三角函数式的化简与三角恒等式的证明
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是指一系列三角函数等式，通过这些等式可以将三角函数的表达式进行简化或者转化为其他形式。
这些恒等变换在解三角方程、化简复杂的三角函数表达式以及证明三角函数的性质等方面起到了重要的作用。
在本文中，我们将介绍几个常见的三角恒等变换，并给出相应的证明和应用实例。
一、正弦、余弦和正切的恒等变换1. 双角和半角公式双角公式是指将一个角的三角函数值表示为另一个角的三角函数值的公式。
对于正弦函数和余弦函数，我们有以下双角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ这些双角公式可以用来化简复杂的三角函数表达式，或者求解一些特殊的三角方程。
而对于正弦函数、余弦函数和正切函数，我们也有以下半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]cos(θ/2) = ±√[(1+cosθ)/2]tan(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]这些半角公式可以用来将一个角的三角函数表示为另一半角的三角函数。
2. 和差公式和差公式是指将两个角的三角函数值的和或差表示为这两个角的三角函数值的公式。
对于正弦函数和余弦函数，我们有以下和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ这些和差公式可以用来化简复杂的三角函数表达式，或者求解一些特殊的三角方程。
3. 倍角公式倍角公式是指将一个角的三角函数值表示为这个角的两倍角的三角函数值的公式。
对于正弦函数和余弦函数，我们有以下倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ这些倍角公式可用于化简复杂的三角函数表达式以及证明一些三角恒等式。
三角函数的恒等式与简化
三角函数的恒等式与简化三角函数是数学中重要而且广泛应用的一个概念。
它们不仅在几何学、物理学和工程学中起着重要的作用，也在数学分析中扮演着重要的角色。
本文将探讨三角函数的恒等式以及如何简化这些恒等式的过程。
一、三角函数的恒等式恒等式是指对于所有满足特定条件的角，恒等式都成立的等式。
在三角函数中，我们可以通过恒等式来推导其他的三角函数式子，以及简化复杂的三角函数表达式。
1. 三角函数的基本恒等式三角函数的基本恒等式是指对于所有满足特定条件的角θ，下列等式成立：- 正弦函数的平方加余弦函数的平方等于1：sin²θ + cos²θ = 1- 正切函数等于正弦函数除以余弦函数：tanθ = sinθ / cosθ- 割函数等于余切函数的倒数：secθ = 1 / cosθ- 余割函数等于正切函数的倒数：cscθ = 1 / sinθ这些基本恒等式为我们简化三角函数的表达式和推导其他恒等式提供了基础。
2. 基本角的恒等式基本角指的是0度、30度、45度、60度和90度这几个特殊的角度。
基本角的三角函数值是固定的，因此可以通过基本角的恒等式来推导其他角度的三角函数值。
例如，对于基本角30度，我们可以通过基本角的恒等式推导出以下恒等式：- sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3，sec30° = 2/√3，csc30°= 2类似地，我们可以通过基本角的恒等式得出60度和45度的三角函数值。
3. 和差角的恒等式和差角的恒等式指的是两个角的和或差的三角函数关系。
其中最常用的和差角恒等式有以下几个：- 正弦函数的和差角恒等式：sin(α ± β) = sinα*cosβ ± cosα*sinβ- 余弦函数的和差角恒等式：cos(α ± β) = cosα*cosβ ∓ sinα*sinβ- 正切函数的和差角恒等式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓tanα*tanβ)利用这些和差角的恒等式，我们可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的形式。
三角函数的恒等变换与化简
三角函数的恒等变换与化简三角函数在数学中扮演着重要的角色，其中包括一系列的恒等变换和化简公式。
这些变换与化简公式不仅在解决三角函数问题时起着重要的作用，而且在数学推导和证明中也发挥着重要的作用。
本文将介绍一些常见的三角函数恒等变换和化简公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 三角恒等变换（1）余弦定理在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC。
这个定理在解决三角形问题中经常使用。
（2）正弦定理在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C为所对应的角。
（3）倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos2θ = cos²θ - sin²θ。
这些公式在求解具有倍角的三角函数问题时非常有用。
2. 三角函数化简公式（1）和差化积两角和公式可以表示为：sin(α +β) = sinαcosβ + cosαsinβ，cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
这个公式可以将两个角的三角函数和转化为单个角的三角函数和。
类似地，两角差公式可以表示为：sin(α - β) =sinαcosβ - cosαsinβ，cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
（2）平方公式正弦函数的平方公式可以表示为：sin²θ = (1 - cos2θ)/2，余弦函数的平方公式可以表示为：cos²θ = (1 + cos2θ)/2。
这些公式在化简复杂的三角函数表达式时非常有用。
（3）倒数公式正切函数的倒数公式可以表示为：cotθ = 1/tanθ，割函数的倒数公式可以表示为：secθ = 1/cosθ，余割函数的倒数公式可以表示为：cscθ =1/sinθ。
三角函数的化简与证明
三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。
本文将探讨三角函数的化简和证明方法。
一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。
它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。
下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。
2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。
例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。
这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。
在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。
这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。
二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。
通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。
在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。
具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。
2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。
三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。
在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。
通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。
需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。
研究三角函数的恒等变换
研究三角函数的恒等变换在几何学和数学分析中，三角函数是非常重要的数学概念之一。
三角函数的恒等变换是指通过对三角函数进行运算和变形，得到具有等价关系的表达式，从而帮助我们简化和推导三角函数的性质和公式。
本文将深入研究三角函数的恒等变换，探讨其基本原理和常见形式，并举例说明其在数学问题中的应用。
一、基本恒等变换恒等变换是指在不改变原有等式的前提下，通过运算和变形得到与之等价的形式。
对于三角函数而言，最常见的恒等变换包括：1. 余弦函数的恒等变换（1）互余恒等式：cosθ = sin(π/2 - θ)这个恒等式表明，余弦函数与其对应的正弦函数在相应角度上是互为互余的。
（2）余弦的双替换式：cosθ = cos(2πn ± θ) = cos(2nπ ± θ)这个恒等式表示，余弦函数的函数值周期性地在相应角度上重复出现。
2. 正弦函数的恒等变换（1）互余恒等式：sinθ = cos(π/2 - θ)这个恒等式表明，正弦函数与其对应的余弦函数在相应角度上是互为互余的。
（2）正弦的双替换式：sinθ = sin(2πn ± θ) = -sin(2nπ ± θ)这个恒等式表示，正弦函数的函数值周期性地在相应角度上重复出现，并且与其对应的正负号相关。
以上是余弦函数和正弦函数的基本恒等变换，它们在解三角方程、化简三角表达式等问题中有着广泛的应用。
接下来，我们将继续探讨更多的恒等变换形式。
二、其他常见恒等变换除了基本的互余恒等式和双替换式外，三角函数还有其他形式的恒等变换，包括：1. 三角函数的平方和差恒等式（1）余弦的平方和差恒等式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB这两个恒等式可以用来简化余弦函数的加减运算，并将其转化为乘法运算。
（2）正弦的平方和差恒等式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB同样地，这两个恒等式可以用来简化正弦函数的加减运算。
三角函数的推导与证明三角恒等式的证明方法
三角函数的推导与证明三角恒等式的证明方法三角函数是数学中的一种重要函数形式，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
而三角恒等式则是描述三角函数之间关系的基本定理，有助于简化计算和推导复杂的数学问题。
本文将介绍三角函数的推导方法以及证明三角恒等式的常用方法。
一、三角函数的推导方法1. 正弦函数的推导正弦函数是三角函数中最基本的一种函数，它的定义如下：sinθ = 垂直边/斜边为了推导出正弦函数的性质，可以考虑一个直角三角形，其中一个角的度数为θ。
假设直角三角形的斜边长度为r，垂直边长度为y，水平边长度为x。
根据勾股定理可得：x² + y² = r²除以r²后可以得到：(x/r)² + (y/r)² = 1由于sinθ = y/r，cosθ = x/r，上述等式可以改写为：cos²θ + sin²θ = 1这就是正弦函数的推导方法之一。
2. 余弦函数和正切函数的推导余弦函数和正切函数是正弦函数的补函数，它们之间的关系可以通过正弦函数进行推导。
考虑一个直角三角形，其中一个角的度数为θ。
根据正弦函数的定义，我们知道：sinθ = y/r通过将上述等式两边同时除以r，可以得到：y/r = sinθ在直角三角形中，余弦函数定义为：cosθ = x/r除以r后可以得到：x/r = cosθ通过将上述等式两边平方后相加，可以得到：(x/r)² + (y/r)² = cos²θ + sin²θ = 1利用上述等式可以推导出余弦函数和正切函数的性质。
二、三角恒等式的证明方法三角恒等式是三角函数中的基本定理，它们描述了三角函数之间的特殊关系。
下面介绍几种常见的证明方法。
1. 直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，它通过将等式两边进行运算、化简，最终得到相等的结果。
以恒等式sin²θ + cos²θ = 1为例，我们可以通过将等式两边进行运算得到：sin²θ + cos²θ = (sinθ + cosθ)(sinθ - cosθ)接下来，可以运用代数化简的方法将右侧的等式继续进行化简，最终得到左侧等式1。
三角函数恒等变换证明
三角函数恒等变换证明三角函数恒等变换是高中数学中的重要内容，它可以帮助我们在解决三角函数相关问题时，简化计算步骤，提高解题效率。
本文将通过一些典型的三角函数恒等变换，来证明它们的正确性和应用价值。
我们来看一个非常基础的三角函数恒等变换——正弦函数的倒数等于余弦函数。
即sin(x)的倒数等于cos(x)：1/sin(x) = cos(x)。
我们可以通过数学推导来证明这个等式的正确性。
假设在单位圆上，点P的坐标为(x, y)，其中x = cosθ，y = sinθ。
根据三角函数的定义，我们知道sinθ = y，cosθ = x。
那么，我们可以得到以下等式：sin^2θ + cos^2θ = y^2 + x^2 = 1接下来，我们将上式两边同时除以sin^2θ，得到：1 + cos^2θ/sin^2θ = 1/sin^2θ将cos^2θ/sin^2θ化简为cot^2θ，上式变为：1 + cot^2θ = csc^2θ将等式两边同时取倒数，得到：1/(1 + cot^2θ) = 1/csc^2θ化简后，我们就得到了1/sinθ =cosθ，即sin(x)的倒数等于cos(x)的恒等变换。
接下来，我们来看另一个常见的三角函数恒等变换——正切函数的倒数等于余切函数。
即tan(x)的倒数等于cot(x)：1/tan(x) = cot(x)。
同样，我们可以通过数学推导来证明这个等式的正确性。
假设在单位圆上，点P的坐标为(x, y)，其中x = cosθ，y = sinθ。
根据三角函数的定义，我们知道tanθ = y/x，cotθ = x/y。
那么，我们可以得到以下等式：tanθ = sinθ/cosθ将等式两边同时取倒数，得到：1/tanθ = cosθ/sinθ化简后，我们就得到了1/tanθ = cotθ，即tan(x)的倒数等于cot(x)的恒等变换。
除了上述两个常见的三角函数恒等变换，还有一些其他的恒等变换也同样具有重要的作用。
三角函数恒等式证明的基本方法
三角函数恒等式证明的基本方法一、代数方法：1. 利用基本的三角函数定义和性质。
例如，根据正弦函数的定义sin(x) = y/r，其中y和r分别表示三角形中的对边和斜边，可以证明sin^2(x) + cos^2(x) = 1. 同样，根据余弦函数的定义cos(x) = x/r，可以证明1 + tan^2(x) = sec^2(x)等等。
2. 利用三角函数的和差化简公式。
例如，可以利用sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)来将复杂的三角函数式子化简为简单的形式。
3. 利用三角函数的倍角化简公式。
例如，sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)等等。
4. 利用三角函数的倒角化简公式。
例如，tan(x/2) = (1 -cos(x))/sin(x)等等。
5. 利用三角函数的和差化简公式加上三角函数的倍角化简公式，可以得到更为复杂的三角函数恒等式。
例如，sin(x)sin(2x)sin(3x) =(1/4)sin(4x) - (1/2)sin(2x) + (3/4)sin(x)等等。
二、几何方法：1.利用三角形的几何关系。
例如，通过观察正弦函数的定义，可以得知正弦函数在一个周期内是一个周期函数。
再通过画出一个单位圆，利用单位圆上的坐标来证明正弦函数的周期性。
2.利用三角形的性质。
例如，可以构造一个直角三角形，利用三角形的内角和为180°和三角函数的定义来证明三角函数的各种恒等式。
3.利用欧拉公式。
欧拉公式是一个重要的三角函数恒等式，它表达了指数函数、三角函数和复数的关系。
通过利用欧拉公式，可以推导出很多复杂的三角函数恒等式。
需要注意的是，证明三角函数恒等式时应该清晰地表达每一步的推导和理由，并且遵循数学推导的基本规则。
正确的证明应该是合理、准确、严密的。
总结起来，证明三角函数恒等式的基本方法包括利用三角函数定义和性质、利用三角函数的和差、倍角、倒角等化简公式、利用三角形的几何关系和性质以及利用欧拉公式等。
三角函数的化简与证明
第35课 三角函数的化简与证明●考试目标 主词填空1.三角函数式的化简要求及常规方法化简就是使式子最简,即:能求值的应求值；次数最低，项数最少，三角函数种类最少，将高级运算表为低级运算；化简的常规方法有：直用公式，逆用公式，变用公式，切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次.2.三角恒等式的证明常用的方法有:化繁为简，左右归一，变更等式，化异为同，异角化同角，异名化同名. 3.条件等式的证明认真解读条件与结论，发现已知条件和待定等式之间的关系，选择适当的途径和机会把条件等式用上去!●题型示例 点津归纳【例1】 化简下列各式 (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+-παπα2232cos 21212121; (2)42sin 42cos tan 5312sin 2cos 2tan 31--+--++x x xx x x ; (3)se c 2280°－3c s c 2280°.【解前点津】 (1)利用升次公式,去掉开方符号. (2)可使用换元化简，令t =t a n x . (3)化割为弦.【规范解答】 (1)∵αααπαπcos |cos |2cos 2121,223==+∴<<, 又∵2sin ,2sin |2sin |cos 2121,243ααααπαπ=∴==-∴<<原式. (2)令t =t a n x ,则原式=41811531121)1(231222222-+-+-+--+++-+t t t t tttt t t =x t t t t t t t t t t 2sec 212)1()1)(53()1)(51()1)(31()1()31(2222=-+=+++++-++∙+.(3)原式=csc 210°－3se c 210°=(csc10°+3sec10°)·(csc10°－3sec10°)=︒︒-︒∙︒+︒=︒︒︒-︒∙︒∙︒︒+︒20sin )1030sin()1030sin(1610cos 10sin 10sin 310cos 10cos 10sin 10sin 310cos 2=32cos20°.【解后归纳】 切割化弦，巧用换元,都是常规方法.【例2】 证明:cos 3α+sin 3α+cos 4α－sin 4α=2cos 24sin 4cos 2422ααπαπ∙⎪⎭⎫⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-.【解前点津】 左右两边结构都较复杂，可同时化简，左、右归一.【规范解答】 左边=(cos α+sin α)·(cos 2α－cos α·sin α+sin 2α)+(cos 2α+sin 2α)·(cos α+sin α)·(cos α－sin α)=(cos α+sin α)·(1－cos αsin α+cos α－sin α)=(cos α+sin α)·(1+cos α)(1－sin α)右边=2cos 122cos 1sin 4sin cos 4cos 24ααπαπαπ+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--∙⎪⎭⎫ ⎝⎛∙+∙)s i n (c o s αα+=·(1－sin α)·(1+cos α),∴左边=右边，等式成立. 【解后归纳】 若被证明的等式两边都很复杂，则同时化简，双营齐下，是左、右归一的必然途径.【例3】 若2t a n α=3t a n β,证明:t a n(α－β)=ββ2cos 52sin -.【解前点津】 利用条件，用t a n β表示等式左边,而右边同样可用t a n β表示. 【规范解答】 ∵t a n α=23t a n β,∴t a n(α－β)=βαβαtan tan 1tan tan ∙+-=βββββ22tan 32tan tan 231tan tan 23+=+- 又∵βββββββββββ2222222tan 32tan )tan 1()tan 1(5tan 2tan 1tan 15)tan 1(tan 2cos 52sin +=--+=+--+=-∴t a n(α－β)=ββ2cos 52sin -.【解后归纳】 将被证等式的两边都用t a n β表示，而不含t a n α,本质上是“消元法”，将多个变量的表达式，变为单个变量的表达式，往往要使用“消元”的方法.【例4】 在△ABC 中,若sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B,求证:t a n312tan 2=∙C A . 【解前点津】 因结论等式中不含B .故需设法消去已知等式中的B 角,可考虑使用三角形内角和定理.【规范解答】 ∵sin 22A +sin 22B +sin 22C =cos 22B,∴2sin 212cos 12cos 12BC A -=-+-. 又∵sin 2B =cos 2C A +,∴2sin 22B =21(cos A +cos C )⇒2cos 22C A + =cos 2C A +·cos ⇒-2C A 2cos2C A +=cos 2CA -. ∴2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2C A C A C A C A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-.∴.2cos 2cos 2sin 2sin3C A C A ∙=∙故312tan 2tan =∙C A . 【解后归纳】 本题证明使用了降次公式，和差化积，三角形内角和定理，熟练使用公式与定理，是做论证题的一项基本功. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.若3(sin α+sin β)=cos β－cos α,α、β∈(0,π),则α－β等于 ( ) A.－32π B.－3π C.3πD.32π 2.化简:)tan(tan tan tan )tan(βααβαβα+∙--+的结果是 ( )A.t a n αB.t a n βC.t a n(α+β)D.t a n(α－β) 3.若t a n(α+β)=52,t a n 414=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ,则t a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值是 ( )A.1813 B.223 C.1213D.183 4.已知α+β=32π,则y =cos 2α+cos 2β的最大值为 ( )A.21 B.23C.43D.222+5.若α、β为锐角,sin α=552,sin(α+β)=53,则cos β等于 ( )A.552B.2552C.2552552或D.－2552 6.已知180°<α<270°,且sin(α+β)·cos β－cos(α+β)sin β=－54,则t a n 2α的值为 ( )A.3B.2C.－2D.－3 7.已知cos(α+β)·cos(α－β)=－32,则cos 2α+cos 2β的值为 ( ) A.－32 B.－31 C.31 D.328.已知α+β=3π,且α、β满足关系式:3(t a n α·t a n β+a )+t a n α=0,则t a n β= ( )A.3(1+a ) B.3(1－a ) C.33(1+a ) D. 33(1－a ) 9.若0<x <2π,则函数y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2tan 2cot )2cos 1(x x x 取最大值时x 的值是 ( )A.4πB.8πC.6πD.12π10.若2523<<θππ,则θθsin 1sin 1--+可化简为 ( )A.2sin 2θB.－2sin 2θC.2cos 2θD.－2cos 2θ二、思维激活11.化简⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπα4cos 4sin cos 212= .12.若θθθθcos 3sin cos sin 2-+=－5,则3cos2θ+sin2θ= .13.已知t a n θ=2,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+--θπθθ4sin 21sin 2cos 22= . 14.已知:sin(α+β)=21,sin(α－β)=31,则log 5(t a n α·cot β)2= .三、能力提高15.已知cos θ－sin θ=2sin θ,求证:cos θ+sin θ=2cos θ.16.已知cos α=53,cos(α+β)=－135,且α、β都是锐角，求sin β值.17.求证:t a n A +cot A =Asin 2.18.在△ABC 中,sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,求证:5cos A －4cos A ·cos C +5cos C =4.第6课 三角函数的化简与证明习题解答1.D 和差化积:3·2sin 2tan2sin2sin22cos2βαβαβαβαβα-⇒-++=-+＝32323πβαπβα=-⇒=-⇒+. 2.B ∵tan β=tan ［(α+β)－α］=()[]()[]βαααβα+∙+-+tan tan 1tan tan 故原式=[]ββααββααβtan )tan(tan tan )tan(tan 1tan =+∙-+∙+∙.3.B tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4)(tan 4πββαπα =4152141524tan )tan(14tan )tan(⨯+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--+πββαπββα. 4.B y =21(1+cos2α)+21(1+cos2β)=1+21(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)·cos(α－β) =1－21cos(α－β)≤23.5.B cos β=cos ［(α+β)－α］=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)·sin α=2552552535554=⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-.6.C 由条件知sin α=－542tan 12tan2542-=+⇒αα,解之:tan 2α=-2. 7.C 原式=21(1+cos2α)－21(1+cos2β)=21(cos2α+cos2β)=－sin(α+β)·sin(α－β),由条件:21(cos2α+cos2β)=31.8.A 由α+β=[]βαβαπtan tan 1)tan (tan 33∙-=⇒从方程组中消去tan α即得.9.A 分子=2cos 2x ,分母=x y x x x x xx x x x 2sin 21sin cos 22cos 2sin 2sin cos 2cos 2sin 2sin 2cos22==-=-故. 10.B 原式=2cos 2sin ,45243,2cos2sin2cos2sin θθπθπθθθθ>∴<<--+.11.分子－cos2α,分母=α2cos 21,故原式=－2. 12.由条件得:2tan 53tan 1tan 2=⇒-=-+θθθ,故3cos2α+3sin2θ=3·12149tan tan 2tan 1tan 12222-=++-=+++-θθθθ. 13.原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-θπθπθπθππθπθθπθπθθ4sin 4cos 4sin 24sin 4cos 24sin 2sin 2sin 4sin 2sin cos . =2232121tan 1tan 14tan 1+-=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+θθθπ.14.∵tan α·cot β=βαtan tan . 由条件:()()23)tan (tan )tan (tan sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =-+=-+=-+βαβαβαβαβααβαβαβα,解之:4)5(log5log ,5tan tan 4525====故原式βα.15.∵cos θ－sin θ=2sin θ,∴cos θ=(2+1)sin θ,∴左边－右边=(1－2)cos θ+sin θ=(1－2)·(1+2)sin θ+sin θ=0,∴左边=右边. 16.由条件知:sin α=,54,sin(α+β)=⇒1312sin β=sin ［(α+β)－α］ =sin(α+β)·cos α－cos(α+β)·sin α=655654135531312=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯. 17.证明:∵sin2A ·(tan A +cot A )=A A 2tan 1tan 2+ (tan A +cot A )=AA 22tan 1)1(tan 2++=2,∴原等式成立.18.由条件:2sin B =sin A +sin C ⇒2sin(A +C )=sin A +sin C⇒2·2sin2C A +·cos 2C A + =2·sin 2C A +cos 2CA - ⇒2cos 2C A +=cos 2CA -,展开得: 2cos 2A cos 2C －2sin 2A sin 2C =cos 2A cos 2C +sin 2A sin 2C即cos 2A cos 2C =3sin 2A sin 2C ,∴tan 2A ·tan 2C =31.令x =tan 2A ,y =tan 2C则x ·y =31.故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-=∙++2tan 12tan 12tan 12tan 112tan 12tan 12tan 12tan 1cos cos 1cos cos 22222222C C A A C C A A C A C A =5491191111111*********222222222=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++-y x y x y y x x y y x x , ∴5(cos A +cos C )=4(1+cos A ·cos C )，即5cos A －4cos A ·cos C +5cos C =4.。
三角函数和三角恒等式的解法
三角函数和三角恒等式的解法三角函数是数学中一个重要的概念，与三角恒等式密切相关。
在解决三角函数和三角恒等式的问题时，存在多种解法，下面将介绍一些常用的方法。
一、三角函数的解法1. 角度法三角函数中的角度可以用度数或弧度表示。
角度法是最为常见的解题方法，其中包括：- 利用基本三角函数的表格：通过查表或从记忆中迅速找到角度对应的三角函数值。
- 利用特殊角的值：如30°、45°、60°、90°等，它们的三角函数值通常是已知的，可以直接使用。
2. 直角三角形法直角三角形法适用于已知一个角度以及两边的长度，解题步骤如下：- 给定一个角度及两边的长度。
- 确定该角度对应的直角三角形。
- 利用正弦、余弦、正切等求解。
3. 平面向量法平面向量法适用于已知向量的情况，解题步骤如下：- 将已知向量拆分为坐标形式。
- 利用坐标形式计算向量的模和方向角。
- 通过已知的三角函数关系求解。
二、三角恒等式的解法三角恒等式是包含三角函数的等式，常用的解法有以下几种：1. 代入法代入法是最简单的解题方法，在恒等式中，选择一个或多个特殊角度，将其代入恒等式中计算，验证等式是否成立。
2. 化简法化简法是通过运用三角函数的基本关系、平方公式、和差化积等恒等式，将复杂的三角函数表达式化简成简单明了的形式，从而方便计算和验证恒等式。
3. 倍角、半角、和差角公式法倍角、半角、和差角公式是三角函数中的重要关系，利用这些公式可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的形式。
在解题时，可以通过判断等式中的角度关系，选择合适的公式进行推导和变形。
4. 倒数、倒代入法倒数、倒代入法适用于恒等式中存在三角函数的倒数形式的情况。
通过将恒等式中的倒数形式转化为原函数的倒数形式，然后倒代入，最后得到恒等式的证明。
综上所述，解决三角函数和三角恒等式问题可以采用不同的方法和技巧。
根据具体的题目要求，可以选择适当的解题方法，并运用相关的数学公式和恒等式进行推导和变形，最终得到正确的答案。
三角函数的恒等变换与证明归纳
三角函数的恒等变换与证明归纳三角函数是数学中重要的函数之一，它们在解决几何问题和分析问题中起着重要的作用。
在三角函数的研究中，我们经常会遇到恒等变换与证明归纳的问题，这不仅有助于我们加深对三角函数的理解，也能提高我们的证明能力。
本文将介绍几个常用的三角函数的恒等变换，并通过证明归纳的方法来证明它们的正确性。
首先，让我们来看一下最基本的三角函数的定义。
在一个直角三角形中，正弦、余弦和正切分别定义为：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边接下来，我们将介绍三个常用的三角函数的恒等变换。
一、正余弦的平方和恒等变换对于任意角θ，有以下恒等关系：sin²θ + cos²θ = 1这个恒等变换被称为正余弦的平方和恒等变换。
要证明这个恒等关系的正确性，我们可以通过归纳法来证明。
首先，当θ=0时，左边的等式为sin²0 + cos²0 = 0 + 1 = 1，右边的等式为1，两边相等，恒等关系成立。
接下来，假设当θ=k时，恒等关系成立，即sin²k + cos²k = 1。
我们来证明当θ=k+1时，恒等关系也成立。
根据三角函数的定义，我们有sin(k+1) = sink*cos1 + cosk*sin1，cos(k+1) = cosk*cos1 - sink*sin1。
将这两个式子代入到恒等关系左边，得到：sin²(k+1) + cos²(k+1)= (sink*cos1 + cosk*sin1)² + (cosk*cos1 - sink*sin1)²= (sinkcos1)² + 2sinkcos1*cosk*sin1 + (cosksin1)² + (coskcos1)² -2sinkcos1*cosksin1 + (sinksin1)²利用恒等关系sin²k + cos²k = 1，我们可以简化上述等式：= sin²k*cos²1 + cos²k*sin²1 + cos²k*cos²1 - 2sin1*cos1*sin1*cosk -2sin1*cos1*sin1*cosk + sin²k*sin²1= sin²k*(cos²1 + sin²1) + cos²k*(cos²1 + sin²1)= sin²k + cos²k= 1因此，根据证明归纳的方法，我们证明了正余弦的平方和恒等变换的正确性。
三角恒等式证明9种基本技巧
三角恒等式证明9种基本技巧1. 使用三角函数的定义。
三角函数的定义是三角恒等式证明中最基本的工具之一、例如，根据正弦函数的定义：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)，可以证明一些常见的三角恒等式。
3. 使用欧拉公式。
欧拉公式表示了指数函数和三角函数之间的关系，即e^(ix) = cos(x) + isin(x)。
利用欧拉公式，可以将复杂的三角函数表达式化简为简单的指数函数，从而证明三角恒等式。
4.使用三角函数的性质。
三角函数具有很多重要的性质，如周期性、奇偶性、反函数等。
利用这些性质，可以对三角恒等式进行转换和化简。
5.使用三角函数的和差公式。
三角函数的和差公式是三角恒等式证明中常用的工具。
利用和差公式，可以将一个三角函数表达式转化为一个或多个不同的三角函数表达式，从而证明三角恒等式。
6.使用多角恒等式。
多角恒等式是一类涉及多个角度的三角恒等式。
通过将多角恒等式转化为较简单的三角恒等式，可以推导出更复杂的三角恒等式。
7.使用三角恒等式链。
三角恒等式链是一组相关的三角恒等式，它们可以逐步推导出一个最终的三角恒等式。
通过使用这些相关的恒等式，可以证明更复杂的三角恒等式。
8.使用变量替换和代换。
在证明三角恒等式时，可以通过引入新的变量或进行代换来简化问题。
通过适当选择变量或代换，可以将原始的三角恒等式转化为更简单和易于证明的形式。
9.使用数学归纳法。
数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于证明一类具有递归结构的命题。
在三角恒等式证明中，可以利用数学归纳法来逐步证明恒等式的不同情况，从而得到最终的结果。
以上是证明三角恒等式的9种基本技巧。
在实际应用中，根据具体的问题和需要，可以选择其中一种或多种方法来进行证明。
需要注意的是，在进行三角恒等式证明时，要仔细分析题目，选择合适的方法，并严格按照证明的逻辑进行推导，以确保证明的正确性。
三角函数的证明与推导三角函数的恒等式与变形证明
三角函数的证明与推导三角函数的恒等式与变形证明三角函数是数学中重要的一类函数，它们在各个科学领域中都广泛应用。
本文将从三角函数的定义开始，逐步推导并证明一些三角函数的恒等式和变形。
一、正弦函数的定义与恒等式正弦函数可以定义为一个直角三角形的斜边与斜边所对的角度的比值。
在一个直角三角形ABC中，角A为直角，BC为斜边，AD为高，AD与BC的比值定义为正弦函数。
根据三角函数的定义，我们可以得到正弦函数的恒等式：恒等式1：sin^2x + cos^2x = 1我们可以通过几何方法来证明这个恒等式。
假设在单位圆上有一个角度为x的弧所对应的点为P(x,y)，根据三角函数的定义，我们可以得到：x = cosxy = sinx那么根据单位圆的定义，我们有：x^2 + y^2 = 1将x和y代入上述方程，即可得到恒等式1。
二、余弦函数的定义与恒等式余弦函数可以定义为一个直角三角形的邻边与斜边的比值。
与正弦函数类似，我们可以得到余弦函数的恒等式：恒等式2：1 + tan^2x = sec^2x我们可以通过几何方法来证明这个恒等式。
在单位圆上取一个与x 轴夹角为x的弧所对应的点P(x,y)，根据三角函数的定义，我们有：x = cosxy = sinx那么根据单位圆的定义，我们可以得到：1 + tan^2x = 1 + (y/x)^2 = 1 + (sin^2x / cos^2x) = cos^2x / cos^2x + sin^2x / cos^2x = (cos^2x + sin^2x) / cos^2x = 1 / cos^2x = sec^2x将x和y代回到恒等式2中，即可证明这个恒等式。
三、正切函数的定义与恒等式正切函数可以定义为一个直角三角形的斜边与邻边的比值。
我们可以得到正切函数的恒等式：恒等式3：1 + cot^2x = csc^2x类似于前面两个恒等式的证明，我们可以通过几何方法来证明这个恒等式。
在单位圆上取一个与x轴夹角为x的弧所对应的点P(x,y)，根据三角函数的定义，我们有：x = cosxy = sinx那么根据单位圆的定义，我们可以得到：1 + cot^2x = 1 + (x/y)^2 = 1 + (cos^2x / sin^2x) = sin^2x / sin^2x + cos^2x / sin^2x = (sin^2x + cos^2x) / sin^2x = 1 / sin^2x = csc^2x将x和y代回到恒等式3中，即可证明这个恒等式。
三角函数三角恒等式的证明
三角函数三角恒等式的证明三角恒等式是指包含三角函数的等式，其中左右两边对于任意给定的角度都成立。
在数学中，有许多重要的三角恒等式，如正弦函数、余弦函数、正切函数等的恒等式。
本文将通过逐步证明三角函数三角恒等式，以展示它们的成立。
证明一：正弦函数的三角恒等式对于任意角度θ，我们有正弦函数的定义：sin(θ) = 垂直边/斜边现在，我们将证明正弦函数的三角恒等式之一，即“sin(θ) = sin(π - θ)”。
证明过程如下：假设我们有一个任意角度θ，它落在单位圆上的位置A。
那么，相应的点B将位于π - θ的位置。
根据垂直边的定义，我们可以得知：sin θ = 垂直边A/斜边AOsin(π - θ) = 垂直边B/斜边BO由于角度θ与角度(π - θ)的正弦值是相等的，所以可以得出以下结论：sin θ = sin(π - θ)这就证明了正弦函数的三角恒等式之一。
证明二：余弦函数的三角恒等式对于任意角度θ，我们有余弦函数的定义：cos(θ) = 邻边/斜边现在，我们将证明余弦函数的三角恒等式之一，即“cos(θ) = cos(-θ)”。
证明过程如下：假设我们有一个任意角度θ，它落在单位圆上的位置A。
那么，相应的点B将位于-θ的位置。
根据邻边的定义，我们可以得知：cos θ = 邻边A/斜边AOcos(-θ) = 邻边B/斜边BO由于角度θ与角度(-θ)的余弦值是相等的，所以可以得出以下结论：cos θ = cos(-θ)这就证明了余弦函数的三角恒等式之一。
证明三：正切函数的三角恒等式对于任意角度θ，我们有正切函数的定义：tan(θ) = 垂直边/邻边现在，我们将证明正切函数的三角恒等式之一，即“tan(θ) = tan(π + θ)”。
证明过程如下：假设我们有一个任意角度θ，它落在单位圆上的位置A。
那么，相应的点B将位于π + θ的位置。
根据垂直边和邻边的定义，我们可以得知：tan θ = 垂直边A/邻边Atan(π + θ) = 垂直边B/邻边B由于角度θ与角度(π + θ)的正切值是相等的，所以可以得出以下结论：tan θ = tan(π + θ)这就证明了正切函数的三角恒等式之一。
三角恒等式的证明方法
三角恒等式的证明方法三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系。
在数学的学习中，证明三角恒等式是一项重要的任务。
本文将介绍几种常见的证明方法，以帮助读者更好地理解和掌握三角恒等式的证明过程。
一、代数证明法代数证明法是通过将三角函数转化为代数表达式，再通过化简和运算等步骤来证明恒等式的方法。
该方法通常适用于涉及三角函数的加法、减法、乘法关系的证明。
例如，我们来证明三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB证明过程如下：首先将左边的三角函数展开为代数表达式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB然后利用三角函数的定义，将其转化为分子和分母的代数表达式：= (sinA·cosB) / 1 ± (cosA·sinB) / 1接下来，利用代数的乘法公式，将分子分别进行展开：= (sinA·cosB) / 1 ± (cosA·sinB) / 1= [sinA·(cosB/1)] ± [(cosA/1)·sinB]再将分母的1进行化简：= [sinA·(cosB/1)] ± [(cosA/1)·sinB]= sinA·cosB ± cosA·sinB最后，通过上述代数变换和运算，我们证明了三角函数的和差化积公式。
二、几何证明法几何证明法是通过利用几何图形和几何性质来证明三角恒等式的方法。
该方法在证明三角恒等式时，常常需要对几何图形进行分析和运用几何关系。
例如，我们来证明正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC证明过程如下：首先，根据三角形的定义，我们可以构建一个三角形ABC，其中边长分别为a、b、c，角度分别为A、B、C。
三角函数的恒等式及证明方法
三角函数的恒等式及证明方法在学习三角函数时，我们不可避免地涉及到三角函数的恒等式。
三角函数是解决角度相关问题的有力工具，而三角函数的恒等式是三角函数理论应用的必备内容。
一、常见的三角函数的恒等式1. 余弦函数的恒等式余弦函数在三角函数中应用广泛，下面是一些常见的余弦函数的恒等式：cos(-x)=cos(x) ——余弦函数是偶函数cos(x+π/2)=-sin(x) ——余弦函数与正弦函数是相位差为π/2的函数，且余弦函数的相邻两个极值点相差π/2cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y) ——余弦函数的和角公式cos2(x)=(cos(x))^2-(sin(x))^2 ——余弦平方的二倍角公式cos(x)cos(y)=(1/2)[cos(x+y)+cos(x-y)] ——余弦函数的积角公式2. 正弦函数的恒等式正弦函数也是常用的三角函数之一，下面是一些常见的正弦函数的恒等式：sin(-x)=-sin(x) ——正弦函数是奇函数sin(x+π/2)=cos(x) ——正弦函数与余弦函数是相位差为π/2的函数，且正弦函数的极值出现在余弦函数的零点sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) ——正弦函数的和角公式sin2(x)=(sin(x))^2+(cos(x))^2 ——正弦平方的二倍角公式sin(x)cos(y)=(1/2)[sin(x+y)+sin(x-y)] ——正弦函数的积角公式3. 正切函数的恒等式正切函数是另一常用的三角函数，下面是一些常见的正切函数的恒等式：tan(-x)=-tan(x) ——正切函数是奇函数tan(x+π)=tan(x) ——正切函数是周期函数，其周期为π，而tan(x)的极限值在π/2和-π/2处取值tan(x+y)=(tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y)) ——正切函数的和角公式tan2(x)=(1-cos(2x))/(1+cos(2x))=(sin(2x))/(1+cos(2x)) = ((1-cos(x))/sin(x))^2 ——正切平方的二倍角公式二、证明三角函数的恒等式的方法无论是什么类型的三角函数恒等式，其证明都是基于三角函数之间的关系以及三角函数的基本公式，原则上都可以通过代数推导、等式转化、几何图示等多种方式进行证明。
2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)
三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。
三角恒等变换的总结与应用
三角恒等变换的总结与应用三角恒等变换是解决三角函数问题中常用的重要工具。
它们是一些基本的等式，它们可以将一个三角函数表达式转化为另一个等价的形式，从而使计算变得更简单、更方便。
在这篇文章中，我们将对三角恒等变换进行总结，并探讨一些它们在实际问题中的应用。
一、三角恒等变换总结1. 正弦、余弦和正切的平方和恒等式：sin²θ + cos²θ = 11 + tan²θ = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ这些恒等式表明，在平方和为1的限制下，正弦、余弦和正切之间存在着特殊的关系。
通过利用这些关系，我们可以大大简化三角函数的计算。
2. 互余恒等式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθcot(π/2 - θ) = tanθ这些恒等式表明，对于一个角度θ，其互余角度为π/2 - θ，而互余角度的正弦、余弦、正切和余切与原角度的三角函数有特殊的对应关系。
3. 余切和正切的倒数的恒等式：cotθ = 1/tanθtanθ = 1/cotθ这些恒等式表明，余切和正切是彼此的倒数关系。
我们可以通过这一关系，将一个三角函数的计算转化为另一个三角函数的计算，从而简化问题求解的过程。
二、三角恒等变换的应用1. 证明与简化：三角恒等变换常用于证明三角恒等式及简化复杂的三角函数表达式。
通过灵活应用三角恒等变换，并结合基本的三角函数性质，我们可以将复杂的三角函数等式逐步化简为更简明的形式，从而解决三角函数相关的证明问题。
2. 三角函数的恒等式证明：利用三角恒等变换，我们可以轻松证明各种三角恒等式。
例如，利用平方和恒等式sin²θ + cos²θ = 1，我们可以证明tan²θ + 1 = sec²θ；利用互余恒等式sin(π/2 - θ) = cosθ，我们可以证明sin²θ + cos²θ = 1等等。
三角函数与三角恒等式
利用三角恒等式的推导证明其他恒等式 利用三角函数的性质证明恒等式 利用代数方法证明恒等式 利用几何方法证明恒等式
三角恒等式在物 理学中广泛应用 于振动、波动、 电磁学等领域。
在工程学中，三 角恒等式用于解 决结构分析、流 体动力学和热力 学等问题。
三角恒等式在信 号处理和通信领 域中也有广泛应 用，例如用于调 制和解调信号。
化简角度：通过三角恒等式可以将一些特殊角度的三角函数值计算出来，进而求出其他角度 的三角函数值。
证明恒等式：利用三角恒等式可以证明一些恒等式，从而得出一些重要的三角函数性质。
解决实际问题：三角恒等式在解决一些实际问题中也有着广泛的应用，例如在物理、工程等 领域中解决一些与角度和长度有关的计算问题。
三角恒等式可以用于推导三角 函数之间的关系，从而更好地 理解其图像。
添加标题
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积化和差公式的推论：cos(a) * sin(b) = 1/2 * [sin(a+b) sin(a-b)]
添加标题
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积化和差公式的应用：在三角函数 计算中，利用积化和差公式简化表 达式
半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2] 半角公式：cos(x/2) = ±√[(1+cosx)/2] 半角公式：tan(x/2) = ±√[(1-cosx)/(1+cosx)] 半角公式：sec(x/2) = ±√[(1+cosx)/(1-cosx)]
三角恒等式用于化简三角函数 表达式，从而更方便地研究其 性质。
三角恒等式可以用于证明三角 函数的性质，从而更好地理解
其图像和性质。
三角恒等式可以用于求解三角 函数的值，从而更好地理解其
图像和性质。
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2(3 + cos 4 x) 求证： . 例 2 求证： tan x + cot x = 1 − cos 4 x
2 2
返回 继续
sin 2 x cos 2 x sin 4 x + cos 4 x + = 证明：左边= 证明：左边 2 2 cos x sin x sin 2 x cos 2 x 1 2 2 2 2 2 1 − s in 2 2 x (sin x + cos x ) − 2 sin x cos x 2 = = 1 2 1 sin 2 x sin 2 2 x 4 4
π π
4 4
+ x) + x)
的结果是（
A）
。
cos(
4
x （C）tan2x （D）cotx 2 1 + sin θ − cos θ 1 + sin θ + cos θ 2.化简 得（ ） + 1 + sin θ + cos θ 1 + sin θ − cos θ （A） 2 csc θ （B） 2 sec θ （C） 2 sin θ （D） 2 cos θ
（A）－tanx
（B）tan
A
sin β sin(2 α + β ) 3.求证： = − 2 cos( α + β ) sin α sin α
12
sin(2α + β) 3.证明 证明:∵ 3.证明 ∵ − 2cos(α + β) sin α sin[(α + β) + α] − 2cos(α + β)sin α = sin α sin(α + β)cos α − cos(α + β)sin α = sinα sin[(α + β) − α] sin β = = ， sin α sin α 左边=右边 原式得证。 右边， ∴左边 右边，原式得证。
3sin(α + β ) sin α = 即 tanα=3tan(α+β) α α β ∴ cos(α + β ) cos α
11
作业: 全案》 作业: 《全案》 P 训练 1、2、3、5 、 、 、
94
速度训练: 速度训练
cos(
1. 化简
π π
4
+ x ) − sin( + x ) + sin(
8 − 4 sin 2 2 x = 2 s in 2 2 x
4 + 4cos 2 2 x 8 − 4 sin 2 2 x 右边=右边 原式得证. 右边, ∴右边 右边 原式得证 = 右边= 右边 2 2 2sin 2 x 2 sin 2 x
这里的思考是 “两头凑”的分析方 法.
10
例 3 已知 sin(2α + β ) + 2sin β = 0 , 求证:tanα=3tan(α+β) 求证 α α β
一、知识要点
二、例题分析
三、作业及练习 《全案》 P 训练 1、2、3、5 全案》 、 、 、
例1 例2 例3
94
2
化简： 例 1 化简：
θ cos2 θ 4 tan
2
cosθ
−
2
π + θ )cos2 (π + θ ) 4 tan(
4 2 4 2
sin θ
尝试 化切为弦！ 化切为弦！
3
分析
答案
2(3 + cos 4 x) 求证： . 例 2 求证： tan x + cot x = 1 − cos 4 x
证明: 证明:∵由已知得 sin[(α + β ) + α ] + 2sin[(α + β ) − α ] = 0
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∴ sin(α + β )cosα + cos(α + β )sinα +2cosα sin(α + β ) − 2sinα cos(α + β ) = 0 ∴ 3sin(α + β ) cos ห้องสมุดไป่ตู้ − sin α cos(α + β ) = 0 ∴ 3sin(α + β ) cos α = sin α cos(α + β )
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2(3 + cos 4 x) 求证： . 例 2 求证： tan x + cot x = 1 − cos 4 x
2 2
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提示：证明三角恒等式的基本思路是： 提示：证明三角恒等式的基本思路是： 观察等式两端的特点及差异， 观察等式两端的特点及差异，从解决某 一差异入手，通过“一致变形” 一差异入手，通过“一致变形”，应用 化繁为简，左右归一的思想方法， 化繁为简，左右归一的思想方法，使等 式两端“ 式两端“异”化“同”。 异角” 注：“一致变形”是指：化 “异角”、 一致变形”是指： 异名” 异次” 同角” “异名”、“异次”为“同角”、“同 同次”的尝试思路。 名”、“同次”的尝试思路。
13
作业: 全案》 作业: 《全案》 P 训练 1、2、3、5 、 、 、
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第 25 讲三角函数式的化简与三角恒等式的证明
化简或证明变形时主要考虑方法: 化简或证明变形时主要考虑方法: “异名化同名 异角化同角. “异名化同名,异角化同角.” 异名化同名, “公式的正用、逆用、变形用.” 公式的正用 公式的正用、逆用、变形用.
1
第 25 讲三角函数式的化简与三 角恒等式的证明
化异为同，洞察联系。 化异为同，洞察联系。
5
分析
答案
化简： 例 1 化简：
θ cos2 θ 4tan(π + θ )cos2 (π + θ ) 4tan
2 2 4 2 4 2
cosθ
−
sinθ
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提示:化简结果的要求一般是: 提示 化简结果的要求一般是: 化简结果的要求一般是 (1)项数最少; (2)次数要最低 次数要最低; (1)项数最少; (2)次数要最低; 项数最少 (3)函数种类要最少;(4)分母不含根号; (3)函数种类要最少;(4)分母不含根号; 函数种类要最少;(4)分母不含根号 (5)能求值的要求值. (5)能求值的要求值. 能求值的要求值 常用的方法有:直接应用公式、切割化弦、 常用的方法有:直接应用公式、切割化弦、 异名化同名、异角化同角。 异名化同名、异角化同角。
7
例 3 已知 sin(2α + β ) + 2sin β = 0 , 求证:tanα=3tan(α+β) 求证 α α β
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提示：条件等式的证明， 提示：条件等式的证明，关键是发现 已知条件和待证等式之间的关系。 已知条件和待证等式之间的关系。 这里发现不仅需要观察， 这里发现不仅需要观察，还需要 尝试变形，通过“化异为同” 尝试变形，通过“化异为同”、“求 同存异”的一致变形， 同存异”的一致变形，就有希望达到 运用条件，证明出结论的目的。 运用条件，证明出结论的目的。
2 2
从“可以下手”的地方开始尝试！ 可以下手”的地方开始尝试！
左边化切为弦尝试 右边异角化同角尝试
分析 答案
三角公式 应用
4
例 3 已知 sin(2α + β ) + 2sin β = 0 , 求证:tanα=3tan(α+β) 求证 α α β
待证式子变一变！ 化切为弦） 待证式子变一变！ （化切为弦） 已知条件变一变！（活用角变换） 已知条件变一变！ 活用角变换）
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化简： 例 1 化简：
θ cos2 θ 4tan(π + θ )cos2 (π + θ ) 4tan
2 2 4 2 4 2
cosθ
−
sinθ
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cos θ sin θ 解: 原式＝ 原式＝ − θ θ π θ π θ 4 sin cos 4 sin( + ) cos( + ) 2 2 4 2 4 2 cos θ sin θ = − π 2 sin θ 2 sin( + θ) 2 2 2 cos θ − sin θ = 2 sin θ cos θ = cot 2θ