解三角形高考真题

1（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =
37
a . （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.
2．（2017全国卷1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长.
3.（2017天津高考题文科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知
sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--.
（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.
1，解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，3
7c a =，
所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a =
==
. （Ⅱ）因为7a =，所以3
737
c =⨯=.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2221
73232
b b =+-⨯⨯， 解得8b =或5b =-（舍）.
所以△ABC
的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=2.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin a
c B A
=.
由正弦定理得
1sin sin sin 23sin A C B A =
.故2
sin sin 3
B C =. （2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即1
cos()2
B C +=-.
所以2π3B C +=，故π
3
A =.由题设得21sin 23sin a bc A A =，即8bc =.
由余弦定理得22
9b c bc +-=，即2()39b c bc +-=
，得b c +=.
故ABC △
的周长为33（Ⅰ）解：由sin 4sin a A b B =，及
sin sin a b
A B
=
，得2a b =.
由222
)ac a b c =--
，及余弦定理，得222
5cos 2ac
b c a
A bc
ac -
+-=
=
=（Ⅱ）解：由（Ⅰ），
可得sin 5A =
，代入sin 4sin a A b B =，
得sin sin 45
a A B
b ==由（Ⅰ）知，A
为钝角，所以cos 5B ==
.于是4
sin 22sin cos 5
B B B ==， 23
cos 212sin 5
B B =-=，故
43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55555
B A B A B A -=-=⨯--⨯=-.
1、（2015全国1卷17题）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=错误!未找到
引用源。

.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和.
2、（2016全国2卷17题）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．
（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．
7、（2016全国3卷17题）已知数列
{}
n a 错误!未找到引用源。

的前n 项和
1n n
S a λ=+错
误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

其中0λ≠．
（I ）证明
{}
n a 错误!未找到引用源。

是等比数列，并求其通项公式； （II ）若
531
32S =
错误!
未找到引用源。

，求λ．
1，（Ⅰ）当1n =时，2
11112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，
当
2
n ≥时，
22
11
n n n n a a a a --+--=
14343
n n S S -+--=
4n
a ，即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，
所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++，
所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111
[()()(
)]23557
2123
n n -+-+
+-++ =
11
646
n -
+. 2【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==， ∴44a =，∴41
13
a a d -=
=，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+． 当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；
当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =．
∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．
由01≠a ，0≠λ得0
≠n a ，所以
1
1-=+λλ
n n a a .
因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是
1
)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(
1--=λλ
，由32315=S 得3231
)1(15=--λλ，即=
-5)1(λλ321， 解得1λ=-．。