层流。
边界层内的流动状态
层流边界层
流速在物体表面附近呈现平滑变化的流动状态。
湍流边界层
流速在物体表面附近呈现不规则变化的流动状态。
混合流动状态
边界层内的流动状态可以是层流和湍流的混合状态。
03
边界层方程与求解方法
边界层方程的推导
边界层方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体在固体表面附近的流动行为 。其推导基于Navier-Stokes方程，通过引入边界层假设，即认为在靠近固体表 面的薄层内，流体的速度梯度变化剧烈，而远离固体表面的流体则可以视为均匀 流动。
展望
随着科技的不断进步和研究的深入，边界层理论在未来 有望取得以下突破。首先，随着计算能力的提升，更加 精确和可靠的数值模拟方法将得到发展，这有助于更好 地理解和预测复杂流动现象。其次，随着实验技术的进 步，将能够获得更高精度的实验数据，为理论模型的发 展提供有力支持。最后，随着多学科交叉研究的深入， 将能够从不同角度全面揭示流体流动的内在机制，推动 流体力学理论的进一步发展。
边界层理论
边界层方程组
边界层方程组
不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体 壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重 力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不 变，从而得到层流边界层方程组为：
发展
1907年，布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年，卡门和波耳豪森提 出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940）和瓦茨进行简化和改进，到 现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近 似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年，普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的 相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动 力学中的基本现象。早在19世纪末，雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年，普朗特做了著名的圆球实验， 正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题 是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流 边界层产生不稳定性的结果。1921年，普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上 算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影 响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼 型。
第七章 边界层理论
其中 Re = ρV∞ L μ
因为δ * = δ L ~ 1
Re ，所以当Re很大时， ∗ δ
<< 1
根据这点，来估计N-S方程中的各项量级大 * x * ~ O (1), Vx ~ O (1)，这样 ∂Vx* ∂x* ~ O (1， ) 小。首先假设 又因为 y* ~ O (δ * )，所以按照连续方程，可得
∫
δ
0
ρu (U − u )dy
不可压流
=
∫
δ
0
u U
u⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟ ⎝ U⎠
◎能量损失厚度 能量损失为
1 δ (ρ0 uU 2 − ρu 3 )dy 2 ∫0
主流在单位时间内通过某个厚度δ 3 的能量为
1 2 ρ 0U 3δ 3 因此能量(损失)厚度为
不可压流 δ u 1 δ δ3 = ρu (U 2 − u 2 )dy = ∫ 0 U ρ 0U 3 ∫0
关于湍流边界层中的速度分布，形式和经 验公式都很多。 有时，着眼于边界层内的流速与外部主流 流速的差额，因此可采用所谓的亏损律分布形 式。所谓亏损，是主流流速减去边界层内的流 速，而亏损律是把这个差值通过摩擦速度和无 量纲离壁距离表示的函数。 对于湍流边界层的外层，因为湍流是间歇 性的，所以采用另一个分布函数形式，称为尾 迹律。 请参见Schlishting的《边界层理论》。
[5]边界层的厚度 ◎位移厚度——由于边界层的存在，实际流过 边界层内的流体质量比理想情况时的减小，其 δ 减小量为
∫ (ρ U − ρu )dy
0 0
设这个减小量与主流流过的厚度为δ 1 的流层内 的流量 ρ 0Uδ 1 相等，则
1 δ1 = ρ0U
∫ (ρ U − ρu )dy
边界层理论
边界层（Boundary Layer）是高雷诺数绕流中紧贴物面的粘性力不可忽略的流动薄层，又称流动边界层、附面层。
这个概念由近代流体力学的奠基人，德国人Ludwig Prandtl（普朗特）于1904年首先提出。
从那时起，边界层研究就成为流体力学中的一个重要课题和领域。
在边界层内，紧贴物面的流体由于分子引力的作用，完全粘附于物面上，与物体的相对速度为零。
边界层又称附面层，它是指流体流经固体表面时，靠近表面总会形成那么一个薄层，在此薄层中紧贴表面的流体流速为零，但在垂直固体表面的方向（法向）上速度增加的很快，即具有很大的速度梯度，甚至对粘性很小的流体，也不能忽略它表现出来的粘性力。
而在此边界层外，流体的速度梯度很小，甚至对粘度很大的流体而言，其粘性力的影响也可以忽略，流体的流速与绕流固体表面前的流速V0一样。
这样就可把边界层外流动的流体运动视为理想流体运动，不考虑粘性力的影响。
边界层内、外区域间没有明显的分界面，而把边界层边缘上的流体流速V x视为V x=0.99 V0，因此从固体表面至V x=0.99 V0处的垂直距离视为边界层的厚度δ。
这样大雷诺数下绕过固体的流动便简化为研究边界层中的流动问题。
边界层内的流动可以是层流，也可以是带有层流底层的紊流，还可以是层流、紊流混合的过渡流。
图1 边界层结构综上所述，边界层的特征可归结为：（1）与固体长度相比，边界层厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向上的速度梯度很大；（3）边界层沿流动方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，故可近似地认为，边界层截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力；（5）边界层内粘性力和惯性力士同一数量级的；（6）如在整个长度上边界层内都是层流，称层流边界层；仅在起始长度上的是层流，而在其他部分为紊流的称混合边界层。
以上定义的边界层为速度边界层，另外在其他学科领域中对于边界层的应用还是十分广泛的，主要有温度边界层和浓度边界层。
化工传递过程 第四章 边界层理论
1. 平板壁面上的速度边界层
当黏性流体（高 Re）在一半无穷平板壁面上流动时，
速度边界层的形成过程。
y
层流边界层 过 湍流边界层
渡 u0 u0 区
u0
u0
x=0
x
壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界层外，速度梯度接近于
零的区称为外流区或主流区。
§ 4-1.边界层的概念
2. 圆管内的速度边界层
代入方程得： u* u* x y 0 x* y*
u* x
u* x
x*
u* y
u* x
y*
1
p* x*
v
2u * x
x*2
2u *
x
y*2
u* x
u* y
x*
u* y
u* y
y*
1
p* y*
v
2u* y
x*2
2u*
y
y*2
§ 4-2.普兰德边界层方程
引入无量纲量需要注意的两个方面： 1）、估计量级要由一个标准，可用 * 为标准，O表示 2）、量级不是指该物理量或几何量的具体数值，而是指 该量在整个区域内相对于标准参数（ * ） 的平均水平， 允许一阶或更高阶量在个别点或区域取较低的值或零。
§ 4-1.边界层的概念
一.普兰德边界层理论的要点
1）. 当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作
用，在壁面上流速降为零；
2）. 在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速度梯 度很大；
3）. 在远离壁面的流动区 域，其速度梯度几乎为零， u0
可视其为理想流体的势流。
u0 δ
§ 4-1.边界层的概念
uy
u y y
uz
边界层理论
4.64 x
v0
4.64
x Rex
小结
一、本课的基本要求
1．掌握边界层概念及分类。 2．了解边界层微分方程的建立及求解方法。 3．了解边界层积分方程的建立及求解方法。
二、本课的重点、难点
重点：边界层概念。 难点：边界层方程的建立及求解。
l 0
vx
dy
x
AD面上的动量
τwΔx
M l
qml v0
v0
d dx
l 0
vxdyx
代入动量平衡关系
d
dx
l 0
(
v0
vx
)vx
dy
w
l l
0 0
在δ~l区域vx=v0
d
dx
(v0
0
vx )vxdy
w
称冯·卡门边界层动量积分方程。层流、紊流边界层均适用。
因由控制体导出，积分解法又称近似积分解法。
5.1 边界层概念
3．管内流动时的边界层
汇合前
层流边界层 层流 紊流边界层 紊流
L 100 d L 25 ~ 40 d
汇合后：充分发展了的管流，速度分布不变。
紊流：紊流核心区+层流底层
5.2 边界层微分方程
1．微分方程的建立
建立方法 元体分析法
连续性方程 简化
vx vy 0 x y
紊流边界 层：流体 惯性力起 主导作用
5.1 边界层概念
边界层内流动的判别标准
Rex
u0 x
u0 x
Rexc 2105
Rex<2t;Rex<3106 Rex>3106
过渡区 紊流边界层
边界层以外的区域为主流区，速度梯度为零，无黏性力作用。因
第11章边界层理论详解
第11章边界层理论（Boundary Layer ~）课堂提问：高尔夫球表面粗糙还是光滑一杆打的远？为什么龙舟的形状是细长体？本章内容：1.边界层基本概念2.边界层基本微分方程3.边界层动量方程4.边界层排挤厚度和动量损失厚度5.平板层流边界层6.平板湍流边界层7.平板混合边界层8. 船体摩擦阻力计算9.曲面边界层分离现象形状阻力10. 绕流物体的阻力11.减少粘性阻力的方法§11-1 边界层的概念N-S方程理论上完备但求解困难。
解决(求解)工程实际问题大多局限于小雷诺数流动问题。
高Re时(量级在10６～10９的范围),粘性力与惯性力相比是很小的。
1904年，L.Prandtl指出，对于粘性很小的流体(如空气、水），粘性对流动的影响仅限于贴近固体表面的一个薄层内，这一薄层以外，粘性完全可以忽略。
从边界层厚度很小这个前提出发，Prandtl 率先建立了边界层内粘性流体运动的简化方程，开创了近代流体力学的一个分支——边界层理论。
均匀来流绕一薄平板流动，微型批托管测得沿平板垂直方向的速度分布如下图：在固体壁面附近，显著地受到粘性影响的这一薄层。
边界层：均匀来流速度平板上u=0边界层内粘性力不可忽略这一薄层内速度梯度很大yvx∂∂与来流速度相同的量级,U99％边界层外边界U99％外边界上流速达到U99％的边界层名义厚度点到物面的法向距离。
边界层厚度根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：一、边界层二、边界层外部区域边界层外部粘性影响很小，μ可以忽略不计，可认为边界层外部的流动是理想流体无旋势流。
这一薄层内速度梯度很大。
xv y ∂∂边界层内的流动是有旋流动1()2y x x z v v v x y yω∂∂∂=-=-∂∂∂重要推论：（1）边界层内各截面上压力等于同一截面上边界层外边界上的压力：即：P1=P2=PP2PP1x（2）势流的近似计算中，可略去边界层的厚度，解出沿物体表面的流速和压力分布，并认为就是边界层边界上的速度和压力分布，据此来计算边界层。
第十一章-边界层理论
-------(11-4)
p =0 y
边界条件为
1 2
几点结论：
u x 0 , u y 0 y : ux U 0 y 0:
-------(11-5)
（1）压强沿物体界面外法线方向的梯度，较沿物体界面切线方向的梯度低一个量级。
p 0 y
上式说明边界层内的压强沿物面外法线方向是不变的，并等于边界层外边界上的压强。
u∞
u∞
δ
形成过程流体Βιβλιοθήκη 经固体表面；Ax0
层流内层
平板上的流动边界层
由于粘性，接触固体表面流体的流速为零
；
附着在固体表面的流体对相邻流层流动起阻碍作用，使其流
速下降；
对相邻流层的影响，在离开壁的方向上传递，并逐渐减小。
最终影响减小至零，当流速接近或达到主流的流速时，速
度梯度减少至零。
一、边界层的提出 2、流场的求解可分为两个区进行：
将上述的量纲一的量代人式(10-1)中的各项中，则得
0 0 0 2 0 2 0 1 p u u u ux x x x 0 0 ux 0 uy 0 02 02 x x 0 Re y y x 0 0 0 2 0 2 0 1 p u u uy u y y y 0 0 ux 0 uy 0 0 02 02 x Re y y y x 0 u 0 u y x 0 0 0 x y
2 u ，得 u 由 L 2
1 uL L 2 Re 2 ~ O 0 2
0 u0 u y x 0 0 0 x y
0 0 0 2 0 2 0 1 p u u u ux x x x 0 0 ux 0 uy 0 0 02 02 x x Re x y y 0 1 02 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 2 0 1 p u u uy u y y y 0 0 02 ux 0 uy 0 0 02 x y y Re x y 1 0 02 0 1 0 0 0 1 1
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F
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
（二）绕过流线型机翼的流动 图10.4所示为均速流体绕过流线型机翼柱体的流动。边界层沿机翼 表面发展并逐渐加厚，直到翼柱后部形成尾迹区。开始时尾迹区中速度 梯度较大，一定距离后尾迹逐渐扩散，速度梯度减小，最终消失在主流 区中。 （三）渐扩管中的流动 图10.5所示为渐扩管中的流动。由于 尾迹区 流道截面逐渐增大，主流区中压力不断增 高，流体便需要消耗动能来补充压力能， 图10.4 绕过流线型机翼的流动 但是在边界层中由于粘性摩擦力的影响而 损失的动能较主流区大，因此其动能不足 以补充压力能的增高，且主流的增压减速 运动，对边界层流体能量供应减弱，致使 边界层中流体的流速最终降为零，甚至出 现倒流（流速为负值）。 图10.5 渐扩管中的流动
cr
Recr 可达到 3 106 。紊流时绕流物体在流场中的阻力 当主流扰动非常小时，
比层流时大，故在设计时应尽量避免紊流。当主流速度一定时，只要使 x xcr ，就可避开紊流边界层。在边界层计算中，必须先确定 x cr ，然 后再对层流区和紊流区分别计算。 dw x 对于层流边界层，根据粘性流的剪切应力公式 dy 可以进行精确计算。 虽然对于不同的几何形体，求解十分复杂，但它能够用解析法来计算。 而对于紊流，由于没有具体的物理模型，所以无法进行定量计算，只能 结合试验结果进行近似计算，以满足工程需要。至于变流区，情形更为 复杂，在计算中往往近似地把它看成是层流和紊流的重叠区，或者全部 按紊流来计算。 第11页 退出 返回
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
如图 10.1 所示，平面物体 C 在 静止的流体中以速度 w 运动， B 与之接触的流体薄层 A 在附着 A w 力的作用下，也将以速度 w 随 w 物体运动。与之相邻的 B 层流 C 体，也将在粘性作用下运动。 但是由于惯性力的作用， B 的 w 速度 w 将低于A的速度w，两者 图10.1 流体粘性对速度分布的影响 之间存在速度差，也就出现粘 性力。 同样，B上面的一层流体，也将被牵引而以更低的速度运动。 最后出现上图所示的速度分布。可见，越靠近物体表面，速度梯度越 大，粘性力也越大；远离物体表面，则速度梯度小，粘性力也小。
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
由此可见，流体流过物体表面时，粘性流的边界层可能充分发展， 也可能出现脱离。因此不能认为除去靠近物体表面的区域外，都属于非 粘性流区域。只有当 Re 很高，且边界层不脱离时，物体表面以外的主流 区才可认为是属于非粘性流，可按势流来处理，如处于均速流场中的机 翼形物体的绕流或平板绕流等。必须指出，直管内的流动不能按非粘性 流考虑，即不能按势流计算，因为流体均速流进直管时，在粘性力作用 下，会逐渐出现速度梯度，靠近壁面处流速降低，形成一薄层边界层， 随着流动的继续，粘性力的作用范围不断扩大，直至发展到整个截面， 此时管道中心处流速最大，壁面处流速为零，速度梯度最大的区域仍在 壁面附近，但是粘性力的作用范围最终达到了整个截面，这与平板绕流 或曲面绕流的情况不同。
第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
不管是层流边界层或紊流边界层，在分析计算时，若 Re 104 ，则可 认为边界层厚度和物体的尺寸或流动距离 x 相比属于微量，从而对边界 层的计算进行简化。边界层以外的主流区则按非粘性流考虑。 三、边界层厚度 在管内紊流和绕流情况下，流场中的速度变化主要发生在壁面附近。 流速改变剧烈的区域，即为边界层。自壁面至流速不再改变处的距离称 为边界层厚度，用 表示。边界层厚度以外叫主流区。严格说来，自壁 面至流速完全不变的区域，距离很大，故一般将速度达到主流速度0.99 ～0.995倍的地方作为边界层厚度的上限。照此规定，边界层厚度极小， 与物体尺寸相比可看成微量。但是这样的规定却不利于对边界层进行解 析计算，为此下面列出了三种较严格的规定边界层厚度的方法。
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
二、层流边界层和紊流边界层 层流时，流体的流动主要受粘性力控制，流速场平行于流道壁面。紊 流的流速则随时间和位置不断发生大小和方向的变化，其速度场是指平均 流速的分布。严格说来，任何流场中的流速都在变动，当变动十分微小， 接近于其时均值时，即属于层流。变动大时，即为紊流。由层流转入紊流 的机理，可以认为与流场中的微小扰动和该扰动的扩大有关。两层流速不 同的流体之间，由于速度差而出现微小旋涡。这些旋涡可以在粘性力作用 下，由于存在减缓速度梯度的效应而衰减；也可以在惯性力作用下，由于 存在维持速度梯度的效应而扩大。如果旋涡扰动逐渐衰减，流动就恢复为 层流状态。如果旋涡扰动逐渐扩大，就发展为紊流状态。 在绕流流场中，边界层的流动同样也有由层流转入紊流的现象。如 图10.7所示为处在均速主流流场中的流线型锐端平板。刚接触板端时，流 速 W 是均匀的。进入平板后，由于粘性作用，在壁面处便出现一层极薄的 边界层。
第 4页
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
一、边界层的形成 流场中流动参量的变化、流道和绕流体形状的不同，都会影响边 界层的形成和发展。下面举几个典型的例子来说明这一问题。 A B C （一）收缩管中的流动 D E 图 103 所示为一收缩管中的流动。 流体在进入收缩流道 CD 前的 AB 段 内，边界层已有相当发展，具有一 D 定厚度 ，进入收缩管道CD段后， C 图10.3 收缩管中的流动 流体加速而压力逐渐降低，由于主 流速度逐渐增高，对边界层流体的能量供应加强，而使边界层速 度梯度增大，边界层逐渐减薄至 。进入直管段EF后，边界层又 沿管长增厚，直至发展到管中心。因此在整个流道中边界层是逐 步发展的。
Re Wx
Wx
（10.1）
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
是否由层流转入紊流取决于临界雷诺数 Recr，而主流的初始扰动程度、板 面的几何形状、流场的压力梯度、壁面的粗糙度、流体的可压缩性（马 赫数）、加热或冷却效果等都会影响临界雷诺数 Recr 。对于光滑表面没有 Wx cr 压力梯度的绝热流动 Re 3 105
研究生教材
流 体 力 学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性 第二节 边界层微分方程 第三节 平板层流边界层的微分方程解 第四节 边界层积分（动量）方程 第五节 平板层流边界层的积分方程解 第六节 平板紊流边界层计算 第七节 平板混合边界层计算
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
实际流体具有粘性，其流动参量受粘性的影响。对于气体，其粘性主要 是由于不同速度的相邻流体层间发生动量交换的结果。对于液体，粘性 主要是由于流体分子间的内聚力和附着力引起的。因此，如果相邻流体 微元间存在速度梯度，从而受分子附着力和内聚力或层间动量交换的作 用，就会产生剪切力。剪切力的大小与速度梯度有关，其比例系数即为 流体的粘性系数或粘度。单位面积上的剪切力叫做剪切应力或称粘性力。 速度梯度大时，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场，可用纳维—斯托 克斯方程式求解；速度梯度很小时，粘性力可以忽略，此时的流场称为 非粘性流场，可以按理想流体来处理，采用欧拉方程求解可使问题大大 简化。 无论是流体流过物体，还是物体在流体中运动，由于流体的附着作 用，在物体表面总有一层与之直接接触的薄层流体附在其上，它与相邻 的另一层流体之间存在着速度梯度，从而使两层流体之间产生粘性力。
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
因为边界层厚度 极小，扰动在其中不易发展，所以此时边界层中的流 动是层流，称为层流边界层，受粘性力的控制。 当流体沿平板继续流动，边界层逐渐增厚， 层流区 过渡区 紊流区 W 扰动便会发展起来，边界层中的流动变成紊 w 流，此时边界层厚度 增加很快，称为紊流 w 边界层。边界层由层流向紊流转变时，不是 δ 突然发生的，中间有一过渡区，称作变流区。 δ 在与板面直接接触的地方，还有一层极薄的 层流底层（对光滑板尤其明显）。边界层由 层流底层 x Re 的大小。 层流向紊流的转变，取决于雷诺数 W 对绕流流场， Re 与主流流速 W 、流体运动粘 图10.7 流体绕过流线型锐端平板 度 和自板端向后流过的距离 x 有关，即
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第十章
边界层理论
第一节 边界层特性
而受粘性影响较小的中心主流却仍以较高流速流动，不再贴近管道壁面。 在主流与管壁之间，边界层被破坏，出现旋涡和倒流等不规则的流动。开 始出现这种不规则的倒流而使边界层被破坏的区域称为边界层脱离点。因 此在渐扩管形的流道中边界层有可能不是连续稳定发展的。 C （四）绕过圆柱体的流动 主流 图10.6表示流体绕过圆柱体的流动。在来 区 流接触柱体表面后的前一半柱面 ABC 区域， D B 边界层逐渐形成并发展。此时流体沿柱面是 增速降压流动，不会出现边界层脱离现象。 进入后一半柱面 ADC 区域，流体作减速增压 A 流动，边界层中因克服粘性摩擦而损失大量 图10.6 绕过圆柱体的流动 动能，无法补充足够的压力能来与主流压力平衡，边界层便开始脱离，形 成旋涡状尾迹，并向下游发展，直到几倍圆柱直径的距离后消失。离开表 面较远的区域，以及尾迹后的主流区则可视为非粘性流。
Hale Waihona Puke 第十章边界层理论第一节 边界层特性
在边界层中，流体粘性力的作用不能忽略。 对于实际流体，直接从纳维—斯托克斯方程式 对整个流场求解是很困难的。由于方程式的非 线性和边界条件的复杂性，直到目前还不能用 δ 解析法来分析。普朗特通过对粘性力作用的分 析，认为可以把整个流场分为两部分：一部分 是直接临近物体表面的边界层区和经过边界层 后靠近物体的尾迹区，在这部分流场中，粘性 作用显著，属于粘性流，可按纳维—斯托克斯 图10.2 边界附近流体的速度分布 方程式求解。由于边界层和尾迹区的尺寸很小，和物体的几何尺寸相比 属于微量，因而可认为流动是平行于物体表面的，方程式就可得到简化； 另一部分是边界层和尾迹以外的区域，在此区域中粘性力的作用很小， 可以看成非粘性流，且不存在速度梯度，可以按理想流体的势流考虑。