中考专题复习——“新定义”问题(学案)
最新通用版九年级中考数学小专题复习新定义问题(解析版)
新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例1 我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )．在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝pq.例如2可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F (t )的最大值．例题分层分析(1)对任意一个完全平方数m ，设m ＝n 2(n 为正整数)，找出m 的最佳分解为________，所以F(m)＝________＝________；(2)设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝________，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式为________，进而求出所求即可；(3)利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F(t)的最大值即可．对应练习：对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a－b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x＝－2011，求x的值；(2)若x⊗3<5，求x的取值范围．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例2 如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图③，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．例题分层分析(1)观察图形直接得到操作形成的折痕，根据矩形和平行四边形的面积公式与折叠的轴对称性质可得S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________；(2)由矩形的性质和勾股定理可求得FH ＝________，再由折叠的轴对称性质可知HD ＝________，FC ＝______，∠AHE ＝12______，∠CFG ＝12________，从而可得∠________＝∠________，再证得△AEH ≌△CGF ，可得________，进而求得AD 的长；(3)根据叠合矩形定义，画出叠合正方形，然后再求AD ，BC 的长． 对应练习：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°. ①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长． ②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图②，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝9，点P 是对角线BD 上一点，且BP ＝2PD ，过点P 作直线分别交边AD ，BC 于点E ，F ，使四边形ABFE 是等腰直角四边形．求AE 的长．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的． 课后练习：1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y ＝[x ]的图象如图Z 3－3所示，则方程[x ]＝12x 2的解为( )A ．0或 2B ．0或2C ．1或－ 2D .2或－ 22．对于实数a ，b ，定义符号min{a ，b }，其意义为：当a ≥b 时，min{a ，b }＝b ：当a ＜b 时，min{a ，b }＝a .例如min{2，－1}＝－1.若关于x 的函数y ＝min{2x －1，－x ＋3}，则该函数的最大值为( )A.23 B ．1 C.43 D .533．在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数y ＝kx的图象上．若AB ＝2 2，则k ＝________．4．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．5．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．(1)如图①，在半对角四边形ABCD 中，∠B ＝12∠D ，∠C ＝12∠A ，求∠B 与∠C 的度数之和；(2)如图②，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，若边AB 上存在一点D ，使得BD ＝BO ，∠OBA 的平分线交OA 于点E ，连结DE 并延长交AC 于点F ，∠AFE ＝2∠EAF ，求证：四边形DBCF 是半对角四边形；(3)如图③，在(2)的条件下，过点D 作DG ⊥OB 于点H ，交BC 于点G ，当DH ＝BG 时，求△BGH 与△ABC 的面积之比．答案与解析【例1】【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），∵|n﹣n|＝0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝36，∴y＝x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；（3）F（15）＝，F（26）＝，F（37）＝，F（48）＝＝，F（59）＝，∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．【对应练习】【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x＝﹣2011，解得：x＝2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．【例2】【解答】解：（1）根据题意得：操作形成的折痕分别是线段AE、GF；由折叠的性质得：△ABE≌△AHE，四边形AHFG≌四边形DCFG，∴△ABE的面积＝△AHE的面积，四边形AHFG的面积＝四边形DCFG的面积，∴S矩形AEFG＝S▱ABCD，∴S矩形AEFG：S▱ABCD＝1：2；故答案为：AE，GF，1：2；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠HEF＝90°，∴FH＝＝13，由折叠的性质得：AD＝FH＝13；（3）有3种折法，如图4、图5、图6所示：①折法1中，如图4所示：由折叠的性质得：AD＝BG，AE＝BE＝AB＝4，CF＝DF＝CD＝5，GM＝CM，∠FMC＝90°，∵四边形EFMB是叠合正方形，∴BM＝FM＝4，∴GM＝CM＝＝＝3，∴AD＝BG＝BM﹣GM＝1，BC＝BM+CM＝7；②折法2中，如图5所示：由折叠的性质得：四边形EMHG的面积＝梯形ABCD的面积，AE＝BE＝AB＝4，DG＝NG，NH＝CH，BM＝FM，MN＝MC，∴GH＝CD＝5，∵四边形EMHG是叠合正方形，∴EM＝GH＝5，正方形EMHG的面积＝52＝25，∵∠B＝90°，∴FM＝BM＝＝3，设AD＝x，则MN＝FM+FN＝3+x，∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×8＝2×25，∴AD+BC＝，∴BC＝﹣x，∴MC＝BC﹣BM＝﹣x﹣3，∵MN＝MC，∴3+x＝﹣x﹣3，解得：x＝，∴AD＝，BC＝﹣＝；③折法3中，如图6所示，作GM⊥BC于M，则E、G分别为AB、CD的中点，则AH＝AE＝BE＝BF＝4，CG＝CD＝5，正方形的边长EF＝GF＝4，GM＝FM＝4，CM＝＝3，∴BC＝BF+FM+CM＝11，FN＝CF＝7，DH＝NH＝8﹣7＝1，∴AD＝5．【对应练习】【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．【课后练习】1.A 【解答】解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；所以方程[x]＝x2的解为0或．故选：A．2.D【解答】解：由题意得：，解得：，当2x﹣1≥﹣x+3时，x≥，∴当x≥时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由图象可知：此时该函数的最大值为；当2x﹣1≤﹣x+3时，x≤，∴当x≤时，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由图象可知：此时该函数的最大值为；综上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是当x＝所对应的y的值，如图所示，当x＝时，y＝，故选：D．3.﹣【解答】解：（方法一）设点A（a，﹣a+1），B（b，﹣b+1）（a＜b），则A′（，），B′（，），∵AB＝＝＝（b﹣a）＝2，∴b﹣a＝2，即b＝a+2．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：k＝﹣．（方法二）∵直线y＝﹣x+1上有两点A、B，且AB＝2，∴设点A的坐标为（a，﹣a+1），则点B的坐标为（a+2，﹣a﹣1），点A′的坐标为（，），点B′的坐标为（，﹣）．∵点A′，B′均在反比例函数y＝的图象上，∴，解得：．故答案为：﹣．4.113°或92°【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC＝AD时，∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣46°）＝67°，∴∠ACB＝67°+46°＝113°，②当DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝46°，∴∠ACB＝46°+46°＝92°，故答案为113°或92°．5.【解答】解：（1）在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴3∠B+3∠C＝360°，∴∠B+∠C＝120°，即∠B与∠C的度数和为120°；（2）证明：∵在△BED和△BEO中，，∴△BED≌△BEO（SAS），∴∠BDE＝∠BOE．∵∠BCF＝∠BOE，∴∠BCF＝∠BDE，连接OC，设∠EAF＝α，则∠AFE＝2∠EAF＝2α，∴∠EFC＝180°﹣∠AFE＝180°﹣2α，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝α，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝180°﹣2α，∴∠ABC＝∠AOC＝∠EFC，∴四边形DBCF是半对角四边形；（3）解：过点O作OM⊥BC于M，∵四边形DBCF是半对角四边形，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∵DG⊥OB，∴BH＝BG＝．在直角△BDH中，利用勾股定理得到：BD＝＝＝．∴BO＝BD＝．∴⊙O的直径是2．。
中考数学八大题型集训：专题复习(2)新定义运算
专题复习(二) 新定义运算、新概念问题新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．观察下表：式”为4x＋y.回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为________，第4格的“特征多项式”为__________，第n格的“特征多项式”为________________；(2)若第1格的“特征多项式”的值为－10，第2格的“特征多项式”的值为－16.①求x，y的值；②在此条件下，第n个特征多项式是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n值．若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)抓住x、y的排列规律；x在第n格是按(n＋1)排，每排是(n＋1)个x来排列的；y在第n格是按n排，每排是n个y来排列的，根据这个规律即可得解；(2)①按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出x、y的值；②求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第n格的“特征多项式”，求出了x、y的值，所以可以建立最小值关于n的二次函数，根据二次函数的最小值性质便可求得．【解答】 (1)16x ＋9y 25x ＋16y (n ＋1)2x ＋n 2y(n 为正整数)(2)①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝－10，9x ＋4y ＝－16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－247，y ＝267.②设最小值为W ，依题意得： W ＝(n ＋1)2x ＋n 2y ＝－247(n ＋1)2＋267n 2＝27n 2－487n －247＝27(n －12)2－3127. 即有最小值为－3127，相应的n 的值为12.这类题首先要读懂题目中的新概念或定义，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点．1．已知m ＝x ＋1，n ＝－x ＋2，若规定y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋m －n （m≥n），1－m ＋n （m ＜n ），则y 的最小值为()A ．0B ．1C ．－1D ．22．在平面直角坐标系中，任意两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)规定运算：①A ○+B ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)；②A ○⨯B ＝x 1x 2＋y 1y 2；③当x 1＝x 2且y 1＝y 2时，A ＝B. 有下列四个命题：(1)若A(1，2)，B(2，－1)，则A ○+B ＝(3，1)，A ○⨯B ＝0； (2)若A ○+B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (3)若A ○⨯B ＝B ○⨯C ，则A ＝C ； (4)对任意点A 、B 、C ，均有(A ○+B)○+C ＝A ○+(B ○+C)成立． 其中正确命题的个数为()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．对于实数a 、b ，定义一种运算“○⨯”为：a ○⨯b ＝a 2＋ab －2，有下列命题： ①1○⨯3＝2； ②方程x ○⨯1＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1； ③不等式组⎩⎨⎧<-⊗<-⊗-031,04)2(x x 的解集为－1＜x ＜4；④点(12，52)在函数y ＝x ○⨯(－1)的图象上． 其中正确的是()A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④4．对于任意实数m 、n ，定义一种运算m※n＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：若a ＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x ，y)和Q(x ，y ′)，给出如下定义：若y′＝⎩⎪⎨⎪⎧y （x≥0），－y （x ＜0）， 则称点Q 为点P 的“可控变点”． 例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3)．(1)若点(－1，－2)是一次函数y ＝x ＋3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为________；(2)若点P 在函数y ＝－x 2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是－16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是________．6．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，sin(x ＋y)＝sinx ·cosy ＋cosx ·siny.据此判断下列等式成立的是________(写出所有正确的序号)．①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24； ③sin2x ＝2sinx ·cosx ；④sin(x －y)＝sinx ·cosy －cosx ·siny.7．对于平面直角坐标系中任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，称|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为P 1、P 2两点的直角距离，记作：d(P 1，P 2)．若P 0(x 0，y 0)是一定点，Q(x ，y)是直线y ＝kx ＋b 上的一动点，称d(P 0，Q)的最小值为P 0到直线y ＝kx ＋b 的直角距离．令P 0(2，－3)．O 为坐标原点．则：(1)d(O ，P 0)＝________；(2)若P(a ，－3)到直线y ＝x ＋1的直角距离为6，则a ＝________．8．已知抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为____________．9．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即当n 为非负整数时，若n －12≤x<n ＋12，则<x>＝n ，如<0.46>＝0，<3.67>＝4，给出下列关于<x>的结论：①<1.493>＝1；②<2x>＝2<x>；③若<12x －1>＝4，则实数x 的取值范围是9≤x<11；④当x≥0，m 为非负整数时，有<m ＋2 013x>＝m ＋<2 013x>；⑤<x＋y>＝<x>＋<y>.其中，正确的结论有________(填写所有正确的序号)．10．若正整数n 使得在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n 为“本位数”．例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”．现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为________．11．如果关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①方程x 2－x －2＝0是倍根方程；②若(x －2)(mx ＋n)＝0是倍根方程，则4m 2＋5mn ＋n 2＝0；③若点(p ，q)在反比例函数y ＝2x 的图象上，则关于x 的方程px 2＋3x ＋q ＝0是倍根方程；④若方程ax 2＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M(1＋t ，s)，N(4－t ，s)都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根为54.参考答案1．B 2.C 3.C 4.4≤a＜5 5.(1)(－1，2) (2)0≤a≤4 2 6.②③④7．(1)5 (2)2或－10 8.y ＝x 2－2x －3 9.①③④ 10.711 11.②③。
初三数学中考一轮复习新定义问题教案(含练习)
Presented by Csuzzy，All Rights Reserved.15新定义§15-1新定义计算对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点()1,a b ，()21,a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知()11,0y x m x x=-≤≤≠是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围；（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点()1,x y 和()2,x y 关于点(),x x 中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y x =上，所以称这两个函数为关于直线y x =的特别对称函数．例如：12y x =和32y x =为关于直线y x =的特别对称函数．（1）若32y x =+和()0y kx t k =+≠为关于直线y x =的特别对称函数，点()1,M m 是32y x =+上一点．①点()1,M m 关于点()1,1中心对称的点坐标为．②求k ，t 的值．（2）若3y x n =+和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，求n 的值．（3）若二次函数2y ax bx c =++和2y x d =+为关于直线y x =的特别对称函数．①直接写出a ，b 的值．②已知点()3,1P -，点()2,1Q ，连接PQ ，直接写出2y ax bx c =++和2y x d =+两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围．§15-2新定义几何定义：如图1，点M，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股点．（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股点，若1AM =，2MN =，求BN 的长；（2）如图2，点(),P a b 是反比例函数()20y x x=>图象上的动点，直线2y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，过点P分别向x ，y 轴作垂线，垂足为C ，D ，且交线段AB 于点E ，F ．证明：E ，F 是线段AB 的勾股点；（3）如图3，已知一次函数3y x =-+的图象与坐标轴交于A ，B 两点，与二次函数24y x x m =-+的图象交于C ，D 两点，若C ，D 是线段AB 的勾股点，求m 的值．知解求参1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1M ，()1,1N -，经过某点且平行于OM ，ON 或MN 的直线，叫该点关于OMN △的“关联线”．例如，如图1，点()3,0P 关于OMN △的“关联线”是：3y x =+，3y x =-+，3x =．（1）在以下3条线中，是点()4,3关于OMN △的“关联线”（填出所有正确的序号）：①4x =；②5y x =--；③1y x =-．（2）如图2，抛物线()214y x m n =-+经过点()4,4A ，顶点B 在第一象限，且B 点有一条关于OMN △的“关联线”是5y x =-+，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，点E 是线段AC 上除点C 外的任意一点，连接OE ，将OCE △沿着OE 折叠，点C 落在点C '的位置，当点C '在B 点关于OMN △的平行于MN 的“关联线”上时，满足（2）中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE 上?2在平面直角坐标系xOy 中，对于半径为()0r r >的O 和点P ，给出如下定义：若32r PO r ≤≤，则称P 为O 的“近外点”．（1）当O 的半径为2时，点()4,0A ，5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3C ，()1,1D -中，O 的“近外点”是；（2）若点()3,4E 是O 的“近外点”，求O 的半径r的取值范围；（3）当O 的半径为2时，直线()303y x b b =+≠与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在O 的“近外点”，直接写出b 的取值范围．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ．对于一点与等边三角形，给出如下定义：满足r d R ≤≤的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC △的三个顶点的坐标分别为()0,2A ，()3,1B --，)3,1C -．（1）已知点()2,2D ，)3,1E ，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．在点D ，E ，F 中，是等边ABC △的中心关联点的是；（2）如图1，①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使30AMO ∠= ．若线段AM 上存在等边ABC △的中心关联点(),P m n ，求m 的取值范围；②将①中直线AM 向下平移得到直线y kx b =+，当b 满足什么条件时，直线y kx b =+上总存在等边ABC △的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q 为直线1y =-上一动点，Q 的半径为12．当点Q 从点()4,1--出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒．是否存在某一时刻t ，使得Q 上所有点都是等边ABC △的中心关联点?如果存在，请直接写出所有符合题意得t 得值；如果不存在，请说明理由．第15次课同步练习1.定义：若一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=-存在两个不同的公共点，则称函数2y ax bx c =++为一次函数y ax b =+与反比例函数c y x =-的“生成函数”．（1）判断一次函数5y x =-+与反比例函数6y x=-是否存在“生成函数”，若存在，请写出“生成函数”，若不存在，请说明理由．（2）若一次函数y x b =-（0b >）与反比例函数2y x =交于()11,A x y ，()22,B x y （12x x <）两点，如图1，连接AB ，AO ，BO （O 为坐标原点），若AOB △的面积为2b ，求y x b =-与2y x=的“生成函数”．（3）如图2，若一次函数y ax b =+与反比例函数3y x =的“生成函数”经过()1,1-且与x 轴交于C ，D 两点，与y 轴交于点E ，其中0a b >>，求CDE △面积S 的取值范围．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点()2,0A -，点()1,1B ，点()1,2C --，则A ，B ，C 三点的“横长”()123a =--=，A ，B ，C 三点的“纵长”()123b =--=．因为a b =，所以A ，B ，C 三点为正方点．（1）在点()3,5R ，()3,2S -，()4,3T --中，与点A ，B 为正方点的是；（2）点()0,P t 为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；（3）已知点()1,0D ．①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．第16次课作业1.在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如()3,5-与()5,3-是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上?为什么?（2）M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(),m n ，求直线MN 的表达式（用含m ，n 的代数式表示）；（3）在抛物线2y x bx c =++的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数2y x =-的图象上，直线AB 经过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求此抛物线的表达式．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.112.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,Q x y 与()22,P x y ，若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“直距”，记做PQ D ，特别地，当PQ 与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”．例如在如图中，点()1,1P ，点()3,2Q ，此时点Q 与点P 之间的“直距”3PQ D =．（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则AO D =，BO D =；②点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F 是直线24y x =+上一动点，请你直接写出点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值.。
中考数学专题复习新定义问题(一)
中考数学专题复习新定义问题（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中2222,0,0,,,0,0,2222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，M ，N 为该正方形外两点，1MN =．给出如下定义：记线段MN 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点,M N ''分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（,,M N P '''分别为点M ，N ，P 的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如下图，平移线段MN ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122,M N M N ，则这两条线段的位置关系是_______；若12,P P 分别为1122,M N M N 的中点，在点12,P P 中，连接点P 与点_______的线段的长度等于线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图，已知点21,02E ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，若M ，N 都在直线BE 上，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN 的中点P 的坐标为(2)2，，记线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．2．对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ ，给出如下定义：若存在PQR 使得2PQRSPQ =，则称PQR 为线段PQ 的“等幂三角形”，点R 称为线段PQ 的“等幂点”．（1）已知(3,0)A ．①在点1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --中，是线段OA 的“等幂点”的是_____________； ①若存在等腰OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，求点B 的坐标；（2）已知点C 的坐标为(2,1)C -，点D 在直线3y x =-上，记图形M 为以点(1,0)T 为圆心，2为半径的T 位于x 轴上方的部分，若图形M 上存在点E ，使得线段CD 的“等幂三角形”CDE △为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标D x 的取值范围．3．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P ，给出如下定义：将图形M 绕点P 顺时针旋转90︒得到图形N ，图形N 称为图形M 关于点P 的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C 关于点P 的“垂直图形”．（1）点A 关于原点O 的“垂直图形”为点B ． ①若点A 的坐标为(0,2)，则点B 的坐标为_______； ①若点B 的坐标为(2,1)，则点A 的坐标为_______．（2）(3,3),(2,3),(,0)E F G a --．线段EF 关于点G 的“垂直图形”记为E F ''，点E 的对应点为E '，点F 的对应点为F '． ①求点E '的坐标（用含a 的式子表示）；①若O 的半径为2，E F ''上任意一点都在O 内部或圆上，直接写出满足条件的EE '的长度的最大值．4．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH l⊥于点H任取直线l上点Q，点H 关于直线PQ的对称点为点H'，标点H'为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知点(0,2)P，则点(0,0),(2,2),(0,4)O A B中是点P关于x轴的垂对点的是_______；（2）已知点(0,)M m，且0m>，直线443y x=-+上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；（3）已知点(,2)N n，若直线y x n=+上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n 的取值范围，5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段ST ，我们定义点P 关于线段ST 的线段比()()PS PS PT ST k PT PS PT ST⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（1）已知点(0,1),(1,0)A B ．①点(2,0)Q 关于线段AB 的线段比k =__________； ①点(0,)C c 关于线段AB 的线段比2k =，求c 的值．（2）已知点(,0)M m ，点(2,0)N m +，直线2y x =+与坐标轴分别交于,E F 两点，若线段EF 上存在点使得这一点关于线段MN 的线段比14k <，直接写出m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和线段MN ，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形AOMN ，且AOM α∠=，则称线段MN 是点A 的“α-相关线段”．例如，图1中线段MN 是点A 的“30-相关线段”．（1）已知点A 的坐标是(0,2)．①在图2中画出点A 的“30-相关线段”MN ，并直接写出点M 和点N 的坐标； ①若点A 的“α-相关线段”经过点(3,1)，求α的值；（2）若存在,()αβαβ≠使得点P 的“α-相关线段”和“β-相关线段”都经过点(0,4)，记PO t =，直接写出t 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 是平面内一点，过点A 的直线交O 于点 B 和点C （ABAC ），01BC ，我们把点 B 称为点A 关于O 的“斜射点”．（1）如图，在点12331(1,1),(0,),(,0)22A A A -中，存在关于 O 的“斜射点”的是_____________．（2）已知若(0,2)A ，点关于O 的“斜射点”为点B ，则点 B 的坐标可以是__________．（写出两个即可）（3）若点A 直线y kx k =+上，点A 关于O 的“斜射点”为(1,0)B -，画出示意图，直接写出 k 的取值范围．8．对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，r 为半径作圆，若P 与图形M 有交点，且半径r 存在最大值与最小值，则将半径r 的最大值与最小值的差称为点P 视角下图形M 的“宽度M d ”． （1）如图1.点(4,3)A ，(0,3)B ．①在点O 视角下，则线段AB 的“宽度AB d ”为_________； ①若B 半径为1.5，在点A 视角下，B 的“宽度Bd”为_________；（2）如图2，O 半径为2，点P 为直线1y x =-+上一点．求点P 视角下O “宽度Od”的取值范围；（3）已知点(,0),1C m CK =，直线333y x =+与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ．若随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，直接写出m 的取值范围．9．在平面直角坐标系O x y 中，任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义线段PQ 的“直角长度”为2121PQ d x x y y =-+-． （1）已知点(3,2)A ． ① OA d =________；① 已知点(,0)B m ，若6AB d =，求m 的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点(3,3)M ．① 点(0,)(0)D d d ≠．如果OMD 为“和距三角形”，求d 的取值范围；① 在平面直角坐标系xOy 中，点C 为直线4y x =--上一点，点K 是坐标系中的一点，且满足1CK =，当点C 在直线上运动时，点K 均满足使OMK △为“和距三角形”，请你直接写出点C 的横坐标C x 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中的O 和图形N ，给出如下定义：如果O 平移m 个单位后，图形N 上的所有点在O 内或O 上，则称m 的最小值为O 对图形N 的“覆盖近距”．（1）当O 的半径为1时，①若点()3,0A ，则O 对点A 的“覆盖近距”为_________；①若O 对点B 的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点B 的坐标_________； ①若直线2y x b =+上存在点C ，使O 对点C 的“覆盖近距”为1，求b 的取值范围； （2）当O 的半径为2时，(3,),(4,1)D t E t +，且12t -≤≤．记O 对以DE 为对角线的正方形的“覆盖近距”为d ，直接写出d 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()()1122,,,M x y N x y ，若1212x x y y k -+-=（k 为常数且0k ≠），则称点M 为点N 的k 倍直角点．根据以上定义，解决下列问题： （1）已知点(1,1)A①若点(2,3)B -是点A 的k 倍直角点，则k 的值是___________；①在点(2,3),(1,1),(0,2),(0,0)C D E O --中是点A 的2倍直角点的是_______； ①若直线2y x b =-+上存在点A 的2倍直角点，求b 的取值范围；（2）T 的圆心T 的坐标为(1,0)，半径为r ，若T 上存在点O 的2倍直角点，直接写出r 的取值范围．12．已知点P 、Q 分别为图形M 和图形N 上的任意点，若存在点P 、Q 使得PQ =1,我们就称图形M 、N 为友好图形，P 、Q 为关于图形M 、N 的一对友好点． （1）已知点 (1,0)A ,1(0,)2B ,C (-1,1)中, 与点O 为一对友好点，（2）已知O 半径r =1，若直线y x b =+与O 有且只有一对友好点，求b 的值；（3）已知点,D(m,2), D 半径r =1，若直线y=x+m 与D 是友好图形，求m 的取值范围．13．规定如下：图形M 与图形N 恰有两个公共点（这两个公共点不重合），则称图形M 与图形N 是和谐图形．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知O 的半径为2，若直线x k =与O 是和谐图形，请你写出一个满足条件的k 值，即k =______； （2）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(),0A t ，直线3:33l y x =+与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点（其中点A 不与点B 重合），则线段AB 与直线l 组成的图形我们称为图形V ；①3t =时，以A 为圆心，r 为半径的A 与图形V 是和谐图形，求r 的取值范围；①以点A 为圆心，23为半径的A 与图形V 均组成和谐图形，求t 的取值范围．参考答案：1．（1）平行，P 1；（2）1d 的最小值为24；（3）21332222d -≤≤．【解析】 【分析】（1）根据图形，比较PP 1，PP 2的长度即可求解；（2）根据已知条件求得①P 1BE =45︒，过P 1作P 1Q ①BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：由图可得MN ①M 1N 1，MN ①M 2N 2， ①M 1N 1①M 2N 2， 而PP 1<PP 2，故线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为PP 1； 故答案为：平行，P 1； （2）①B (0，22)，C (22，0)，四边形ABCD 为正方形， ①BC =2222122⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①BCA =45︒， ①E (212+，0)， ①CE =221122+-==BC ， ①①1=①2，则①1+①2=①BCA =45︒， ①①1=①2=22.5︒，在Rt △BMN 中，BP 1为斜边上的中线， 则BP 1=12MN =12=NP 1，①①P 1BN =①P 1NB ， 又MN ①BE ， ①①2=①P 1NB ，①①2=①P 1NB =45︒，①P 1BE =①2+①P 1BN =45︒， 过P 1作P 1Q ①BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，在Rt△P1QB中，P1Q=P1B sin45︒=122224⨯=，①1d的最小值为24；（3）解：根据题意，P1、P2分别是AB、BC的中点，则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PP1，最小为PP2，此时，P1 (24-，24)，P2 (24，24)，①PP1=22223322442⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PP2=22222112222224422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①2d的取值范围是21332222d-≤≤．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．2．（1）①24,P P：①362⎛⎫⎪⎝⎭，或362⎛⎫⎪⎝⎭，-；（2）3212Dx-<<或5232Dx+<<【解析】【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA 2进行比较即可确定线段OA 的“等幂点”；①如图，由OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，可得2OAB S OA =．由点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，可得392OAB S h ==， 求出6h =．由OAB 是等腰三角形，点B 在线段OA 的垂直平分线上即可求点B 的坐标为（32，6）或（32，-6）； （2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，求出N (0，-3), H (3，0)，可证△ONH 为等腰直角三角形，①OHN =①ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，在Rt △TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=22=22⨯，QC=2+2，又因为△ECD 为锐角三角形，点E 在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 的范围是222h ≤≤+，可求h =2CD =22(x-2)，5232D x +<<； 第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在QG 上运动，求出GU =GH ×cos45°=22，可得2222h ≤≤+，可求()2222222x ≤-≤+，解不等式即可得3212D x -<<． 【详解】（1）①1OP A S=1211933222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 1不是线段OA 的“等幂点”． 2OP A S=2211369=22P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=， P 2是线段OA 的“等幂点”． 3OP A S=3211331222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<，P 3不是线段OA 的“等幂点”． 4OP AS =421136922P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==， P 4是线段OA 的“等幂点”． 是线段OA 的“等幂点”的是24,P P ，故答案为：24,P P ：①如图，①OAB 是线段OA 的“等幂三角形”，①2OAB S OA =．①点A 的坐标为()3,0A ，若记OAB 中OA 边上的高为h ，则有13922OAB S OA h h =⨯⨯==． 解得6h =．①点B 在直线6y =或6y =-上．①OAB 是等腰三角形，①点B 在线段OA 的垂直平分线上．OA 的垂直平分线为x =32,与直线6y =或6y =-的交点为B 1（32，6），B 2（32，-6）， 综上所述，点B 的坐标为（32，6）或（32，-6），（2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，当x =0时，y =-3,N (0，-3),当y =0时，x -3=0，x =3，H (3，0)，①ON =3=OH ，①ONH 为等腰直角三角形，①OHN =①ONH =45°，点D 运动分两种情况， 第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，①TC ①NH ，①OHN =45°，①①TCH 为等腰直角三角形，在Rt ①TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=22=22⨯，QC=2+2， 又因为①ECD 为锐角三角形，点E 在QR 上运动，点E 到CD 的距离h 的范围是222h ≤≤+，CD=CF÷cos45°=2CF=2(x-2)，①线段CD 的“等幂三角形”， S △CDE =12h CD ⋅=CD 2， ①h =2CD =22(x -2)，①()222222x <-<+，解得55222x+<<，点D在H右侧，x>3，①5232Dx+<<；第二种情况点D在射线CU上，去掉线段CU部分运动，点E在QG上运动，又因为①ECD为锐角三角形，GU=GH×cos45°=22，①2222h≤≤+，①线段CD的“等幂三角形”，S△CDE=12h CD⋅=CD2，①h=2CD=22(2-x)，则()2222222x≤-≤+，解得3212Dx-<<，D 的横坐标D x 的取值范围为3212D x -<<或5232D x +<<． 【点睛】 本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．3．（1）①()2,0；①()1,2-；（2）①(3,3)+'+E a a ；①22【解析】【分析】（1）①点A 在y 轴上，则点B 在x 轴上，且OB =OA =2，从而易得点B 的坐标；①由OA =OB ，过A 、B 分别作x 轴的垂线于N 、 M ，则可得①ANO ①①OMB ，故有AN =OM =2，ON =BM =1，再由点在第二象限，从而可得点A 的坐标；（2）①分别过点E 、E E '作x 轴的垂线，垂足分别为H 、Q ，则由OE OE '=，可得EHG GQE '△≌△,由此可得E '点的坐标；①由①知，点E '的两个坐标相等，表明E '点在第一、三象限的角平分线上，当E '点位于第一象限的圆上时，EE '最大,此时2OE '=，从而可得E '点坐标为(2,2)，这样可求得EE '的最大值．【详解】解：（1）①因点A 在y 轴上，故点B 必在x 轴正半轴上，又OB =OA =2，所以点A 坐标为()2,0；故答案为：()2,0．①如图，过A 、B 分别作x 轴的垂线于N 、 M ．则①ANO =①OMB =90，①①AON +①A =90°①①AOB =90°，①①AON +①BOM =90°，①①A =①BOM ，①OA =OB ，①①ANO ①①OMB ，①AN =OM =2，ON =BM =1，根据题意，点A 必在第二象限，①A ()1,2-．故答案为：()1,2-．（2）①如图，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，过点E '作'⊥E Q x 轴于点Q ．由题意可知，,'90EG E G EGE '=∠=︒．①EHG GQE '△≌△．①,'==EH GQ HG QE ．①(3,3),(,0)-E G a ，①()3,0-H ．①．|3|3,3HG QE a a EH GQ ==+=+=='①|3|3OQ a a =+=+．①(3,3)+'+E a a ．①①EF ①x 轴①E F x ''⊥轴连接OE '，延长E F ''交x 轴于点H ，则E H x '⊥轴；过点E '作x 轴的平行线，过点E 作y 轴的平行线，两线交于点D ，则ED E D '⊥，如图所示；由①知，点E '的两个坐标相等，①|3|OH E H a '==+，表明E '点在第一、三象限的角平分线上，且位于与圆相交的圆内的一条线段上运动，当点E '位于第一象限上的圆上时，即2OE '=时，EE '最大，①①E HO '是等腰直角三角形，①22OH OE '==，①2OH E H '==，①(2,2)E '，①32DE '=+，32DE =-，在Rt EDE '中，由勾股定理得：2222(32)(32)22EE DE DE =+=-++=''， 即EE '的最大值为：22．【点睛】本题考查了新定义，对于新定义这类问题，关键是弄清楚新定义的含义，抓住问题的实质，本题新定义的实质是旋转，通过作x 轴的垂线，构造两个全等的直角三角形，问题便容易解决．4．（1）O 和A ；（2）3m 2≥；（3）-2n 1+21＜＜且n≠2 【解析】【分析】（1）根据垂对点的定义即可得出答案；（2）先得出点M 关于x 轴的垂对点在以M 为圆心MO 即m 为半径的圆上，点(0,2)m 除外，再根据当直线443y x =-+与①M 相切时，m 的值最小，利用相似三角形的判定和性质得出m 的值即可；（3）先得出点N 关于x 轴的垂对点在以N 为圆心2为半径的圆上，点(n,4)除外，再分n =0、n ＜0 、n ＞0三种情况进行分类讨论即可．【详解】解：（1）①点(0,2)P ，①根据垂对点的定义可得点P 关于x 轴的垂对点为(0,0),(2,2)O A ； （2）①点(0,)M m ，且0m >，①由垂对点的定义可知，点M 关于x 轴的垂对点在以M 为圆心MO 即m 为半径的圆上，点(0,2)m 除外，则OM =m ；设直线443y x =-+与x 轴和y 轴的交点分别为G 、H ，①G（3，0），H（0，4），①22345GH=+=，①直线443y x=-+上存在点M关于x轴的垂对点，①当直线443y x=-+与①M相切时，m的值最小，此时切点为N,连接MN，则①HOG=①MNH=90°，①①OHG=①NHM①①OHG①①NHM①=MN MHOG GH①m4-m35=①3m=2①m的取值范围是：3m2≥；（3）①(,2)N n，点N关于x轴的垂对点在以N为圆心2为半径的圆上，点(n,4)除外，当n=0时，①N与y=x有两个交点，则直线y x n=+上存在两个点N关于x轴的垂对点，当n＞0时，相当于①N向右平移，y=x向上平移，当y=x+n与①N相切于①N左侧时是临界点，设切点为E，连接NE，①DEN=90°，过点E作EF①x轴于F，直线y=x+n与x轴y轴的交点分别为W、K，则W（-n，0），K （0，n），①OK=OW，①①OWK为等腰直角三角形，设过点(,2)N n且平行于x轴的直线与直线y=x+n相交于点D，则①DEN为等腰直角三角形，22DE=，设EF交DN于点I，在直角三角形ENI中，NE=2，①END=45°，①NI=EI=2，①E（n-2，2+2），①点E在y=x+n上，①2+2=n-2+n①n=1+2当n=2时，直线与圆交于点（0，2）、（2，4），此时只有一个垂对点，故n≠2．当n＜0时，相当于①N向左平移，y=x向下平移，同理得出n=1-2，①-2n1+21＜＜且n≠2 ．【点睛】本题属于新定义题型，涉及到了三角形的判定和性质、切线的性质，解题的关键在于读懂题目信息，并注意数形结合思想的应用．5．（1）①22；①C点为(0,3)或(0,3)-；（2）92422m-<<-+或52222m-<<-+．【解析】【分析】（1）①利用两点之间的距离公式和线段比k的定义即可得；①分若AC BC<时和AC BC≥时，两种情况讨论，根据线段比k的定义计算即可；（2）分①当点N 在E 点或在其左侧时，①当点N 在E 点右侧,M 点在E 点左侧时，①当M 点在E 点或在E 点右侧时三种情况讨论，结合图形和线段比k 的定义分析即可． 【详解】解：（1）①22112AB =+=，22215AQ =+=，1BQ =， ①BQ AQ <， ①1222BQ k AB ===， 故答案为：22； ①①(0,)C c ，①|1|AC c =-，21BC c =+， 若AC BC <时， |1|22c k -==，解得3c =或1c =-（不满足2|1|1c c -<+舍去）； 若AC BC ≥时，2122c k +==，解得3c =（不满足2|1|1c c -≥+舍去）或3c =-；综上所述，C 点为(0,3)或(0,3)-；（2）①直线2y x =+与坐标轴分别交于,E F 两点， ①(2,0)E -,(0,2)F ，①点(,0)M m ，点(2,0)N m +， ①MN =2，①如下图，当点N 在E 点或在其左侧时，22m +≤-，即4m ≤-， M 、N 到线段EF 的最短距离为ME 、NE ， 此时ME >NE ，即2(2)124m --+<，解得92m >-，即942m -<≤-；①如下图，当点N在E点右侧,M点在E点左侧时，42m-<<-，M、N到线段EF的最短距离为ME、NG（N到EF的垂线段），()222,422ME m NG EN m=--==+，若2(4)22m m+<--，即22m<-，2(414)22m+<，解得242m<-+，此时2442m-<<-+，若2(4)22m m+>--，即22m>-，4212m--<，解得52m>-，此时522m-<<-；①如下图，当M点在E点，或在E点右侧时，2m≥-M 到线段EF 的距离近，为MG （M 到EF 的垂线段），2(2)1224m +<，解得222m <-+，即2222m -≤<-+ 综上所述，92422m -<<-+或52222m -<<-+． 【点睛】本题是新定义的题目．注意考查一次函数与坐标轴交点问题，两点之间的距离公式．理解题中线段比的定义，能分类讨论结合图形分析是解题关键．6．（1）① 作图见解析；点M 的坐标是(1,3)，点N 的坐标是(1,32)+；①α的值为60︒或120︒ ；（2） 224t <≤． 【解析】 【分析】（1）①根据“ α− 相关线段”的定义求解；①由题意点M 必在直线x =3上，记MH ①x 轴于H ，则可得MH =1，①MOH =30°，然后分点M 在x 轴上方和点M 在x 轴下方两种情况分别求出α的值即可； （2）根据题意分0<t ≤22、22<t ≤4、t >4三种情况讨论． 【详解】（1）①如图，MN 即为所求．过点M 作BM ①x 轴于点B ， ①四边形AOMN 为菱形， ①AO ①MN ，AO =MO =MN ， ①点A 在y 轴上， ①AO ①x 轴，①MN ①x 轴，即N 、M 、B 三点共线， ①①AOM =30°， ①①MOB =90°-30°=60°，在RT ①MOB 中，BO =12MO =1，MB =332MO =， ①点M 的坐标是(1,3)，点N 的坐标是(1,32)+． ①解：①点A 的“α-相关线段”MN 经过点(3,1)， ①点M 必在直线3x =上．记直线3x =与x 轴交于点(3,0)H ， ①2,3OM OA OH ===，①221MH OM OH =-=，30MOH ∠=︒． 分两种情况：a ）如图，当点M 在x 轴上方时，点M 恰为(3,1)，符合题意，此时60,60AOMα︒∠==︒；b）如图，当点M在x轴下方时，点M为(3,1)-，由2MN=知点N为(3,1)，也符合题意，此时120,120AOMα︒∠==︒．综上，α的值为60︒或120︒．（2）当0<t≤22时，任意菱形的边MN都不经过点(0，4)；当22<t≤4且N为（0，4）时，点P的“α-相关线段”过(0，4)，当22<t≤4且M为（0，4）时，点P的“β-相关线段”过(0，4)；当t>4时,只有一种情况使P的“α-相关线段”或“β-相关线段”过(0，4)，此时(0，4)在线段OM上，①不符合题意综上所述，224t<≤【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、菱形的性质是解题关键．7．（1）1A，2A；（2）（32-，12），（35，45）；（3）3k>或3k<-．【解析】【分析】（1）过点1(1,1)A -作直线交O 于点1B ，1C ，过点2()30,2A 作22B C y 轴交O 于点2B ，2C ，过点3()1,02A 作33B C x 轴交O 于点3B ，3C ，连接2OB ，3OC ，分别求出22B C ，33B C ，根据“斜射点”的判别条件ABAC ，01BC，分别进行判别即可；（2）过点A 作O 的切线AD ，交O 于点 D ，根据Rt ADO 中，1OD =， 2AO =，可求得点 D 的坐标是（32-，12），可知，满足 AB AC ，01BC，点D 是 O 的“斜射点”；在 OD 上取13=2OD ，并过 1D 作 144OD B C 交O 于点 4B ，4C ，可求得 4C 的坐标是（-1，0），设过A ，4C 两点的直线是 y kx b =+，并交 O 于点5B ，可求出点5B 的坐标是（35， 45），根据（1）中2A 的求法可知，55<1B C ，可得 5B 是O 的“斜射点”； （3）当0k >时，一次函数y kx k =+图像向上，过点B （-1，0）交O 于点5C ，并51BC ，可得5OBC 是等边三角形，根据（1）中 2A 的求法可知，点5C 的坐标是（12-， 32），可求出得： 3k =，则有当满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k >，同理可得，当 0k >时，点5C 的坐标是（12-， 32-），可得满足过点 B 并且是O 的“斜射点”时，3k <-． 【详解】解：（1）过点1(1,1)A -作直线交O 于点 1B ，1C , 过点2()30,2A 作 22BC y 轴交O 于点2B ，2C ， 过点3()1,02A 作33BC x 轴交O 于点3B ，3C ，连接2OB ，3OC ，O 的半径为1，即231OB OC ，①22B C y 轴，2A 的坐标是 3(0,)2①y 轴垂直平分22B C ， ①由勾股定理可得：2222222231=11222B C OB OA ， ①22=1B C ，满足AB AC ，01BC ， ①点2A 是O 的“斜射点”； ①33B C x 轴，3A 的坐标是 1(,0)2①x 轴垂直平分33B C ，①由勾股定理可得：22223323132212=1B C OC OA ，①3331B C ，根据O 中，过点3A 的所有弦中，垂直半径的弦最短可知，过点3A 的所有弦都大于 3，因此点3A 不满足题意， ①点3A 不是是O 的“斜射点”； 由图中图像可知1122B C B C ，即有：1122=1B C B C故满足AB AC ，01BC ， ①点1A 是O 的“斜射点”；综上所述，点1A ，2A 是O 的“斜射点”； （2）如图示，过点A 作O 的切线AD ，交O 于点 D ，在Rt ADO 中，1OD =，2AO =， ①2222=213AD AO D O ,设点D 的坐标是（D x ，D y ）， 则有：11··22ADOD S OD AD AO x ==， ①11··22ADOD S OD AD AO x == ①32D x （点D 在第二象限，取负值）， ①221D D x y ，①12Dy （点D 在第二象限，取正值），①点D 的坐标是（32-，12）， 满足AB AC ，01BC ，①点D 是O 的“斜射点”，即点B 的坐标可以是（32-，12）；在OD 上取13=2OD ，并过 1D 作144OD B C 交O 于点 4B ，4C ，根据（1）中2A 的求法可知，44=1B C ， 4C 的坐标是（-1，0）， 设过A ，4C 两点的直线是y kx b =+，并交O 于点5B①20b k b =⎧⎨-+=⎩，解之得 22b k ，①过A ，4C 两点的直线是22y x =+， 设点5B 的坐标是（5B x ，5B y ），则有555522122B B B B x y y x ，解之得5510B Bx y或553545B B x y ，即点5B 的坐标是（35，45）， 根据（1）中2A 的求法可知，55<1B C ， 即满足AB AC ，01BC ，①点5B 是O 的“斜射点”，即点B 的坐标可以是（35， 45）；综上所述，即点B 的坐标可以是（32-，12），（ 35，45）； （3）如图示，当0k >时，一次函数y kx k =+图像向上，过点B （-1，0）交O 于点 5C ，并51BC ，①51OB OC ，①5OBC 是等边三角形，根据（1）中2A 的求法可知，点5C 的坐标是（12-，32），①1322k k，解之得：3k =，当满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k >，同理可得，当0k >时，点5C 的坐标是（12-， 32-），①满足过点B 并且是O 的“斜射点”时，3k <-， 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，弦长的性质，点与坐标的关系，方程组的解法，“斜射点”的定义的理解等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 8．（1）①2；①3；（2）24Od ≤≤；（3）332m <--或331m >-+．【解析】 【分析】（1）①根据题意易得当线段AB 与以点O 为圆心的圆相切时半径最小，经过点B 时半径最大，由此问题可得解；①由题意可得当以点A 为圆心的圆与B 外切时半径最小，内切时半径最大，由此问题可得解；（2）设直线1y x =-+与O 的交点分别为M 和N ，与x 轴、y 轴交于点A 、B ，由题意易得点()()1,0,0,1A B ，即OA =1，OB =1，则可分当点P 在点M 上方、点N 下方时和当点P 在线段MN 上时，然后进行分类求解即可； （3）由直线333y x =+可得33,3OD OE ==，则6DE =，30EDO ∠=︒，由(),0,1C m CK =可知点K 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，进而可分当C 经过点D 时和当C 与直线DE 相切于点K 时，然后求解即可． 【详解】解：（1）①由题意得：当以点O 为圆心的圆与线段AB 相切于点B 时，半径为最小，经过点A 时半径最大，连接OA ，如图所示：①()4,3A，()0,3B，①3OB=，()()2240305OA=-+-=，①在点O视角下，则线段AB的“宽度ABd”为532-=，故答案为2；①由题意得：以点A为圆心的圆与B外切时半径最小，内切时半径最大，如图所示：①B半径为1.5，①半径最大为1.54 5.5+=，半径最小为4 1.5 2.5-=，①在点A视角下，B的“宽度Bd”为5.5-2.5=3，故答案为3；（2）设直线1y x =-+与O 的交点分别为M 和N ，与x 轴、y 轴交于点A 、B ，如图所示：当点P 在点M 上方时，则以点P 为圆心的圆与O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图，设P 的半径最小为r ，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为4r +， ①在点P 视角下O “宽度Od”为44r r +-=，同理可得当点P 在点N 下方时，与点P 在点M 外时相同；当点P 在线段MN 上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P 在AB 的中点时，此时在点P 视角下O “宽度Od ”取最小，即：以点P 为圆心的圆与O 内切时半径最大，外切时半径最小，如图所示：①由直线1y x =-+可得点()()1,0,0,1A B ，即OA =1，OB =1， ①①AOB 是等腰直角三角形， ①2AB =， ①点P 是AB 的中点， ①22OP =， ①P 的半径最小为222-，半径最大为222+， ①在点P 视角下O “宽度O d”为2222222⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述：在点P 视角下O “宽度Od ”的取值范围为24Od ≤≤；（3）由题意可得如图所示：由直线333y x =+可得当y =0时，则3033x =+，解得33x =-，当x =0时，则有y =3， ①()()33,0,0,3D E -， ①33,3OD OE ==， ①6DE =， ①30EDO ∠=︒， ①(),0,1C m CK =，①点K 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，①由在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，则有： 当C 经过点D 时，如图所示：①DC =1， ①331OC =-， ①331m =-+，①当点K 与点D 重合时，以点K 为圆心的圆与线段DE 有交点时，半径最小为0，最大为6，所以在点K 的视角下，线段DE 的“宽度”为6DE d =，而点K 在C 的其他地方时，根据三角形三边关系可知始终满足题意， ①331m >-+；当C 与直线DE 相切于点K 时，如图所示：①CK =1，30EDO ∠=︒，①30CDK ∠=︒， ①22CD CK ==，①332OC =+，即332m =--，此时在点K 的视角下，线段DE 的“宽度”为6DE d =，故不符合题意， ①332m <--，综上所述：当随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，则m 的取值范围为332m <--或331m >-+．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的综合，熟练掌握直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及一次函数的性质是解题的关键．9．（1）① 5；①1m =-或7；（2）①3d 且0d ≠；①3C x -＜222--或2212C x -+<【解析】 【分析】（1）①根据题意把(0,0)O ，(3,2)A 代入2121PQ d x x y y =-+-计算即可；①把(3,2)A ，(,0)B m 代入公式，求得34m -=，去绝对值求得m 的值即可；（2）①据题意，锐角三角形不可能为 “和距三角形”，结合图像求出d 的取值范围；①结合图形画出所有可能情况即可求出C x 的取值范围． 【详解】解：（1）① ①(3,2)A①212130205OA d x x y y =-+-=-+-=； 故答案为：5① 知点(,0)B m ，(3,2)A 若6AB d =， ①21213206AB d x x y y m =-+-=-+-= ①34m -=，34m ∴-=或34,m -=-①1m =-或7；（2）① ()()()0,,0,0,3,3,D d O M,6,33,OD MO MDd d d d d∴===+-∴当d＞3时，不存在“和距三角形”，①当3d=时，构成直角三角形如图，符合要求，当3d<时，构成钝角三角形如图，符合要求，①3d且0d≠① 据题意，点K的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能为“和距三角形”，如图：①综上所述：3C x -＜222--或2212C x -+<【点睛】本题考查了新定义，类比法，点与圆的位置关系，圆的切线等，解题的关键是有较强的理解能力及自学能力等．10．(1) ①2, ①(2,0)（答案不唯一）, ①2525b -≤≤ (2) 15432d -≤≤ 【解析】 【分析】(1) ① 根据OA =3，可确定“覆盖近距”为3-1=2；①确定OB =2，写出坐标即可；①确定当OC ①GH 时的“覆盖近距”，以此确定b 的取值范围；(2)确定O 对以DE 为对角线的正方形的“覆盖近距”的最大值和最小值即可． 【详解】解:(1) ①因为OA =3，圆的半径是1，故O 对点A 的“覆盖近距”为3-1=2； 故答案为：2，①O 对点B 的“覆盖近距”为1，圆的半径是1，则OB =2，B 点坐标可以为（2，0）（答案不唯一）；故答案为：（2，0）（答案不唯一）；①设直线2y x b =+与x 轴、y 轴交于点G 、H ，当x =0时，y =b ，OH =b ；当y =0时，x =2b -，OG =2b ，tan①OHG =12，O 对点C 的“覆盖近距”为1，即OC =2,当OC ①GH 时，刚好存在“覆盖近距”为1，此时，OC =2，CH =4，222425OH =+=，同理，OI =25, 故b 的取值范围为：2525b -≤≤（2）根据题意可知以DE为对角线的正方形边长为1，如图所示，当t=-0.5时，“覆盖近距”最小，此时平移后的F经过E、G两点，EG交x轴于点H,连接FG,221520.52FH=-=，d=4-152；当t=2时，“覆盖近距”最大，如图所示，此时，EH=3,22345OE=+=,d=5-2=3；故d的取值范围为：15432d-≤≤【点睛】本题考查了新定义问题和与圆的位置关系，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的相关知识和解直角三角形，利用数形结合思想，正确推理计算．11．（1）①5；①D 、O ；①b 的取值范围为：17b -≤≤；（2）r 的取值范围为232r ≤≤． 【解析】 【分析】（1）①根据k 倍直角点的定义计算即可求解； ①根据“2倍直角点”的定义分别计算，即可判断；①根据“2倍直角点”的定义得到如图所示有正方形的边界即为点A 的2倍直角点存在的区域，列式计算，即可求解；（2）若T 上存在点O 的2倍直角点，即T 与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O 的2倍直角点存在的区域)，根据切线的性质以及特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）①根据k 倍直角点的定义得：121221315k x x y y =-+-=--+-=，故答案为：5；①点C (2，3)，121221313k x x y y =-+-=-+-=， 点D (−1，1)，121211112k x x y y =-+-=--+-=， 点E (0，−2)，121201214k x x y y =-+-=-+--=， 点O (0，0)，121201012k x x y y =-+-=-+-=，①是点A 的2倍直角点的是D (−1，1)，O (0，0)， 故答案为：D 、O ；①如图，正方形的边界即为点A 的2倍直角点存在的区域，若直线2y x b =-+与其有交点，则过点(-1，1)时，b 值最小， 即()121b =-⨯-+，解得：1b =-， 当过点(3，1)时，b 值最大， 即123b =-⨯+，解得：7b =， ①b 的取值范围为：17b -≤≤；（2）若T 上存在点O 的2倍直角点，即T 与如图的正方形有交点(正方形的边界为点O 的2倍直角点存在的区域)，由图可知，当①T 与正方形有交点为H (0，0)时，①T 的半径最大，即3r =； 当①T 与直线MN 相切时，①T 的半径最小， 过T 作TQ ①MN 于Q ，即r TQ =， 根据正方形的性质知①MNO =45︒， ①2sin sin 452TQ QNT TN ∠=︒==, ①1TN =，①22TQ =， ①r 的取值范围为232r ≤≤． 【点睛】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，考查了正方形的性质，特殊角的三角函数值，切线的性质等知识，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“k 倍直角点”的定义是解答此题的关键．12．（1）A ；（2）22b =或b=-22；（3）22m -≤≤322． 【解析】 【分析】（1）根据友好点的定义去计算判断，只要满足到原点的距离为1即可；（2）根据直线与圆O 相切时，只有一个公共点，再根据友好点的定义，将直线向外平移1各单位，后确定b 的值即可；（3）确定直线y =x +m 与直线y =2的交点，分交点在点D 左边和右边两种情形求解即可． 【详解】解：（1）①(1,0)A ,1(0,)2B ,C (-1,1)，①OA =22(10)(00)-+-=1，OB =221(0)(00)2-+-=12，OC =22(10)(10)--+-=2，①符合新定义的点是（1,0）， 故答案为：A ；（2）如图，直线y x b =+与圆O 相切是时，直线与圆有一个公共点，此时OG =OD =1， 根据直线的特点，知道直线与坐标轴构成等腰直角三角形，根据友好点的定义，只需将相切的直线沿着OD 或OG 向外平移一个单位长即可，分别到达E 或H 点，此时OE =2或OH =2，根据平移的性质，OE =EF =2，或OH =HM =2，根据勾股定理，得OM =OF =22， ①b =22或b =-22；。
中考数学专题复习学案 一次函数之新定义
同时强调多思少算,训练学生准确画图,从图形语言中获取信息的方法
二、解题策略
常见思路:给什么,用什么。
关键是
①深刻理解“新定义”一一明确“新定义”的条件,原理、方法、步骤和结论；
②重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；
(1)请判断下列各点中是平面直角坐标系中的平衡点的是:(填序号) ①A(1,2),②B(-4,4)
(2)若在第一象限中有一个平衡点N(4,m)恰好在一次函数y=-x+b(b为常数)的图象上.
①求m、b的值
②一次函数y=-x+b(b为常数)与y轴交于点C,问:在这函数图象上,是否存在点M使 ,若存在,请直接写出点M的坐标:若不存在,请说明理由.
②存在,设点M的坐标为(x.-x+8)
∵ 即 ,解得:x=±12,:点M的坐标为(12，-4)或(-12，20)
(3)没有,理由如下：
设平衡点的坐标为(n,-2),则2|n|=(2+|n|)×2,∴2|n|=4+2|n|,即0=4.
∵0≠4,
∴经过点P(0-2),且平行于x轴的直线上没有平衡点.
本题考查了长方形的周长、长方形的面积、解一元一次方程、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程,解题的关键是:(1)利用平衡点的定义逐一验证点A,B是否为平衡点:(2)①利用平衡点的定义及一次函数图象上点的坐标特征,求出m,b的为(x,-x+8),利用三角形的面积公式结合 ,可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出x的值,再将其代入点M的坐标中即可求出结论;
中考数学专题复习新定义问题
中考数学专题复习新定义问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．2．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是 ；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．3．在⊙ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在⊙ABC 的内部或边上，则称DE 为⊙ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是⊙ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt⊙ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出⊙ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在⊙ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ⊙若12t =，求⊙ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ⊙若在⊙ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在⊙ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）． 已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）． （1）求d （点O ，ABC ）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC ）1=，直接写出k 的取值范围；（3）T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （T ，ABC ）1=，直接写出t 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当⊙O 的半径为2时，⊙在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 中，⊙O 的关联点是_______________． ⊙点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围． （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．⊙若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；⊙点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式； （2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（32，0），T（1，3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣33x+23与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．参考答案：1．（1）22B C ；（2）3t =±；（3）当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =． 【解析】 【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可；（2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到； 故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C''与y轴的交点为D，连接OB'，易得B C y''⊥轴，⊙12B D DC''==，⊙2232OD OB B D''=-=，2232AD AB B D''=-=，⊙3OA=，⊙3t=；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的3OA=，⊙t3=-；（3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，则可知,B C''都在O上，且1,2AB AB AC AC''====，则有当以B'为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在O上时为最小，最小值为1，此时AC'为O的直径，⊙90AB C''∠=︒，⊙30AC B''∠=︒，⊙cos303BC B C AC'''==⋅︒=；由以上情况可知当点,,A B O'三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C'''，过点C'作C P OA'⊥于点P，⊙1,2OC AC OA''===，设OP x=，则有2AP x=-，⊙由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP'''=-=-，即()222221x x--=-，解得：14x=，⊙154C P'=，⊙34B P OB OP ''=-=， 在Rt B PC ''中，2262B C B P C P ''''=+=， ⊙62BC =； 综上所述：当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =．【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 2．（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤【解析】 【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围． 【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线323y x =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD⊙AB ，过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF⊙CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，⊙2sin 603OE ︒==． 由垂径定理得：221322OF OC CD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，⊙132d OE OF =-=；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为2235222AO⎛⎫=+=⎪⎝⎭．如图，平移距离2d的最小值即点A到⊙O的最小值：53122-=；平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊙A1A2且A1B2=1时.⊙B2A2A1=60°，则⊙OA2A1=30°,⊙OA2=1,⊙OM=12, A2M=32,⊙MA=3,AA2=22339 322⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭,⊙2d的取值范围为：233922d≤≤．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）π；（2）⊙P的纵坐标1py≥或12Py≤；⊙02t<≤.【解析】【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，⊙当12t=时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角⊙AEP满足90°≤⊙AEP＜135°；⊙根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，⊙⊙A=90°，AB=AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22114,42sin sin 4522︒∴=====⨯=AC BC DE BC B ， ⊙弧DE 122ππ=⨯=； （2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG⊙AC 交FP 于G ，⊙当12t =时，C （2，0），⊙D （0，1），E （1，1），1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F ， 设1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，⊙m≥1， ⊙OA=OC ，⊙AOC=90°⊙⊙ACO=45°，⊙DE⊙OC⊙⊙AED=⊙ACO=45°作EG⊙AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； 12∴m 综上所述，12m或m≥1． ⊙图4，设圆心P 在AC 上，⊙P 在DE 中垂线上，⊙P 为AE 中点，作PM⊙OC 于M ，则PM=323,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ， ⊙DE⊙BC⊙⊙ADE=⊙AOB=90°，222221(2)41∴=+=+=+AE AD DE t t⊙PD=PE ，⊙⊙AED=⊙PDE⊙⊙AED+⊙DAE=⊙PDE+⊙ADP=90°，⊙⊙DAE=⊙ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM1322∴AE ，AE≤3，即2413+t ，解得：2t02>∴<t t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）10k -≤<或01k <≤；（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．【解析】【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分0k <和0k >两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围．详解：（1）如下图所示：⊙B（2-，2-），C（6，2-）⊙D（0，2-）⊙d（O，ABC）2OD==（2）10k-≤<或01k<≤（3）4t=-或0422t≤≤-或422t=+．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）⊙P 2、P 3，⊙－322≤x≤－22或22 ≤x≤322；（2）－2≤x≤1或2≤x≤22 . 【解析】【详解】试题分析：（1）⊙由题意得，P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由23,OP OP 的值可知23,P P 为⊙O 的关联点；⊙满足条件的P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P 横坐标范围是－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322； （2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A ， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A ，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===， 点1P 与⊙的最小距离为32，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ⊙⊙的关联点为2P 和3P ．⊙根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意； ⊙ 设点P 的坐标为P (x ，-x) ，当OP=1时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)1x x -+--= ，解得22x =± ，当OP=3时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)3x x -+--= ，229x x +=，解得322x =±， ⊙ 点的横坐标的取值范围为－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322（2）⊙y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，⊙ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，令得x=0得，y=0，⊙A(1，0) ，B (0，1) ，分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，⊙ 点C坐标为，C ( -2，0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，⊙CD=1 ，又⊙直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，⊙ 直线AB与x轴形成的夹角是45°，⊙ RT⊙ACD中，CA=2，⊙ C点坐标为(1-2，0)⊙C点的横坐标的取值范围为；-2≤cx≤1-2，如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3，在Rt⊙OCB中，由勾股定理得OC=23122-=，C点坐标为(22，0)．⊙ C点的横坐标的取值范围为2≤cx≤22；⊙综上所述点C的横坐标的取值范围为－322≤cx≤－22或22≤cx≤322．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.6．（1）⊙2；⊙1y x =- 或1y x =-+；（2）1≤m≤5 或者51m -≤≤-．【解析】【详解】试题分析：（1）⊙易得S=2；⊙得到C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C 分别代入AC 的表达式即可得出结论；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 相切，求出M 的坐标，即可得出结论．试题解析：（1）⊙S=2×1=2；⊙C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C分别代入AC 的表达式得到：0{23k b k b =+=+或0{23k b k b=+-=+，解得：1{1k b ==-或1{1k b =-=，则直线AC 的表达式为1y x =- 或1y x =-+；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 有交点，即存在N ，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O 相切，如图1l 与2l ，直线1l 与⊙O 切于点N ，ON=2，⊙ONM=90°，⊙1l 与y 交于1P （0，-2）．1M （1m ，3），⊙13(2)0m --=-，⊙1m =-5，⊙1M （-5，3）；同理可得2M （-1，3）； 当k=1时，极限位置是直线3l 与4l （与⊙O 相切），可得3M （1，3）， 4M （5，3）． 因此m 的取值范围为1≤m≤5或者51m -≤≤-．考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．7．（1）①见解析；②0＜x ＜2；（2）圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x≤8．【解析】【详解】试题分析：（1） ⊙根据反称点的定义画图得出结论；⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤，2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，把x ＝2和x=0代入验证即可得出，P （2，0），P′（2，0）不符合题意P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2（2）求出A ，B 的坐标，得出OA 与OB 的比值，从而求出⊙OAB=30°，设C （x ，0） ⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4，得出 C 点横坐标x≥2． （当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8，得出结论.试题解析： （1）解：⊙M （2，1）不存在，3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭存在，反称点1,02N ⎛⎫' ⎪⎝⎭(1,3)T 存在，反称点T′（0，0）⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤4 2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，当x ＝2时，P （2，0），P′（2，0）不符合题意当x ＝0时，P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2 （2）解：由题意得：A （6，0），()0,23B ，⊙3OA OB=，⊙⊙OAB ＝30°，设C （x ，0）⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4， C 点横坐标x≥2． （当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8 综上所述：圆心C 的横坐标的取值范围2≤x≤8．考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；答案第15页，共15页。
中考数学专题复习--新定义型问题课件
知识概述
“新定 义”型 问题
定义新运算
“定义新运算”是指用一个符号和已知运 算表达式表示一种新的运算．解决这类问题 的关键是理解新运算规定的规则，明白其中 的算理算法．运算时，要严格按照新定义的 运算规则，转化为已学过的运算形式，然后 按正确的运算顺序进行计算．
定义新概念
例 3．在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等) 的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”， 如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”． （2）M，N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m，n)， 求直线 MN 的表达式(用含 m，n 的代数式表示)；
定义新概念 （2）M，N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m，n)， 求直线 MN 的表达式(用含 m，n 的代数式表示)； 【简析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k≠ 0) ． 把 M( m,n) ，N( n，m) 代入 y = kx + b，解得 k=-1，b=m + n，∴ 直线 MN 的表达式为 y=-x+m+n．
“定义新图形”试题呈现的一般结构为: 给出新图形定义→了解新图形结构→理解 和运用新图形性质．而理解新图形性质特 征是解题的关键.
定义新图形 例 4．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一 个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形 为“智慧三角形”. 理解：（1）如图 1，已知 A、B 是⊙O 上两点，请在圆上找 出满足条件的点 C，使△ABC 为“智慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹）；
（1）填空：①- =
；
②若x=-2，则 x 的取值范围是
．
2020北京市中考数学专题复习---新定义问题
2020北京市中考数学专题复习---新定义问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二、重难专题突破专题九新定义问题(必考)类型一新定义点与函数问题(8年4考：2017.29、2015.29、2014.25、2013.25)1. (2019房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.(1)当⊙O的半径r＝2时，在点D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)中，为⊙O的关联整点的是；(2)若直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；(3)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝－x＋4上存在⊙C的关联整点.求圆心C的横坐标t的取值范围.第1题图2. (2019丰台区二模)对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得点P 在射线BC 上，且∠APB ＝14∠ACB (0°<∠ACB <180°)，则称P 为⊙C 的依附点.(1)当⊙O 的半径为1时，①已知点D (－1，0)，E (0，－2)，F (2.5，0)，在点D ，E ，F 中，⊙O 的依附点是 ；②点T 在直线y ＝－x 上，若T 为⊙O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；(2)⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .若线段MN 上的所有点都是⊙C 的依附点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围.3. (2019西城区一模)在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N(M，N可以重合)使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点.第3题图①(1)如图①，已知点A (0，3)，B (2，3).①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是 ，最大值是 ；②在P 1(32，0)，P 2(1，4)，P 3(－3，0)这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是 ； (2)如图②，已知⊙O 的半径为1，点D 的坐标为(5，0).若点E (x ，2)在第一象限，且点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，求x 的取值范围；(3)如图③，已知点H (－3，0)，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点C (a ，b )(其中b ≥0)是坐标平面内一个动点，且OC ＝5，⊙C 是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK ︵上的任意两个点都是⊙C 的一对平衡点，直接写出b 的取值范围.第3题图② 第3题图③4. (2019朝阳区二模)M (－1，－12)，N (1，－12)是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN ≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点.(1)在点A 1(0，12)，A 2(12，0)，A 3(0，2)，A 4(2，2)中，线段MN 的可视点为 ； (2)若点B 是直线y ＝x ＋12上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； (3)直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点，直接写出b 的取值范围.第4题图类型二 新定义距离与函数问题(8年2考：2018.28、2012.25)1. (2012北京)在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|；若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点).第1题图①(1)已知点A (－12，0)，B 为y 轴上的一个动点， ①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；(2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点， ①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图③，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标.第1题图2. (2019东城区一模)在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”.第2题图(1)已知点A的坐标为(－3，1)，①在点E(0，3)，F(3，－3)，G(2，－5)中，为点A的“等距点”的是；②若点B在直线y＝x＋6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；(2)直线l：y＝kx－3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，①若T1(－1，t1)，T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1与T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.备用图3.(2018北京)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N).已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2).(1)求d(点O，△ABC)；(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围.4.(2019石景山一模)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).(1)已知点E(0，4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，若d(⊙T)＜6，直接写出t的取值范围.类型三新定义图形与函数问题(仅2016.29考查)1.(2019石景山区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”.(1)已知点A(4，0).①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x－5上，则点B的坐标为；(2)⊙T的圆心为点T(2，0)，半径为2，点M的坐标为(2，6)，N为直线y＝x＋4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标x N的取值范围.2.(2018平谷区一模)在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2，0)，B(0，23)，则以AB为边“坐标菱形”的最小内角为°；(2)若点C(1，2)，点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；(3)⊙O的半径为2，点P的坐标为(3，m).若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围.图①图②第2题图类型四 新定义几何问题(2019.28新考查)1. (2019北京)在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧.例如，如图①中DE ︵是△ABC 的一条中内弧.第1题图① 第1题图②(1)如图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ︵，并直接写出此时DE ︵的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A (0，2)，B (0，0)，C (4t ，0)(t >0).在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点.①若t ＝12，求△ABC 的中内弧DE ︵所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ︵，使得DE ︵所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围.2.P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把P A·PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”.第2题图(1)⊙O的半径为6，OP＝4.①如图，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围；(2)若⊙O的半径为r，OP＝d，请参考(1)的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围；(3)在平面直角坐标系xOy中，C(1，0)，⊙C的半径为3，已知点M(t，0)，N(0，－t)，若在直线MN 上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出t的取值范围.参考答案类型一新定义点与函数问题1. 解：(1)E，F；【解法提示】∵D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)，O(0，0)，∴OD＝22＋22＝22＞2，OE＝1＜2，OF＝2，∴E，F为⊙O的关联整点；(2)如解图①，当⊙O与直线y＝－x＋4相切时，切点为G(2，2)，则r＝OG＝22＋22＝22.当⊙O过点Q(－2，6)时，则r＝OQ＝22＋62＝210，结合图象，当直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个时，r的取值范围为22≤r＜210；第1题解图①(3)如解图②，当⊙C过点M(3，1)时，CM＝2，ME＝1，则CE＝3，此时点C的横坐标t＝3－3，当⊙C′过点N(5，－1)时，则FC′＝3，此时点C′的横坐标t＝5＋3，结合函数图象，圆心C的横坐标t的取值范围为3－3≤t≤5＋3.第1题解图②2. 解：(1)①E、F；【解法提示】如解图①，根据P为⊙O的依附点，可知：当r＜OP＜3r(r为⊙O的半径)时，点P为⊙O的依附点．第2题解图①∵D(－1，0)，E(0，－2)，F(2.5，0)，∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，∴点E，F是⊙O的依附点，故答案为：E、F；②如解图②，第2题解图②当点T 在第四象限，OT ′＝1时，作T ′N ⊥x 轴于点N ，易知N (22，0)，OT ＝3时，作TM ⊥x 轴于点M ，易知M (322 ，0)，∴满足条件的点T 的横坐标t 的取值范围为22 ＜t ＜322. 当点T 在第二象限时，同理可得满足条件的t 的取值范围为－322 ＜t ＜－22， 综上所述，满足条件的t 的值的范围为22 ＜t ＜322 或－322 ＜t ＜－22. (2)4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 .【解法提示】如解图③，当点C 在点M 的右侧时，第2题解图③由题意M (2，0)，N (0，2)，当CN ＝6时，OC ＝CN 2－ON 2 ＝42 ，此时C (42 ，0)，当CM ＝2时，此时C (4，0)，∴满足条件的m 的值的范围为4＜m ＜42 .如解图④，当点C 在点M 的左侧时，第2题解图④当⊙C 与直线MN 相切时，易知C ′(2－22 ，0)，当CM ＝6时，C (－4，0)，∴满足条件的m 的值的范围为－4＜m ＜2－22 ，综上所述，满足条件的m 的值的范围为：4＜m ＜42 或－4＜m ＜2－22 . 3. 解：(1)① 3，13 ；【解法提示】d 的最小值＝OA ＝3，d 的最大值＝OB ＝22＋32 ＝13 . ②P 1；【解法提示】由题图①可知，P 1到线段AB 的最小距离＝OA ＝3，最大距离＝P 1A ＝（32）2＋32 ＝352，则线段AB 上存在点M ，N ，使得P 1M ＝ON ；P 2到线段AB 的最大距离＝12＋12 ＝2 ，∵2 <3，∴P 2不符合题意；P 3到线段AB 的最小距离＝32＋32 ＝32 ，∵32 >13 ，∴P 3不符合题意．(2)第3题解图①由题意得，点D 到⊙O 的最近距离是4，最远距离是6，点D 与点E 是⊙O 的一对平衡点，此时需要满足E 1到⊙O 的最大距离是4，即OE 1＝3，根据OE 1＝3解出此时x ＝5 ；同理当E 2到圆O 的最小距离是6，即OE 2＝7， 根据OE 2＝7，解得此时x ＝35 ， ∴5 ≤x ≤35 ； (3)4143≤b ≤5.【解法提示】点C 在以O 为圆心，半径为5的上半圆上运动，以C 为圆心，半径为2的圆刚好与弧HK 相切，此时要想弧HK 上的任意两点都是⊙C 的平衡点，需要满足CK ≤6，如解图②，当CK ＝6，此时a ＝－13 ，b ＝4143 ，同理，当CH ＝6时，a ＝13 ，b ＝4143 .在两者中间时，如解图③所示，此时a ＝0，b ＝5，∴4143≤b ≤5.第3题解图②第3题解图③4. 解：(1)A 1，A 3；【解法提示】如解图①，以MN 为直径的半圆交y 轴于点E ，以E 为圆心，EM 长为半径的⊙E 交y 轴于点F ，∵MN 是⊙G 的直径，M (－1，－12 )，N (1，－12 )，∴∠MA 1N ＝90°，MN ⊥EG ，EG ＝1，MN ＝2.∴EF ＝EM ＝2 ，∴∠MFN ＝12 ∠MEN ＝45°，∵45°≤∠MPN ≤90°，∴点P 应落在⊙E 内部，且落在⊙G 外部(包含边界)，且不与点M 、N 重合．∴线段MN 的可视点为A 1，A 3.第4题解图①(2)如解图②，以(0，－12 )为圆心，MN 为直径作⊙G ，以(0，12 )为圆心，2 为半径作⊙E ，两圆在直线MN 上方的部分与直线y ＝x ＋12分别交于点E ，F .如解图②，过点F 作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点E 作EH ⊥FQ 于点H ，∵FQ ⊥x 轴， ∴FQ ∥y 轴，∴∠EFH ＝∠MEG ＝45°. ∵∠EHF ＝90°，EF ＝2 ， ∴EH ＝FH ＝1. ∵E (0，12 )，∴F (1，32).只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视点． ∴点B 的横坐标t 的取值范围是0≤t ≤1；第4题解图②(3)－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52；【解法提示】如解图③，⊙G 与x 轴交于点H ，与y 轴交于点E ，连接GH ，OG ＝12 ，GH ＝1，∴OH ＝GH 2－OG 2 ＝12－（12）2 ＝32，∴H (32 ，0)，E (0，12). 当直线y ＝x ＋b (b ≠0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN 的可视点， ①当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 负半轴上，将H (32 ，0)代入y ＝x ＋b 得32 ＋b ＝0，解得b 1＝－32， 将N (1，－12 )代入y ＝x ＋b 得1＋b ＝－12 ，解得b 2＝－32 ，∴－32 ＜b ≤－32；②当直线y ＝x ＋b 与y 轴交点在y 正半轴上， 将 E (0，12 )代入得b ＝12，当直线y ＝x ＋b 与⊙E 相切于T 时交y 轴于Q ，连接ET ，则ET ⊥TQ ， ∵∠EQT ＝45°， ∴TQ ＝ET ＝EM ＝2 ，∴EQ ＝ET 2＋TQ 2 ＝（2）2＋（2）2 ＝2. ∴OQ ＝OE ＋EQ ＝12 ＋2＝52 .∴12 ≤b ≤52. 综上所述：－32 ＜b ≤－32 或12 ≤b ≤52.第4题解图③类型二 新定义距离与函数问题1. 解：(1)①B (0，2)或B (0，－2)(写出一个答案即可)； ②12； (2)①设C 点坐标为(m ，34m ＋3)，D (0，1)；于是当非常距离最小时有|m |＝|34 m ＋3－1|，解得 m 1＝－87 ，m 2＝8(舍去)，于是点C 的坐标为(－87 ，157)；②平移直线y ＝34 x ＋3与⊙O 相切，切点为点E ，与x 轴、y 轴交点分别为点A 、B ，由切线的性质可知点E 即为最接近直线y ＝34x ＋3的点，亦为题中所求的点．第1题解图如解图，过点E 作EF ⊥x 轴于点F . 设点E 的坐标为E (x 0，y 0)，x 0＜0； 易知：Rt △EFO ∽ Rt △AOB ， ∴FO EF ＝OB AO ＝34 ，即－x 0y 0 ＝34， 又∵点E 为⊙O 上的点，∴可得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 20 ＋y 20 ＝1，4x 0＋3y 0＝0，解得：x 0＝－35 ，y 0＝45 ，∴点E 的坐标为(－35 ，45).设点C 的坐标为C (a ，34 a ＋3)，由①可知：当|－35 －a |＝|(34 a ＋3)－45 |时有最小值，∴a ＝－85 或325(舍去)，∴点C 的坐标为C (－85 ，95 )，此时最小值为－35 －(－85 )＝1.2. 解：(1)①E ，F ；【解法提示】点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点E 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点F 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，点G 到x ，y 轴的距离中的最大值等于5；∴点E ，F 是点A 的“等距点”．②(－3，3)；【解法提示】∵点A 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，A ，B 两点为“等距点”，∴点B 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∵点B 在直线y ＝x ＋6上，∴设B (a ，a ＋6)，当a ＝3时，a ＋6＝9，不符合题意，当a ＋6＝3时，a ＝－3，符合题意，∴B (－3，3).(2)①∵T 1(－1，t 1)，T 2(4，t 2)是直线l 上的两点， ∴t 1＝－k －3，t 2＝4k －3. ∵k ＞0，∴|－k －3|＝k ＋3＞3，4k －3＞－3， 依题意可得：当－3＜4k －3＜4时，k ＋3＝4，解得k ＝1; 当4k －3≥4时，k ＋3＝4k －3，解得k ＝2. 综上所述，k 的值为1或2； ②32≤r ≤32 . 【解法提示】当k ＝1时，y ＝x －3，则点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(0，－3)；如解图，过点O 作OE ⊥CD 于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，∵CD ＝32＋32 ＝32 ，∴OE ＝CE ＝322 .∴EF ＝22×322 ＝32 .则线段CD 上的点到x ，y 轴的距离中的最小值等于32 ，∴半径r 的最小值为32；线段CD 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，∴半径为r 的⊙O 上存在一点M ，使得点M 到x ，y 轴的距离中的最大值等于3，如解图，过点G (3，3)作x 轴的垂线，垂足为点C ，连接OG ，则OG ＝32＋32 ＝32 ，∴⊙O 的半径r 的最大值为32 ；综上所述，r 的取值范围是32≤r ≤32 .第2题解图3. 解：(1)如解图①，d (点O ，△ABC )＝2; (2)－1≤k ≤1且k ≠0；【解法提示】如解图①，y ＝kx (k ≠0)经过原点，在－1≤x ≤1范围内，函数图象为线段．第3题解图①当y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)经过(1，－1)时，k ＝－1， 此时d (G ，△ABC )＝1，当y ＝kx (－1≤x ≤1，k ≠0)经过(－1，－1)时，k ＝1， 此时d (G ，△ABC )＝1， ∴－1≤k ≤1， ∵k ≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.(3)如解图②，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，t＝－4；②⊙T在△ABC的内部时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，0≤t≤4－22；③⊙T在△ABC的右侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时，t＝4＋22；综上，t＝－4或0≤t≤4－22或t＝4＋22.第3题解图②4. 解：(1)①5；【解法提示】∵正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0)，点E(0，4)在y轴上，∴点E到正方形ABCD边上C点间的距离有最大值，EC＝5，即d(点E)的值为5.②如解图①所示：∵d(点E)＝5，∴d(线段EF)的最小值是5，∴符合题意的点F满足d(点F)≤5，当d(点F)＝5时，BF1＝DF2＝5，∴点F1的坐标为(4，0)，点F2的坐标为(－4，0)，将点F1的坐标代入y＝kx＋4得：0＝4k＋4，解得：k＝－1，将点F2的坐标代入y＝kx＋4得：0＝－4k＋4，解得：k＝1，∴k＝－1或k＝1.∴当d(线段EF)取最小值时，EF1直线y＝kx＋4中k≤－1，EF2直线y＝kx＋4中k≥1，∴当d(线段EF)取最小值时，k的取值范围为：k≤－1或k≥1；(2)t的取值范围为－3＜t＜3.【解法提示】⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，当d(⊙T)＝6时，如解图②所示：CM＝CN＝6，OH＝3，∴T1C＝TC＝5，CH＝OC＋OH＝1＋3＝4，∴T1H＝T1C2－CH2＝52－42＝3，TH＝TC2－CH2＝52－42＝3，∴d(⊙T)＜6，t的取值范围为－3＜t＜3.图①图②第4题解图类型三 新定义图形与函数问题1. 解：(1)①如解图①，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR ，则OR ＝AR .过点R 作RH ⊥OA 于点H ，∴OH ＝HA ＝12OA ＝2，∵以线段OA 为底的等腰△OAR 恰好是点O ，A 的“生成三角形”， ∴RH ＝OA ＝4.∴OR ＝OH 2＋RH 2 ＝25 . 即该三角形的腰长为25 ；第1题解图①②(1，0)，(3，0)或(7，0)【解法提示】如解图②所示：若A 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(7，0)； 若B 为直角顶点时，点B 的坐标为(1，0)或(3，0). 综上，点B 的坐标为(1，0)，(3，0)或(7，0).第1题解图②(2)如解图③可得：若N 为直角顶点：－1－2 ≤x N ≤0；第1题解图③如解图④可得：若M 为直角顶点：－6≤x N ≤－2；第1题解图④综上，点N 的横坐标x N 的取值范围为：－6≤x N ≤0. 2. 解：(1)60；【解法提示】如解图①所示，∵点A (2，0)，B (0，23 )， ∵OA ＝2，OB ＝23 ，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB ＝22＋（23）2 ＝4， ∵OA ＝12 AB ，∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝30°， ∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABC＝2∠ABO＝60°，∵AB∥CD，∴∠DCB＝180°－60°＝120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°；第2题解图①(2)如解图②，第2题解图②∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y＝5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于点E.∴D(4，5)或(－2，5).∴直线CD的表达式为：y＝x＋1或y＝－x＋3；(3)分两种情况：①先作直线y＝x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝x，如解图③，第2题解图③∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，∴OD＝2 OQ′＝2，∴BD＝3－2＝1，∵△P′DB是等腰直角三角形，∴P′B＝BD＝1，∴P′(3，1)，同理可得：OA＝2，∴AB＝3＋2＝5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB＝5，∴P(3，5)，∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y＝－x，再作圆的两条切线，且平行于直线y＝－x，如解图④，∵⊙O的半径为2，且△OQ′D是等腰直角三角形，∴OD＝2 OQ′＝2，∴BD＝3－2＝1，∵△P′DB是等腰直角三角形，∴P′B＝BD＝1，∴P′(3，－1)，同理可得：OA＝2，∴AB＝3＋2＝5，∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB＝5，∴P(3，－5)，∴当－5≤m≤－1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述，m的取值范围是1≤m≤5或－5≤m≤－1.第2题解图④类型四 新定义几何问题1. 解：(1)画出DE ︵如解图①所示，DE ︵与BC 相切时，△ABC 的中内弧最长.此时DE ︵的长为以DE 长为直径的半圆.∵在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝22，∴BC ＝2AB ＝2·22＝4.∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×4＝2.∴lDE ︵＝180π360×2＝π；第1题解图①(2)①当t ＝12时，C (2，0).连接DE ，当DE ︵在DE 的下方时，点P 的纵坐标最小时点P 为DE 的中点，如解图②所示.∵A (0，2)，∴BA ＝2.∵点D 是BA 的中点，∴BD ＝1.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12BC ＝12×2＝1.∴⊙P 的半径PD ＝12.∵12＜1，∴DE ︵是△ABC 的中内弧.∴y P ≥1.第1题解图②第1题解图③当DE ︵在DE 的上方时，点P 的纵坐标最大时，⊙P 与AC 相切于点E .如解图③所示，作DE 的垂直平分线FG 交DE 于点F ，交x 轴于点G ，则四边形DBGF 是矩形，圆心P 在FG 上.∵C (2，0)，A (0，2)，∴BC ＝BA ＝2.∴Rt △ABC 是等腰直角三角形.∴∠ACB ＝45°.∵点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC .∴∠AED ＝∠ACB .∴∠AED ＝45°.连接PE ，∵⊙P 与AC 相切于点E ，∴PE ⊥AC .∴∠PEA ＝90°.∴∠PEF ＝∠PEA －∠AED ＝45°.∵PF ⊥DE ，∴∠FPE ＝45°.∴∠PEF ＝∠FPE .∴PF ＝EF .∵FG 平分DE ，∴DF ＝EF ＝12DE ＝12×1＝12.∴PF ＝12.∵FG ＝BD ＝1，∴PG ＝FG －PF ＝1－12＝12.∴P (12，12).∴y P ≤12.综上，圆心P 的纵坐标y P 的取值范围为y P ≥1或y P ≤12 ；②0＜t ≤2 .【解法提示】ⅰ. 当P 在DE 上方时，如解图④所示，圆心P 在边AC 上且DE ︵与边BC 相切于点F 时，符合题意．∵C (4t ，0)，∴BC ＝4t .∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12 BC ＝12 ×4t ＝2t .连接PF .∵⊙P 与BC 相切于点F ，∴PF ⊥BC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥PF .∴DG ＝12 DE ＝12 ×2t ＝t .∵PF ⊥BC ，∴PF ∥y 轴．∴△EPG ∽△EAD .∴PG AD ＝EG ED ＝12 .∴PG ＝12 AD ＝12 ×1＝12.又∵GF ＝BD ＝1，∴PF ＝PG ＋GF ＝12 ＋1＝32 .∴DP ＝32 .在Rt △PDG 中，由勾股定理得DP 2＝DG 2＋GP 2，即(32 )2＝t 2＋(12 )2.解得t ＝±2 .∵t ＞0，∴t ＝2 .∴t 的取值范围是0＜t ≤2 .第1题解图④ⅱ. 当P 在DE 下方时，如解图⑤.⊙P 与AC 相切于点E 为临界状态，过P 作PM ⊥DE 于点M ，DE 为△ABC 的中内弧，只需PM ≤1即可．此时易得△EMP ∽△ABC ，∴PM CB ＝EM AB ，即PM 4t ＝t2 .得PM ＝2t 2，故0<t ≤22.第1题解图⑤综上，t 的取值范围为0＜t ≤2 .2. 解：(1)①20；【解法提示】如解图①所示：连接OA、OB、OP.∵OA＝OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB.∵在Rt△PBO中，由勾股定理得：PB＝OB2－OP2＝62－42＝25，∴P A＝PB＝25.∴⊙O的“幂值”＝25×25＝20.第2题解图①②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．证明：如解图②，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直．过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，OA′.第2题解图②∵在⊙O中，∠AA′P＝∠B′BP，∠AP A′＝∠BPB′，∴△AP A′∽△B′PB.∴P APB′＝P A′PB.∴P A·PB＝P A′·PB′＝20.∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值．(2)r2－d2；【解法提示】如解图③所示，连接OP，过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，连接OA，OB.第2题解图③∵AO＝OB，PO⊥AB，∴AP＝PB.∴点P关于⊙O的“幂值”＝AP·PB＝P A2.在Rt△APO中，AP2＝OA2－OP2＝r2－d2.∴点P关于⊙O的“幂值”＝r2－d2.(3)1－6≤t≤6＋1.【解法提示】如解图④所示：过点C作CP⊥AB交AB于点P.第2题解图④∵点P关于⊙C的“幂值”为6，若⊙O半径为r，CP＝d，则由(2)可知r2－d2＝6.∴d2＝3，即d＝3.如解图⑤，以点C为圆心，3为半径作辅助圆⊙C′，∵点P在直线MN上，∴当直线MN与⊙C′相交即可满足条件．当点M在x轴正半轴时，直线MN与⊙C′相切如解图⑤，∵M(t，0)、N(0，－t)，∴ON＝OM＝t，∵OM＝ON，∴∠OMN＝45°.∴在直角三角形CPM中，PM＝CP＝3.则CM＝CP2＋PM2＝6，∴OM＝6＋1.∴t＝6＋1.同理当点M在x轴负半轴时，解得t＝1－6，结合函数图象，t的取值范围为1－6≤t≤6＋1.第2题解图⑤。
2020年中考冲刺专题——NO.2新定义问题
2020年中考冲刺专题——NO.2新定义问题难点突破着眼思路，方法点拨, 疑难突破什么是新定义问题呢是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给出一种解法等,在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而加以运用,解决问题. 这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部分组成．解决此类问题的步骤：①理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；②重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况；③类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题。
解决此类问题的关键：（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
类型1：方法模拟型该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．类型2：新知识学习型这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．类型3：信息处理型这类题目主要是根据提供的表格，从中获得信息，并结合题意进行解答，这就需要我们将表格内容转化为数学信息或者已知条件。
类型4：阅读操作型这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．名师原创原创检测，关注素养，提炼主题典例精练典例精讲，运筹帷幄，举一反三最新试题名校直考，巅峰冲刺，一步到位提供word版下载可打印。
人教版2023中考专题复习 解答题压轴题新定义题型
专题17 解答题压轴题新定义题型（原卷版）模块一 2022中考真题集训类型一 函数中的新定义问题1．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（13，13）是函数y ＝x 图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y =2x 图象的“2阶方点”． （1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y =1x 图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．2．（2022•湘西州）定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C 1：y ＝x 2+2x ﹣3与抛物线C 2：y ＝ax 2+2ax +c 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C 1和抛物线C 2与x 轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B （点B 在点A 右侧），与y 轴的交点分别为G 、H （0，﹣1）．（1）求抛物线C 2的解析式和点G 的坐标．（2）点M 是x 轴下方抛物线C 1上的点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，交抛物线C 2于点D ，求线段MN 与线段DM 的长度的比值．（3）如图②，点E 是点H 关于抛物线对称轴的对称点，连接EG ，在x 轴上是否存在点F ，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜√3，请直接写出a的取值范围．4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．5．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|−√14，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．6．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc ≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型二几何图形中的新定义问题7．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC=12BC•AD，S△A'B'C′=12B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．8．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （a ，b ），N ．对于点P 给出如下定义：将点P 向右（a ≥0）或向左（a ＜0）平移|a |个单位长度，再向上（b ≥0）或向下（b ＜0）平移|b |个单位长度，得到点P ′，点P ′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点M （1，1），点N 在线段OM 的延长线上．若点P （﹣2，0），点Q 为点P 的“对应点”． ①在图中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T ，求证：NT =12OM ；（2）⊙O 的半径为1，M 是⊙O 上一点，点N 在线段OM 上，且ON ＝t （12＜t ＜1），若P 为⊙O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ ．当点M 在⊙O 上运动时，直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）．模块二 2023中考押题预测9．（2023•义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x ＝m ，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关于直线x ＝m 的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x ＝m 的“镜面函数”．例如：图①是函数y ＝x +1的图象，则它关于直线x ＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y ={x +1(x ≥0)−x +1(x ＜0)，也可以写成y ＝|x |+1．（1）在图③中画出函数y ＝﹣2x +1关于直线x ＝1的“镜面函数”的图象．（2）函数y ＝x 2﹣2x +2关于直线x ＝﹣1的“镜面函数”与直线y ＝﹣x +m 有三个公共点，求m 的值．（3）已知A （﹣1，0），B （3，0），C （3，﹣2），D （﹣1，﹣2），函数y ＝x 2﹣2nx +2（n ＞0）关于直线x ＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD 的边恰好有4个交点，求n 的取值范围．10．（2023•秦皇岛一模）定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+ b2x+c2a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．11．（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．（1）在函数①y＝﹣x+5，②y=6x，③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是（填序号）．（2）设函数y=4x(x＜0)与y＝kx﹣1的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数y＝2x2+4x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．12．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y 轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y={x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．13．（2022•宁南县模拟）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx图象相切于第二象限的点A．（1）求二次函数的解析式及切点A的坐标；（2）当0＜x＜3时，求二次函数函数值的取值范围；（3）记二次函数图象与x轴正半轴交于点B，问在抛物线上是否存在点C（异于A）使∠OBC＝∠OBA，若有则求出C坐标，若无则说明理由．14．（2022•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（t，0）与（t+6，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．（1）当t＝1时，①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为；②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为；（2）已知直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段AB的“等角点”，则t的范围是．15．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是；（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．16．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．17．（2022•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y={−x+1(x＜0)x−1(x≥0)．已知二次函数y＝﹣x2+4x−12．（1）当第二象限点B（m，32）在这个函数的关联函数的图象上时，求m的值；（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x−12的关联函数的最大值和最小值．18．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P （3，p ）是一次函数y ＝mx +6的图象上的“梅岭点”，则m ＝ ； 若点P （m ，m ）是函数y =3x−2的图象上的“梅岭点”，则m ＝ ；（2）若点P （p ，﹣2）是二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式； （3）若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b 是常数，a ＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），且满足﹣1＜x 1＜1，|x 1﹣x 2|＝2，如果k ＝﹣b 2+2b +2，请直接写出k 的取值范围．19．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，对于线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 沿着某条直线l 对称可以得到⊙O 的弦A ′B ′（A ′，B ′分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的对称的“反射线段”，直线l 称为“反射轴”．（1）如图1，线段CD 、EF 、GH 中是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”有 ；（2）已知A 点的坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1）．①如图2，若线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l 与y 轴的交点M 的坐标是 ．②若将“反射线段”AB 沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S ，其反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标y M 的取值范围为12≤y M ≤136，求S 的取值范围．（3）已知点M 、N 是在以（2，0）为圆心，半径为√13的圆上的两个动点，且满足MN =√2，若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标的取值范围是 ．20．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．21．（2022•寻乌县二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是．①平行四边形②矩形③菱形④等腰梯形（2）深入探究：①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝°．②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．（3）拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．22．（2022•东胜区二模）【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．我们学习过的四边形中是垂美四边形的是；（写出一种即可）【性质探究】利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是；【性质应用】（1）如图②，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，则AB的长为；（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC＝∠AED＝90°，AC与BD交于O点，BD与CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE＝6，AE＝8，AB＝12，求CD的长；【拓展应用】如图④，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD＝6，AB ＝8，求BG的长．23．（2022•修水县一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．概念理解．（1）如图1，已知四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D的度数为；②若∠B＝90°，且AB＝3，AD＝2，则CD2﹣CB2＝．拓展延伸．（2）如图2，已知四边形ABCD是“对补四边形”．当AB＝CB，且∠EBF=12∠ABC时，试猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并证明．24．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，2√3），Q3（﹣2，2√3），Q4（2√2，﹣2√2）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是．（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．25．（2022•寿阳县模拟）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA 于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由．26．（2022•泗洪三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，经过点A，B的⊙O交AC边于点D，交BC 于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求DE的长；（3）如图2，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，交BC于点E，点P在AD上，延长BP交⊙O于点F，已知PB2＝PE•P A．问四边形ABFC是圆美四边形吗？为什么？27．（2022•淮阴区校级一模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△ADG与△BCG的形状是三角形．②若AD＝4，则BD＝．【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k．①当k＝2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；②是否存在值k，使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请直接写出k的值．28．（2022•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“√2”定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=√2，那么点C为线段AB的“白银分割点”如图2，矩形ABCD中，BCAB=√2，那么矩形ABCD叫做白银矩形．应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白银矩形．（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC=√2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C 落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的”白银分制点”．（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）29．（2022•盐田区二模）定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如：在图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标；②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标；（2）已知E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'．①求点E'的坐标；②当点G运动时，求FF'的最小值．30．（2022•高新区校级二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（比例中项的定义：如果a、b、c三个量成连比例即a：b＝b：c，则b叫做a和c的比例中项）（1）为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图，A是圆O外一点，AB是圆O的切线，直线ACD为圆O的割线．求证：证明：（2）如图，已知AC＝2，CD＝4，则AB的长度是．31．（2022•江北区模拟）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC为钝角，相似分割线AD是BC边上的中线，求证：BC=√2AB．（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，求证：1AD2=1AB2+1AC2；（3）在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，将△BAD绕B点顺时针旋转，D点旋转到E点，A点旋转到F点，当旋转到如图3的位置时，E，F，C三点共线，BF恰好是△BEC的相似分割线，求CDBD值．32．（2022•巢湖市二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：（1）如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2＝BD•BC，求证：△ABC是倍角三角形；（2）如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A＝2∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长；（3）如图3，已知△ABC中，∠A＝3∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长．。
2020年九年级数学中考复习专题新定义导学案含答案解析
2020年中考总复习专题新定义一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝．7．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．专题新定义参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知点A在函数y1＝﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2＝kx+1+k（k为常数，且k ≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（﹣a，）在直线y2＝kx+1+k上，则＝﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1＝0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）＝0，∴a﹣1＝0或ka﹣1＝0，则a＝1或ka﹣1＝0，若k＝0，则a＝1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a＝1或a＝，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜D．c＜1【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c ＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共5小题）3．定义一种新运算：新定义运算a*b＝a×（a﹣b）3，则3*4的结果是﹣3．【解答】解：∵a*b＝a×（a﹣b）3，∴3*4＝3×（3﹣4）3＝3×（﹣1）3＝3×（﹣1）＝﹣3，故答案为：﹣3．4．已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为2．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．5．新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为x＝3．【解答】解：根据题意可得：y＝x+m﹣2，∵“关联数”[1，m﹣2]的一次函数是正比例函数，∴m﹣2＝0，解得：m＝2，则关于x的方程变为+＝1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入最简公分母2（x﹣1）＝4≠0，故x＝3是原分式方程的解，故答案为：x＝3．6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝1或﹣2．【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2＝1，开方得：x+1＝1或x+1＝﹣1，解得：x＝0（舍去）或x＝﹣2；当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2＝1，开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去），综上，x＝1或﹣2，故答案为：1或﹣27．已知有理数a≠1，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是﹣7.5【解答】解：∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，∴这个数列以﹣2，，，依次循环，且﹣2+＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣））﹣2＝﹣＝﹣7.5，故答案为﹣7.5．三．解答题（共8小题）8．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）＝，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x＝9900﹣990y﹣99x＝99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m＝99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m＝99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）＝＝3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【解答】解：∵y＝x2﹣4，∴其顶点坐标为（0，﹣4），∵y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，∴（0，﹣4）在一次函数y＝﹣x+p的图象上，∴﹣4＝0+p．∴p＝﹣4，∴一次函数为：y＝﹣x﹣4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（﹣4，0），∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|﹣4|＝4，∴直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积为：．（2）设函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝n，∴，∵函数y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，∴，解得，n＝﹣3，∴函数y＝x2+2x+n为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴其顶点坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝x2+2x+n是y＝mx﹣3（m≠0）的伴随函数，∴﹣4＝﹣m﹣3，∴m＝1．10．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．11．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【解答】解：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．12．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q 为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝1；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0．直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．【解答】解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L 过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2或k≤﹣2．（3）函数y＝x+b的图象W与x轴、y轴交点所围成的三角形是等腰直角三角形，并且函数y＝x+b的图象与AB平行，当d（W，△ABC）＝1时，如图所示：在△AGM中，AG＝GM＝1，则AM＝，OM＝1+，M（0，1+）；即：b＝1+；同理：OQ＝OP＝1+，Q（0，﹣1﹣），即：b＝﹣1﹣，若d（W，△ABC）≤1，即b的值在M、N之间∴﹣1﹣≤b≤1+答：若d（W，△ABC）≤1，b的取值范围为﹣1﹣≤b≤1+．13．在平面直角坐标系中，将一个点（横坐标与纵坐标不相等，且均不为0）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫做这个点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”都能（填“都能”或“都不能”）在一个反比例函数的图象上；（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（2，﹣5），求直线MN的表达式；（3）在抛物线y＝x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y ＝﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【解答】解：（1）任意一对“互换点”都能在一个反比例函数的图象上．理由如下：设A（a，b）在反比例函数y＝的图象上，则k＝ab．根据“互换点”的意义，可知A（a，b）的“互换点”是（b，a）．∵ba＝ab＝k，∴（b，a）也在反比例函数y＝的图象上．故答案为：都能；（2）∵M、N是一对“互换点”，点M的坐标为（2，﹣5），∴N（﹣5，2）．设直线MN的表达式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线MN的表达式为y＝﹣x﹣3；（3）∵点A在反比例函数y＝﹣的图象上，∴设A（k，﹣），∵A，B是一对“互换点”，∴B（﹣，k），设直线AB的解析式为y＝mx+n，∵直线AB经过点P（，），∴，解得，∴A（2，﹣1），B（﹣1，2），或A（﹣1，2），B（2，﹣1）．将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴此抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1．14．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“X 矩形”．下图为点P，Q的“X矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“X矩形”的面积为6．（2）点M，N的“X矩形”是正方形，①当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，点N的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；②当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出r的取值范围0＜r＜3﹣或r＞．【解答】解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，6）、B（4，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．当x＝2时，y＝﹣x+6＝3，∴点C的坐标为（2，3），∴点B，C的“X矩形”的面积＝（4﹣2）×（3﹣0）＝6．故答案为：6．（2）①∵点M，N的“X矩形”是正方形，∴∠ABO＝45°，∴点B的坐标为（6，0），直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6．∵点M到y轴的距离为3，∴点M的坐标为（3，3）．∵点M，N的“X矩形”的面积为4，∴点N的横坐标为3﹣2＝1或3+2＝5，∴点N的坐标为（1，5）或（5，1）．∴经过点N的反比例函数的表达式为y＝．②如图1，取AB的中点E，当点E为MN的中点时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最小值，此时r＝OE﹣MN＝3﹣，∴0＜r＜3﹣；如图2，当点N与点B重合（或点M与点A重合）时，⊙O与点M，N的“X矩形”相交有最大值，∵MN＝3，∴BF＝MN＝．在Rt△OBF中，OB＝6，BF＝，∴OF＝＝，∴r＞．故答案为：0＜r＜3﹣或r＞．15．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝2BE，∴BD＝CD＝3BE，∴CE＝CD+DE＝5BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴，∵QB＝3，∴NC＝5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10．第21页（共21页）。
(完整版)中考专题复习——“新定义”问题(学案)
(完整版)中考专题复习——“新定义”问题(学案) 专题复习——“新定义"问题（学案）班级姓名一、专题诠释所谓”新定义”型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件,构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。
其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
“新定义”型试题常常以运算模式、函数模式、几何模式等形式出现。
二、解题策略解决此类问题的常见思路:给什么，用什么。
即：正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题.三、典例精析（一)运算模式例1 （2013•河北)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a-b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×(2-5）+1=2×(-3)+1=-6+1=-5。
(1）求（-2)⊕3的值；(2）若3⊕x的值小于13,求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．练习 1 （2012·莱芜)对于非零的两个实数a、b,规定abba11-=⊕，若()1122=-⊕x，则x的值为（）A．65B．45C．23D．61-（二）函数模式例2 （2015•衢州)小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0,a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0,a2,b2，c2是常数)满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1,b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0,b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2,就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n）2015的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y 轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1,B1，C1,试证明经过点A1，B1,C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”(完整版)中考专题复习——“新定义”问题(学案)练习2（2015•绍兴）如果抛物线c bx ax y ++=2过定点M （1，1），则称次抛物线为定点抛物线。
中考数学专题复习新定义问题(二)
中考数学专题复习新定义问题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、解答题1．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W ，给出如下定义：点P 是图形W 上任意一点，若存在点Q ，使得∠OQP 是直角，则称点Q 是图形W 的“直角点”．（1）已知点A ()6,8，在点Q 1()0,8，Q 2()4,2-，Q 3()8,4中，______是点A 的“直角点”；（2）已知点()3,4B -，()4,4C ，若点Q 是线段BC 的“直角点”，求点Q 的横坐标n 的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点(),0D t ，()1,0E t +，以线段DE 为边在x 轴上方作正方形DEFG ．若正方形DEFG 上的所有点均为线段BC 的“直角点”，直接写出t 的取值范围．2．对于平面内的点M ，如果点P ，点Q 与点M 所构成的MPQ 是边长为1的等边三角形，则称点P ，点Q 为点M 的一对“关联点”，进一步地，在MPQ 中，若顶点M ，P ，Q 按顺时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“顺关联点”；若顶点M ，P ，Q 按逆时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“逆关联点”．已知(1,0)A ，（1）在33(0,0),(0,1),(2,0),,22O B C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，点A 的一对关联点是____，它们为点A的一对___关联点（填“顺”或“逆”）；（2）以原点O 为圆心作半径为1的圆，已知直线:3l y x b =+．∠若点P 在∠O 上，点Q 在直线l 上，点P ，点Q 为点A 的一对关联点，求b 的值； ∠若在∠O 上存在点R ，在直线l 上存在两点()11,T x y 和()22,S x y ，其中12x x >，且点T ，点S 为点R 的一对顺关联点，求b 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形Q 和∠P ，给出如下定义：若图形Q 上的所有的点都在∠P 的内部或∠P 的边上，则∠P 的最小值称为点P 对图形Q 的可视度．如图1，∠AOB 的度数为点O 对线段AB 的可视度． （1）已知点N （2，0），在点12(0,3)3M ，2(1,3)M ，3(2,3)M 中，对线段ON 的可视度为60º的点是______．（2）如图2，已知点A （-2，2），B （-2，-2），C （2，-2），D （2，2），E （0，4）． ∠直接写出点E 对四边形ABCD 的可视度为______°；∠已知点F （a ，4），若点F 对四边形ABCD 的可视度为45°，求a 的值．4．对于平面内点P和∠G，给出如下定义：T是∠G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P＇，则称点P＇为点P关于∠G的旋转点．下图为点P及其关于∠G的旋转点P＇的示意图．在平面直角坐标系xOy中，∠O的半径为1，点P（0，－2）．（1）在点A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于∠O的旋转点的是；=+上存在点P关于∠O的旋转点，求b的取值范围；（2）若在直线y x b（3）若点D在∠O上，∠D的半径为1，点P关于∠D的旋转点为点P＇，请直接写出点P＇的横坐标x P＇的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，对于∠M 内的一点P ，若在∠M 外存在点P '，使得2MP MP '=，则称点P 为∠M 的二倍点．（1）当∠O 的半径为2时， ∠在1(1,0)T ，2(1,-1)T ，333(,)22-T 三个点中，是∠O 的二倍点的是 ； ∠已知一次函数2y kx k =+与y 轴的交点是(0,)A a ，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是∠O 的二倍点，求a 的取值范围．（2）已知点(,0)M m ，1(0,)2-B ，1(1,)2C -，∠M 的半径为2，若线段BC 上存在点P为∠M 的二倍点，直接写出m 的取值范围 ．6．在平面直角坐标系xOy 中，12,,,k A A A ⋯是k 个互不相同的点，若这k 个点横坐标的不同取值有m 个，纵坐标的不同取值有n 个，p m n =+，则称p 为这k 个点的“特征值”，记为12,,,k A A A p ⋯=．如图1，点(1,1),(1,2),,123M N T M N 〈〉=+=．（1）如图2，圆C 的圆心为(0,3)，半径为5，与x 轴交于A ，B 两点． ∠,T A B 〈〉=________，,,T A B C 〈〉= _________；∠直线(0)y b b =≠与圆C 交于两点D ，E ，若,,,6T A B D E 〈〉=，求b 的取值范围； （2）点128,,,A A A ⋯到点O 的距离为1或2，且这8个点构成中心对称图形，128,,,6T A A A ⋯=，若抛物线2(0)y ax bx c a =++>恰好经过128,,,A A A ⋯中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出a 的所有可能取值．7．在∠ABC中，点P是∠BAC的角平分线AD上的一点，若以点P为圆心，P A为半径的∠P与∠ABC的交点不少于．．．4个，点P称为∠ABC关于∠BAC的“劲度点”，线段P A 的长度称为∠ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（1）如图，在∠BAC平分线AD上的四个点1P、2P、3P、4P中，连接点A和点的线段长度是∠ABC关于∠BAC的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M（0，t），N（4，0）．∠当t=5时，求出∠MON关于∠MON的“劲度距离”1d的最大值．∠如果222d≤≤内至少有一个值是∠MON关于∠MON的“劲度距离”，请直接写出t 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点1P关于y轴对称，点1P和点2P关于直线l对称，则称点2P是点P关于y轴，直线l的完美点．（1）如图1，点(2,0)A-．∠若点B是点A关于y轴，直线1:4l x=的完美点，则点B的坐标为__________ ；∠若点(5,0)C是点A关于y轴，直线2:l x a=的完美点，则a的值为__________；（2）如图2，∠O的半径为1．若∠O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线3:l x b=的完美点，且点M'在函数2(0)y x x=>的图象上，求b的取值范围；（3）(),0E t是x轴上的动点，∠E的半径为2，若∠E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线4:32l y x=+的完美点，且点N'在y轴上，直接写出t的取值范围．9．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若在图形G上存在两个点M，N，且MN＝2，使得以P，M，N为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“正点”．已知A（2，0），B（0，23）．（1）在点1C（－1，3），2C（0，0），3C（2，3）中，线段AB的“正点”是；（2）直线(1)3y k x=-+（0k≠）上存在线段AB的“正点”，求k的取值范围；（3）以(),0T t（0t<）为圆心，27为半径作∠T，若线段AB上总是存在∠T的“正点”，直接写出t 的取值范围．10．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ），特殊地，当图形M 与图形N 有公共点时，规定d （M ，N ）＝0已知点()(2,00)2(30)0()2A B C D m -,，,,,,． （1）∠求d （点O ，线段AB ）；∠若d （线段CD ，直线AB ）＝1，直接写出m 的值；（2）∠O 的半径为r ，若d （∠O ，线段AB ）≤1，直接写出r 的取值范围； （3）若直线3y x b =+上存在点E ，使d （E ，ABC ）＝1，直接写出b 的取值范围．11．对于平面直角坐标系xOy 中的一点P 和C ，给出如下的定义：若C 上存在一个点A ，连接P A ，将射线P A 绕点P 顺时针旋转90°得到射线PM ，若射线PM 与C 相交于点B ，则称P 为C 的直角点． （1）当O 的半径为1时，∠在点(0,0)D 、(1,1)E -、(2,2)F 中，O 的直角点是 ．∠已知直线l ：y x b =+，若直线l 上存在O 的直角点，求b 的取值范围．（2）若(,0)Q q ，Q 的半径为1，直线332y x q =-+ 上存在Q 的直角点，直接写出q 的取值范围．参考答案：1．（1）Q1，Q3；（2）4222n-≤≤+；（3）-3+21-31732t t≤≤-≤≤或【解析】【分析】（1）在平面直接坐标系中画出相关点的坐标，根据定义就可以判断出结果．（2）根据题意画出点Q的位置轨迹，观察图形，满足题意有两种情况，分别计算即可.（3）根据题意画图，并结合第二问，发现当正方形在以OB和OC为直径的圆的相交部分的时候，是不满足题意的，所以找到个边界点，即可解题【详解】解：（1）Q1，Q3，如下图：（2）∠∠OQP=90°，∠点Q在以OP为直径的圆上（O，P两点除外）如图1，以OB为直径作M，作//MH x轴，交M于点H（点H在点M左侧）．∠点B的坐标为（-3，4），∠M 的半径为52，点M 的坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．∠35422H x =--=-．如图2，以OC 为直径作M '，作M H ''∠x 轴，交M '于点H '（点H '在点M '右侧）． ∠点C 的坐标为（4，4），∠M '的半径为22，点M '的坐标为（2，2）． ∠222H x '=+． ∠n 的取值范围是4222n -≤≤+． （3）正方形1的左下端点为左边界，此时13t =-．正方形2的右上端点在右边圆上，圆心坐标为()2,2 ，则满足关系式：()()22121222t +-+-=，化简得：2260t t --=，解得：121717t t =+=-（舍），． 正方形3的左端点在左边圆上，圆心坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时满足关系式：()22351222t ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,化简得：2+330t t -=, 解得：3432132122t t -+--==，（舍）， 正方形4的右下端点在右边圆上，是右边界，143t t +==，． 综上所说：满足题意的解集是：-3+21-31732t t ≤≤-≤≤或．【点睛】本题是新定义题型的考查，能够根据题意画出相关图形，分类讨论是解题关键． 2．（1）C ，D ，逆（或D ，C ，顺）；（2）∠0b =，3-或23-；∠2323b --≤≤-．【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，分别求出AO 、AB 、AC 、AD 、OD 的长，根据“关联点”及“顺关联点”的定义即可得答案；（2）∠根据“关联点”的定义可得1AP AQ PQ ===，可得∠QP A =60°，根据∠O 半径及点A 坐标可得OA=OP=AP ，可得∠OAP 是等边三角形，根据等边三角形点性质可得∠OAP =∠POA =60°，113,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，213,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，可得Q 1（0，0），根据∠QP A =∠POA =60°，可得PQ //OA ，即可得出点Q 的横坐标和纵坐标，即可得Q 2、Q 3坐标，把Q 1、Q 2、Q 3坐标代入直线l 解析式求出b 值即可；∠作RH ST ⊥于点H ，则32RH =，根据圆的性质分别求出b 的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）∠(1,0)A ，33(0,0),(0,1),(2,0),,22O B C D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∠AO =1，AB =2，AC =1，AD =1，OD=3，∠∠ACD 是等边三角形，∠C 、D 是点A 的“关联点”，∠点A 、C 、D 按顺时针排列，∠C 、D 是点A 的“顺关联点”，故答案为：C ，D ，顺（或D ，C ，逆）（2）∠如图．∠点P ，点Q 为点A 的一对“关联点”，∠APQ 为等边三角形，1AP AQ PQ ===，∠∠QP A =60°，∠以原点O 为圆心作半径为1的圆，点P 在∠O 上，OA =1，∠OA=OP=AP ，∠∠OAP 是等边三角形，∠∠OAP =∠POA =60°，113,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，213,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ∠Q 1（0，0），∠点Q 在直线l 上，∠b 1=0，∠∠QP A =∠POA =60°，∠PQ //OA ，∠点Q 横坐标为12+1=32， ∠1AP AQ PQ ===，∠点Q 纵坐标为32±， ∠233333,,,2222Q Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当233,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，33322b +=，解得：3b =-； 当333,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，33322b +=-，解得：23b =-． 综上所述，0b =，3-或23-．∠如图．∠点T，点S为点R的一对顺关联点，∠RTS为正三角形，1RT=，//RT x轴，点T和点S在直线:3l y x b=+上．作RH ST⊥于点H，则32RH=，当b取最大值时，111R H l⊥，1111312OH OR R H=-=-，此时11223b OH==-．当b取最小值时，222R H l⊥，2222312OH OR R H=+=+，此时222(23)23b OH=-=-+=--．综上所述，b的取值范围为2323b--≤≤-．【点睛】本题考查等边三角形点判定与性质、圆点性质及一次函数图象上点点坐标特征，正确理解“关联点”点概念是解题关键．3．（1）M1，M2；（2）∠90；∠232+或232【解析】【分析】（1）结合勾股定理，等边三角形的判定和性质以及锐角三角函数求角的度数，从而作出判断；（2）∠根据等腰直角三角形的判定和性质求解；∠根据可视度的定义结合勾股定理分情况讨论求解【详解】解：（1）∠点N （2，0），点12(0,3)3M ，2(1,3)M ，3(2,3)M 中， ∠M 3N ∠x 轴，∠332tan 3ON M M N ∠==，112tan 3233ON M OM ∠=== ∠360M ∠≠︒，160M ∠=︒()222132OM =+=，()222132M N =+=∠∠2OM N 是等边三角形∠2=60OM N ∠︒ ∠对线段ON 的可视度为60º的点是M 1，M 2故答案为：M 1，M 2．（2）∠连接EA ，ED由题意可得AG =EG =2，DG =GE =2∠∠AGE 和∠EDG 均为等腰直角三角形∠∠AED =90°∠点E 对四边形ABCD 的可视度为90°故答案为：90；∠解：由题意可知，四边形ABCD是正方形，点F在直线y=4上．如图所示，点F对正方形ABCD的可视度为45°，当点F是以点D为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，过点D作DN∠EF于点N，则有DN=2，DF=4，可得NF=23．∠a=232+．当点F是以点A为圆心，4为半径的圆和直线y=4的交点时，同理可得，a=232．综上，a的值为232+或232．【点睛】本题考查解直角三角形已经图形与坐标，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．4．（1）点B，点C；（2）222222b-≤≤+；（3）44'-≤≤px【解析】【分析】（1）根据题意结合图即可得出旋转点；（2）使直线y x b =+分别与圆相切时，求出b 的取值范围；（3）考虑全两种情况即可得出取值范围．【详解】（1）点B ，点C ；（2）由题意可知，点P 关于∠O 的旋转点形成的图形为以点G （0，2）为圆心，以2个单位长度为半径的∠G ．当直线y x b =+与∠G 相切时：如图1，求得：222b =+，如图2，求得：222b =-．因为直线y x b =+上存在点P 关于∠O 的旋转点，所以，222222b -≤≤+．图1图2（3） 当∠D 的圆心在（-1，0）（1，0）时，p x ' 取最小和最大值，∴ P ＇的横坐标x P ＇的取值范围44'-≤≤p x ．【点睛】此题考查了圆与一次函数图像的知识，解题的关键是能够灵活运用直线与圆相切的特点，进而求解．5．（1）∠2T ，3T ；∠2323a <≤；（2）153122m -<<-或315122m <<+ 【解析】【分析】（1）∠根据圆的二倍点的含义判断即可；∠由于圆的半径为2，根据二倍点的含义，则这些点与圆心O 的距离大于1，当直线与半径为1的圆相切时，可求得一次函数解析式中的k 值，从而可求得a 的值；当直线y =kx +2k 与y 轴的交点也是O 与y 轴的交点时，可得a 的值，根据题意最后可确定a 的取值范围； （2）当2MC <且1MB > 或<2MB 且1MC >时，才满足条件，由此可求得m 的取值范围．【详解】（1）∠∠OT 1=1，122OT '=，但此时1T '点在圆上，不合题意，故T 1不是二倍点； ∠OT 2=22112+=，22333322OT ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而22222OT '=>，32232OT '=>，∠2T ，3T 是二倍点．故答案为：2T ，3T∠当2x =-时，0y =，∠一次函数2y kx k =+过定点()2,0-，如图1，当一次函数2y kx k =+的图象与半径为1的O 相切时，可得33k =，则233a =．如图2当一次函数2y kx k =+的图象与y 轴的交点也是O 与y 轴的交点时，可得2a =．∠由题意可知2323a <≤． （2）当2MC <且1MB > 或<2MB 且1MC >时，线段BC 上存在点P 为∠M 的二倍点，即221(1)44114m m ⎧-+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩或221(1)14144m m ⎧-+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩， 解得：315122m <<+或153122m -<<-． 故答案为：153122m -<<-或315122m <<+． 【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图象，解一元二次不等式组等知识，解题的关键是数形结合．6．（1）∠3，5；∠28b -<<且0b ≠，6b ≠；（2）1或2或14．【解析】【分析】（1）∠先写出A ，B 的坐标，然后根据题意即可求解；∠D ，E 两点都在直线(0)y b b =≠上，而A ，B 两点都在直线0y =上，因此A ，B ，D ，E 四点纵坐标不同的取值有2个，要使得,,,6T A B D E 〈〉=，则A ，B ，D ，E 四点横坐标不同的取值必须有4个，此时这四个点的横坐标均不能相同，由对称性，当6b =时，D ，E 分别为(4,6)-和(4,6)，其横坐标分别与A ，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y b =与C 要有公共点，则28b -<<，答案可解；（2）根据题意画出图形，抛物线2(0)y ax bx c a =++>，所以0a >，抛物线开口向上，因为抛物线经过三个点,且抛物线呈对称，分析抛物线可能经过的点，进行分类讨论即可解得答案．【详解】（1）∠由图可知()()()4,0,4,0,0,3A B C -，根据题意可得：,213T A B 〈〉=+=，,,325T A B C 〈〉=+=，故答案为：3,5；∠解：D ，E 两点都在直线(0)y b b =≠上，而A ，B 两点都在直线0y =上，因此A ，B ，D ，E 四点纵坐标不同的取值有2个，要使得,,,6T A B D E 〈〉=，则A ，B ，D ，E 四点横坐标不同的取值必须有4个，于是此时这四个点的横坐标均不能相同．由对称性，当6b =时，D ，E 分别为(4,6)-和(4,6)，其横坐标分别与A ，B 的横坐标相同，不符合题意；由图可知，直线y b =与C 要有公共点，则28b -<<；综上所述，b 的取值范围是28b -<<且0b ≠且6b ≠．（2）∠T ＜A 1，A 2，…，A 8＞=6， ∠这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6．∠点A 1，A 2，…A 8到点O 的距离为1或2，且这8个点构成中心对称图形，∠这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：A 1（-1，1），A 2（0，1），A 3（1，1），A 4（-1，0），A 5（1，0），A 6（-1，-1），A 7（0，-1），A 8（1，-1）．∠抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0），∠抛物线开口向上．∠抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）恰好经过A 1，A 2，…A 8中的三个点，并以其中一个点为顶点，∠根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A7或A4，A5，A7．∠抛物线经过A1，A3，A7时，11.1a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：21abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩抛物线经过或A4，A5，A7时，1a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：11abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩或这8个点构成的图形如下图所示：它们的坐标分别为：123214214(,),(,)4444A A--，34521432143214(,),(,),(,)444444A A A--6782142143214(,),(,),(,).444444A A A----∠抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）恰好经过A1，A2，…A8中的三个点，并以其中一个点为顶点，∠根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过A1，A3，A6或A4，A2，A7．∠抛物线经过A1，A3，A6时，A6为顶点，经过A1，A3，设抛物线解析式为2214().44y x =+- 将A 3坐标代入得：142214().4444a =+- 解得：14.a =抛物线经过A 2，A 4，A 7时，A 7为顶点，经过A 2，A 4，设抛物线解析式为2214().44y x =-- 将A 4坐标代入得：21432214().4444=-- 解得：14.a =综上，a 的值为1或2或14【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是进行分类讨论．7．（1）23,P P ；（2）∠22；∠52t -≤≤-或25t ≤≤．【解析】【分析】（1）以AP 为半径，以点P 为圆心作圆，观察图形，结合题意即可解答；（2）∠作∠MON 的角平分线OE ，ON 的垂直平分线PF ，OE 和PF 相交于点P ，此时∠P 过点N ，线段OP 的长度是∠MON 关于∠MON 的“劲度距离”最大值．由此求解即可；∠由题意可知圆心都在直线y =x 上，再分当t >0和t <0时两种情况求t 的取值范围即可．【详解】（1）以AP 为半径，以点P 为圆心作圆，则23P P 、符合要求．故答案为：23P P、；（2）∠作∠MON的角平分线OE，ON的垂直平分线PF，OE和PF相交于点P，此时∠P 过点N，线段OP的长度是∠MON关于∠MON的“劲度距离”最大值．易知，OE的函数表达式为y=x，PF的函数表达式为x=2，从而可得其交点坐标为P（2，2）．∠1d=OP=22；∠由题意可知，圆心都在直线y=x上，∠当t>0时，当d最大为22时，圆P经过点N，此时和∠一样，点M在（0，5）处，即t=5；当d最小为2时，圆P经过点M，此时点P的纵坐标为1122OM t=，所以点P的坐标（12t，12t），再由OP=2可得22211()()(2)22t t+=，解得t=2；∠当t>0时，t的取值范围为25t≤≤．∠同理，当t<0时，t的取值范围为52t-≤≤-．综上所述t的取值范围为52t-≤≤-或25t≤≤．【点睛】本题时一次函数和圆的综合题，正确理解题意是解决问题的关键．8．（1）∠(6,0)，∠3.5；（2）1524b-<≤；（3）234234t-≤≤+．【解析】【分析】（1）∠根据点坐标的轴对称变换规律即可得；∠先求出点A 关于y 轴，直线2:l x a =的完美点，再根据点C 的坐标建立方程，求解即可得；（2）先根据完美点的定义、待定系数法求出点M 所在直线的解析式为24y x b =+，再找出两个临界位置∠直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切；∠直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)，分别利用相似三角形的判定与性质、一次函数的性质求出b 的值即可得；（3）如图（见解析），先确定点N '在E '上运动，再利用待定系数法求出直线1E E '的解析式，从而求出点,K E '的坐标，然后求出E '与y 轴相切时的t 值即可得出答案． 【详解】解：（1）∠(2,0)A -， ∴点A 关于y 轴对称的点坐标为(2,0)，又点(2,0)关于直线1:4l x =对称坐标为(6,0)，(6,0)B ∴， 故答案为：(6,0)；∠(2,0)A -， ∴点A 关于y 轴对称的点坐标为(2,0)，又点(2,0)关于直线2:l x a =对称坐标为(22,0)a -，点(5,0)C 是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的完美点，225a ∴-=，解得 3.5a =，故答案为：3.5；（2）如图，设点M 关于y 轴的对称点为''M ，由完美点的定义得：点M 所在直线与点M '所在直线2(0)y x x =>平行，则设点M 所在直线的解析式为2(0)y x c y =+>，设点M '的坐标为(,2)M m m '，则(2,2)M b m m ''-，(2,2)M b m m -+，将点(2,2)M b m m -+代入2y x c =+得：2(2)2b m c m -++=，解得4c b =，则点M 所在直线的解析式为24y x b =+，因此，有两个临界位置：∠直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切；∠直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)，∠直线24(0)y x b y =+>与位于x 轴上方的半圆O 相切，如图，设直线24(0)y x b y =+>与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，则(0,4),(2,0),0A b B b b ->，224,2,25OA b OB b AB OA OB b ∴===+=，由圆的切线的性质得：OM AB ⊥，1OM =，在AOB 和OMB △中，90AOB OMB ABO OBM ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， AOB OMB ∴~，OA AB OM OB ∴=，即42512b b b=， 解得54b =， ∠直线24(0)y x b y =+>恰好经过点(1,0)， 将点(1,0)代入得：240b +=，解得12b =-， 点M '在函数2(0)y x x =>的图象上，不含原点(0,0)O ，b ∴的值不能取12-，则b 的取值范围为1524b -<≤；（3）如图，设点E关于y轴的对称点为1E，点1E关于直线4:32l y x=+的对称点为E'，连接1E E'，交直线4l于点K，则E'的半径为2，当点N在E上运动时，点N'在E'上运动，要使点N'在y轴上，则E'与y轴相切或相交即可，(,0)E t，1(,0)E t∴-，14E E l'⊥，∴设直线1E E'的解析式为33y x n=-+，将点1(,0)E t -代入得：303t n +=，解得33n t =-， 则直线1E E '的解析式为3333y x t =--， 联立333332y x t y x ⎧=--⎪⎨⎪=+⎩，解得234324t x t y ⎧--=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩， 2332(,)44t t K ---+∴， 又点K 是线段1E E '的中点，2332(,)22t t E --+'∴， 当E '与y 轴相切时，2322t -=， 解得234t =+或234t =-，综上，满足条件的t 的取值范围为234234t -≤≤+．【点睛】本题考查了点坐标的轴对称变换规律、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）（3），正确找出相应的临界位置是解题关键．9．（1）1C ，2C ；（2）03k <≤；（3）6243t -≤≤-或20t ≤<-【解析】【分析】（1）按照定义分别判断所给点能否与已知点构成等边三角形即可；（2）根据正点的定义，可以判断满足条件的正点连线是正六边形的两条边，结合直线(1)3y k x =-+过定点()1,3，进一步判断的范围即可； （3）根据正点的定义，画出满足题意的圆，根据图形进行计算，即可．【详解】解：过点O 作OD ∠AB ，∠2C （0，0），A （2，0），B （0，23），∠AB =22(20)(023)-+-=4，∠OD=22334OA OBAB⨯⨯==，∠在线段AB上存在存在两个点M，N，且MN＝2，使得以2C，M，N为顶点的三角形为等边三角形，即：2C是线段AB的“正点”．同理：1C是线段AB的“正点”．故答案是：1C，2C；（2）如图，线段AB的“正点”在线段OC和'C D上．且六边形BCOAD'C是正六边形，∠直线(1)3y k x=-+（0k≠）过定点()1,3，是正六边形的中心坐标也是()1,3，∠直线(1)3y k x=-+（0k≠）绕着中心（1，3）旋转．又∠直线(1)3y k x=-+（0k≠）过点O和C'时，k＝3，过点C和D时，k=0，∠03k<≤．（3）如下图：在∠T上取线段MN，使MN=2，往圆外作等边三角形MNE，在MN上取中点D，连接TN，ED，TD，则ED∠MN，TD∠MN，T，D，E三点共线，∠DE=22213-=，TD=()2227133-=，∠大圆的半径=3+33=43，同理：小圆半径=33-3=23，当大圆或小圆与线段AB有交点时，线段AB上存在∠T的“正点”，若大圆过点B时，则TB=43，∠AB=4，OB=23，∠OT=()()2243236-=，∠tan∠OBT=OT OBOB OA==tan∠OAB，即：∠OBT=∠OAB，∠∠ABT=∠OBT+∠ABO=∠OAB+∠ABO=90°，∠此时AB与大圆相切于点B，t=-6，若大圆过点A时，AT=43，此时，t=2-43，若小圆与线段AB相切于点C时，∠ATC=∠ABO=30°，TC=23，∠AT =TC ÷cos30°=23÷32=4，此时，t =-2， 若小圆经过B 点时，圆心与点O 重合时，t =0，综上，243t -6≤≤-或20t ≤<-．【点睛】本题是新定义题型，考查动点轨迹为圆时的综合数据处理，以及等边三角形的性质，锐角三角函数相关知识点，能够根据题意画出图形是解题关键．10．（1）∠3；∠232m =-；（2）31231r -≤≤+；（3）232232b --≤≤+【解析】【分析】（1）∠根据题意作图，由三角形的面积公式及“闭距离”的定义即可求解；∠根据题意作图，根据含30°的直角三角形的性质即可求出D 点坐标，故可求解； （2）根据题意作图，由d （∠O ，线段AB ）≤1，分情况讨论即可求解；（3）根据题意作图，找到d （∠O ，线段AB ）=1的点，再根据解直角三角形、一次函数的解析式求解方法求出b 的值，故可求解．【详解】（1）∠如图，作OH ∠AB ，∠()0)2023(A B -，,， ∠AO =2，BO =23，AB =()222234+= 根据三角形的面积公式可得1122AO BO AB OH ⋅=⋅ ∠OH =22334⨯= ∠d （点O ，线段AB ）=3；∠∠AO =2，BO =23，AB =()222234+=∠AB =2AO ，∠∠ABO =30°如图，作HD ∠AB ，∠d （线段CD ，直线AB ）＝1，∠DH =1∠BD =2HD =2∠DO =BO -BD =232-∠D（232-，0）∠m=232-；Array（2）如图，OH∠AB，交∠O于M点，BI=1当d（∠O，线段AB）≤1当HM≤1时，由（1）可得OH=3∠31r≥-当BI≤1时，此时IO=BI+OB=231+∠231r≤+故若d（∠O，线段AB）≤1时，r的取值范围为31231-≤≤+；r（3）∠ d （E ，ABC ）＝1，如图，作CM ∠直线3y x b =+于M 点，此时CM =1设直线3y x b =+与x 轴交于K 点，则∠CKM =60°∠CK =CM ÷cos60°=233∠K （2+233，0），代入3y x b =+得232330b ⎛⎫=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭ 解得b =232如图，作BG ∠直线3y x b =+于G 点，此时BG =1设直线3y x b =+与y 轴交于N 点，则∠GNB =90°-60°=30°∠BN =2BG =2∠N （0，232+），代入3y x b =+得32320b +=⨯+解得b =232+∠存在点E ，使d （E ，ABC ）＝1，∠b 的取值范围是232232b --≤≤+．【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是根据题意作图，由“闭距离”的定义及解直角三角形、圆的性质特点进行求解．11．（1）∠D ，E ；∠22b -≤≤；（2）464633q -≤≤ 【解析】【分析】（1）∠如图，由定义可得：,A B 都在O 上，且90,APB ∠=︒ 再分别画出图形，即可得到答案；∠由定义可知，如图O 的直角点，分布在以O 为圆心以2为半径的圆上或圆内，结合∠可得直线的两个极限位置，从而可得答案；（2）先求解332y x q =-+与,x y 轴的交点坐标，再求解60,ONK QNM ∠=︒=∠ 再分两种情况讨论：情况1：q ＞0时，结合∠画出图形求解463q =，再利用对称性得到．情况2：q ＜0时， 463q =-，从而可得答案． 【详解】 解：（1）∠如图，由定义可得：,A B 都在O 上，且90,APB ∠=︒当,P D 重合时，则()0,0P ，此时1,AP BP ==故D是O的直角点，如图，同理可得；()1,1E-是O的直角点，当()2,2F时，AFB∠＜90,︒F∴不是O的直角点，故答案为：D，E；∠由定义可知，如图O的直角点，分布在以O为圆心以2为半径的圆上或圆内由∠可得：当直线y x b=+过()1,1E-时，11,b∴=-+2,b∴=当直线y x b=+过()1,1E'-时，11,b∴-=+2,b∴=-所以22b -≤≤；（2） 332y x q =-+， 当0x =，则3,2y q =当0,y = 则330,2x q -+= .2q x ∴= 所以直线与x 轴交点为N (,0)2q ，与y 轴的交点30,,2K q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭32tan 3.2q OK ONK q ON∴∠=== 60,ONK QNM ∴∠=︒=∠情况1：q ＞0时，如图Q （半径为2）与直线332y x q =-+相切时， ∠2QM =，60QNM ∠=︒，∠26sin 603QM QN ==︒， ∠2623q ON QN ===， ∠463q =．情况2：q ＜0时，根据对称性，463q =-， ∠q 的取值范围为464633q -≤≤ 【点睛】 本题考查的是自定义题，同时考查了旋转的性质，圆的基本性质，圆的切线的性质定理，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，掌握数形结合的方法是解题的关键．。
中考数学专题复习新定义问题【含解析】
新定义问题【专题点拨】新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .【解题策略】具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决【典例解析】类型一：规律题型中的新定义例题1：（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．变式训练1：（2015•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )A．(—2012,2) B．（一2012，一2）C. (—2013,—2)D. (—2013,2)类型二：运算题型中的新定义例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log1001000===．故答案为：．变式训练2：(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；（2）若点P 在函数216y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是 ．类型三： 探索题型中的新定义例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解析】考点：黄金分割的识别【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形CG=CF )15(-，GH=2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。
2017届中考数学第二轮复习专题：《新定义型问题》学案(精品)
2017届中考数学第二轮复习专题专题：新定义型问题班级 姓名 学号课前热身1．(2015·铜仁)定义一种新运算：x*y=x 2y x +，如2*1=2212+⨯=2，则（4*2）*（-1）= .2．(2015·南宁)对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号max{a ，b}表示a 、b 中的较大值，如：max{2，4}=4，按照这个规定，方程max{x ，-x}=2x 1x+的解为（ ） A．1．2．11．1+ －1交流展示例1.（2015·苏州市吴江区一模）定义一个新的运算：a ⊕b=22()()a b a b b a b a-+≤+-⎧⎪⎨⎪⎩＞，则运算 x ⊕2的最小值为（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．3例2.（2015·扬州）平面直角坐标系中，点),(y x P 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点),(y x P 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点),(y x P 的勾股值，记为：「P 」，即「P 」=x +y ，（其中的“+”是四则运算中的加法） ⑴ 求点)3,1(-A ,)23,23(-+B 的勾股值「A 」、「B 」；⑵ 点M 在反比例函数3=y x的图象上，且「M 」=4，求点M 的坐标； ⑶ 求满足条件「N 」=3的所有点N 围成的图形的面积．例3（2014·自贡）如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E(点E 不与A ，B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的“强相似点”．解决问题：(1)如图①，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，试判断点E 是否为四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD 中，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD 的边上的“强相似点”；(3)如图③，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个“强相似点”，试探究AB 与BC 的数量关系．C DA E 图① 图② 图③课堂检测在例题3的条件下，解决下列问题：⑴若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；⑵①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．⑶在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．B图1 图2。
中考专题复习之新定义题
2017年中考专题复习之——新定义题一．选择题共2小题1．连接一个几何图形上任意两点间的线段中,最长的线段称为这个几何图形的直径,根据此定义,图扇形、菱形、直角梯形、红十字图标中“直径”最小的是A．B．C． D．2．对平面上任意一点a,b,定义f,g两种变换：fa,b=a,﹣b．如f1,2=1,﹣2；ga,b=b,a．如g1,2=2,1．据此得gf5,﹣9=A．5,﹣9 B．﹣9,﹣5 C．5,9 D．9,5二．填空题共2小题3．我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形,边长分别为3cm,4cm,5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形,如果凸四边形的奇异中位线的长不为0,那么奇异中位线的长是cm．4．在△ABC中,P是AB上的动点P异于A,B,过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有条．三．解答题共16小题5．定义：对于实数a,符号a表示不大于a的最大整数．例如：=5,5=5,﹣π=﹣4．1如果a=﹣3,则a的取值范围为；2如果=4,求满足条件的所有正整数x．6．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．1写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称, ；2如图,已知格点小正方形的顶点O0,0,A3,0,B0,4,请你画出以格点为顶点,OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB．7．我们定义：有一组对角相等而另一对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：在“等对角四边形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4,求对角线AC的长．8．提出问题：1如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证：AE=DH；类比探究：2如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG 于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由；综合运用：3在2问条件下,HF∥GE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积．9．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．1请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数；若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种2△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并直接写出x所有可能的值；3如图2,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长．10．通过锐角三角比的学习,我们已经知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长比与角的大小之间可以相互转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对sad．如图在△ABC 中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=．我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义,解下列问题：1sad60°=；sad90°=．2对于0°＜A＜180°,∠A的正对值sadA的取值范围是．3试求sad36°的值．11．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；2如图2,在12×16的网格图上每个小正方形的边长为1有一个扇形BAC,点A．B．C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形；3四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数．12．对x,y定义一种新运算T,规定：Tx,y=其中a、b均为非零常数,这里等式右边是通常的四则运算,例如：T0,1==b．1已知T1,﹣1=﹣,T4,2=1．①求a,b的值；②若关于m的不等式组恰好有5个整数解,求实数p的取值范围；2若Tx,y=Ty,x对任意实数x,y都成立这里Tx,y和Ty,x均有意义,则a,b 应满足怎样的关系式13．探究发现如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立；数学思考某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上B,C除外任意一点时其它条件不变,结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明AE=EF．拓展应用当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在备用图2中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．14．如图1,P为∠MON平分线OC上一点,以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点,如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2,我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．1如图2,P为∠MON平分线OC上一点,过P作PB⊥ON于B,AP⊥OC于P,那么∠APB ∠MON的关联角填“是”或“不是”．2①如图3,如果∠MON=60°,OP=2,∠APB是∠MON的关联角,连接AB,求△AOB的面积和∠APB的度数；②如果∠MON=α°0°＜α°＜90°,OP=m,∠APB是∠MON的关联角,直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．3如图4,点C是函数y=x＞0图象上一个动点,过点C的直线CD分别交x 轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA,直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．15．如图1,抛物线y=ax2+bx+ca＞0的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距离称为碟高．1抛物线y=x2对应的碟宽为；抛物线y=4x2对应的碟宽为；抛物线y=ax 2a ＞0对应的碟宽为 ；抛物线y=ax ﹣22+3a ＞0对应的碟宽为 ；2抛物线y=ax 2﹣4ax ﹣a ＞0对应的碟宽为6,且在x 轴上,求a 的值； 3将抛物线y=a n x 2+b n x+c n a n ＞0的对应准蝶形记为F n n=1,2,3…,定义F 1,F 2,…,F n 为相似准蝶形,相应的碟宽之比即为相似比．若F n 与F n ﹣1的相似比为,且F n 的碟顶是F n ﹣1的碟宽的中点,现将2中求得的抛物线记为y 1,其对应的准蝶形记为F 1．①求抛物线y 2的表达式；②若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2,…F n 的碟高为h n ,则h n = ,F n 的碟宽右端点横坐标为 ；F 1,F 2,…,F n 的碟宽右端点是否在一条直线上若是,直接写出该直线的表达式；若不是,请说明理由．16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”．1请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；2如图在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,求证：△ABC是“好玩三角形”；3如图2,已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=2β,点P,Q从点A同时出发,以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动,记点P经过的路程为s．当β=45°时,若△APQ是“好玩三角形”,试求的值．17．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B,使得∠APB=60°,则称P为⊙C的关联点．已知点D,,E0,﹣2,F2,0．1当⊙O的半径为1时,①在点D、E、F中,⊙O的关联点是．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点Pm,n 是⊙O的关联点,求m的取值范围；2若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围．18．问题探究1如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长；2如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ 的长；问题解决3有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由．19．某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD,如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发,1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时免费乘车上、下车的时间忽略不计,两车速度均为200米/分．探究：设行驶寸间为t分．1当0≤t≤8时,分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1,y2米与t分的函数关系式,并求出当两车相距的路程是400米时t的值；2t为何值时,1号车第三次恰好经过景点C并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图2,游客甲在BC上的一点K不与点B,C重合处候车,准备乘车到出口A,设CK=x米．情况一：若他刚好错过2号车,便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车,便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多含候车时间决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P 不与点D,A重合时,刚好与2号车迎面相遇．1他发现,乘1号车会比乘2号车到出口A用时少,请你简要说明理由：2设PA=s0＜s＜800米．若他想尽快到达出口A,根据s的大小,在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择20．问题情境如图1,在△ABC中,AB=AC,点P为边BC上的任一点,过点P 作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F．求证：PD+PE=CF．结论运用如图2,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值；迁移拓展图3是一个航模的截面示意图．在四边形ABCD中,E为AB边上的一点,ED⊥AD,EC⊥CB,垂足分别为D、C,且ADCE=DEBC,AB=8,AD=3,BD=7；M、N分别为AE、BE的中点,连接DM、CN,求△DEM与△CEN的周长之和．2017年04月14日马赛的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题共2小题1．2013常德连接一个几何图形上任意两点间的线段中,最长的线段称为这个几何图形的直径,根据此定义,图扇形、菱形、直角梯形、红十字图标中“直径”最小的是A．B．C． D．分析先找出每个图形的“直径”,再根据所学的定理求出其长度,最后进行比较即可．解答解：连接BC,则BC为这个几何图形的直径,过O作OM⊥BC于M,∵OB=OC,∴∠BOM=∠BOC=60°,∴∠OBM=30°,∵OB=2,OM⊥BC,∴OM=OB=1,由勾股定理得：BM=,∴由垂径定理得：BC=2；连接AC、BD,则BD为这个图形的直径,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BD平分∠ABC,∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°,∴AO=AB=1,由勾股定理得：BO=,∴BD=2BO=2；连接BD,则BD为这个图形的直径,由勾股定理得：BD==2；连接BD,则BD为这个图形的直径,由勾股定理得：BD==,∵2＞＞2,∴选项A、B、D错误,选项C正确；故选C．点评本题考查了菱形性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,扇形性质等知识点的应用,主要考查学生的理解能力和推理能力．2．2013乌鲁木齐对平面上任意一点a,b,定义f,g两种变换：fa,b=a,﹣b．如f1,2=1,﹣2；ga,b=b,a．如g1,2=2,1．据此得gf5,﹣9=A．5,﹣9 B．﹣9,﹣5 C．5,9 D．9,5分析根据两种变换的规则,先计算f5,﹣9=5,9,再计算g5,9即可．解答解：gf5,﹣9=g5,9=9,5．故选D．点评本题考查了点的坐标,理解新定义的变化规则是解题的关键．二．填空题共2小题3．2014杨浦区二模我们把四边形两条对角线中点的连线段称为奇异中位线．现有两个全等三角形,边长分别为3cm,4cm,5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形,如果凸四边形的奇异中位线的长不为0,那么奇异中位线的长是cm．分析首先利用勾股定理的逆定理得出边长分别为3cm,4cm,5cm的三角形是直角三角形,然后将这两个直角三角形相等的边重合拼成凸四边形,如果凸四边形的奇异中位线的长不为0,那么只有一种情况,画出图形,根据正弦函数的定义求出OA,由中点的定义得出AM,再根据OM=AM﹣OA即可求解．解答解：∵32+42=9+16=25=52,∴边长分别为3cm,4cm,5cm的三角形是直角三角形．如图,将两个全等的直角△ABC与△DEF的斜边AC与DF重合,拼成凸四边形ABCE,AC与BE交于点O,M为AC的中点．∵△ABC≌△DEF,∴AB=AE=3cm,∠BAC=∠EDF,∴BO=OE,AO⊥BE．在Rt△AOB中,∵∠AOB=90°,∴OA=ABcos∠BAO=3×=,∵AM=AC=,∴OM=AM﹣OA=﹣=．即奇异中位线的长是cm．故答案为．点评本题考查了勾股定理的逆定理,图形的拼组,等腰三角形的性质,锐角三角函数的定义,难度适中．根据题目要求画出符合题意的图形是解题的关键．4．2013淄博在△ABC中,P是AB上的动点P异于A,B,过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有 3 条．分析根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．解答解：当PD∥BC时,△APD∽△ABC,当PE∥AC时,△BPE∽△BAC,连接PC,∵∠A=36°,AB=AC,点P在AC的垂直平分线上,∴AP=PC,∠ABC=∠ACB=72°,∴∠ACP=∠PAC=36°,∴∠PCB=36°,∴∠B=∠B,∠PCB=∠A,∴△CPB∽△ACB,故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3．点评此题主要考查了相似三角形的判定,正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．三．解答题共16小题5．定义：对于实数a,符号a表示不大于a的最大整数．例如：=5,5=5,﹣π=﹣4．1如果a=﹣3,则a的取值范围为﹣3≤a＜﹣2 ；2如果=4,求满足条件的所有正整数x．分析1根据a=﹣3,得出﹣3≤a＜﹣2,求出a的解即可；2根据题意得出4≤＜5,求出x的取值范围,从而得出满足条件的所有正整数的解．解答解：1∵a=﹣3,∴a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2；2根据题意得：4≤＜5,解得：7≤x＜9．则满足条件的所有正整数为7,8．点评此题考查了一元一次不等式组的应用,解题的关键是根据题意列出不等式组,求出不等式的解．6．2010秋无锡校级期末我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．1写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称矩形, 正方形；2如图,已知格点小正方形的顶点O0,0,A3,0,B0,4,请你画出以格点为顶点,OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB．分析1根据定义和特殊四边形的性质,则有矩形或正方形或直角梯形；2根据要求和图形,分析知该四边形即为矩形,画图即可．解答解：1矩形、正方形；2根据要求和图形,则该四边形即为矩形,根据上述定义可知只要有一个角为直角的四边形就是勾股四边形,∵∠BOA为直角,∴点M在点3,4时四边形OAMB为勾股四边形,∴点M横纵坐标分别为3,4,由勾股定理知AM2+AO2=OM2∴OM=5∵由勾股定理得AB也为5,∴对角线相等,∴OA,OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB,点M坐标还有3,4,4,3．点评此题考查了学生对新定义的理解以及特殊四边形的性质．7．2016厦门模拟我们定义：有一组对角相等而另一对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知：在“等对角四边形”ABCD中,∠DAB=60°,∠ABC=90°,AB=5,AD=4,求对角线AC的长．分析分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E,先用含30°角的直角三角形的性质求出AE,得出DE,再用三角函数求出CD,由勾股定理求出AC；②当∠BCD=∠DAB=60°时,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,则∠AMD=90°,四边形BNDM是矩形,先求出AM、DM,再由矩形的性质得出DN=BM=3,BN=DM=2,求出CN、BC,根据勾股定理求出AC即可．解答解：分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时,延长AD,BC相交于点E,如图1所示：∵∠ABC=90°,∠DAB=60°,AB=5,∴∠E=30°,∴AE=2AB=10,∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6,∵∠EDC=90°,∠E=30°,∴CD=2,∴AC===2；②当∠BCD=∠DAB=60°时,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,如图2所示：则∠AMD=90°,四边形BNDM是矩形,∵∠DAB=60°,∴∠ADM=30°,∴AM=AD=2,∴DM=2∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3,∵四边形BNDM是矩形,∴DN=BM=3,BN=DM=2,∵∠BCD=60°,∴CN=,∴BC=CN+BN=3,∴AC==2；综上所述：AC的长为2或2．点评此题考查了新定义、四边形内角和定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识,需要进行分类讨论,通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．8．2014衢州提出问题：1如图1,在正方形ABCD中,点E,H分别在BC,AB上,若AE⊥DH于点O,求证：AE=DH；类比探究：2如图2,在正方形ABCD中,点H,E,G,F分别在AB,BC,CD,DA上,若EF⊥HG 于点O,探究线段EF与HG的数量关系,并说明理由；综合运用：3在2问条件下,HF∥GE,如图3所示,已知BE=EC=2,EO=2FO,求图中阴影部分的面积．分析1由正方形的性质得AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°,又知∠ADO+∠OAD=90°,所以∠HAO=∠ADO,于是△ABE≌△DAH,可得AE=DH；2EF=GH．将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF,将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH．根据1的结论得AM=DN,所以EF=GH；3易得△AHF∽△CGE,所以,由EC=2得AF=1,过F作FP⊥BC 于P,根据勾股定理得EF=,因为FH∥EG,所以,根据2①知EF=GH,所以FO=HO,再求得三角形FOH与三角形EOG的面积相加即可．解答解：1∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAH．∴∠HAO+∠OAD=90°．∵AE⊥DH,∴∠ADO+∠OAD=90°．∴∠HAO=∠ADO．∴△ABE≌△DAHASA,∴AE=DH．2EF=GH．将FE平移到AM处,则AM∥EF,AM=EF．将GH平移到DN处,则DN∥GH,DN=GH．∵EF⊥GH,∴AM⊥DN,根据1的结论得AM=DN,所以EF=GH；3∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD∴∠AHO=∠CGO∵FH∥EG∴∠FHO=∠EGO∴∠AHF=∠CGE∴△AHF∽△CGE∴∵EC=2∴AF=1过F作FP⊥BC于P,根据勾股定理得EF=,∵FH∥EG,∴根据2知EF=GH,∴FO=HO．∴,,∴阴影部分面积为．点评本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强,难度较大．9．2016秋宜兴市校级期中定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．1请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线,并标注每个等腰三角形顶角的度数；若两种方法分得的三角形成3对全等三角形,则视为同一种2△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分线,点D在BC边上,点E在AC边上,且AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并直接写出x所有可能的值；3如图2,△ABC中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC的三分线,并求出三分线的长．分析145°自然想到等腰直角三角形,过底角一顶点作对边的高,发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角,则另一底角被分为45°和°,再以°分别作为等腰三角形的底角或顶角,易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；2用量角器,直尺标准作30°角,而后确定一边为BA,一边为BC,根据题意可以先固定BA的长,而后可确定D点,再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边,兼顾A、E、C在同一直线上,易得2种三角形ABC,根据图形易得x 的值；3因为∠C=2∠B,作∠C的角平分线,则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规,以边长画弧,根据交点,寻找是否存在三分线,易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系,解方程可知三分线的长．解答解：1如图所示：2如图所示：①当AD=AE时,∵2x+x=30°+30°,∴x=20°；②当AD=DE时,∵30°+30°+2x+x=180°,∴x=40°；3如图所示,CD、AE就是所求的三分线．设∠B=α,则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α,∠ADE=∠AED=2α,此时△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC,设AE=AD=x,BD=CD=y,∵△AEC∽△BDC,∴x：y=2：3,①∵△ACD∽△ABC,∴2：x=x+y：2,②由①和②解得或舍去,∴AE=,CD=,即三分线的长分别为和．点评此题是相似形的综合题,主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,掌握相似三角形的判定与性质,根据成比例的线段联立方程解决问题．10．2014宝山区一模通过锐角三角比的学习,我们已经知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长比与角的大小之间可以相互转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对sad．如图在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=．我们容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义,解下列问题：1sad60°= 1 ；sad90°=．2对于0°＜A＜180°,∠A的正对值sadA的取值范围是0＜sadA＜2 ．3试求sad36°的值．分析1根据等腰三角形的性质,求出底角的度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对的定义解答进而得出sad90°的值；2求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；3作出等腰△ABC,构造等腰三角形BCD,根据正对的定义解答．解答解：1根据正对定义,当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°,则三角形为等边三角形,则sad60°==1．根据正对定义,当顶角为90°时,等腰三角形底角为45°,则三角形为等腰直角三角形,则sad90°==故答案为：1,．2当∠A接近0°时,sadA接近0,当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为：0＜sadA＜2．3如图所示：已知：∠A=36°,AB=AC,BC=BD,∴∠A=∠CBD=36°,∠ABC=∠C=72°,∴△BCD∽△ABC,∴=,∴=,解得：BC=CD,∴sad36°==．点评本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和相似三角形的判定与性质,根据题意得出BC与CD的关系是解题关键．11．2013宁波若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；2如图2,在12×16的网格图上每个小正方形的边长为1有一个扇形BAC,点A．B．C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形；3四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数．分析1要证明BD是四边形ABCD的和谐线,只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；2根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等,只要D在中点时构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC,在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD,构成的四边形ABCD就是和谐四边形,3由AC是四边形ABCD的和谐线,可以得出△ACD是等腰三角形,从图4,图5,图6三种情况运用等边三角形的性质,正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．解答解：1∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°,∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°,∴∠BDC=∠C=75°,∴△BCD为等腰三角形,∴BD是梯形ABCD的和谐线；2由题意作图为：图2,图33∵AC是四边形ABCD的和谐线,∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC,如图4,当AD=AC时,∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形,∴∠BAC=∠BCA=60°．∵∠BAD=90°,∴∠CAD=30°,∴∠ACD=∠ADC=75°,∴∠BCD=60°+75°=135°．如图5,当AD=CD时,∴AB=AD=BC=CD．∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°如图6,当AC=CD时,过点C作CE⊥AD于E,过点B作BF⊥CE于F,∵AC=CD．CE⊥AD,∴AE=AD,∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∵AB=AD=BC,∴BF=BC,∴∠BCF=30°．∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC．∵AB∥CE,∴∠BAC=∠ACE,∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°,∴∠BCD=15°×3=45°．点评本题是一道四边形的综合试题,考查了和谐四边形的性质的运用,和谐四边形的判定,等边三角形的性质的运用,正方形的性质的运用,30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略,解答时合理运用分类讨论思想是关键．12．对x,y定义一种新运算T,规定：Tx,y=其中a、b均为非零常数,这里等式右边是通常的四则运算,例如：T0,1==b．1已知T1,﹣1=﹣,T4,2=1．①求a,b的值；②若关于m的不等式组恰好有5个整数解,求实数p的取值范围；2若Tx,y=Ty,x对任意实数x,y都成立这里Tx,y和Ty,x均有意义,则a,b应满足怎样的关系式分析1①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；②根据题中新定义化简已知不等式,根据不等式组恰好有5个整数解,求出p的范围即可；2由Tx,y=Ty,x列出关系式,整理后即可确定出a与b的关系式．解答解：1①根据题意得：T1,﹣1==﹣,即a﹣b=﹣1,①T=4,2==1,即2a+b=7,②联立①②,解得：a=2,b=3；②根据题意得：,由①得：m≥﹣；由②得：m＜,∴不等式组的解集为﹣≤m＜,∵不等式组恰好有5个整数解,即m=0,1,2,3,4．∴4＜≤5,解得：﹣≤p＜﹣11；2由Tx,y=Ty,x,得到=,整理得：x2﹣y22b﹣a=0,∵Tx,y=Ty,x对任意实数x,y都成立,∴2b﹣a=0,即a=2b．点评此题考查了分式的混合运算,解二元一次方程组,以及一元一次不等式组的整数解,弄清题中的新定义是解本题的关键．13．2014东营探究发现如图1,△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF 成立；数学思考某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上B,C除外任意一点时其它条件不变,结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图1中画出图形,并证明。
高中数学——集合新定义题目(学案)
集合新定义题目1.（已知集合22{(,)3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 42.已知集合{}1,2,3,4,5A =，,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．103.已知集合A ，B 满足运算{|A B x x A *=∈且}x B ∉，若集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A B *=( )A.{}1,2,3B.{}2,4C.{}1,3D.{}24.在集合{},,,a b c d 上定义两种运算⊕和⊗如下：a b c d aa b c d bb b b b cc b c bd d b b d ⊕a b c d a a a a a b a b c d c a c c a d a d a d⊗ 那么()d a c ⊗⊕=( )A. aB. bC. cD. d5.若集合,1{}1A =-，{}0,2B =，则集合{|}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6.集合M 中的元素都是正整数，且若a M ∈，则6a M -∈，则所有满足条件的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个7.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-． （1）若{22}S -⊆，，求使元素个数最少的集合S ； （2）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．8.已知集合(){}22,1A x y xy =+≤，{}()|,11,11B x y x y =≤≤-≤≤-，则集合()()(){}12121122,,,,,,x y x x x y y y x y A x N y B =+=∈=+∈表示的区域的面积是________．9. 设整数4n ≥，集合1,2,3,},{X n =⋯．令集合{(),,,|,S x y z x y z X =∈，且三个条件：x y z <<，y z x <<，z x y <<中恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∉B ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈C ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∈D ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∉10.已知集合{(),|,}A x y x y R =∈，若,x y A ∈，已知()()1122,,,x x y y x y ==，定义集合A 中元素间的运算x y *，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：①任意,x y A ∈有x y y x *=*；②任意,,x y z A ∈有()x y z x z y z +*=*+*，其中1212(),x x x y y y +=++； ③任意,x y A ∈，a R ∈有()()ax y a x y *=*；④任意x A ∈有0x x *≥，且0x x *=成立的充分必要条件是)0(0x =，． 如果()()1122,,,x x y y x y ==，那么下列运算满足“*”运算的是( )A ．11222x y x y x y *=+B ．1122x y x y x y *=-C ．11221x y x y x y *=++D ．12122x y x x y y *=+。
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专题复习——“新定义”问题（学案）
班级 姓名
一、专题诠释
所谓"新定义"型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。
其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。
“新定义”型试题常常以运算模式、函数模式、几何模式等形式出现。
二、解题策略
解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。
即：正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。
三、典例精析 （一）运算模式
例
1 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b=a （a-b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5。
（1）求（-2）⊕3的值；
（2）若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．
练习1 （2012·莱芜）对于非零的两个实数a 、b ，规定a
b b a 1
1-=⊕，若()1122=-⊕x ，则x 的值为（ ） A ．
65 B ． 45 C ． 23 D ．6
1- （二）函数模式
例2 （2015•衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y=a 2x 2
+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．
求函数y=﹣x 2
+3x ﹣2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2
+3x ﹣2可知，a 1=﹣1，b 1=3，c 1=﹣2，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y=﹣x 2
+3x ﹣2的“旋转函数”；
（2）若函数y=﹣x 2
+mx ﹣2与y=x 2
﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n ）
2015
的值；
（3）已知函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）互为“旋转函数．”
练习2（2015•绍兴）如果抛物线c bx ax y ++=2
过定点M （1，1），则称次抛物线为定点抛物线。
（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式。
小敏写出了一个答案：4322
-+=x x y ，请你写出一个不同于小敏的答案；
（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线122
+++-=c bx x y ，求该抛
物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答。
（三）几何模式
例3 （2014•嘉兴）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．
（2）在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD
成立．请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC
的长．
练习3 （2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
图2
图1。