第9章 压杆稳定《材料力学》教学课件

考虑压杆左端的铰支边界条件x=0时，w=0，有
B=0
再考虑压杆右端的铰支边界条件x=l时，w=0，有
Asin kl=0
(9-4)
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
上述推导过程中采用了挠曲线近似微分方程， 压杆中点的挠度A很小，而且不确定。当弯曲变形较 大时，应采用精确的挠曲线微分方程式(6-2)计算压 杆的挠曲线。图9-5中曲线AC给出了中点挠度w和压 力 F 关系的精确理论解。挠度越趋于零，近似解和 精确解的差别越小。由于挠曲线微分方程仅适用于 线弹性变形，所以式(9-7)要求压杆内的应力不能超 过材料的比例极限σp。
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
某两端球形铰支的细长压杆如图9-6(a)所示。该压杆
为等直压杆，材料均匀，承受轴向压力 F 的作用。当轴向
压力达到临界值Fcr时，压杆可以在任意微小的弯曲位置保
持平衡状态。建立图9-6所示的坐标系，设在压力 F 作用
下压杆微弯时任意截面的挠度为w，弯矩为M
M=Fw。考虑到图9-6(b)中弯矩的方向，采用挠曲线近似
9.1 稳定性的概念
9.2 9.3
两端铰支细长压杆的 临界压力
其他支座条件下细长 压杆的临界压力
9.4 临界压力
9.5 压杆稳定性的校核
9.6 提高压杆稳定性的措施
9.1 稳定性的概念
前面研究物体或结构的平衡问题时，只是要求满足平衡方 程，而并没有考虑该平衡状态在外界的干扰下是否能够维持。 如果外界的微小干扰不能打破该平衡状态，称之为稳定平衡； 反之则称之为不稳定平衡。比如在光滑面上放一个小球，小球 在重力和支持力作用下平衡，如图9-1所示。
微分方程，得 即
w M Fw EI EI
w F w 0 EI
（9-1）
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
图9-5
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
k 2 F ，式（9-1）可写为
EI
w″+k2w=0
(9-2)
此二阶常微分方程的通解为
w=Asin kx+Bcos kx
(9-3)
式中，A、B为积分常数，可通过压杆的位移边界条件确定。
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
压杆的临界载荷不但与压杆本身的材料和尺寸有关，而且与支
座条件关系很大。其
他支座条件下细长压杆的临界压力可通过类似的方法推导。也
可以应用 变形比较 的方法得到某种支座条件下压杆的临界压力。
如图9-8(a)所示，一端固定另一端自由的细长压杆AB。在轴向压力
作用下处于微弯平衡状态，由于其挠曲线微分方程及其通解与两端
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第9章 压杆稳定
图9-4
9.1 稳定性的概念
需要指出的是，本章研究的压杆是轴 线为直线、材料均匀的理想压杆，承受的载 荷在轴线上。而实际的压杆由于制造的缺陷， 轴线往往存在初曲率，材料也不均匀，压力 作用线也不可能与轴线完全重合，所以工程 上的受压杆件的临界压力略低于理论结果。
9.1 稳定性的概念
图中给出了压杆横向最大挠 度w和轴向压力F之间的关系。可 以看出，当实际压力较小时，杆 件已经开始弯曲变形（曲线OF）； 当压力接近临界值时，弯曲挠度 增加很快。当杆件制作得越精确， 压力越对中，则试验曲线就越接 近于理论结果。
材料力学
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பைடு நூலகம் 9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
【例9-1】
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
解： 挺杆横截面的惯性矩为
I(D 2 d2 ） =(1 2 4 1 0 4)5 2 7 m m 4
6 4
6 4
挺杆上端并未完全固定，可以看成两端铰支的细长压
杆，根据式(9-7)计算挺杆的临界压力为
F c r 2 lE 2 I 2 2 1 0 3 8 3 1 2 0 3 5 2 7 7 4 4 6 N = 7 .4 4 6 k N
图9-1
9.1 稳定性的概念
下面是一个弹性杆受轴向压缩的问题。取一根长为300 mm，横截面尺寸为20 mm×1 mm的钢板尺，许用应力［σ］ =196MPa F=3.92 kN 。实际上，两端压力不到40 N钢板尺就被明显压 弯。显然，钢板尺在远未达到强度极限时，就已经不能承受轴 向压力，即不能维持原有平衡状态，此时弹性杆失去了稳定性， 简称 失稳 或 屈曲 。当压力较小时，不发生失稳是稳定平衡 状态；当压力大于某一临界值时发生失稳，此临界值就是弹性 压杆的 临界压力 。确定压杆的临界压力是解决压杆稳定性问 题的首要任务。
铰支细长压杆相同，所以挠曲线形状也一样。如果把其挠曲线对称
9.1 稳定性的概念
圆柱形薄壳在轴向压力或扭矩作用下， 会突然出现局部折皱；简支平板四边受压发 生屈曲，产生横向位移等。失稳后构件的承 载能力会突然下降，甚至完全丧失。由于构 件的失稳具有突然性，造成结构的破坏也是 十分严重的，有时会发生灾难性事故。因此， 研究构件的弹性稳定性是特别必要的。
9.1 稳定性的概念
9.1 稳定性的概念
弹性构件还存在其他形式的稳定性问题。例如，均匀外压作用下的 球形薄壳在外压达到临界值时，会突然发生局部内凹，如图 (a)中虚线所 示；均匀外压作用下的圆柱形薄壳在达到临界压力时，局部截面会突然 变成扁圆，如图 (b)中虚线所示；板条悬臂梁在端部集中载荷作用下发生 弯曲变形，当载荷达到临界值时，会突然发生侧向偏转，如图 (c)所示；