高三数学复习学案：第1讲 函数与方程思想

函数与方程是中学数学的重要概念，它们之间有着密切的联系．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，是历年高考的重点和热点．
1．函数的思想
用运动和变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识．
2．方程的思想
在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系，建立方程或方程组，求出未知数及各量的值，或者用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
题型二 函数与方程思想在方程问题中的应用
例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2
]上有解，求a 的取值范围．
变式训练 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围．
题型三 函数与方程思想在不等式问题中的应用
例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有的实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．
变式训练 设不等式2x －1>m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围．
第1讲 函数与方程思想
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．双曲线x 29－y 216
＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为________．
2．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，则x 的取值范围是________．
3．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－6,1)，而(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ＝__________.
4．方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为________．
5．已知R 上的减函数y ＝f (x )的图象过P (－2，3)、Q (3，－3)两个点，那么|f (x ＋2)|≤3的解集为________．
6．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为__________．
7．若关于x 的方程4cos x －cos 2x ＋m －3＝0恒有实数解，则实数m 的取值范围是________．
8．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，其中a <b ，且α，β(α<β)是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系为________．
9．已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则它的公差d ＝________.
10．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是__________．
11．若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是____________．
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2， －3≤x ≤3，x 2－6，x <－3或x >3，
若0<m <n ，且f (m )＝f (n )，则mn 2的取值范围是________．
二、解答题
13．设P (x ，y )是椭圆x 24＋y 22＝1上的动点，定点M (12
，0)，求动点P 到定点M 距离的最大值与最小值．
14.已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．
15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件：f (x －1)＝f (3－x )，且方程f (x )＝2x 有等根．是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由．。