矢量分析与场论讲义

及在矢量l 2i 2 j k 方向的方向导数。
3、梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点 沿某一确定方向取得 u(M ) 在该点的最大方向导数， 则可引进梯度概念。
梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等
于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值 的方向。
c3
等值线
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
等值面
等值面举例
以温度场为例：
等温面
热源
可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面 是互不相交的。
矢量场的矢量线：直观描述矢量在场中的分布情况。
矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上的每一点M处， 场的矢量都位于该点处的 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。
3、描述方法
①函数表示法：借助ur一定坐标系下的函数来表示场的分 布。对矢量场，用 A( x, y, z) ；数量场常用 u( x, y, z)表述。
②几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一 族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像 电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。
y C1 x z C2 y
2、方向导数
方向导数是数性函数 u(M在) 一点处沿任意方向
对距离的变化率，它的数值与所取
l
的方向有关，
l
一般来说，在不同的方向上 u的值是不同的，但
l M0
它并不是矢量。如图所示，
l
为场中的任意方向，
M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近
的一点。
M
l
M0
相对应. 这里 Ax , Ay , Az为所定义区域上的数性函数,
并假定它们有一阶连续偏导数。
数量场的等值面（线）：直观表示数量u在场中的分布。
是由场中使u取相同数值的点所组成的曲面。
其方程为
u (x, y) c
u( x, y, z) c(c为常数)
（c值不同对应不同等值面）
c1 c2
l
当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0
,沿l增加
u l
0
,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度的性质
（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在 该方向的投影。
（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等 值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面 的法向有两个）
l
为l M0和M之间的距离，从M0沿 到l M的增量为
若下列极限
u u(M ) u(M0 )
lim u lim u(M ) u(M0 )
l l 0
l 0
l
存在，则该极限值记作 u ，称之为数量场
沿 的方lr向导数。
l M0
u(在MM) 0处
u u cos u cos u cos
二、数量场、矢量场的描述方法
在引进了直角坐标系后, 点 M 的位置可由坐标确定。 因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数
u u( x, y, z),
以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。
同理,每个矢量场都与某个矢性函数
ur
r
r
r
A( x, y, z) Ax ( x, y, z) i Ay( x, y, z) j Az( x, y, z) k
（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数 量场也随之确定，最多相差一个任意常数
l x
y
z
lˆ (cos ,cos ,cos )
例题
例1 求函数 u x2 y2 z2 在点M(1, 0,1)处沿
l i 2 j 2k 方向的方向导数。 r
例3 设 r x2 y2 r z2为点M ( x, y, z)处的矢径r的模， 试证： gradr r ro r
例4 求数量场 u xy2 yz3 在点M(2, 1,1)处的梯度
§1 场的概念（Field）
一、场的概念
场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中 某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或矢量) 与 之对应, 则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场). 例如: 温度场和密度场都是数量场, 重力场和速度 场都是矢量场。 若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，
梯度
gradu u i u j u k u
(Gradient)
x y z
u graduglˆ gradu cos(gradu, lˆ) l
G u i u j u k gradu x y z
lˆ cos i cos j cos k
u G lˆ G cos(G, lˆ)
【例1】 设点电荷q位于坐标原点，它在空间一点
M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为
E
q
4
r3
rr
式中，q、ε均为常数， r=xi+yj+zk为M点的位置
矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。
解题过程：
整理求解作图
矢量的直角 坐标系方程
矢量线的 微分方程
z
y
x
图 点电荷的电场矢量线 (P27)
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
A (r )
M
l
r dr
•
M矢点量位线置的微分rr方程x：ri
•Or yj
r zk
rr r 矢量线l 微分 dl dr dxi dyj dzk
场矢量
r rrr A Ax i Ay j Azk
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
就称为稳定场，否则，称为不稳定场。
注
1. 场的特点：
①分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；
②具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。
2.场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.
dx dy dz Ax Ay Az
ur r r
ur
例2 求矢量场 A xzi yz j ( x2 y2 )k 通过点M(2, 1,1)
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的矢量线方程。
ur 在场矢量 A 不为零的条件下，由线性微分方程组的
理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场 中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的 点的两条矢量线没有公共点。