一元二次不等式的应用 含答案

课时作业17 一元二次不等式的应用
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或－1<x <1} 【答案】 D
【解析】 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0且x ≠1
(1－x )(1＋x )>0，
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x <0且x ≠－1
(1＋x )(1＋x )>0. 即0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1，故选D.
2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )
A ．(－2，2)
B ．(－2,0)
C ．(－2,1)
D ．(0,1)
【答案】 D
【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，
则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0f (－1)<0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －2<0m 2－m <0，∴0<m <1. 3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．
【答案】 (0,8)
【解析】 不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．
4．解不等式：(1)(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. (2)3x －5x 2＋2x －3
≤2. 【分析】 (1)本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．
(2)考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．
【解析】 (1)设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)，则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：
∴不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． (2)原不等式等价变形为3x －5
x 2＋2x －3－2≤0，
即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≤0，即2x 2＋x －1x 2＋2x －3
≥0， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0，x 2＋2x －3≠0， 即等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧
(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1.
画出示意图如下：
可得原不等式的解集为 {x |x <－3或－1≤x ≤1
2或x >1}．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式x －3
x ＋2<0的解集为( )
A ．{x |－2<x <3}
B ．{x |x <－2}
C ．{x |x <－2或x >3}
D ．{x |x >3}
【答案】 A
【解析】 不等式x －3
x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.
2．不等式(x 2－4x －5)(x 2＋4)<0的解集为( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |－1<x <5} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <－1或x >5} 【答案】 B
【解析】 原不等式等价于x 2－4x －5<0.
3．不等式x ＋a
x 2＋4x ＋3≥0的解集为{x |－3<x <－1或x ≥2}，则a
的值为( )
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－12 【答案】 B
【解析】 原不等式可化为x ＋a
(x ＋1)(x ＋3)
≥0，等价于
⎩
⎪⎨⎪⎧
(x ＋a )(x ＋1)(x ＋3)≥0(x ＋1)(x ＋3)≠0，由题意得对应方程的根为－3，－1，2，∴a ＝－2.
4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )
A ．－4≤a ≤4
B ．－4<a <4
C ．a ≥4或a ≤－4
D ．a <－4或a >4
【答案】 D
【解析】 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.
5．不等式x ＋5
(x －1)2≥2的解集是( )
A ．[－3，1
2] B ．[－1
2，3] C ．[1
2，1)∪(1,3] D ．[－1
2，1)∪(1,3]
【答案】 D
【解析】 ∵(x －1)2>0，
由x ＋5(x －1)2≥2可得：x ＋5≥2(x －1)2，且x ≠1. ∴2x 2－5x －3≤0且x ≠1，∴－1
2≤x ≤3且x ≠1. ∴不等式的解集是[－1
2，1)∪(1,3]． 6．不等式x ＋2
x －1>－2的解集是( )
A ．(－1,1)
B ．(－1,0)∪(1，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(－1,1)∪(1，＋∞)
【答案】 B
【解析】 不等式移项通分，得x (x －1)＋2－(－2)(x －1)
x －1>0，整
理得x (x ＋1)x －1
>0，
不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x (x ＋1)>0(1)，或⎩⎪⎨⎪⎧
x －1<0，
x (x ＋1)<0
(2)，
解(1)得，x >1；解(2)得，－1<x <0. 所以不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
7．若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，1
2]恒成立，则a 的最小
值为( )
A ．0
B ．－2
C ．－52
D ．－3
【答案】 C
【解析】 x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，1
2]恒成立，等价于a ≥－x －1x 时对一切x ∈(0，1
2]恒成立．
设f (x )＝－x －1
x .
∵f (x )在(0，1
2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (12)＝－5
2. ∴a ≥－5
2.
∴a 的最小值为－5
2，故选C.
8．定义运算：a *b ＝a ·(2－b )，若不等式(x －m )*(x ＋m )<1对任意实数x 都成立，则( )
A ．－1<m <0
B ．0<m <2
C ．－32<m <12
D ．－12<m <3
2
【答案】 B
【解析】 因为a *b ＝a ·(2－b )，所以(x －m )*(x ＋m )＝(x －m )·(2－x －m )＝－(x －m )[x －(2－m )]，所以(x －m )*(x ＋m )<1可化为x 2－2x －m 2＋2m ＋1>0，令x 2－2x －m 2＋2m ＋1＝0，所以Δ＝4＋4(m 2－2m －1)＝4(m 2－2m )<0，即0<m <2，故选B.
二、填空题(每小题10分，共20分) 9．不等式x －2
x 2－1<0的解集为________．
【答案】 {x |x <－1或1<x <2}
【解析】 因为不等式x －2
x 2－1<0等价于(x ＋1)(x －1)·(x －2)<0，所
以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}．
10．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．
【答案】 [0,1]
【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立， 当k ＝0时，满足．
当k ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧
k >0，
Δ＝(－6k )2
－4k (k ＋8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．若不等式x 2－8x ＋20
mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4>0对任意实数x 恒成立，
求m 的取值范围．
【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0
∴要使不等式x 2－8x ＋20
mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对任意实数x 恒成立，
只要mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对于任意实数x 恒成立．
①当m ＝0时，2x ＋4＞0，x ＞－2，此时原不等式对于x ＞－2的实数x 成立，∴m ＝0不符合题意．
②当m ≠0时，要使不等式对任意实数x 恒成立，须⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＞0
Δ＜0解得：
m ＞1
4.
∴m 的取值范围是{m |m ＞1
4}．
12．实数m 取何范围的值时，方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正数；(2)都在(0,2)内．
【解析】 (1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝m 2
－10m ＋9≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1·x 2＝m ＞0
，
解得m 的取值范围是(0,1]．
(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得
⎩⎪⎨⎪
⎧
Δ＝m 2－10m ＋9≥0
f (0)＝m ＞00＜3－m 2
＜2f (2)＝3m －2＞0
，解得m 的取值范围是(2
3，1]。