圆锥曲线标准方程和简单的三角函数方程
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==-- 31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩52b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
收藏：圆锥曲线综合五个类型
（一）求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想； ②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合； ④参数法+方程思想 类型1——待定系数法待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。
例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直，直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ．Ⅰ 若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；Ⅱ 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN ∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系，结合椭圆的几何性质和方程思想，通过待定系数法进行求解。
着重考查椭圆的几何性质，将几何特征转化为坐标表示，突显数形结合的思想。
.21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=72,7.72,7.,,1:4:)23-(,:.23-,,.4,.42222211111122====+===+=+====•=b a b a c b a ace NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F ab MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可类型2——相关点法求轨迹方程动点P(x ，y)依赖与另一个动点Q(x 0，y 0)变化而变化，并且动点Q(x 0，y 0)又在另一个已知曲线上，则可先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
参数方程(圆锥曲线的参数方程)
x＝ON＝
这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。
常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。
在椭圆的参数方程中，通常规定参数θ的范围为
|OA|cosθ＝acosθ，
|OB|sinθ＝bsinθ
φ
O
A
M
x
y
N
B
椭圆的标准方程:
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
x
O
y
探究思考
| t | = | M0M |
M0
M
所以，直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.
这就是 t 的几何意义，要牢记
x
O
y
分析:
点M是否在直线上
用普通方程去解还是用参数方程去解；
分别如何解.
A
B
M(-1，2)
x
y
O
解：因为把点M的坐标代入直线方程后，符合直线方程，所以点M在直线上.
x
y
O
圆的标准方程:
圆的参数方程:
x2+y2=r2
θ的几何意义是
∠AOP=θ
P
A
θ
椭圆的参数方程:
是∠AOX=φ,
不是∠MOX=φ.
称为点M的离心角
小 结
椭圆的标准方程：
椭圆的参数方程：
——离心角
一般地：
在椭圆的参数方程中，常数a、 b分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长. a>b
探究:直线的参数方程形式是不是唯一的
| t | = | M0M |
表示什么曲线?画出图形.
练习:
4
不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为
则直线MA的方程为
2022年秋高中数学第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.3双曲线的方程与性质的应用课件新人教A版
则以定点B(1,1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)， 即为y＝3x－2． 代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0， 由Δ＝122－4×6×7＝－24＜0，得所求直线不存在， 以定点B(1,1)为中点的弦不存在．
1．求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标， 再利用两点间距离公式求弦长．
2)，分别与两条渐近线
y＝
3 3x
和
y＝－
3 3x
联立，求得
M(3，
3)，
N32，－ 23，所以|MN|＝ 3－322＋ 3＋ 232＝3．
角度 2 求双曲线的离心率 已知椭圆 C：x92＋y32＝1，双曲线 E：x92－by22＝1(b＞0)的左、
右顶点分别为 A，B，M 为椭圆 C 的上顶点，直线 AM 与双曲线 E 的右支 交于点 P，且|PB|＝2 21，则双曲线的离心率为________．
【答案】
15 3
【解析】椭圆 C：x92＋y32＝1 的上顶点 M(0， 3)，双曲线 E 的左、右
顶点分别为 A(－3,0)，B(3,0)，
则直线 AM：y＝ 33x＋ 3，过点 P 作 PC 垂直于 x 轴于点 C，如图，
点 P 在直线 AM 上，
故设
Px0 PC＝ 33x0＋ 3，BC＝x0－3，
此时，直线 l 方程为 y＝± 3x＋1； 当 3－k2≠0，即 k≠± 3，要使直线 l 与双曲线 E 有且仅有一个公共 点， 则 Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得 k＝±2， 此时，直线 l 的方程为 y＝±2x＋1． 综上所述，直线 l 的方程为 y＝± 3x＋1 或 y＝±2x＋1．
直线与双曲线位置关系的判断 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0． (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ab时，直线 l 与双曲线的渐近线平行，直 线与双曲线 C 相交于一点．
圆锥曲线解题技巧和方法综合方法
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:(1) 中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两 点为(X i ，yJ ， (x 2 ,y 2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系 及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参 数。
2 2X 7 如：(1) r T =1(ab 0)与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为a b M(x o ,y o )，则有畤 2k = O 。
a b 2 2 (2) 笃-% fa 0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为 a b(3) y 2=2px (p>o )与直线I 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x °,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.2典型例题 给定双曲线X 2 -亍=1。
过A (2，1)的直线与双曲线交于 两点P i 及P 2，求线段P i P 2的中点P 的轨迹方程。
(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ,与两个焦点F i 、F 2构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。
2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 J 七二1上任一点，F i (-c ,o)， F 2(c,o )a b 为焦点，• PF/?二〉，PF 2F 1 二。
sin (口 + P )(1) 求证离心率e 二sina + sin P M(x o ,y o)则有 直 Yoa 2b 2(2)求IPF J PF2|3的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程2=p(x 1)(p 0)，直线y = t与轴的交点在抛物线准线的右边。
(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B，且0A丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
三角函数公式表
三角函数公式表三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。
）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos———2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———·sin———2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos———2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin———2 2 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B，记作A BA B，B A A＝BA B＝{x|x∈A，且x∈B}A B＝{x|x∈A，或x∈B}c ard（A B）＝card（A）+card（B）－card（A B）（1）命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若 p则 q逆否命题若 q，则 p（2）四种命题的关系（3）A B，A是B成立的充分条件B A，A是B成立的必要条件A B，A是B成立的充要条件函数的性质指数和对数（1）定义域、值域、对应法则（2）单调性对于任意x1，x2∈D若x1＜x2 f（x1）＜f（x2），称f（x）在D上是增函数若x1＜x2 f（x1）＞f（x2），称f（x）在D上是减函数（3）奇偶性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若f（－x）＝f（x），称f （x）是偶函数若f（－x）＝－f（x），称f（x）是奇函数（4）周期性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f（x+T）＝f(x)，则称f（x）是周期函数（1）分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是（2）对数的性质和运算法则loga（MN）＝logaM+logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）指数函数对数函数（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y＞0图象经过（0，1）a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜10＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1a＞ 1时，y＝ax是增函数0＜a＜1时，y＝ax是减函数（1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数（2）x＞0，y∈R图象经过（1，0）a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜00＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0a＞1时，y＝logax是增函数0＜a＜1时，y＝logax是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）同底型logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）换元型 f（ax）＝0或f (logax)＝0数列数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an＝f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1－an＝dan＝a1+（n－1）da，A，b成等差 2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列常用求和公式an＝a1qn＿1a，G，b成等比 G2＝abm+n＝k+l aman＝akal不等式不等式的基本性质重要不等式a＞b b＜aa＞b，b＞c a＞ca＞b a+c＞b+ca+b＞c a＞c－ba＞b，c＞d a+c＞b+da＞b，c＞0 ac＞bca＞b，c＜0 ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0 ac＜bda＞b＞0 dn＞bn（n∈Z，n＞1）a＞b＞0 ＞（n∈Z，n＞1）（a－b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a＞b（或a＜b），只需证明a－b＞0（或a－b＜0＝即可（2）若b＞0，要证a＞b，只需证明，要证a＜b，只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。
圆锥曲线的参数方程全解
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
a
①
xA = a2（sec tan）.
解： 同理可得，点B的横坐标为xB = a2（sec tan）.
设AOx=,则tan b . 所以MAOB的面积为
a
S MAOB =|OA||OB|sin2 =
xA
cos
xB
cos
sin2
过点A作圆C1的切线AA '与x轴交于点A ' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'. 过点A ' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M.
双曲线的参数方程
y
设M (x, y) 则A' (x, 0), B'(b, y).
a
B'
A
•M
点A在圆C1上 A(acos,asin).
又OA AA',OA AA'=0
o B A' x
b
AA' =(x-acos,-asin )
a cos(x a cos) (a sin)2 0 解得：x a
又 点B'在角的终边上，记 由三角函数定义有：tan y .
co1sy消saxbe去22cta参n数by22得：x1
2
2
说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM
的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 a2
y2 b2
1
与三角
恒等式sec2 1 tan2 相比较而得到，所以双曲
线的参数方程的实质是三角代换.
圆锥曲线知识点总结大全
圆锥曲线知识点总结大全终于要学习圆锥曲线知识点了，高二数学本身的知识体系而言，它主要是对数学知识的深入学习和新知识模块的补充。
圆锥曲线知识点总结有哪些你知道吗?一起来看看圆锥曲线知识点总结，欢迎查阅!圆锥曲线知识点大全圆锥曲线的应用【考点透视】一、考纲指要1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用数形结合、几何法求某些量的最值.2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法.二、命题落点1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;3.考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.【典例精析】例1：(2004?福建)如图,B地在A地的正东方向4km 处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元B.5a万元C. (2+1)a万元D.(2+3)a万元解析:设总费用为y万元,则y=a?MB+2a?MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,∴曲线PG是双曲线的一支,B 为焦点,且a=1,c=2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.∴y= a?2MD+2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(万元).答案:B.例2：(2004?北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解析:(1)当y=时,x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,所求距离为.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,故.同理可得,由PA、PB倾斜角互补知, 即,所以, 故.设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,所以kAB是非零常数.例3：(2004?广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为.用y=-x代入上式,得x=±680,∵|PB||PA|,∴x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.【常见误区】1.圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.【基础演练】1.(2005?重庆) 若动点()在曲线上变化，则的最大值为( )A. B.C. D.22.(2002?全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.3.(2004?精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( )A. B.1 C. D.24. (2004?泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( )A.2个B.4个C.6个D.8个5.(2004?湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.6.(2004?上海) 教材中坐标平面上的直线与圆锥曲线两章内容体现出解析几何的本质是.7.(2004?浙江)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1,(1)若直线AP 的斜率为k,且|k|?[],求实数m的取值范围;(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.8. (2004?上海) 如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.(1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.9.(2004?北京春) 2003年10月15日9时,神舟五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B 距地面350km.已知地球半径R=6371km.(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s?(结果精确到1km/s)(注:km/s即千米/秒)关于双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：=.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
专题七 解析几何 第二讲 圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题——2022届高考理科数学三轮
③|F1A|＋|F1B|＝
2 p
；④以弦
AB
为直径的圆与准线相切．
[典型例题]
1.已知椭圆 T : x2 y2 1(a b 0) 的长半轴为 2，且过点 M 0,1 .
a2 b2 若过点 M 引两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，P 为椭圆上任意一点，
记点 P 到 l1 ， l2 的距离分别为 d1 ， d2 ，则 d12 d22 的最大值为( B )
C. x2 y
D. x2 1 y 2
[解析]
本题考查抛物线的定义、标准方程. 抛物线 C : x2 2 py( p 0) 的准线方程为 y p .因为 | AF | 4 ，
2 所以由抛物线的定义得 p 3 4 ，解得 p 2 ，
2 所以抛物线 C 的方程为 x2 4 y .故选 A.
因为 | BC | 2 | BF | ，所以 | BC | 2 | BN | ，所以 BC 2 ，所以 BN 2 ，
CF 3
p3
所以 BN BF 4 ， BC 8 ，
3
3
[解析]
所以 CF 4 ,因为 p CF ， AM CA
所以 2 CF 4 4 , AM CF AF 4 AF 4 AM 4
则 d12 d22 x2 (1 y)2 ，因为 P 在椭圆上，所以 x2 4 4 y2 ，
所以
d12
d
2 2
5
3y2
2y
5
3
y
1 2 3
1 3
，
y [1,1]，
[解析]
所以当
y
1 3
时，
பைடு நூலகம்d12
d22
有最大值
16 3
，所以
圆锥曲线的参数方程 课件
椭圆的参数方程及应用
将参数方程yx＝＝35scionsθθ (θ 为参数)化为普通方 程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参 数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
【自主解答】
由yx＝＝35scionsθθ
得csionsθθ＝＝3y5x，，
两式平方相加，得x522＋3y22＝1.
抛物线的参数方程
设抛物线 y2＝2px 的准线为 l，焦点为 F，顶点 为 O，P 为抛物线上任一点，PQ⊥l 于 Q，求 QF 与 OP 的交 点 M 的轨迹方程．
【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方 程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
【自主解答】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt)(t 为参数)， 当 t≠0 时，直线 OP 的方程为 y＝1t x， QF 的方程为 y＝－2t(x－p2)， 它们的交点 M(x，y)由方程组
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，焦点坐标为 F1(4,0)
和 F2(－4,0)．
椭圆的参数方程yx＝＝bacsionsθθ，， (θ 为参数，a，b 为常数， 且 a>b>0)中，常数 a、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长， 焦点在长轴上．
若本例的参数方程为yx＝＝53scionsθθ ，(θ 为参数)，则如何求 椭圆的普通方程和焦点坐标？
它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2，
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan b2＋a2
φ| ·
|absec φ－abtan φ| b2＋－a2
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
高中数学双曲线公式总结大全
高中数学双曲线公式总结大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 寒窗苦读十余载，今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱，下笔如神才华展;心平气和信心足，过关斩将如流水;细心用心加耐心，努力备考，定会考入理想院校。
高中数学椭圆知识点
高中数学椭圆知识点高中数学椭圆知识点高中数学椭圆知识点1 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px-x2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c.h斜棱柱侧面积S=c'.h正棱锥侧面积S=1/2c.h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的外表积S=4pi.r2圆柱侧面积S=c.h=2pi.h圆锥侧面积S=1/2.c.l=pi.r.l 弧长公式l=a.ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2.l.r锥体体积公式V=1/3.S.H圆锥体体积公式V=1/3.pi.r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s.h圆柱体V=p.r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/aX1.X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4aclogx2 -1，那么x的取值范围为11,且x≠1 C.x>1 D.0A.中元素的个数为A.9 B.6C.4D.2x2+y23.xyy151515159.函数f(x)=ax+x+1有极值的充要条件是A.a≥04B.a>0C.a≤0D.ab D.a2>b2 > B.a-baab15.不等式①x2-4x+39 B.m=9 C.0x2y2kπ16.关于方程+=tanα(α是常数且α≠k∈Z)，以下结论中不正确的选项是sinαcosα2A.可以表示双曲线B.可以表示椭圆C.可以表示圆D.可以表示直线2x2y2+=1的左顶点的间隔的最小值为17.抛物线y=-4x上有一点P，P到椭圆16152A.2B.2+3C.3D.2-3x2y2+=1，当m∈[-2，-1]时，该曲线的离心率e的.取值范围是18.二次曲线4mA.[，2第二卷(非选择题共12道填空题12道解答题)请将你认为正确的答案代号填在下表中1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1316 17 1814 15x≥ -1?2219.实数x，y满足约束条件?y≥0那么(x+2)+ y最小值为____________。
(完整word版)圆锥曲线专题
圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。
设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。
如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。
a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。
“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜ ＝ 或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析 新课标 人教版 教案
高二数学第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的X围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
高二数学上学期知识点
高二数学上学期知识点 第一部分：三角恒等变换 1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 注意正用、逆用、变形用.例如：tanA+tanB=tan<A+B><1-tanAtanB>2.二倍角公式：sin2α=ααcos sin 2⋅,cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan 2α=αα2tan 1tan 2-.3.升幂公式是：2cos 2cos 12αα=+2sin2cos 12αα=-.4．降幂公式是：22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=.5.万能公式：sin α=2tan 12tan22αα+cos α=2tan 12tan 122αα+-tan α=2tan 12tan22αα-6.三角函数恒等变形的基本策略：〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos2θ+sin2θ〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=<sin2x+cos2x>+cos2x=1+cos2x ；配凑角：α=〔α+β〕－β,β=2βα+－2βα-等.〔3〕降次与升次.2sin2cos 12αα=-,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,sin α ,cos α可凑倍角公式；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．〔4〕化弦〔切〕法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦〔切〕.注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角.〔5〕引入辅助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin<θ+ϕ>,ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=a b确定.7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值． 第二部分：解三角形1.边角关系的转化：〔ⅰ〕正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R<R 为外接圆的半径>;注：〔1〕a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;〔2〕a:b:c=sinA:sinB:sinC;<3>三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;〔ⅱ〕余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=2.应用：〔1〕判断三角形解的个数;〔2〕判断三角形的形状;<3>求三角形中的边或角；〔4〕求三角形面积S ；注：三角形中 ①a>b ⇔A>B ⇔sinA>sinB ；②内角和为180︒；③两边之和大于第三边；④在△ABC 中有-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A ==,2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+在解三角形中的应用.3.解斜三角形的常规思维方法是：〔1〕已知两角和一边〔如A 、B 、c 〕,由A+B+C = π求C,由正弦定理求a 、b ．〔2〕已知两边和夹角〔如a 、b 、C 〕,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= π,求另一角．〔3〕已知两边和其中一边的对角〔如a 、b 、A 〕,应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况．〔4〕已知三边a 、b 、c,应用余弦定理求A 、B,再由A+B+C = π,求角C ．〔5〕术语:坡度、仰角、俯角、方位角〔以特定基准方向为起点〔一般为北方〕,依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之.方位角α的取值X 围是：0°≤α＜360. 第三部分：数列 证明数列{}n a 是等差〔比〕数列〔1〕等差数列：①定义法：对于数列{}n a ,若da a nn =-+1<常数>,则数列{}n a 是等差数列. ②等差中项法：对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列.注：后两种方法仅适用于选择、填空：③n a pn q =+〔形如一次函数〕④2n S An Bn=+〔常数项为0的二次〕〔2〕等比数列：①定义法：对于数列{}n a ,若)0(1≠=+q q a a n n ,则数列{}n a 是等比数列.②等比中项法：对于数列{}n a ,若212++=n n n a a a )0(≠n a ,则数列{}n a 是等比数列2.求数列通项公式na 方法 <1>公式法：等差数列中an=a1+<n-1>d 等比数列中an= a1qn-1; (0)q ≠<2>⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 〔 注意 ：验证a1是否包含在an 的公式中〕 〔3〕递推式为1n a ＋＝n a ＋f<n> <采用累加法>；1n a ＋＝n a ×f<n> <采用累积法>；例已知数列{}n a 满足11a =,n n a a n n ++=--111(2)n ≥,则n a =________〔答：1n a =〕〔4〕构造法；形如n n a pa q =+,1nn n a ka b -=+〔,k b p,q 为常数且p ≠q 〕的递推数列,可构造等比数列{}na x +,例 ①已知111,32n n a a a -==+,求na 〔答：1231n n a -=-〕； 〔5〕涉与递推公式的问题,常借助于"迭代法〞解决：an ＝〔an －an-1〕+<an-1－an-2>+……＋〔a2－a1〕＋a1 ； an ＝1122n 1n 1n n a a a a a a a －－－⋅〔6〕倒数法形如11n n n a a ka b --=+的递推数列如①已知1111,31n n n a a a a --==+,求n a 〔答：132n a n =-〕；3.求数列前n 项和n S .常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.〔1〕公式法：等差数列中Sn=dn n na 2)1(1-+=2)(1n a a n + ；等比数列中 当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q a a n --11〔注：讨论q 是否等于1〕. 〔2〕分组法求数列的和：如an=2n+3n ； 〔3〕错位相减法：nn n c b a ⋅=,{}{}成等比数列成等差数列，n n c b ,如an=<2n-1>2n ；〔注1q ≠〕〔4〕倒序相加法求和：如①在等差数列{}n a 中,前4项的和为40,最后4项的和为80,所有各项的和为720,则这个数列的项数n=______；<答：48>;②已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)((()234f f f f f f f ++++++＝___〔答：72〕〔5〕裂项法求和：)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=,如求和：1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+=_________〔答： 1n n +〕〔6〕在求含绝对值的数列前n 项和nS 问题时,注意分类讨论与转化思想的应用,总结时写成分段数列.4.nS 的最值问题方法〔1〕在等差数列{}n a 中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解：①当01>a ,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得取最大值.②当01>a ,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得取最小值.〔2〕转化成二次函数配方求最值〔注：n 是正整数,若n 不是正整数,可观察其两侧的两个整数是否满足要求〕.如①等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大？并求此最大值.〔答：前13项和最大,最大值为169〕；②若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是___ 〔答：4006〕5.求数列{an}的最大、最小项的方法〔函数思想〕：①an+1-an=……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如an= -2n2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a <an>0> ,如an=n n n 10)1(9+③ an=f<n> 研究函数f<n>的增减性 如an=1562+n n6.常用性质：〔1〕等差数列的性质：对于等差数列{}n a ①．dm n a a m n)(-+=〔n m ≤〕②.若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+.③．若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,kk S S 23-成等差数列.④．设数列{}n a 是等差数列,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和,则有如下性质：<i>奇数项da a a 2,,,531成等差数列，公差为⋯<ii>偶数项da a a 2,,,642成等差数列，公差为⋯⑤．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为21n T -,则2121n n n n a S b T --=.〔应用于选择、填空,要会推导,正用、逆用〕 〔2〕等比数列性质：在等比数列{}n a 中①．mn m n q a a -=〔n m ≤〕；②.若m+n=p+q,则aman=apaq ；如〔1〕在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =___〔答：512〕；〔2〕各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++=〔答：10〕.③．若数列{}n a 是等比数列且q≠-1,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列.如：公比为-1时,4S 、8S -4S 、12S -8S、…不成等比数列7．常见结论：〔1〕三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d ；〔2〕三个数成等比的设法：a/q,a,aq ； 〔3〕若{an}、{bn}成等差,则{kan+tbn}成等差;〔4〕若{an}、{bn}成等比,则{kan}<k≠0>、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{anbn}、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ba 成等比;〔5〕{an}成等差,则 <{}na c c>0>成等比. 〔6〕{bn}<bn>0>成等比,则{logcbn}<c>0且c ≠1>成等差.第四部分 不等式1．两个实数a 与b 之间的大小关系—作差法或作商法2.不等式的证明方法〔1〕比较法〔2〕综合法．〔3〕分析法注：一般地常用分析法探索证题途径,然后用综合法3. 解不等式〔1〕一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解法①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0〔2〕一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解法〔三个二次关系〕 判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 相异实根相等实根没有实根21x x <a b x x 221-==02=++c bx ax 的根02>++c bx ax 解集{}12x x x x x <>或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax 解集{}21x x x x <<φφ注：)(02≥>++c bx ax 解集为R,〔02>++c bx ax 对R x ∈恒成立〕 则〔Ⅰ〕⎪⎩⎪⎨⎧≤∆<∆>)0(00a 〔Ⅱ〕若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证0=a若02<++c bx ax 解集为R 呢？如：关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立,则a 的取值X 围.略解〔Ⅰ〕成立时，042<-=a 〔Ⅱ〕 ⎩⎨⎧<=∆<-002a 〔3〕绝对值不等式 如果a ＞0,那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ 〔4〕分式不等式若系数含参数时,须判断或讨论系数00<=>,化负为正,写出解集.主要应用：1.解一元二次不等式；2.解分式不等式；3.解含参的一元二次不等式〔先因式分解,分类讨论,比较两根的大小〕；4恒成立问题〔注：①讨论二次项系数是否为0；②开口方向与判别式〕；5.已知12x y -≤-≤,3235x y ≤-≤,求45x y -的取值X 围；〔①换元法；②线性规划法〕.4．简单的线性规划问题应用：〔1〕会画可行域,求目标函数的最值与取得最值时的最优解〔注：可行域边界的虚实〕；〔2〕求可行域内整数点的个数；〔3〕求可行域的面积；〔4〕根据目标函数取得最值时最优解〔个数〕求参数的值〔参数可在线性约束条件中,也可在目标函数中〕；〔5〕实际问题中注意调整最优解〔反代法〕.原命题若p 则q 逆命题若q 则p互逆互否5.常用的基本不等式和重要的不等式〔1〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则〔2〕+∈R b a ,,则ab b a 2≥+；注：几何平均数算术平均数，----+ab ba 2〔3〕),()2(222R b a b a b a ∈+≥+〔4〕),(22222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a ab ；6.均值不等式的应用——求最值〔可能出现在实际应用题〕设,0x y >,则2x y xy +≥〔1〕若积P y x P xy 2(有最小值定值），则和+=〔2〕若和22(）有最大值（定值），则积S xy S y x =+即：积定和最小,和定积最大. 注：运用均值定理求最值的三要素："一正、二定、三相等〞技巧：①凑项,例122y x x =+-〔x>2〕②凑系数 ,例 当时,求的最大值；〔答：8〕③添负号,例12(2)2(2)y x x x =-+>-；④拆项,例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值〔答：9 〕⑤构造法,例 求22()(0)1xf x x x =>+21x x =+的最大值〔答：1〕.⑥"1〞的灵活代换,若0,0x y >>且191x y +=,则x y +的最小值是________<答：16>〔3〕若用均值不等式求最值,等号取不到时,需用定义法先证明单调性,后根据单调性求最值,例 求2211y x x =++.第五部分 简易逻辑逻辑联结词,命题的形式：p 或q<记作"p ∨q 〞 >；p 且q<记作"p ∧q 〞 >；非p<记作"┑q 〞 > . 2、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反；〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假；〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真．4常见结论的否定形式原结论 否定词 原结论 否定词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于不大于至少有n 个至多有〔1n -〕个小于不小于至多有n 个至少有〔1n +〕个对所有x ,成立存在某x ,不成立p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ,不成立 存在某x ,成立p 且qp ⌝或q ⌝5、四种命题：原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p.6、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：<原命题⇔逆否命题> ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真.②、原命题为真,它的否命题不一定为真.③、原命题为真,它的逆否命题一定为真.7、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. 8.命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定.9、反证法：从命题结论的反面出发〔假设〕,引出<与已知、公理、定理…>矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.第六部分 圆锥曲线定义、标准方程与性质 〔一〕椭圆 1.定义：若F1,F2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ 〔a 为常数〕则P 点的轨迹是椭圆.注：〔1〕若2a 小于|1F 2F |,则这样的点不存在；〔2〕若2a 等于|1F 2F |,则动点的轨迹是线段1F 2F .<3>21F PF ∆中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF 、2PF 、2c,有关角21PF F ∠结合起来,建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系求出1PF 、2PF 的值.注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上.2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕,12222=+b x a y 〔a ＞b ＞0〕<注：222a b c =+>.〔1〕.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 轴上.〔2〕.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a 、b.3.椭圆的几何性质：线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时,椭圆越扁；反之,e 越接近于0时,椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系〔1〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. 〔2〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>〔二〕双曲线 1.定义：若F1,F2是两定点,21212F F a PF PF <=-〔a 为非零常数〕,则动点P 的轨迹是双曲线.注：〔1〕若2a=|1F 2F |,则动点的轨迹是两条射线；〔2〕若2a ＞|1F 2F |,则无轨迹.〔3〕若去掉绝对值号,动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支.2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y 〔a ＞0,b ＞0〕注：〔1〕222c a b =+〔与椭圆比较〕〔2〕双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.〔3〕求双曲线的标准方程,应注意两个问题：⑴ 定位——正确判断焦点的位置；⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a,b.3.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 为例 实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率a c e =＞1,离心率e 越大,双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系〔1〕若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a b y ±= 〔2〕若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠〕〔3〕若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠,若0>λ,焦点在x 轴上,若0<λ,焦点在y轴上〕.特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x 〔0λ≠〕.〔4〕方程221x y m n -=(0,0)m n ≠≠表示双曲线的充要条件是0mn >.〔5〕注意21F PF ∆中结合定义aPF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.〔三〕抛物线 1.定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线.注：〔1〕点F 在直线l 外,〔2〕点F 在直线l 上,其轨迹是过点F 且与l 垂直的直线,而不是抛物线.2．抛物线的标准方程有四种类型：px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.注：〔1〕方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置；〔2〕一次项前面的正负号决定曲线的开口方向；3.抛物线的几何性质,以标准方程22y px =(0)p >为例：p ：焦准距〔焦点到准线的距离〕；焦点： )0,2(p 准线： 2p x -=通径p AB 2= 焦半径：,2px CF += 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122 y1y2=－p2,x1x2=42p ;注：只适合求过焦点的弦长,对于其它的弦,只能用"弦长公式〞来求.4.直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2+bx+c=0,当△≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可；但如果直线和抛物线只有一个公共点,除相切外,还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行,此时,不能仅考虑△=0. 注意：>抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中5.求轨迹的常用方法：〔1〕直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F<x,y>＝0,是求轨迹的最基本的方法；〔2〕待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可；〔3〕代入法〔相关点法或转移法〕：若动点P<x,y>依赖于另一动点Q<x1,y1>的变化而变化,并且Q<x1,y1>又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；〔4〕定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程； 〔5〕点差法,处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法,主要用于求斜率.〔注意：验证判别式大于零.〕〔6〕参数法：当动点P 〔x,y 〕坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量〔参数〕表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.注：①轨迹方程与轨迹的区别,②限制X 围,③根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别,注意次数和符号,④.涉与圆锥曲线的问题勿忘用定义解题. 〔四〕解析几何中的基本公式1.两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=特别地：x //AB 轴, 则=AB |x2-x1| . y //AB 轴, 则=AB |y2-y1| .2.平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++则：2221B A C C d +-=注意点：①x,y 对应项系数应相等,②方程化成一般式.3.点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：22B A CBy Ax d +++=4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02=++c bx ax 〔务必注意0∆>,k 为直线的斜率.〕.若l 与曲线交于A ),(),,(2211y xB y x 则：2122))(1(x x k AB -+==或AB12||y y =-="设而不求〞的解题思想；〕特殊的直线方程: ①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是x=0．②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b,x 轴的方程是y=0．注：判断直线与圆锥曲线的位置关系时,优先讨论二次项系数是否为零,然后再考虑判别式与韦达定理. 第七部分 能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力,以与应用意识和创新意识． 1.运算求解能力：能够根据法则和公式进行正确运算、变形；能够根据问题的条件,寻找并设计合理、简捷的运算方法；能够根据要求对数据进行估计和近似计算．2.数据处理能力：能够收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确判断；能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析,解决所给问题．3.空间想象能力：能够根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能够准确地理解和解释图形中的基本元素与其相互关系；能够对图形进行分解、组合；能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力：能从具体、生动的实例中,发现研究对象的本质；能从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断．5.推理论证能力：能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题的真实性．6.应用意识：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学思想和方法解决问题,并能用数学语言正确地表述和解释．7.创新意识：能够独立思考,灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法,创造性地提出问题、分析问题和解决问题．。