十字交叉法
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数学运算—十字交叉法应用全攻略
大部分人最早接触十字交叉法,是在化学课上,有关质量分数、平均分子量、平均原子量等的计算都可以用十字交叉法解决。而十字交叉法的应用不仅限于此,实际上,十字交叉法在行测考试中有着十分广泛的应用,凡是涉及同种物质加权平均的问题,都可以用十字交叉法来解。
一、十字交叉法的数学原理
很多人都用过十字交叉法,却不是所有人都知道它的由来或者它的数学原理是什么。下面以两种不同浓度的溶液混合为例,进行讲解。
将两种不同浓度的同种溶液(浓度分别为a、b,质量分别为A、B)混合,得到的混合溶液浓度为r=(Aa+Bb)/(A+B),化简该式得到(r-b)/(a-r)=A/B,即将各部分的“平均值”和总体的“平均值”交叉做差后得到的比值与这两种溶液的质量之比相等。用十字交叉法表示如下:
质量浓度交叉做差
第一种溶液 A a r-b
r
第二种溶液 B b a-r
交叉做差后得到A/B=(r-b)/(a-r)。
二、十字交叉法在溶液混合问题中应用最多,可多次使用
例1:有浓度为4%的盐水若干克,蒸发了一些水分后浓度变成10%,再加入300克4%的盐水后,变为浓度6.4%的盐水,则最初的盐水是:
A.200克 B.300克 C.400克 D.500克
(2007年广东省公务员考试真题)
解析:设x克10%的盐水与300克4%的盐水混合,得到6.4%的盐水,则有:
10%的盐水 x克 10% 2.4%
6.4%
4%盐水 300克 4% 3.6%
故有x/300=2.4%/3.6%,解得x=200,即10%的盐水质量为200克。
200克10%的盐水与y克的水混合,得到4%的盐水,则有:
10%的盐水 200克 10% 4%
4%
水 y克 0% 6%
故有200/y=4%/6%,解得y=300,即水的质量为300克。因此4%的盐水质量为200+300=500克,选D。例2:一种溶液,蒸发掉一定量的水后,溶液的浓度变为10%,再蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度变为12%,第三次蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度将变为多少?
A.14% B.17% C.16% D.15%
(2009年国家公务员考试真题)
解析:10%的溶液蒸发掉一定量的水浓度变为12%,可以看成12%的溶液与一定量的水混合得到10%的溶液,则有:
12%的溶液 12% 10%
10%
水 0% 2%
故12%的溶液与一次蒸发的水质量之比为10%∶2%=5∶1。5份浓度为12%的溶液蒸发掉1份水,浓度变为12%×5/4=15%。
【注释】与水或纯溶质混合是溶液混合中的特殊情况,用十字交叉法时,只需将水的浓度写为0%,将纯溶质的浓度写为100%即可。
三、交叉做差时一定要同时“大减小”或同时“小减大”
交叉做差时,a-r、r-b或者r-a,b-r,也就是说r做一次减数,做一次被减数。在这三个量都已知时,习惯是“大减小”;当这三个量中因有未知数而无法判断谁大谁小时,只要遵循r做一次减数,做一次被减数的原则即可。
例:一批手机,商店按期望获得100%的利润来定价,结果只销售掉70%。为了尽早销售掉剩下的手机,商店决定打折出售,为了获得的全部利润是原来期望利润的91%,则商店所打的折是:
A.六折 B.七折 C.八五折 D.九折
(2009年江苏省公务员考试真题)
解析:设打折后的利润率为x,则有:
第一部分手机 70% 100% 91%-x
91%
第二部分手机 30% x 9%
故有(91%-x)/9%=70%/30%,解得x=70%,所以商店所打的折扣为(1+70%)÷(1+100%)=85%,故选C。
【注释】此处,91%与x交叉做差时如果写成x-90%,会导致结果错误。
四、根据r介于a、b之间,且A(B)越大,r越接近a(b)秒杀
利用此性质,可以迅速排除一些错误选项,甚至达到秒杀的效果。
例1:现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克,乙中取700克混合而成的消毒浓度为3%;若从甲中取900克,乙中取2700克,则混合而成的溶液的浓度为5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为:
A.3%,6%B.3%,4%C.2%,6%D.4%,6%
(2006年浙江省公务员考试真题)
解析:从甲中取2100克,乙中取700克混合后浓度为3%,则甲、乙溶液浓度一定一个大于3%,一个小于3%,排除A、B、D,故选C。
例2:某城市现在有人口70万,如果5年后城镇人口增加4%,农村人口增加5.4%,则全市人口将增加4.8%,那么这个城市现在城镇人口有()万。
A.30 B.31.2 C.40 D.41.2
(2005年国家公务员考试真题)
解析:4.8%更接近5.4%,故农村人口多于城镇人口,排除C、D。将A、C代入验证,只有A项正确,故选A。
五、鸡兔同笼问题实质也是加权平均问题,可用十字交叉法来解
例:每只蜻蜓有6条腿,每只鸡有2条腿,已知蜻蜓和鸡一共有200只,且一共有600条腿,那么有多少只蜻蜓,多少只鸡?
A.40,160 B.50,150 C.60,140 D.80,120
解析:平均每只动物有600÷200=3条腿,则有:
蜻蜓 6 1
3
鸡 2 3
故蜻蜓与鸡的数量比为1∶3,蜻蜓有50只,鸡有150只,故选B。
六、平均增长率问题,利用十字交叉法时易出错
例:某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%。其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业生数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年毕业的本科生有:
A.3920人 B.4410人 C..4900人 D.5490人
(2007年国家公务员考试真题)
解析:利用十字交叉法,有:
本科毕业生 -2% 8%
2%
研究生毕业生 10% 4%