怎样计算圆周率的值

用Mathematica计算
In[1] k=1000; S1=N[4*Sum[(-1)^(n-1)/(2n-1),{n,1,k}],18]
[Out2] 3.14059265383979293 In[3] k=10000; [Out4] 3.14149265359004324 In[5] k=15000; [Out6] 3.14152598692320065 In[7] k=20000 [Out8] 3.14154265358982449
5.利用学习过的知识(或查阅资料)，提出其他
计算的方法
谢谢各位！
方法2
利用数值积分
1 设 y ( x) 1 x2
1 A 4 dx 2 01 x ＋
1
Байду номын сангаас
将[0,1]区间n等分，取xk=k/n, yk= 1/ (1+xk2)
2 梯形法 A [2( y1 y2 yn1 ) y0 yn ] n
1 Simpson法 [( y0 y2 m ) 2( y2 y4 y2 m2 ) 3m 4( y1 y3 y2m1 )]
In[1] n=10000; S4= Block[{i,m=0}, For[i=n,i>0,i--, m=m+If[Random[]^2+Random[]^2<=1,1,0]]; N[4*m/n,10]] Out[2] In[1] Out[2] In[1] Out[2] 3.1352 n=50000; 3.15336 n=100000; 3.14736
In[1] Out[2] N[Pi,100]
3.1415926535897932384626433832795028841971 6939937510582097494459230781640628620899 8628034825342117068 但是你会计算的值吗？你又能用几种 方法计算的值？
实验任务
1. 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式 求，若要精确到以40位、50位数字，试比较 简单公式和Machin公式所用的项数. 2. 用数值积分计算，分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数字，用Simpson法 精确到15位数字.
3. 用Monte Carlo 法计算，除了加大随机数， 在随机数一定时可重复算若干次后求平均值， 看能否求得5位精确数字？ 4. 设计方案用计算机模拟Buffon实验
Machin公式
1 1 4 arctan arctan 5 239 4
再用Mathematica
Clear[k,n,S] In[1] k=10; S2=N[4*Sum[(-1)^(n-1)*(1/2)^(2n-1)/(2n-1) +(-1)^(n-1)*(1/3)^(2n-1)/(2n-1),{n,1,k}],20] Out[2] 3.14159257960635121097 In[3] k=20; Out[4] 3.1415926535897574098 In[5] k=50; Out[6] 3.14159265358979323846 In[7] k=500; Out[8] 3.141592653589793238462643383279
数学实验
怎样计算 的值 ?
哪里有数,哪里 就有美.
- Proclus
知其然,更知其所 以然.
-中国先哲
说明： 本实验内容参考了中国科技大学 李尚志等编写的数学实验教材
实际问题
―圆周率, 我们十分熟悉的常数. 你也许能写出 = 3.1415926535 用Mathematica容易求出到几百位
设计方案
在正方形 0< x <1, 0< y<1 上随机的投大量的点，那么 落在四分之一园内的点数 数m与在正方形内的点数n 之比m/n应为这两部分图形 面积之比＝/4,故 ＝4 m/n
计算机模拟：产生区间[0,1]上数目为n的一组 随机数(x,y)，计算满足x2+y2<1的点数m
Mathemetica
问题: 能不能算得更快一点、更精确 一点？ 简单公式
1 1 arctan arctan 2 3 4
1 1 1 3 1 1 5 (1) n 1 1 2 n 1 4[ ( ) ( ) ( ) 2 3 2 5 2 2n 1 2
1 1 1 3 1 1 5 (1) n 1 1 2 n 1 ( ) ( ) ( ) ] 3 3 3 5 3 2n 1 3
方法3
Monte Carlo 法
从Buffon落针实验谈起：
平行线距离为1，针长度为1; 设针中心到较近平行线距离 2 / 2 为y ，针与平行线夹角 , 针 与平行线相交充要条件为
1 y sin ， 0 2 2
1 2

D o

2
(左图正弦曲 线下方面积D)
次数很大,落针应均匀分布，落针中心在D与 总数之比为D面积与总面积之比为2/
方法1 利用幂级数表达式
1 2 4 n 1 2 n 2 1 x x (1) x 2 1 x
x3 x5 x 2 n 1 arctan x x (1) n 1 3 5 2n 1

1 1 1 n 1 1 (1) 4 3 5 2n 1
Mathematica
In[1] y[x_]:=4/(1+x^2); n=100; S3=N[1/(2*n)*(Sum[2*y[k/n],{k,1,n-1}]+y[0]+y[1]),30]
3.1415759869231285559229513739
Out[2]
In[3] n=500; Out[4] 3.141591986923126571922960843596 In[5] n=1000; Out[6] 3.141592486923126571797960843597 In[7] n=5000; Out[8] 3.141592646923126571795976843597