中考专题复习——“新定义”问题(学案)

专题复习——“新定义”问题（学案）

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一、专题诠释

所谓"新定义"型试题，是指试题在某种运算、某个基本概念或几何图形基础上或增加条件，或改编条件，或削弱条件，构造一些创意新奇、情境熟悉但又从未接触过的新概念的试题。其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。“新定义”型试题常常以运算模式、函数模式、几何模式等形式出现。 二、解题策略

解决此类问题的常见思路：给什么，用什么。即：正确理解新定义，并将此定义作为解题的重要依据，分析并掌握其本质，用类比的方法迅速地同化到自身的认知结构中，然后解决新的问题。 三、典例精析 （一）运算模式

例

1 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b=a （a-b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1==-5。 （1）求（-2）⊕3的值；

（2）若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．

练习1 （2012·莱芜）对于非零的两个实数a 、b ，规定a

b b a 1

1-=⊕，若()1122=-⊕x ，则x 的值为（ ） A ．

65 B ． 45 C ． 23 D ．6

1- （二）函数模式

例2 （2015•衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0，a 1，b 1，c 1是常数）与y=a 2x 2

+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y=﹣x 2

+3x ﹣2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2

+3x ﹣2可知，a 1=﹣1，b 1=3，c 1=﹣2，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y=﹣x 2

+3x ﹣2的“旋转函数”；

（2）若函数y=﹣x 2

+mx ﹣2与y=x 2

﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n ）

2015

的值；

（3）已知函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x ﹣4）互为“旋转函数．”

练习2（2015•绍兴）如果抛物线c bx ax y ++=2

过定点M （1，1），则称次抛物线为定点抛物线。 （1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式。小敏写出了一个答案：4322

-+=x x y ，请你写出一个不同于小敏的答案；

（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线122

+++-=c bx x y ，求该抛

物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答。

（三）几何模式

例3 （2014•嘉兴）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD

成立．请你证明此结论；

②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC

的长．

练习3 （2015•杭州）如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.

图2

图1