矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论讲义教材55页PPT
矢量分析与场论讲义教材
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
矢量分析和场论讲义
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第四讲矢量分析与场论
充分描述了场空间变化特征
标量场 的梯度 充分描述了标量场 在空间变化的 特征:
• 场中任一点（x, y, z）沿任一方向的变化率（即方
向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数） 的方向就是梯度的方向，最大变化率（即最大方向 导数）就是梯度的大小。 在任一方向l0 的投影（· l0）就是该方向的变 化率（即该方向的方向导数）。因此梯度是描述标 量场 随空间变化特性非常好的一个物理量。经过梯 度运算，可由一个标量场得到一个矢量场
l yz
A yz dl yz
ABCD
A
y on AB
dy Az
on BC
dz Ay
on CD
dy Az on DA dz
旋度Curl A的计算(1)
当矩形ABCD0时，即y,z0, 这时Ay，Az近似为常 数，则：
因此
旋度Curl A的计算(2)
同理：
斯托克斯定理
有限面积S分解成面元Sn（0）， 由旋度定义，则有：
左边为：
右边为：
相邻面元交界 线上的线积分 相互抵消
矢量场的分类
矢量场的分类(1)
亥姆霍兹定理
一个矢量场的性质由激发场的源来确定 源有两类：散度源（通量源） 旋度源（涡旋源）
Q: 若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该 矢量场？ A: 能！这就是亥姆霍兹定理 如果在体积V内的矢量场A的散度和旋度已知，在V的 边界S上A的值也已知，则在V内任一点A的值能唯一 确定。（证明略去） 据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个 无源场之和。
D ds
S
B E t
V
v dV
B ds 0
第01讲 矢量分析与场论(1)
第一章矢量分析与场论（1）1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、……在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的分布和变化规律。
为此，在数学上引入了场的概念。
如果在某一空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此空间里确定了该物理量的一个场。
如教室中每一点都对应一个确定的温度，教室中确立一个温度场。
地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。
•从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
比如：T是温度场中的物理量，T 就是温度场•从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
场的分类：●按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。
温度场、密度场等是数量场矢量场：描述场的物理量是矢量。
力场、速度场等为矢量场。
●按场量与时间的关系分：静态场：场量不随时间发生变化的场。
动态场：场量随时间的变化而变化的场。
动态场也称为时变场。
数量场的等值面一般地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x，y，z的函数，即：),,(z y xuu就是说，一个数量场可以用一个数性函数来表示。
场存在的空间即为其定义域。
此后，我们总假定这个函数单值、连续且一阶可导。
在数量场中，使函数u 取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。
如温度场的等温面，电场的等位面等。
显然，数量场的等值面方程为：c z y x u =),,(（常数）给定不同的常数c ，就得到不同的等值面。
如图，c 取遍所有可能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相2c =1c u =3c =交。
因为数量场中的每一点),,(0000z y x M 都有一个等值面),,(),,(000z y x u z y x u =通过，而且由于函数u 为单值，故一个点只能在一个等值面上。
《矢量分析与场论》 第1讲矢量基础
M r F
旋转线速度
F
O
r
O
dr V r dt
r
V
5.矢量的复杂运算
1) 矢量混合积： A ( B C) ，是一个标量。 A C B 矢量混合积满足旋转法则
A ( B C) B (C A) C ( A B)
1.矢量的概念 2)矢量（Vector) 一个有大小和方向的物理量 电场、磁场、力、速度、加速度等
矢量场
也称向量：由现实世界的三维空间抽象出来； 空间任何一点P，均可用有序独立的3个数（P1， P2，P3）来确定（O为起点），记为：
r1 OP (P 1, P 2, P 3)
5.矢量的复杂运算 矢量混合积的常用公式
A ( B C) B (C A) C ( A B)
A ( B C) B( A C) C( A B)
( A B) (C D) ( A C)(B D) ( A D)(B C) A[ B (C D)] ( B D)( A C) ( B C)( A D) 2 ( A B) [(B C) (C A)] [ A ( B C)]
0
O
B
A
A A 0
两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。
性质：两个非零矢量叉积为 0 的充要条件是
矢量相互平行。
4.矢量的叉积 3) 单位矢量的叉积
i i 0 j i k k i j
矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
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l x
y
z
lˆ (cos ,cos ,cos )
例题
例1 求函数 u x2 y2 z2 在点M(1, 0,1)处沿
l i 2 j 2k 方向的方向导数。 r
例3 设 r x2 y2 r z2为点M ( x, y, z)处的矢径r的模， 试证： gradr r ro r
例4 求数量场 u xy2 yz3 在点M(2, 1,1)处的梯度
（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数 量场也随之确定，最多相差一个任意常数
二、数量场、矢量场的描述方法
在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定。 因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数
u u( x, y, z),
以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。
同理,每个矢量场都与某个矢性函数
ur
r
r
r
A( x, y, z) Ax ( x, y, z) i Ay( x, y, z) j Az( x, y, z) k
dx dy dz Ax Ay Az
ur r r
ur
例2 求矢量场 A xzi yz j ( x2 y2 )k 通过点M(2, 1,1)
的矢量线方程。
ur 在场矢量 A 不为零的条件下，由线性微分方程组的
理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场 中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的 点的两条矢量线没有公共点。
3、描述方法
①函数表示法：借助ur一定坐标系下的函数来表示场的分 布。对矢量场，用 A( x, y, z) ；数量场常用 u( x, y, z)表述。
②几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一 族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像 电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。
【例1】 设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点
M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为
E
q
4
r3
rr
式中，q、ε均为常数， r=xi+yj+zk为M点的位置
矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。
解题过程：
整理求解作图
Hale Waihona Puke 矢量的直角 坐标系方程矢量线的 微分方程
z
y
x
图 点电荷的电场矢量线 (P27)
c3
等值线
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
等值面
等值面举例
以温度场为例：
等温面
热源
可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面 是互不相交的。
矢量场的矢量线：直观描述矢量在场中的分布情况。
矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上的每一点M处， 场的矢量都位于该点处的 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。
l
当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0
,沿l增加
u l
0
,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度的性质
（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。
（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等 值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面 的法向有两个）
相对应. 这里 Ax , Ay , Az为所定义区域上的数性函数,
并假定它们有一阶连续偏导数。
数量场的等值面（线）：直观表示数量u在场中的分布。
是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。
其方程为
u (x, y) c
u( x, y, z) c(c为常数)
（c值不同对应不同等值面）
c1 c2
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
A (r )
M
l
r dr
•
M矢点量位线置的微分rr方程x：ri
•Or yj
r zk
rr r 矢量线l 微分 dl dr dxi dyj dzk
场矢量
r rrr A Ax i Ay j Azk
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
y C1 x z C2 y
2、方向导数
方向导数是数性函数 u(M在) 一点处沿任意方向
对距离的变化率，它的数值与所取
l
的方向有关，
l
一般来说，在不同的方向上 u的值是不同的，但
l M0
它并不是矢量。如图所示，
l
为场中的任意方向，
M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近
的一点。
M
l
M0
§1 场的概念（Field）
一、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中 某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或矢量) 与 之对应, 则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场). 例如: 温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度 场都是矢量场。 若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，
梯度
gradu u i u j u k u
(Gradient)
x y z
u graduglˆ gradu cos(gradu, lˆ) l
G u i u j u k gradu x y z
lˆ cos i cos j cos k
u G lˆ G cos(G, lˆ)
l
为l M0和M之间的距离，从M0沿 到l M的增量为
若下列极限
u u(M ) u(M0 )
lim u lim u(M ) u(M0 )
l l 0
l 0
l
存在，则该极限值记作 u ，称之为数量场
沿 的方lr向导数。
l M0
u(在MM) 0处
u u cos u cos u cos
就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
注
1. 场的特点：
①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；
②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。
2.场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
及在矢量l 2i 2 j k 方向的方向导数。
3、梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点 沿某一确定方向取得 u(M ) 在该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。
梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等
于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值 的方向。