首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一试题

高一数学竞赛试题含答案

高一数学竞赛试题高一数学竞赛试题时间：时间：8:30-11:00 8:30-11:00 8:30-11:00 总分：总分：总分：150150分一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分）分）1、如图，、如图，P P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若QC QC＝＝1，CD CD＝＝3，则PB PB＝＝________________。

2、若函数()()2ln f x x x a x=++为偶函数，则a = 。

3、函数()()2ax bf x x c +=+的图像如图所示，则a 0 0，，b 0 0，，c 0 0。

4、已知()221x f x x=+，则()()()()111123...2015...232015f f f f f f f æöæöæö+++++++=ç÷ç÷ç÷èøèøèø。

5、函数则()()222log 2log 3f x x x =-+的单调递减区间为的单调递减区间为。

6、若方程2104xxeae -+=有负实数根，则a 的取值范围是的取值范围是。

7、设函数()31,12,1x x x f x x -<ì=í³î，则满足()()()2f af f a =的a 的取值范围是的取值范围是。

8、设集合}{1,2,3......6A =，则集合A 的所有非空子集元素和的和为的所有非空子集元素和的和为。

9、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a = 。

1010、已知实数、已知实数,x y 满足()()()()3312011*********x x y y ì-+-=-ïí-+-=ïî，则x y += 。

数学竞赛创新杯试题及答案

数学竞赛创新杯试题及答案试题一：代数问题题目：若x, y, z是正整数，且满足以下条件：1. \( x + y + z = 30 \)2. \( xy + xz + yz = 50 \)3. \( xyz = 24 \)求x, y, z的值。

答案：首先，我们可以将第三个条件写为 \( x = \frac{24}{yz} \)。

将这个表达式代入第二个条件中，我们得到：\[ yz + z\left(\frac{24}{yz}\right) +y\left(\frac{24}{yz}\right) = 50 \]化简后，我们得到：\[ yz + 24/z + 24/y = 50 \]\[ yz - 50 + 24(1/y + 1/z) = 0 \]由于 \( x, y, z \) 是正整数，我们可以通过尝试不同的组合来找到满足条件的 \( y \) 和 \( z \)。

经过尝试，我们发现当 \( y = 3 \) 和 \( z = 4 \) 时，满足条件：\[ 3 \times 4 - 50 + 24\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = 12 - 50 + 28 = 0 \]因此，\( x = \frac{24}{3 \times 4} = 2 \)。

所以，\( x = 2, y= 3, z = 4 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AB是斜边，AC = 5，BC = 12。

求斜边AB的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

因此，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 5^2 + 12^2 \]\[ AB^2 = 25 + 144 \]\[ AB^2 = 169 \]\[ AB = 13 \]所以，斜边AB的长度是13。

试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球。

2017年广西高一数学竞赛“创新杯”决赛试卷(含参考答案)

2017年广西高一“创新杯”决赛试卷参考答案一、选择题（每小题6分，共36分）1．如果1=++cc bb aa ，则abcabc 的值为 ( _★_ )A.1-B. 1C. 1±D. 与c b a ,,的值有关【答案】A解：c c b b a a ，，的取值是1或－1,因为1=++c c b b a a ，所以c c b b a a ，，中有2个1，1个－1.c b a ,,中有两正一负，所以0<abc ，.1-=abcabc2．已知非零实数a b 、满足:2210a ab b a b ++-+=+，则a b +的值等于 ( _★_ )A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】B解：由题设得22211102a b a b ⎡⎤++++-=⎣⎦（）（）（），则0a b =+，10a =+，10b -=，故0a b =+．3．方程 3)2(22=-+x x x 的所有实数根之和为 ( ★ ) A ．1 B.3 C.5 D .7 【答案】C 解：方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。

即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。

解得1x =。

经检验1x =是原方程的根。

∴ 原方程所有实数根之和为5。

4．如图，四边形ABHK 是边长为6的正方形，点C 、D 在边AB 上，且AC =DB =1，点P 是线段CD 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作正方形AMNP 和正方形BRQP ，E 、F 分别为MN 、QR 的中点，连接EF ，设EF 的中点为G ，则当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为 ( _★_ ) A.1 B. 2 C. 3 D. 6【答案】B解：设KH 中点为S ，连接PE 、ES 、SF 、PF 、PS ，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G 为PS 的中点,即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所以G 的运行轨迹为△CSD 的中位线,∵CD =AB －AC －BD =6－1－1=4，∴点G 移动的路径长为421⨯=2.5．已知,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是 ( _★_ ) A ．57-B. 75-C. 111D. 111- 【答案】D 解：由方程组解出73711x z y z=-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732s x y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，111max -=s6．()f x 是定义在R 上的函数，若0)1(=f ，且对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，)()6(x f x f -+≥6，则=)2017(f ( _★_ )A. 2015B. 2016C. 2017D. 2018 【答案】B解：∵ 对任意x R ∈，满足)()2(x f x f -+≤2，∴[][][](6)()(6)(4)(4)(2)(2)()6f x f x f x f x f x f x f x f x +-=+-+++-+++-≤,又)()6(x f x f -+≥6因此，(6)()6f x f x +-=，(6)()6f x f x +=+. ∴ (6)()6f x k f x k +=+，*k N ∈.∴ .20163366)1()33661()2017(=⨯+=⨯+=f f f二、填空题（每小题9分，共54分）7．已知实数x ，y 满足x 2+3x +y －4=0，则x +y 的最大值为．【答案】5解：由x 2+3x +y －4=0得y =－x 2－3x +4，把y 代入x +y 得：x +y =x －x 2－3x +4=－x 2－2x +4=－（x +1）2+5≤5，∴x +y 的最大值为5．8．设a =，且ab = 1，则a 2 + b 2的值为．【答案】98解：因25a ===+，及ab = 1知,625)23(23232-=-=+-=b ，故a 2 + b 2 = (a + b )2– 2ab = 100 – 2 = 98．9．若f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12(,则e d c b a +-+-的值是．【答案】2解：f ex dx cx bx ax x +++++=+23455)12( ,当x =0时，1=f ，当1-=x 时，1-=+-+-+-f e d c b a ，2-=-+-+-e d c b a2=+-+∴e d c b a -.10．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，5BFFC=．已知AB = 8，AE = 2．则AD 的长为．【答案】231+ 解：联结BE ．由BC 为直径知∠BEC = 90°．故BE == 又由Rt △BFE ∽Rt △EFC ，知225BE BF EF BE BF EC EC EF FC EC FC==⇒==⇒=由割线定理得()AE AE EC AD AB +===11．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：34+=kx y 与x轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB =30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是．【答案】6解：∵直线l ：y =kx +与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∴B （0，4），∴OB =在Rt △AOB 中，∠OAB =30°，∴OA OB =×4=12，∵⊙P 与l 相切，设切点为M ，连接PM ，则PM ⊥AB ，∴PM =12P A ，设P （x ，0），∴P A =12﹣x ，∴⊙P 的半径PM =12PA =6－12x ，∵x 为整数，PM 为整数，∴x 可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P 成为整圆的点P 个数是6．12．黑板上写有1001,,31,21,1⋅⋅⋅共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数b a ,，然后删去b a ,，并在黑板上写上数ab b a ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是．【答案】100解：1)1)(1(-++=++b a ab b a ，∵计算结果与顺序无关，∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++.13．（本小题满分20分）已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝13，a 2＋b 2＋c 2＝77，abc ＝48，求cb a 111++的值．解：因为a ＋b ＋c ＝13，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝169． ……………… 5分因为a 2＋b 2＋c 2＝77，所以ab ＋bc ＋ca ＝46． ……………… 10分又因为abc ＝48，所以2423111=++=++abc ca bc ab c b a ． ……………… 20分14．（本小题满分20分）如图，⊙O 的直径AB =2，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ．设AD =x ，BC =y ．（1）求y 关于x 的关系式；（2）求四边形ABCD 的面积S ，并证明：S ≥2.解：（1）过点D 作BC DF ⊥于F ，则DF AB // ∵AB 是直径，AM 、BN 是切线∴AB BN AB AM ⊥⊥, ∴BN AM //∴四边形ABFD 为平行四边形又∵∠ABC =90°，∴四边形ABFD 为矩形.∴2==AB FD ，x AD BF ==∵DE 、DA ，CE 、CB 都是切线 ∴根据切线长定理，得x AD DE ==，y CB CE ==在DFC Rt ∆中，x y BF BC CF y x CE DE DC DF -=-=+=+==,,2∴222)(2)(x y y x -+=+化简，得)0(1>=x xy ……………………………… 10分（2）)0(,1)(21>+=+=x xx BC AD AB S ABCD,即)0(,1>+=x xx S ……………………………… 15分 ∵2)1(21xx x x -=-+≥0当且仅当1=x 时，等号成立 ∴xx 1+≥2，即S ≥2.……………………………… 20分15．（本小题满分20分）已知,a b 为正整数，求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥. 当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4. 当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.……… 10分(下面考虑：22324M a ab b =---的值能否为1？)（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+，2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.……………… 20分。

创新杯数学试题及答案

创新杯数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是偶数？A. 2B. 4C. 6D. 7答案：D2. 一个数的平方等于36，这个数可能是？A. 6B. -6C. 6或-6D. 以上都不是答案：C3. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项的值是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A4. 以下哪个图形的面积是π？A. 半径为1的圆B. 半径为2的圆C. 半径为1的半圆D. 半径为2的半圆答案：A5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个数的立方等于-64，那么这个数是________。

答案：-47. 一个等比数列的首项是1，公比是2，那么第4项的值是________。

答案：88. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是________厘米。

答案：31.49. 一个长方体的长、宽、高分别是2、3、4，那么它的体积是________立方单位。

答案：2410. 一个三角形的内角和是________度。

答案：180三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a=1，b=-3，c=2，求解这个方程的根。

答案：x1 = 2, x2 = 112. 一个工厂生产的产品数量在第一季度是100个，第二季度是150个，第三季度是200个，求这个工厂在这三个季度的平均生产数量。

答案：15013. 一个班级有30个学生，其中20个学生喜欢数学，15个学生喜欢英语，10个学生两门都喜欢。

问这个班级有多少学生既不喜欢数学也不喜欢英语？答案：5结束语：以上是本次创新杯数学试题及答案，希望同学们通过这次练习能够更好地掌握数学知识，提高解题能力。

广西高一数学创新杯竞赛初赛试题(含参考答案及评分标准)

2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．若c b a ,,为有理数，且0323=++c b a ，则=++c b a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2012 （D ）2015答：A 。

解析：由有理数与无理数的性质可知0===c b a 时等式成立。

故选A.2．已知⎩⎨⎧=++=--02022z y x z y x ，则分式222222z y x z y x ++--＝（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2答：C 。

解析：已知,002022=⎩⎨⎧=++=--x z y x z y x 得，则分式1222222-=++--z y x z y x .故选C.3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（）（A ）（B ）（C ）（D ）答：A 。

解析：只有A 是可以的。

故选A. 4．己知a 是正数，并且：等于则224,12aa a a +=-（）（A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3 答：A 。

解析：5424,12222=+-=+=-）（则由aa a a a a 。

故选A.5．化简22312523+++得（）（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+答：D 。

解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。

故选D.6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（）（A ）5 （B ）219（C ）13 （D ）14 答：B 。

解析：由已知求得223192652()22y x x x =-++=--+。

故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089++-++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。

高一全国数学竞赛试题

高一全国数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共10分）1. 下列哪个数不是有理数？- A. π- B. √2- C. 0.33333...（无限循环小数）- D. -1/32. 如果一个函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在这个区间上f(x)的值域为[c, d]，那么下列哪个选项是正确的？- A. f(a) = c- B. f(b) = d- C. f(a) ≤ c- D. f(x)在[a, b]上存在最大值和最小值二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。

2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是____。

3. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。

三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

2. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| ≥ 5。

四、综合题（每题25分，共50分）1. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为c元，售价为p元。

工厂每月固定成本为F元，每月生产x件产品。

求工厂的月利润函数，并讨论其增减性。

2. 在平面直角坐标系中，已知点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程，并求出该直线与x轴和y轴的交点坐标。

五、附加题（10分）1. 一个数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a_1 = 1，且对于所有n > 1，有a_n = 1/2(a_{n-1} + S_{n-1})。

求证：数列{a_n}是等差数列。

结束语数学竞赛不仅是一场智力的较量，更是一次思维的锻炼。

希望同学们能够通过练习这些题目，提高自己的数学素养和解题能力。

预祝大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。

2019年高一数学竞赛初赛试题含答案

2019年数学竞赛高一初试试题一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x||x|≤2，x ∈R }，B ＝{x|x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝() A ．(0，2) B ．[0，2] C ．{0，2} D ．{0，1，2} 2．若,,,,b a R c b a >Î则下列不等式成立的是() A ．b a 11<B ．22ba >C ．1122+>+c b c a D ．cb c a >3.3.下列函数为偶函数，且在下列函数为偶函数，且在)0,(-¥上单调递减的函数是() A ．32)(xx f =B ．3)(-=x x f C ．xx f )21()(=D ．xx f ln )(=4. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是() A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β5. 等比数列{}n a 的前项和为n S ，且321,2,4aa a 依次成等差数列，且11=a , 则10S =() A ．512 B. 511 C ．1024 D ．1023 6．已知f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值为() A. 833B. 8 C ．4 D. 43 7．设变量x ，y 满足约束条件îíìy ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最大值为() A ．10 B ．8-C ．6 D ．4 8．已知0,0>>y x ，且112=+y x ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（值范围是（）A ．24-£³m m 或 B. 42-£³m m 或 C ． 24<<-m D. 42<<-m9. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BD B ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为1310. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，,)2(log )(2b x x x f +++= 则3)(>x f 的解集为（）A ．)2,(--¥ ∪ ),2(+¥ B . )4,(--¥∪ ),4(+¥ C ．)2,2(- D. )4,4(-11. 若直线45p =x 和49p =x 是函数是函数 )0)(sin(>+=w wx y j 图象的两条相邻对称轴，则j 的一个可能取值为（） A ．43p B. 4p C ．3p D. 2p12. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0³x 时，[)[)ïîïíì+¥Î--Î+=,,1,31,1,0),1(log )(21x x x x x f则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的所有零点之和为（的所有零点之和为（） A ．12-aB ．12--aC ．a --21D ．a 21-二、填空题（每题5分,共20分）分） 13. 已知),1,2(),4,1(),3,(===c b k a且,)32(c b a ^-则实数=k _________。

高一年级数学竞赛试题及答案

1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 33 35 37 39 ……………………………高一年级数学竞赛试题一、填空题1、一个四位数abcd 乘以4后得另一个四位数恰好是dcba ，则原四位数abcd 是。

2、直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为。

3、把正奇数依次排列成5列，如右图，则2001排在从左数第列。

4、钟表现在是10时整，那么在时，分秒时，分针与时针首次出现重合。

5、把数1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7这 14个数排成一排，使两个1之间夹1个数，两个2之间夹2个数，两个3之间夹3个数，………，两个7之间夹7个数，则排法为6、公园小路如图，只要把 A,B,C,D,E,F,G 七个点中的两处设为出口，可实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走。

7、用“十进制”表示数，满十进前一位；用“十四进制”表示数，满十四进前一位。

在“十四进制”中，把十四个数码依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J,Q,K ；那么十JQK 化成“十进制”数应是。

8、四快相同长方形纸板，长宽各为2和1，形状为现统一锯开得到小和小块，请你用这八块纸板拼成一个正方形：班级学号姓名成绩二、解答题：9、证明：整数被表示成两个整数平方和的充要条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和。

10、用S表示原地不动，T表示向左转，R表示向右转，L表示向后转。

集合X=｛S,T,R,L｝中的元素有一种运算“＋”表示“紧接着”的意思。

（例如T+S表示向左转紧接着向后转，当然运算结果为向右转，因而有T+L=R）。

若集合X中某元素E，满足E+E=E，则E叫单位，若某两个元素A和B满足A+B=E，则A，B叫做互为逆元。

①求集合X中的单位。

②求集合X中的每个元素的逆元。

11、有2001个小球堆在一起，二人进行轮流拿球游戏，每次可以拿一个、二个或三个球，不能多拿也不能不拿，至拿完全部小球游戏结束。

人教版数学高一2012年广西高一数学创新杯竞赛初赛试题

2012年广西高一数学竞赛初赛试卷考试时间：2012年9月16日（星期日）8：30－10：30一、选择题（每小题6分，共36分）1．若c b a ,,为有理数，且0323=++c b a ，则=++c b a （）（A ）0 （B ）1 （C ）2012 （D ）2015答：A 。

解析：由有理数与无理数的性质可知0===c b a 时等式成立。

故选A.2．已知⎩⎨⎧=++=--02022z y x z y x ，则分式222222z y x z y x ++--＝（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）2答：C 。

解析：已知,002022=⎩⎨⎧=++=--x z y x z y x 得，则分式1222222-=++--z y x z y x .故选C.3．下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？答：（）（A ）（B ）（C ）（D ）答：A 。

解析：只有A 是可以的。

故选A. 4．己知a 是正数，并且：等于则224,12aa a a +=-（）（A ）5 （B ）3 （C ）1 （D ）-3 答：A 。

解析：5424,12222=+-=+=-）（则由aa a a a a 。

故选A.5．化简22312523+++得（）（A ）1 （B ）22+ （C ）12+ （D ）122+答：D 。

解析：122)223(23)21(1252322312523+=++=+++=+++。

故选D.6．若函数c bx ax y ++=2，当1,0,2-=x 时，其函数值9,5,15-=y ，则函数y 的最大值为（）（A ）5 （B ）219（C ）13 （D ）14 答：B 。

解析：由已知求得223192652()22y x x x =-++=--+。

故选B.二、填空题（每小题9分，共54分）1．方程：675691089++-++=++-++x x x x x x x x 的解为 . 答案：x=－7。

2016年广西“创新杯”高一决赛试题答案及评分标准

2016 年广西“创新杯”数学竞赛高一决赛试卷
考试时间：2016 年 10 月 23 日(星期日) 8:30--11:00 答案及评分标准一、选择题（每小题 6 分，共 36 分, 请将答案的序号填写在第二页答题区选择题相应题号后面的括号内） 1、设函数 f ( x) = x + 3 + x − 2 + x −1 ，则 f ( x ) 的最小值是（ A. 5 解析：选 A. 由绝对值的几何意义知当 x = 1 时 f ( x ) 取到最小值. 故选 A （陈敦元老师供题） 2、设方程 x 2 − 2 x − 2 = 0 的一个较小根为 x1 ，下面对 x1 的估计正确的是( A． − 2 < x1 < −1 解析:选 B. 提示：直接求根并估计；或者设 f ( x ) = x 2 − 2 x − 2 ，并判断各区间端点的函数值符号. 3、化简 A.0 解析:选 B. 设所给式子为 f ( x ) ，则有 f (− a) = f (−b) = f (−c ) = 1 ，而 a, b, c 互不相等，于是方程 f ( x ) − 1 = 0 有三个不等根. 但 f ( x ) 是关于 x 的二次多项式，所以（命题组供题） ( x + b)( x + c ) ( x + c)( x + a) ( x + a)( x + b) + + 得( ( a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) B. 1 C.2 D. 3 ) ． B． − 1 < x1 < 0 C． 0 < x1 < 1 D． 1 < x1 < 2 ). B. 4 C. 3 D. 2 ）.

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。

解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。

根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。

我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。

由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。

通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。

我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。

接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。

则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。

根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。

比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。

综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。

2019年广西创新杯高一数学竞赛初赛试题参考答案及评分标准

广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试卷参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．方程224+=x x 的实数解为（）（A ）－1或2 （B ）1 （C ）2 （D ）2±答：D 。

解析：由已知得0)1)(2(,022224=+-=--x x x x 22=x 或12-=x (舍去)，故有2±=x 。

2．若实数满足y y x 44|1|2=+++，则y x +的值为（）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2答：C 。

解析：由y y x 44|1|2=+++得0)2(|1|2=-++y x ，于是有02,01=-=+y x ，所以1=+y x 。

3．设梯形的中位线的长为l ，两对角线的长分别为y x ,，则（）（A ）2y x l +< （B ）2y x l += （C ）2y x l +> （D ）以上答案均有可能答：A 。

解析：提示过梯形的一顶点作对角线的平行线。

4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x 的解为（）（A ）⎩⎨⎧==91y x （B ）⎩⎨⎧==82y x （C ）⎩⎨⎧==64y x （D ）⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x 答：D 。

解析：原方程变形为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x xy y x ，⎩⎨⎧=+=1016y x xy 解得⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x . 5．方程0)7()1(82=-+--m x m x 恰有一个正根和一个负根，则m 的取值范围是（）（A ）7<m （B ）9≤m （C ）7>m （D ）25≥m答：A 。

解析：由已知得2(1)48(7)0m m ∆=--⨯->，即2342250m m -+> 得9m <或25m >，由08721<-=m x x ，得7<m ，故有7<m 为所求。

高一数学创新试题及答案

高一数学创新试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+5，下列哪个选项是f(x)的最小值？A. 1B. 3C. 4D. 5答案：B解析：函数f(x)=x^2-4x+5是一个开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处。

顶点的x坐标为-b/2a=4/2=2，将x=2代入函数得到f(2)=2^2-4*2+5=1。

因此，最小值为1，选项B正确。

2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。

A. 21B. 23C. 25D. 27答案：C解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

将n=10，a1=3，d=2代入公式得到a10=3+(10-1)*2=3+18=21。

因此，第10项的值为21，选项A正确。

3. 已知函数f(x)=x/(x+1)，求f(1)+f(2)+f(3)的值。

A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：将x=1,2,3分别代入函数f(x)=x/(x+1)得到f(1)=1/2，f(2)=2/3，f(3)=3/4。

将这三个值相加得到1/2+2/3+3/4=6/4+8/12+9/12=(18+16+12)/12=46/12=23/6。

因此，f(1)+f(2)+f(3)的值为23/6，选项B正确。

4. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，求圆心坐标和半径。

A. 圆心(2,3)，半径3B. 圆心(2,3)，半径4C. 圆心(-2,-3)，半径3D. 圆心(-2,-3)，半径4答案：A解析：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

将给定的圆的方程与标准方程比较，可以得到圆心坐标为(2,3)，半径为3。

因此，选项A正确。

二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求导数f'(x)。

答案：f'(x)=3x^2-6x解析：根据导数的定义，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2，其导数f'(x)可以通过求每一项的导数得到。

2013年广西高一数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

2013年广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知实数c b a ,,两两不等，若a c zc b y b a x −=−=−，则实数=++z y x （）. （A）－1 （B）0 （C）21（D）3答：B . 解析：设k ac z c b y b a x =−=−=−，则有)(),(),(a c k z c b k y b a k x −=−=−=，于是有0=++z y x .2．化简232532233232−−−−−=（）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 答：A . 解析：分母有理化得：)232(10563)3223()23(2232532233232=+−×+−+=−−−−−3．已知集合},36|{Z x N xx A ∈∈−=，则集合A 中的元素个数为（）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答：D. 解析：}2,1,0,3{},36|{−=∈∈−=Z x N xx A . 4．从1，2，…7中选择若干个数，使得其中偶数之和等于奇数之和.则符合条件的取法有（）种.(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 答：B. 解析：注意到，2+4+6=12，故所取出的数之和不大于24. 又12=2+4+6=5+7，10=4+6=3+7，8=2+6=1+7=3+5，6=6=2+4=1+5，4=4=1+3，故有7种取法.5．若0,2<+∈a a R a ，那么22,,,a a a a −−的大小关系为（）.（A）a a a a −>−>>22 （B）a a a a >−>>−22 （C）22a a a a −>>>− （D）22a a a a −>>−> 答：B . 解析：由010)1(2<<−⇒<+=+a a a a a ，即2a a >−，又a a >−2，得B.6．观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20137的末两位数字为（）. （A）01 （B）43 （C）07 （D）49答案：C.解析：x x f 7)(=，",16807)5(,2401)4(,343)3(,49)2(,7)1(=====f f f f f ，07)2013("=f 。

2019年广西创新杯高一数学竞赛初赛试题参考答案及评分标准

广西“创新杯”数学竞赛高一初赛试卷参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1．方程224+=x x 的实数解为（）（A ）－1或2 （B ）1 （C ）2 （D ）2±答：D 。

解析：由已知得0)1)(2(,022224=+-=--x x x x 22=x 或12-=x (舍去)，故有2±=x 。

2．若实数满足y y x 44|1|2=+++，则y x +的值为（）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2答：C 。

解析：由y y x 44|1|2=+++得0)2(|1|2=-++y x ，于是有02,01=-=+y x ，所以1=+y x 。

3．设梯形的中位线的长为l ，两对角线的长分别为y x ,，则（）（A ）2y x l +< （B ）2y x l += （C ）2y x l +> （D ）以上答案均有可能答：A 。

解析：提示过梯形的一顶点作对角线的平行线。

4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x 的解为（）（A ）⎩⎨⎧==91y x （B ）⎩⎨⎧==82y x （C ）⎩⎨⎧==64y x （D ）⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x 答：D 。

解析：原方程变形为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x xy y x ，⎩⎨⎧=+=1016y x xy 解得⎩⎨⎧==82y x 或⎩⎨⎧==28y x . 5．方程0)7()1(82=-+--m x m x 恰有一个正根和一个负根，则m 的取值范围是（）（A ）7<m （B ）9≤m （C ）7>m （D ）25≥m答：A 。

解析：由已知得2(1)48(7)0m m ∆=--⨯->，即2342250m m -+> 得9m <或25m >，由08721<-=m x x ，得7<m ，故有7<m 为所求。

2015年广西“创新杯”高一初赛试题试卷及评分标准

解析:选 B.原方程变为 ( x a )( x 8) 1，
解得 x=9 或 7，a＝8。（赵继源老师供题）
x a 1 x a 1 或， x 8 1 x 8 1
4、已知集合 M 0,1, 2,3, 4 , N 1,3,5 , P M N , 则 P 的子集共有（）个
A D B
2
C E F
②在 Rt△AED 和 Rt△DFB 中， ∴Rt△AED∽Rt△DFB ∴
AE DE ，即 DE·DF＝AE·BF DF BF
∵CD＝ 2 DE＝ 2 DF，
∴ CD 2 2 DE 2 DF 2 DE DF 2 AE BF .（赵继源老师供题）
15、设实数 x, y 满足 2 x 2 6 x y 2 0 ，求 x 2 y 2 2 x 的最大值。
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a 0, a 5, 0r , a 10
当 a 0 时，即小贝不从甲店买，全从乙店买，此时他将花掉 13 0.85 11.05 元；当 a 5 时，即小贝从甲店花 5 块钱得到 6 只笔，再从乙店中买 7 只笔就可以了，他将花掉 1 5 7 1 0.85 10.95 元当 a 10 时，即小贝从甲店花 10 块钱得到 12 只笔，再从乙店中买 1 只笔就可以了，他将花掉 110 1 11 综上，显然选 D
解：由已知得 y 2 x 6 x 0 ，解得 0 x 3 ，原式= x ( 2 x 6 x) 2 x
2 2 2 2
( x 4) 2 16 ，当 x 3 时，原式有最大值为 15。
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3 2
A

首届“创新杯”全国中学数学知识竞赛高一试题

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