排列组合综合应用问题 ppt课件
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解排列组合问题，一定要做到“不重”、“不漏”。
一、分配问题
例1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分法种 数。
①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；①C125.C74.C33
②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； ② C125.C74.C33
③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
下面解法错在哪里?
至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数， 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至 少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)
用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4 个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集 合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42 中选4个偶数中 的4，6，又C73中选剩下的3个元素选2，1，3组成集合{4，6， 2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原 因是分类不独立。
2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的， 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
二、搭 配 问 题 例2：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进
解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种工作中任选3 种（组合问题）分给6个男同学中的3人（排列问题）有C53.A63种, 第二步,将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有A42种.根据乘 法原理共有C53.A63. A42=14400(种).
亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配方案有C52 . A42.A63=14400(种).
C
4 20
Bg
gC
Ag
gD
七、错位排列
例9. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有___种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
C
2 6
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有
Leabharlann Baidu
C
2 6
9
15×9＝135种.
C
1 7
A
2 7
＝602
种方法
六、 化归策略 例7、 25人排成5×5方阵, 现从中选3人, 要求3人不在 同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
C53C53C31C21C11
变式7 ：某城市的街区由12个全等的矩形区组成其 中实线表示马路, 从A走到B的最短路径有多少种?
C
3 7
35
B A
例 8.在 一 个 圆 周 上 均 匀 分 布 着 20个 点 ， 每 两 点 连 一 弦 ， 共 有 多 少 条 ？ 这 些 弦 中 有 多 少 个 交 在 园 内 的 点 ？
A 8 6C 2 1A 4 1A 8 5A 4 2A 8 4(种 ）
四、有条件限制的组合问题：
例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的 个数。
解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数， 1个奇数。所以共有子集个数为
五、排列组合混合问题：
例5：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。
解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选 2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
解法2：从反面考虑，全部子集个数为C95，而不符合条件 的有两类： ①5 个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有 5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。
③ C125.C74.C33.A33 ④分为甲、乙、丙三组，每组4人； ④C124.C84.C44
⑤分为三组，每组4人。
⑤
C124.C84.C44 A33
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是
⑥C122. 5人。
C105.C55 A22
小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平
均分配问题。
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样 的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个， 可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个） 种数的基础上乘以组数的全排列数。
例6.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出 三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用， 问可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：
① 若取出6，则有 2(A28 +C12C17C17)
②若不取6，则有
C
1 7
A
2 7
种方法，
种方法；
根据分类计数原理，一共有
2(A28 +C12C17C17)+
引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。
问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？
解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时， 根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序 时，根据乘法原理，可用特殊位置法、特殊元素法； 上述两种称“直接法”,当问题的反面简单明了时， 可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列中 “相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插 空法、定序问题倍缩法等。
行混合双打训练，两边都必须要1男1女，共有多 少种不同的搭配方法。
分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选 出2男2女，有C82.C72种；然后考虑2男2女搭配。
先排男队员、再排女队员，所以总的
搭配方法有 C82 C72 A22 种。
先组后排
三.有条件限制的排列问题
例3. 高一要从全年级10名独唱选手中选出6 名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都 不唱中间两位的安排方法有多少种？
一、分配问题
例1：有12 人。按照下列要求分配，求不同的分法种 数。
①分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；①C125.C74.C33
②分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人； ② C125.C74.C33
③分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；
下面解法错在哪里?
至少有两个偶数，可先由4个偶数中取2个偶数， 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至 少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)
用“具体排”来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选4 个偶数中的2，4，又C73中选剩下的3个元素不6，1，3组成集 合{2，4，6，1，3，}；再看另一种选法：由C42 中选4个偶数中 的4，6，又C73中选剩下的3个元素选2，1，3组成集合{4，6， 2，1，3}。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原 因是分类不独立。
2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的， 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
二、搭 配 问 题 例2：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进
解2：把工作当作元素，同学看作位置，1.从5种工作中任选3 种（组合问题）分给6个男同学中的3人（排列问题）有C53.A63种, 第二步,将余下的2个工作分给4个女同学中的2人有A42种.根据乘 法原理共有C53.A63. A42=14400(种).
亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作,分配方案有C52 . A42.A63=14400(种).
C
4 20
Bg
gC
Ag
gD
七、错位排列
例9. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有___种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
C
2 6
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有
Leabharlann Baidu
C
2 6
9
15×9＝135种.
C
1 7
A
2 7
＝602
种方法
六、 化归策略 例7、 25人排成5×5方阵, 现从中选3人, 要求3人不在 同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
C53C53C31C21C11
变式7 ：某城市的街区由12个全等的矩形区组成其 中实线表示马路, 从A走到B的最短路径有多少种?
C
3 7
35
B A
例 8.在 一 个 圆 周 上 均 匀 分 布 着 20个 点 ， 每 两 点 连 一 弦 ， 共 有 多 少 条 ？ 这 些 弦 中 有 多 少 个 交 在 园 内 的 点 ？
A 8 6C 2 1A 4 1A 8 5A 4 2A 8 4(种 ）
四、有条件限制的组合问题：
例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9} 求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的 个数。
解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数，3个奇数；②3个偶数，2个奇数；③4个偶数， 1个奇数。所以共有子集个数为
五、排列组合混合问题：
例5：从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同 学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。 一共有多少种分配方案。
解1：分三步完成，1.选3名男同学有C63种，2.选 2名女同学有C42种，3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
C42.C53+C43.C52+C44.C51=105
解法2：从反面考虑，全部子集个数为C95，而不符合条件 的有两类： ①5 个都是奇数；②4个奇数，1个偶数。所以 共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
例4：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}求含有 5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。
③ C125.C74.C33.A33 ④分为甲、乙、丙三组，每组4人； ④C124.C84.C44
⑤分为三组，每组4人。
⑤
C124.C84.C44 A33
⑥分成三组，其中一组2人，另外两组都是
⑥C122. 5人。
C105.C55 A22
小结：练习1说明了非平均分配、平均分配以及部分平
均分配问题。
1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样 的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个， 可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个） 种数的基础上乘以组数的全排列数。
例6.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出 三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用， 问可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：
① 若取出6，则有 2(A28 +C12C17C17)
②若不取6，则有
C
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A
2 7
种方法，
种方法；
根据分类计数原理，一共有
2(A28 +C12C17C17)+
引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题 的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方 法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。 和应用问题。
问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注 意什么问题？
解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时， 根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序 时，根据乘法原理，可用特殊位置法、特殊元素法； 上述两种称“直接法”,当问题的反面简单明了时， 可通过求差排除法,采用“间接法”；另外，排列中 “相邻”问题可采用捆绑法；“分离”问题可用插 空法、定序问题倍缩法等。
行混合双打训练，两边都必须要1男1女，共有多 少种不同的搭配方法。
分析：每一种搭配都需要2男2女，所以先要选 出2男2女，有C82.C72种；然后考虑2男2女搭配。
先排男队员、再排女队员，所以总的
搭配方法有 C82 C72 A22 种。
先组后排
三.有条件限制的排列问题
例3. 高一要从全年级10名独唱选手中选出6 名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都 不唱中间两位的安排方法有多少种？