第9章 压杆稳定《材料力学》教学课件
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《材料力学压杆稳定》课件
05
压杆稳定性设计原则与实例
压杆稳定性设计原则
压杆稳定性是指压杆在受到外力作用 时，能够保持其原有平衡状态的能力 。
压杆稳定性设计原则是确保压杆在使 用过程中能够承受外力作用，避免发 生失稳和破坏的关键。
设计压杆时，应遵循以下原则：选择 合适的材料、确定合理的截面尺寸、 优化压杆长度和形状、避免过大的偏 心载荷等。
本课程介绍了多种稳定性分析方法，包括欧拉公式法、经验公式法、能量法等。通过这些 方法的学习和应用，我们能够根据不同情况选择合适的分析方法，对杆件进行准确的稳定 性评估。
实际应用与案例分析
本课程结合实际工程案例，对压杆稳定问题进行了深入的探讨和分析。通过这些案例的学 习，我们了解了压杆稳定问题在实际工程中的重要性和应用价值，提高了解决实际问题的 能力。
不同截面形状的压杆，其临界载荷和失稳形态 存在差异。
支撑条件
支撑刚度、支撑方式等对压杆的稳定性有重要 影响。
提高压杆稳定性的措施
选择合适的材料
选择具有高弹性模量和合适泊松 比的材料，以提高压杆的稳定性
。
优化截面形状与尺寸
通过改变截面形状或增加壁厚等 方法，提高压杆的稳定性。
改善支撑条件
采用具有足够刚度的支撑，并合 理布置支撑位置，以提高压杆的
的比率。
03
压杆稳定性的定义与分类
压杆稳定性的定义
压杆稳定性是指压杆在受到轴向 压力时，保持其平衡状态而不发
生弯曲或屈曲变形的能力。
压杆稳定性问题主要关注的是压 杆在轴向压力作用下，是否能够 保持直线形状而不发生弯曲变形
。
压杆的稳定性取决于其自身的力 学特性和外部作用力的大小和分
布。
压杆稳定性的分类
材料力学压杆稳定
D 0, C 1 l 2
3
x 0, w
1 Fa l 2
3 EIl
3EI Fcr al
§14.7 纵横弯曲旳概念
❖9.15
作业9－2
在图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆， 且截面相同，材料一样。若因在ABC平面内失稳而 破坏，并要求0<</2，试拟定F为最大值时旳角。
Fcr
2 EI ( l )2
截 面
F
F
材
料
相
同 ，
1.5l
2l
拟
定
失
稳
顺 l 3l
2l
序 。
(1)
(4)
F
F
F
4l
5l
3l
2.8l
2.5l
1.5l
(2)
(3)
(5)
Fcr
2 EI ( l )2
图示托架中AB杆旳直径
d=30mm,长度l=800mm，
两端可视为铰支，材料为
F
A3钢，s=240MPa。试求
第九章 压杆稳定
§9.1 压杆稳定旳概念 §9.2 两端铰支细长压杆旳临界压力 §9.3 其他支座条件下细长压杆旳临界压力 §9.4 欧拉公式旳合用范围 经验公式 §9.5 压杆旳稳定校核 §9.6 提升压杆稳定性旳措施 §9.7 纵横弯曲旳概念
§9.1 压杆稳定旳概念
1. 平衡旳稳定性
a）稳定平衡
B = 0 sinkl=0 kl = n k = n/l
F
k 2 EI
n
2
EI
l
Fcr
2 EI l2
w
A
sin
x
l
§9.3 其他支座条件下细长压杆 旳临界压力
《材料力学压杆稳定》PPT课件
当 s 时，就发生强度失效，而不是失稳。
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
所以应有: 4 压杆分类
cr
P A
s
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公
式。可根据柔度将压杆分为三类
(1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆
p 的压杆 s p 的压杆 29
4 压杆分类
不同柔度的压杆，需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
22
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
则临界应力为
cr
2E 2
2 欧拉公式的适用范围
欧拉公式
2
§9. 1 压杆稳定的概念
前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。 本章讨论受压杆件的稳定性问题。
稳定性问题的例子
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳3
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
其中，A为杆中点的挠度。 l
A的数值不确定。
欧拉公式与精确解曲线
精确解曲线
P 1.152Pcr时，
0.3l
理想受压直杆 非理想受压直杆
11
§9. 3 不同杆端约束下细长压杆的临界力的 欧拉公式.压杆的长度因数
1. 一端固支一端自由的压杆
由两端铰支压杆的临界
压力公式
Pcr
材料力学课件 第九章 压杆稳定
对于脆性材料，将s改为b 。
2 1 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验
公式。它的破坏既有强度又有稳定性。
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算 压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。推导欧拉公式时 所用的挠曲线近似微分方程是以材料服从虎克定律为 基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。
σcr
或 令
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
关键
确定压杆的临界力 Fcr
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
失稳（屈曲）：压杆丧失直线状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 临界压力：压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的压力临界值。
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
π 2 EI Fcr ( l )2
——长度因数，代表支持方式对临界载荷的影响。 l——相当长度，压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长
度。
l物理意义是各种支承条件下，细长压杆失稳
时，相当的两端铰支细长压杆的长度，也就是挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
2 EI Fcr 2 l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆
临界力的计算公式（欧拉公式）。
2 1 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验
公式。它的破坏既有强度又有稳定性。
四、压杆的分类及临界应力总图(Classification of
Columns and the Diagram of critical stress cr versus slenderness ratio )
(Applicable range for Euler’s formula)
只有在 cr ≤ p 的范围内，才可以用欧拉公式计算 压杆的临界压力 Fcr（临界应力 cr ）。推导欧拉公式时 所用的挠曲线近似微分方程是以材料服从虎克定律为 基础导得的，所以欧拉公式仅适用于线弹性范围。
σcr
或 令
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
临界状态 稳 定 平 衡 对应的
过 度
关键
确定压杆的临界力 Fcr
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力: Fcr
失稳（屈曲）：压杆丧失直线状态的平衡，过渡 到曲线状态的平衡。 临界压力：压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡 的压力临界值。
欧拉公式 的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)
π 2 EI Fcr ( l )2
——长度因数，代表支持方式对临界载荷的影响。 l——相当长度，压杆失稳时挠曲线上两拐点间的长
度。
l物理意义是各种支承条件下，细长压杆失稳
时，相当的两端铰支细长压杆的长度，也就是挠曲线 中相当于半波正弦曲线的一段长度。
2 EI Fcr 2 l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆
临界力的计算公式（欧拉公式）。
材料力学：压杆稳定
坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三 丰百货大楼，由于盲目扩建、加层， 致使大楼四五层立柱不堪重负而产 生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章 压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中 心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳， 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章 压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr
2E 2
p
2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl
l
coskl
0
2020年2月3日星期一
19
第九章 压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
9
第九章 压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年 加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失 稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。
第9章 压杆稳定 课件
第9 章 压杆稳定
物体平衡的稳定性
随遇平衡 不稳定平衡
稳定平衡
第9 章 压杆稳定
压杆稳定性的几个概念
? 稳定失效：指构件在某种外力 （例如轴向压力）作用下，其 平衡形式发生突然转变。
? 稳定平衡状态 ：当承受的载荷 小于 某一确定值 Fcr 时，压杆保持直线 平衡状态。此时给杆加一 横向干扰 力，杆便发生微小弯曲，干扰力去 掉后，杆件将在平衡位置附近摆动， 最终恢复到原来的直线平衡位置。 这说明压杆原来的平衡状态是稳定 的。
对于细长杆件 ，受压 开始时轴线为直线，接着 被压弯，发生大的弯曲变 形，最后折断。
例：如图所示发动机 配气机构中的 挺杆，在推 动摇臂打开气阀时，受到 压力作用。
摇臂
气阀
挺杆
第9 章 压杆稳定
内燃机的 连杆
撑杆跳运动员用的 杆
第9 章 压杆稳定
勃兰登堡门 （BRANDENBURGER TOR ）： 它建于 1788年~1791年，一直是德国统一的象征。
第9 章 压杆稳定
失稳曲线
w ? A sin n? x
l
n=1
n=2
n=3
l
第9 章 压杆稳定
附：求二阶常系数齐次微分方程 y ??? p y ?? 的q 通? 解0
特征方程为 r 2 ? pr ? q ? 0 ① 两个不相等的实 根r1，r2 通解
y ? C1e r1x ? C2e r2x ② 两个相等的实根 r1＝r2 通解
EI
d2y dx2
?
k
2y
?
0
第9 章 压杆稳定
x
Pcr
通解为：
d2y dx2
?
k
2y
材料力学上册第九章压杆稳定
一、工程实例
压力机的压杆
Mechanics of Materials
网架结构中的杆
桥墩
Mechanics of Materials
铁塔中的杆
Mechanics of Materials
Mechanics of Materials
航 天 飞 机 发 射 架 中 的 杆 件
Mechanics of Materials
第九章 压杆稳定
§9-1 压杆稳定性的概念 §9-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉
公式·压杆的长度因数 §9-4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图 §9-5(9-6)压杆的稳定计算·压杆的合理截面
§9-1 压杆稳定的概念
Mechanics of Materials
压杆可能在低应力情况下发生弯曲 —失稳破坏
Mechanics of Materials
鱼洞长江大桥边 跨现浇支架失稳
Mechanics of Materials
稳定计算的重要性
Mechanics of Materials
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
材料力学压杆稳定PPT课件
6
工程背景 (Engineering background)
crane truck
7
问题的提出
p pcr
p pcr
p pcr
求载荷pcr是稳定问题的实质!!! 对象—压杆
方法—静力学方法
基本问题—
求pcr； 讨论支承对临界力的影响；
8
压杆稳定条件
2 细长压杆的欧拉临界压力
横向干扰力产生初始变形, P
1983年10月4日，北京的一幢正在施工的高层建筑 的高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈 曲坍塌，5人死亡、7人受伤 。
1907年北美魁北克圣劳伦斯河上大铁桥施工中,珩架下 弦受压杆屈曲,就如少一杆,成变形体而坍塌.
1925年苏联莫兹尔桥试运行时，因压杆失稳而破坏。
1940年美国塔科马桥,一场大风,因侧向压杆失稳而破 坏。
解：压杆在xoy平面内，
z
l
iz
1210012.21 17 .32
压杆在xoz平面内，
y
l1
iz
1200086 .6 11 .55
1
2E p
2205109
200106
101
maxmax{y,z}121.21
18
iz
b 23
17 .32 mm
iy
a 23
1ห้องสมุดไป่ตู้ .55 mm
所以，压杆为细长杆。
Pcr2E2 A33.06kN
3
液压缸顶杆
hydraulic pressure post rod
4
Scaffold frame
脚手架中的压杆
工程背景 (Engineering background)
材料力学教学课件压杆稳定
机械设备的压杆稳定性分析
总结词
机械设备的压杆稳定性分析对于保证设 备正常运转和操作人员的安全至关重要 。
VS
详细描述
在机械设备中，如压力机、压缩机等，压 杆常常作为传递力的部件。为了防止压杆 在工作中发生失稳，需要进行稳定性分析 。这需要考虑压杆的材料性质、截面形状 、工作载荷以及支撑条件等因素。对于长 细比较大的压杆，还需特别考虑其柔性对 稳定性的影响。
计算方法
基于弹性理论，采用挠曲 线方程和欧拉公式进行计 算。
长细比较大的压杆
定义
长细比较大的压杆是指杆件长度 与其横截面尺寸之比很大的杆件
。
特点
在压力作用下，这类杆件容易发生 失稳，即弯曲变形达到一定程度后 ，杆件会突然发生屈曲。
计算方法
基于稳定性理论，采用折减系数法 或能量法进行计算。
临界力的计算
03
压杆稳定性的校核
稳定性校核的方法
静力法
通过比较临界力和实际外力的关系，判断压杆是 否失稳。
动力法
通过分析压杆的振动特性，判断其是否具有不稳 定振动。
能量法
利用能量守恒原理，计算压杆的临界载荷。
稳定性校核的步骤
01
02
03
04
1. 确定压杆的长度、直径、 材料等参数。
2. 计算临界载荷。
3. 比较临界载荷与实际载荷 ，判断是否满足稳定性要求。
压缩失稳
当压杆受到的横向约束不 足时，会发生压缩失稳， 表现为整体弯曲或局部屈 曲。
扭转失稳
当压杆受到的扭矩超过其 临界值时，会发生扭转失 稳，导致结构变形和破坏 。
压杆稳定的基本理论
欧拉公式
欧拉公式是压杆稳定理论的基础，它 给出了理想直杆在轴向压力作用下的 临界压力值。
材料力学压杆稳定PPT
面（xz平面）内两端为弹性固定，长度因数μy=0.8。试求此
压杆的临界应力；又问b与h的比值等于多少才是合理的。
b
解： 1）求临界应力
y
h
z
y
x
在xy平面内： z
iz
Iz
bh3 /12
A
bh
h 60 1.73m 2 m 12 12
z
zl
iz
1200011.55 17.32
在xz平面内：
iy
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
=69 kN
[FN BC]120kN FNBC4.5q≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度因数
π2EI
Fcr ( l )2
μ称为长度因数。
约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱， μ系数越大， 临界力Fcr越低， 稳定性越差。
2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低， 稳定
性越差。
cr
π2E
2
p
p
π2E π E
p
p
λp仅与材料有关。
对于Q235钢λp＝100。 可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
p
越是细柔的压杆， 柔度λ越大， 越可以使用欧拉
压杆的临界应力；又问b与h的比值等于多少才是合理的。
b
解： 1）求临界应力
y
h
z
y
x
在xy平面内： z
iz
Iz
bh3 /12
A
bh
h 60 1.73m 2 m 12 12
z
zl
iz
1200011.55 17.32
在xz平面内：
iy
压杆失稳的现象：
1. 轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态； 2. 轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯
一的平衡状态；
稳定： 理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的） （Stable） 直线平衡状态；
失稳： 理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直 （Unstable） 线平衡状态；
临界力
（Critical force）
=69 kN
[FN BC]120kN FNBC4.5q≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
§9-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度因数
π2EI
Fcr ( l )2
μ称为长度因数。
约束越强，μ系数越小， 临界力Fcr越高，稳定性越好；
约束越弱， μ系数越大， 临界力Fcr越低， 稳定性越差。
2) 柔度越大， 压杆越细柔，临界应力Fcr越低， 稳定
性越差。
cr
π2E
2
p
p
π2E π E
p
p
λp仅与材料有关。
对于Q235钢λp＝100。 可以使用欧拉公式计算压杆的临界力的条件是：
p
越是细柔的压杆， 柔度λ越大， 越可以使用欧拉
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微分方程，得 即
w M Fw EI EI
w F w 0 EI
（9-1）
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
图9-5
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
k 2 F ，式（9-1）可写为
EI
w″+k2w=0
(9-2)
此二阶常微分方程的通解为
w=Asin kx+Bcos kx
(9-3)
式中，A、B为积分常数，可通过压杆的位移边界条件确定。
图9-1
9.1 稳定性的概念
下面是一个弹性杆受轴向压缩的问题。取一根长为300 mm，横截面尺寸为20 mm×1 mm的钢板尺，许用应力［σ］ =196MPa F=3.92 kN 。实际上，两端压力不到40 N钢板尺就被明显压 弯。显然，钢板尺在远未达到强度极限时，就已经不能承受轴 向压力，即不能维持原有平衡状态，此时弹性杆失去了稳定性， 简称 失稳 或 屈曲 。当压力较小时，不发生失稳是稳定平衡 状态；当压力大于某一临界值时发生失稳，此临界值就是弹性 压杆的 临界压力 。确定压杆的临界压力是解决压杆稳定性问 题的首要任务。
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
【例9-1】
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
解： 挺杆横截面的惯性矩为
I(D 2 d2 ） =(1 2 4 1 0 4)5 2 7 m m 4
6 4
6 4
挺杆上端并未完全固定，可以看成两端铰支的细长压
杆，根据式(9-7)计算挺杆的临界压力为
F c r 2 lE 2 I 2 2 1 0 3 8 3 1 2 0 3 5 2 7 7 4 4 6 N = 7 .4 4 6 k N
9.1 稳定性的概念
圆柱形薄壳在轴向压力或扭矩作用下， 会突然出现局部折皱；简支平板四边受压发 生屈曲，产生横向位移等。失稳后构件的承 载能力会突然下降，甚至完全丧失。由于构 件的失稳具有突然性，造成结构的破坏也是 十分严重的，有时会发生灾难性事故。因此， 研究构件的弹性稳定性是特别必要的。
9.1 稳定性的概念
9.1 稳定性的概念
弹性构件还存在其他形式的稳定性问题。例如，均匀外压作用下的 球形薄壳在外压达到临界值时，会突然发生局部内凹，如图 (a)中虚线所 示；均匀外压作用下的圆柱形薄壳在达到临界压力时，局部截面会突然 变成扁圆，如图 (b)中虚线所示；板条悬臂梁在端部集中载荷作用下发生 弯曲变形，当载荷达到临界值时，会突然发生侧向偏转，如图 (c)所示；
9.1 稳定性的力
其他支座条件下细长 压杆的临界压力
9.4 临界压力
9.5 压杆稳定性的校核
9.6 提高压杆稳定性的措施
9.1 稳定性的概念
前面研究物体或结构的平衡问题时，只是要求满足平衡方 程，而并没有考虑该平衡状态在外界的干扰下是否能够维持。 如果外界的微小干扰不能打破该平衡状态，称之为稳定平衡； 反之则称之为不稳定平衡。比如在光滑面上放一个小球，小球 在重力和支持力作用下平衡，如图9-1所示。
材料力学
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图9-4
9.1 稳定性的概念
需要指出的是，本章研究的压杆是轴 线为直线、材料均匀的理想压杆，承受的载 荷在轴线上。而实际的压杆由于制造的缺陷， 轴线往往存在初曲率，材料也不均匀，压力 作用线也不可能与轴线完全重合，所以工程 上的受压杆件的临界压力略低于理论结果。
9.1 稳定性的概念
图中给出了压杆横向最大挠 度w和轴向压力F之间的关系。可 以看出，当实际压力较小时，杆 件已经开始弯曲变形（曲线OF）； 当压力接近临界值时，弯曲挠度 增加很快。当杆件制作得越精确， 压力越对中，则试验曲线就越接 近于理论结果。
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第9章 压杆稳定
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
某两端球形铰支的细长压杆如图9-6(a)所示。该压杆
为等直压杆，材料均匀，承受轴向压力 F 的作用。当轴向
压力达到临界值Fcr时，压杆可以在任意微小的弯曲位置保
持平衡状态。建立图9-6所示的坐标系，设在压力 F 作用
下压杆微弯时任意截面的挠度为w，弯矩为M
M=Fw。考虑到图9-6(b)中弯矩的方向，采用挠曲线近似
铰支细长压杆相同，所以挠曲线形状也一样。如果把其挠曲线对称
考虑压杆左端的铰支边界条件x=0时，w=0，有
B=0
再考虑压杆右端的铰支边界条件x=l时，w=0，有
Asin kl=0
(9-4)
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
上述推导过程中采用了挠曲线近似微分方程， 压杆中点的挠度A很小，而且不确定。当弯曲变形较 大时，应采用精确的挠曲线微分方程式(6-2)计算压 杆的挠曲线。图9-5中曲线AC给出了中点挠度w和压 力 F 关系的精确理论解。挠度越趋于零，近似解和 精确解的差别越小。由于挠曲线微分方程仅适用于 线弹性变形，所以式(9-7)要求压杆内的应力不能超 过材料的比例极限σp。
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
压杆的临界载荷不但与压杆本身的材料和尺寸有关，而且与支
座条件关系很大。其
他支座条件下细长压杆的临界压力可通过类似的方法推导。也
可以应用 变形比较 的方法得到某种支座条件下压杆的临界压力。
如图9-8(a)所示，一端固定另一端自由的细长压杆AB。在轴向压力
作用下处于微弯平衡状态，由于其挠曲线微分方程及其通解与两端