解三角形高考真题

1（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =

37

a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.

2．（2017全国卷1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2

3sin a A

（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.

3.（2017天津高考题文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知

sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.

（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.

1，解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，3

7c a =，

所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a =

==

. （Ⅱ）因为7a =，所以3

737

c =⨯=.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221

73232

b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）.

所以△ABC

的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=2.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a

c B A

=.

由正弦定理得

1sin sin sin 23sin A C B A =

.故2

sin sin 3

B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1

cos()2

B C +=-.

所以2π3B C +=，故π

3

A =.由题设得21sin 23sin a bc A A =，即8bc =.

由余弦定理得22

9b c bc +-=，即2()39b c bc +-=

，得b c +=.

故ABC △

的周长为33（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及

sin sin a b

A B

=

，得2a b =.

由222

)ac a b c =--

，及余弦定理，得222

5cos 2ac

b c a

A bc

ac -

+-=

=

=（Ⅱ）解：由（Ⅰ），

可得sin 5A =

，代入sin 4sin a A b B =，

得sin sin 45

a A B

b ==由（Ⅰ）知，A

为钝角，所以cos 5B ==

.于是4

sin 22sin cos 5

B B B ==， 23

cos 212sin 5

B B =-=，故

43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555

B A B A B A -=-=⨯--⨯=-.

1、（2015全国1卷17题）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2

n n a a +=错误!未找到

引用源。.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1

1

n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和.

2、（2016全国2卷17题）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．

（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．

7、（2016全国3卷17题）已知数列

{}

n a 错误!未找到引用源。的前n 项和

1n n

S a λ=+错

误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。其中0λ≠．

（I ）证明

{}

n a 错误!未找到引用源。是等比数列，并求其通项公式； （II ）若

531

32S =

错误!

未找到引用源。 ，求λ．

1，（Ⅰ）当1n =时，2

11112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，

当

2

n ≥时，

22

11

n n n n a a a a --+--=

14343

n n S S -+--=

4n

a ，即

111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，

所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =

1111

()(21)(23)22123

n n n n =-++++，

所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111

[()()(

)]23557

2123

n n -+-+

+-++ =

11

646

n -

+. 2【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==， ∴44a =，∴41

13

a a d -=

=，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+． 当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；

当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．

∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．

由01≠a ，0≠λ得0

≠n a ，所以

1

1-=+λλ

n n a a .

因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是

1

)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(

1--=λλ

，由32315=S 得3231

)1(15=--λλ，即=

-5)1(λλ321， 解得1λ=-．