电磁学第三章例题教学文案

物理与电子工程学院

注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。

总结：

1、E P 0

（1）极化率 各点相同，为均匀介质

（2）

i

p P

各点相同，为均匀极化

2、极化电荷体密度

S

S

S

d P S d P q d S d P q

（1）对均匀极化的介质：0 q

（2）特例：仅对均匀介质，不要求均匀极化，只要该点自由电荷体密度0000q ，则：， （第5节小字部分给出证明）

3、极化电荷面密度 n

P P ˆ12

2P 、1P

分别为媒质2、1的极化强度，n

ˆ为界面上从2→1的法向单位矢。当电介质置于真空（空气中）或金属中：

n P n P ˆ n P

：电介质内的极化强度 n ˆ：从电介质指向真空或

金属的法向单位矢。

例（补充）：求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，以及极

化电荷在球心处产生的电场强度，已知极化强度为P

。

-

-z

解：（1）求极化电荷的分布，取球心O 为原点，极轴与P

平行的球极

坐标，选球表面任一点A （这里认为置于真空中），则：

学习资料

A n

P ˆ

由于均匀极化，P 处处相同，而极化电荷 的分布情况由A n

ˆ与P

的夹角而定，即 是θ的函数（任一点的n

ˆ都是球面的径向r ˆ） A A A P n P cos ˆ

任一点有：

cos P

所以极化电荷分布：

140230030

22P

右半球在、象限，左半球在、象限，左右两极处，，最大上下两极处，，最小 （2）求极化电荷在球心处产生的场强

由以上分析知 以z 为轴对称地分布在球表面上，因此 在球心处产

生的E

只有z 轴的分量，且方向为z 轴负方向。

在球表面上任意选取一面元S d

，面元所带电荷量dS q d

，其在球心O 处产生场强为：

R R dS E d ˆ42

其z 分量为： cos 4cos 2

0R

dS

E d E d z （方向为z 轴负方向） 全部极化电荷在O 处所产生的场强为：

2

0222

0cos 4cos sin cos 4z S

dS

E dE R

P R d d R

乙

220

00

cos sin 1

2cos cos 423P d d P d P

E

的方向为z 轴负方向，大小为0

3 P 。

例1：书P103例题1

半径为R ，电荷量为0q 的金属球埋在绝对介电常量为 的均匀无限大

电介质中，求电介质内的场强E

及电介质与金属交界面上的极化电荷面密

度。

ε

解：（1）由于电场具有球对称性，故在介质中过P 点作一个半径为r

与金属球同心的球面S 为高斯面，S 上各点的D

大小相等且沿径向，由高

斯定理得：

0S

D ds q v v Ò

2

04r D q 00

22ˆ44q q D D r r r

v

因 E D

，得：

0020

ˆ0ˆ4ˆ0q E r

q E r r q E r v

v v ，与同向,背离球心，与反向,指向球心

（2）在交界面上取一点B ，过B 点作界面的法线单位矢n

ˆ（由介质指向金属），则：

0ˆˆB B P n

E n v v

而0

2

ˆ4B q E r R

v 00

2

4q R

又 0

001

故 00000

022

44q q R R

讨论：（1）0

，故交界面上 与0q （0 ）始终反号：0q 为正，

则 为负；0q 为负，则 为正。

（2）交界面上的极化电荷总量为：

2

04q R q

即 0q q ： 极化电荷绝对值小于自由电荷绝对值。 （3）交界面上的总电荷量为：0

0r q q q q

这说明总电荷减小到自由电荷的r 1

倍。

（4）把介质换为真空，则场强为

02

0ˆ4q r

r

，此式与前面有介质时的结果比较知：充满均匀介质时场强减小到无介质时的

r 1

倍：

2

2

041

4r q r q r

例2（补充）：类似于P104例题2

平行板电容器两极板面积S ，极板上自由电荷面密度 ，两极板间充满电介质1 、2 ，厚度分别为d 1、d 2，①求各电介质内的电位移和场强；②电容器的电容。

解：（1）如图，由对称性知介质中的E 及D 都与板面垂直。

在两介质分界面处作高斯面S 1，S 1内自由电荷为零，故有

1

11210S D ds D S D S

v v

Ò

得 D 1=D 2

为求电介质中D 和E

的大小，作另一高斯面S 2，对S 2有：

2

1221S D ds D S S D

v v

Ò

而

2212111E D D E D ，

11012202r r E E

（2）正负两极板A 、B 间的电势差为：