一元二次不等式的应用 含答案
一元一次方程,二元一次方程,一元一次不等式,一元二次不等式应用题及答案
一元一次方程例1 某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？解析：如果设从一车间调出的人数为x，那么有如下数量关系设需从第一车间调x人到第二车间，根据题意得：2（64-x）=56+x，解得x=24；答：需从第一车间调24人到第二车间二元一次方程例2两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，一元一次不等式例3将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？设笼有x个，那么鸡就有（4x+1）只，根据若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只，可列出不等式求解．解：设笼有x个．4x+1＞5(x?2) 4x+1＜5(x?2)+3 ，解得：8＜x＜11 x=9时，4×9+1=37x=10时，4×10+1=41（舍去）．故笼有9个，鸡有37只一元二次不等式例4用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？解：设有x辆汽车，则货物有(4x+20)吨，根据题意，有不等式组：4x+20﹤8x (1)4x+20﹥8(x-1) (2)解不等式(1)得：x﹥5解不等式(2)得：x﹤7所以，不等式组的解为 5﹤x﹤7因为x为整数，所以 x=6答：有6辆汽车。
高考常考题型：一元二次不等式在实际问题中的应用
高考常考题型：一元二次不等式在实际问题中的应用一、单选题1．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )A．12元B．16元C．12元到16元之间D．10元到14元之间二、填空题2．如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍，那么明后两年每年的平均增长率至少是__；三、解答题3．如图,在长为8m,宽为6m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米?4．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员(0)x x>户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2%x，而从事水果加工的农民平均每户收入将为92(),(0)50xa a->万元．（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．5．政府为了稳定房价，决定建造批保障房供给社会，计划用1600万的价格购得一块建房用地，在该土地上建10幢楼房供使用，每幢楼的楼层数相同且每层建10套每套100平方米，经测算第x 层每平方米的建筑造价y (元)与x 满足关系式800y kx =+(其中k 为整数且被10整除) ，根据某工程师的个人测算可知，该小区只有每幢建8层时每平方米平均综合费用才达到最低，其中每平方米+购地费用所有建筑费用平均综合费用=总的建筑面积. (1)求k 的值； (2)为使该小区平均每平方米的平均综合费用控制在1400元以内，每幢至少建几层?至多造几层?6．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.（1）若该批小型货车购买n 年后盈利，求n 的范围；（2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？7．某地区上年度电价为0.8元/kW h ⋅，年用电量为 a kW h ⋅，本年度计划将电价降到0.55 元/kW h ⋅至0.75元/kW h ⋅之间，而用户期待电价为0.4元/kW h ⋅，下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K )，该地区的电力成本为0.3元/kW h ⋅.(注：收益=实际用电量⨯（实际电价-成本价）），示例：若实际电价为0.6元/kW h ⋅，则下调电价后新增加的用电量为0.60.4K -元/kW h ⋅) （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系； （2）设0.2K a =，当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%？8．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．（1）设他每月获得的利润为w （单位：元），写出他每月获得的利润w 与销售单价x 的函数关系．（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利。
(十)一元二次不等式及其解法(答案)
§7.2 一元二次不等式及其解法题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－x x ＋1≤0，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．[－2,4)B ．(－1,3]C ．[－2，－1]D ．[－1,3] 答案 D解析 因为A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x ≥4}， 故∁U B ＝{x |－1≤x <4}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D. 3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－2，65 解析 当a 2－4＝0时，a ＝±2.若a ＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a ＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a ≠±2时，要使不等式的解集为空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－2，65.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式典例 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 命题点2 含参不等式典例 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a <－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 跟踪训练 解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞a 3； 当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0) 答案 D解析 ∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. (2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，4) 答案 B解析 对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4. 命题点2 在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题典例 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意，知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0. 解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2≤－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x＝－a2≥2，g(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－4(3－a)≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.∴－7≤a≤－6，综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h(4)≥0，h(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．题型三一元二次不等式的应用典例甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝⎛⎭⎫5x＋1－3x元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元． 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意，得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x≥1时，a>－(x2＋2x)恒成立．令g(x)＝－(x2＋2x)，则g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴实数a的取值范围是{a|a>－3}．答案(1)9(2){a|a>－3}1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为()A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}答案A解析由(x－1)(2－x)≥0可知，(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．2．(2018·河北省三市联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于()A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1)答案 C解析 依题意，可求得A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．3．(2018·商丘调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1] D ．[－1,2]答案 A解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图所示，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知，当a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析 设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.7．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．答案 1±52解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是____________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a 解析 原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 由0<a <1，得a <1a ，∴a <x <1a. ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a . 9．(2018·济南模拟)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析 原不等式等价于，(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m －2＝0，即m ＝2时，对任意x ，不等式都成立；②当m －2<0，即m <2时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，解得－2<m <2.综合①②，得m ∈(－2,2]．10．(2018·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是__________． 答案 {x |－ln 2<x <ln 3}解析 依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)， 由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3， 解得－ln 2<x <ln 3.11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34，求不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0的解集．解 因为(a ＋b )x ＋2a －3b <0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34， 所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b＝－34， 解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0，等价于bx 2＋(4b －2)x ＋3b －2>0，即x 2＋⎝⎛⎭⎫4－2b x ＋3－2b<0， 即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋3－2b <0.因为－3＋2b<－1， 所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3＋2b <x <－1.13．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 方法一 ∵x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，f (x )的图象开口向上，∴只需f (5)>0，即25＋5a －2>0，解得a >－235. 方法二 由x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，可得a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,5]上有解． 又f (x )＝2x－x 在x ∈[1,5]上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝－235，只需a >－235. 14．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 答案 [－8,4]解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可知，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.15．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0， 若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，由[f (x )]2＋af (x )－b 2<0， 得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b 22， 若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a <f (x )<0，且整数解x 只能是3，当2<x <4时，－8<f (x )<0，所以－8≤－a <－3，即a 的最大值为8，故选D.16．(2017·宿州模拟)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，0]解析 因为不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知，当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．。
完整版)一元二次不等式练习题含答案
完整版)一元二次不等式练习题含答案则x＜－1或x≥2；x－2x＜－1或x＞2；1≤x≤2．答案】C4.【解析】由题意可得a<0，且解集为x|－2<x<－4则可列不等式组a（－2）2＋b（－2）－2＞0，即4a－2b－4＞0；a（－42＋b（－42＜0，即16a－4b－2＜0；解得a＝－1，b＝2．答案】D5.【解析】不等式x(x－a＋1)>a可化为x2－ax＋a－1>0，解得xa．当x0，即a>1；当x>a时，a－1<0，即a<1．综上可得a<1或a≥1，故选项为C．答案】C6.【解析】由f(x)>0得a>0，c>0，代入可得f(x)＝ax2＋bx＋c>0，x∈(－3,1)．对x取相反数得f(－x)＝ax2－bx＋c>0，x∈(－1,3)．故函数y＝f(－x)的图象为：y＝ax2＋bx＋c，x∈(－3,1)．答案】略7.【解析】x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2－x－2＜0，解得x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案】C8.【解析】由题意可得2x2－3x＋a＝(2x－m)(x－1)，解得m＝2a＋1，又因为(m,1)在不等式解集内，故1<m<2．答案】1<m<29.【解析】不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则a>0，且ax>b，即x＞b/a，代入不等式得x2－(a/b)x＋1>0，解得x ＜2或x＞b/a．综上可得x＜2或x＞b/a＞2，即x＞max{2，b/a}，故填b/a即可．答案】b/a10.【解析】当x＝－1时，方程左边为0，右边为(4＋a)/27>0，故4＋a>0，即a＞－4．当x≠－1时，方程两边同时乘以3x＋4，得27x2＋(4＋a)(3x＋4)＞0，即x2＋(4＋a)/27x＋4/27＞0，故Δ＜0，解得a2＜48，即－2√3<a＜2√3．综上可得－2√3<a≤4，故选项为D．答案】D11.【解析】移项化简得ax2－2x＋a－2≥0，即(x－1)2≤1－a，由于a0，化简得x∈(1－√(1－a)，1＋√(1－a))．答案】x∈(1－√(1－a)，1＋√(1－a))12.【解析】(1)由f(x)<0得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，代入函数可得m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．2)由f(x)<－m＋5得mx2－mx＋m－6＜0，对x∈[1,3]，有m(x－3)(x－1)＞0，故m＞0且x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)．综上可得m∈(0，1)．答案】(1)m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)；(2)m∈(0，1)．3.解析：根据题意，可以得到不等式x-2≠0，即x≠2.然后根据x>2或x≤-1可以得到答案为B。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。
当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。
2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。
3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。
3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。
对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。
例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。
例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。
例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。
又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。
一元二次不等式(含答案)
一元二次不等式1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅③3.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f（x）g（x）＞0⇔f(x)g(x)＞0；f（x）g（x）＜0⇔f(x)g(x)＜0；f（x）g（x）≥0⇔x）g（x）≥0，（x）≠0；f（x）g（x）≤0⇔x）g（x）≤0，（x）≠0.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A.[－2，－1]B.[－1，2)C.[－1，1]D.[1，2)解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故选A.设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为()A.{x|x∈R}B.{x|x≠1，x∈R}C.{x|x≥1}D.{x|x≤1}解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B.已知－12<1x<2，则x的取值范围是()A.－2<x <0或0<x <12B.－12<x <2C.x <－12或x >2D.x <－2或x >12解：当x >0时，x >12；当x <0时，x <－2.所以x 的取值范围是x <－2或x >12，故选D.不等式1－2xx ＋1＞0的解集是.解：不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12.|－1＜x ＜12，x ∈若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________.解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；若k ＜0，则只须38k ＜(2x 2＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).类型一一元一次不等式的解法已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.解：由(a ＋b )x ＜3b －2a ∞a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b＝－13，从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0，将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－13是解本题的关键.解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2.解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时，①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合(2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1m －2.(3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1m －2.类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x 2－7x ＋12＞0;(2)－x 2－2x ＋3≥0；(3)x 2－2x ＋1＜0;(4)x 2－2x ＋2＞0.解：(1){x |x ＜3或x ＞4}.(2){x |－3≤x ≤1}.(3)∅.(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .已知函数f (x )x ＋1，x ＜0，－1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是()A.{x |－1≤x ≤2－1}B.{x |x ≤1}C.{x |x ≤2－1}D.{x |－2－1≤x ≤2－1}解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①＋1＜0，＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1＋1≥0，＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，解不等式组①得x＜－1；解不等式组②得－1≤x≤2－1.故原不等式的解集是{x|x≤2－1}.故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值.解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，5＋1＝b，5×1＝c，＝－4，＝－5.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集.解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－ba＝2＋3，2×3，.＝－5a，＝6a，＜0.代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0).即6x2＋5x＋1＜|－12＜x类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.解：(1)m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}；(2)当m≠0时，不等式为x－1)＜0.①当m＜0x－1)＞0，∵1m＜1|x＜1m或x＞②当m＞0x－1)＜0.(Ⅰ)若1m＜1即m＞1|1m＜x＜(Ⅱ)若1m＞1即0＜m＜1|1＜x(Ⅲ)若1m＝1即m＝1时，不等式的解集为∅.点拨：当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：1m与1大小的不确定性，对m＜1、m＞1与m＝1进行讨论.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0，当a＝0时，解集为(－∞，－1].当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，2a，所以当a＞0时，解集为(－∞，－1]∪2a，＋当－2＜a＜0时，解集为2a，－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，解集为－1，2a.类型五分式不等式的解法(1)解不等式x －12x ＋1≤1.解：x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋22x ＋1≥0.x ＋22x ＋1≥0⇔x ＋2）（2x ＋1）≥0，x ＋1≠0.得{xx ＞－12或x ≤－2}.※(2)不等式x －2x 2＋3x ＋2＞0的解集是.解：x －2x 2＋3x ＋2＞0⇔x －2（x ＋2）（x ＋1）＞0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0，数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}，故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根..(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B |x －2x≤A ∩B ＝()A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0＜x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B （x －2）≤0，≠0的解集，求出B ＝{x |0＜x ≤2}，所以A ∩B＝{x |0＜x ≤1}.故选B.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为()－12，1 B.－12，1[1，＋∞)－∞，－12∪[1，＋∞)解：x －12x ＋1≤0x －1）（2x ＋1）≤0，x ＋1≠0得－12<x ≤1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ，12成立，则a 的最小值为()A.0B.－2C.－52D.－3解：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ，12，∴a ≥∵f (x )＝x ＋1x ，12上是减函数，x max＝－52.∴a ≥－52.(2)已知对于任意的a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是()A.1＜x ＜3B.x ＜1或x ＞3C.1＜x ＜2D.x ＜1或x ＞2解：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1，1]（1）＞0，（－1）＞02－3x ＋2＞0，2－5x ＋6＞0⇒x ＜1或x ＞3，故选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于a 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x 的取值范围.对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1＞2x ＋a 成立的x 的取值范围.解：原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1＞0，设f (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则f (a )在[－2，2]上恒大于0，故有：2）＞0，2）＞02－4x ＋3＞0，2－1＞0＞3或x ＜1，＞1或x ＜－1.∴x ＜－1或x ＞3.类型七二次方程根的讨论若方程2ax 2－x －1＝0在(0，1)内有且仅有一解，则a 的取值范围是()A.a <－1B.a >1C.－1<a <1D.0≤a <1解法一：令f (x )＝2ax 2－x －1，则f (0)·f (1)＜0，即－1×(2a －2)＜0，解得a ＞1.解法二：当a ＝0时，x ＝－1，不合题意，故排除C ，D ；当a ＝－2时，方程可化为4x 2＋x ＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，无实根，故a ＝－2不适合，排除A.故选B.。
一元二次不等式的参数问题(含答案)
一元二次不等式的应用———不等式中的参数问题200000a b a ax bx c x c ==>⎧⎧++>⇔⎨⎨><⎩⎩ 不等式对任意实数恒成立或 200000a b a ax bx c x c ==<⎧⎧++<⇔⎨⎨<<⎩⎩不等式对任意实数恒成立或 1．（1）若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式13642222<++++x x mmx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.答案：（1）()2,2a ∈- （2） 1<m<32．已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ，①若A B ，求实数a 的取值范围.；②若A B ⊆，求实数a 的取值范围.；③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值.① a>2 ② 1≤a ≤2 ③ a ≤1答案：13,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2210{|2},30ax bx c x x cx bx a ++≥-≤≤++<3.若不等式的解集是 求不等式的解集.答案：10a c +=对于含参数的不等式恒成立问题的处理方法：方法1：将不等式化为f(x)>0(<0)的形式，构造函数y=f(x), 求函数的最小值（最大值），再令(fmin(x)> 0(fmax(x)<0)通过解不等式求得。
方法2：分离参数法:分离参数，构造函数y=f(x), 求函数的最小值（最大值），使参数t<fmin(x)(参数t>fmax(x))。
21. 10(0,]2x ax x a ++≥∈5不等式对于一切恒成立，求的最小值。
答案：min 52a =-6．已知函数3()f x x x =+，对任意的m ∈[-2,2]，(2)()0f mx f x -+<恒成立， 则x 的取值范围为＿＿＿＿.223x -<<7．2lg()R,y x bx b b =++若函数的定义域为求实数的取值范围。
一元二次不等式及其解法专题讲解及练习(含答案)
一元二次不等式及其解法． 一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2． 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：题型一 一元二次不等式的解法例1 已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，b >1且a >0.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. 当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.所以，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，则不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为________．(2)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． (1)答案 {x |－3<x <－2}解析 令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (－x )＝ax 2－bx ＋c ，结合图象，可得ax 2－bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <－2}．(2)解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. ①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1. ③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； 当2a <－1，即a >－2，原不等式等价于2a ≤x ≤－1. 综上所述，当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤2a ，－1； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫2a ，＋∞.练习题1． 不等式x 2<1的解集为________．答案 {x |－1<x <1}解析 x 2<1，则－1<x <1，∴不等式的解集为{x |－1<x <1}． 2． 函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________．答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)解析 由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0，∴x ≤－4或x ≥3. 3． 已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为__________．答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2. 4． (2012·重庆)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1B.⎣⎡⎦⎤－12，1C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析 x －12x ＋1≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2x ＋1>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x ＋1<0.②解①得－12<x ≤1，解②得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. 5．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab 等于( )A ．－28B ．－26C ．28D ．26答案 C 解析 由已知得⎩⎨⎧－2＋14＝－ba－2×14＝－2a，∴a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.5． 不等式x －3x ＋2<0的解集为解析 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.6． 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是 解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3)．7． 若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4. 8． 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝________. 答案 －2解析 由于不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，故－12应是ax －1＝0的根，∴a ＝－2.9． (江西)不等式x 2－9x －2>0的解集是________．答案 {x |－3<x <2或x >3}解析 利用“穿根法”求解．不等式可化为(x －3)(x ＋3)x －2>0，即(x －3)(x ＋3)(x －2)>0，利用数轴穿根法可知，不等式的解集为{x |－3<x <2或x >3}． 10． 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m ＝________.答案 2解析 根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.11． 求不等式12x 2－ax >a 2 (a ∈R )的解集．解 原不等式可化为(3x －a )(4x ＋a )>0. 当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为{x |x <a 3或x >－a4}．。
一元二次不等式基础题50道加解析
一元二次不等式基础题50道加解析
摘要：
1.一元二次不等式的基本概念和性质
2.一元二次不等式的解法及应用
3.50道基础题及其详细解析
正文：
一、一元二次不等式的基本概念和性质
一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0（a≠0）或ax+bx+c<0（a≠0）的不等式。
其中，a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
一元二次不等式的解集取决于二次项系数a 的正负性。
当a > 0 时，一元二次不等式ax+bx+c>0 的解集为x<(-b+√(b-
4ac))/2a 或x>(-b-√(b-4ac))/2a；ax+bx+c<0 的解集为(-b+√(b-4ac))/2a < x < (-b-√(b-4ac))/2a。
二、一元二次不等式的解法及应用
1.因式分解法：将一元二次不等式转化为两个一次不等式的乘积小于零的形式，如(7x-a)(8x-a)<0。
根据乘积小于零的性质，可得到解集x>(-a/7) 且x<(a/8)。
2.韦达定理：已知一元二次方程ax+bx+c=0 的两个实数根为x、x，则x+x=-b/a，xx=c/a。
利用这个性质，可以求解一些含有一元二次方程的问题。
3.图像法：将一元二次函数y=ax+bx+c（a≠0）画在坐标系中，根据函
数图像的形状和顶点位置，判断不等式的解集。
三、50道基础题及其详细解析
（题目略）
总之，掌握一元二次不等式的基本概念、性质和解法，能帮助我们解决实际问题并提高数学素养。
《 一元二次不等式在实际问题中的应用》(第2课时)
若 a=-2,则不等式变为-1≥0,解集为⌀;当 a2-4≠0 时,
- < ,
要使解集为⌀,则有
解得-2<a< .
< ,
综上,-2≤a< .
十年寒窗磨利剑，
一朝折桂展宏图！
(2)欲保证本年度的利润比上年度有所增加,
-(.-) × > ,
则
< < ,
- + > ,
即
解得 0<x<.
< < ,
所以,为保证本年度的年利润比上年度有所增加,
投入成本增加的比例 x 应满足 0<x< .
反思感悟
1.解决本题的关键是利用题目给出的等量关系,即年利润=(出
D.p=-1,q=-6
解析:由不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3<x<2},知-3,2是方程
x2+px+q=0的两根,由根与系数的关系得p=1,q=-6.
答案:C
3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数
解析式为y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售
市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投
入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为
0.75x,同时预计年销量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂
价-投入成本)×年销售量.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间
的关系式;
(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的
一元二次不等式的应用题附答案
一分配问题1.把假设干颗花生分给假设干只猴子。
如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但缺乏5颗。
问猴子有多少只，花生有多少颗？2.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
4.一群女生住假设干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
⑴如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组：⑵可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二速度、时间问题1 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的平安地区，导火索至少需要多长？2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？三工程问题1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原方案至少提前两天完成，那么以后平均每天至少要比原方案多完成多少方土？2.用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？3.某工人方案在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？四价格问题1.商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。
高三数学一元二次不等式试题答案及解析
高三数学一元二次不等式试题答案及解析1.已知，则“”是“成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解得其解集，解得，因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选.【考点】充要条件，一元二次不等式的解法.2.已知同时满足下列条件：①；②.则实数的取值范围 .【答案】【解析】①说明给定一个的值，中至少一个的值小于0.对，当时；当时.所以当时必有，从而.由得.由得.当时，的解为或，此时应有.当时，的解为或，此时应有，所以.时，此时，不满足②.当时，都满足②.故实数的取值范围是.【考点】函数与不等式.3. [2014·大连模拟]若关于x的不等式ax－b>0的解集为(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)>0的解集为________．【答案】(－1,2)【解析】由题意可得a＝b<0，故(ax＋b)(x－2)>0等价于(x＋1)(x－2)<0，解得－1<x<2，故所求不等式的解集为(－1,2)．4.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】由题意，当时，原不等式变为，其解集为，不满足题意.当时，令，其对称轴，要使对恒成立，需，解得；当时，令，其对称轴，要使对恒成立，需解得，综上，.【考点】1.一元二次含参不等式的求解；2.分类讨论思想的应用.5.不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.【答案】【解析】由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.6.已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．【答案】k>2或k<－2【解析】由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.7.已知不等式(2＋x)(3－x)≥0的解集为A，函数f(x)＝(k<0)的定义域为B.(1)求集合A；(2)若集合B中仅有一个元素，试求实数k的值；(3)若B A，试求实数k的取值范围．【答案】（1）A＝[－2，3]（2）k＝－4（3）－4≤k≤－【解析】(1)由(2＋x)(3－x)≥0，得(2＋x)(x－3)≤0，解得－2≤x≤3，故A＝[－2，3]．(2)记g(x)＝kx2＋4x＋k＋3，则g(x)≥0在R上有且仅有一解，而k<0，所以Δ＝0.由k<0与16－4k(k＋3)＝0，解得k＝－4.(3)记g(x)＝kx2＋4x＋k＋3，首先g(x)≥0在R上有解，而k<0，所以Δ＝16－4k(k＋3)≥0,解之得－4≤k<0.①设g(x)＝0的两个根为x1，x2(x1<x2)，则B＝[x1，x2]．由BA，得即②由①与②，解得－4≤k≤－.8.不等式2x2-x-1>0的解集是()A．（-,1）B．(1,+∞)C．(-∞,1)∪(2,+∞)D．（-∞,-）∪(1,+∞)【答案】D【解析】由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,∴2x2-x-1>0的解集为(-∞,- )∪(1,+∞).故选D.9.“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．10.已知，若，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，等价于即若，则，解得．【考点】解不等式．11.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于 .【答案】-3【解析】由x2－2x－3<0解得;由x2＋x－6<0解得，则，于是是方程的二根，即，所以.【考点】一元二次不等式的解法、集合的运算、根与系数的关系12.（本小题12分）已知全集U=R，非空集合＜，＜. （1）当时，求；（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）{x︱ }；（2）或【解析】（1）首先接触集合A，B，然后求出,最后计算即可；（2）若，则,可得，解之即可.试题解析：（1）A={x︱ },当时，B={x︱ },所以={x︱ }。
一元二次不等式的实际问题
一元二次不等式的实际问题引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过一系列实际问题，帮助读者加深对一元二次不等式的理解，并学会在实际问题中正确应用它们。
1.水平抛体运动问题小明在体育课上进行了一次水平抛体运动实验，他从地面上抛出一个小球，小球的初速度为v(m/s)，抛出的角度为θ(弧度)。
根据物理学知识，小球在t(秒)时间内的水平位移为x(米)，竖直位移为y(米)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小球的初速度为v(m/s)，抛出的角度为θ(弧度)，小球在t(秒)时间内的水平位移为x(米)，竖直位移为y(米)。
求得角度θ的取值范围。
2.物体自由落体问题小红在城市的高楼上面观看烟花，她把一颗小石子自由落体地投掷出去。
已知小石子从高楼上面的高度h(米)自由落体并击中地面所需的时间为t(秒)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小石子从高楼上面的高度h(米)自由落体并击中地面所需的时间为t(秒)，求得高楼的高度h的取值范围。
3.小汽车行驶问题小明乘坐一辆小汽车驶出城市，已知小汽车的时速为v(k m/h)，那么行驶s(km)需要的时间为t(小时)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知小汽车的时速为v(k m/h)，行驶s(km)需要的时间为t(小时)，求得速度v的取值范围。
4.水果价格问题在某个水果市场上，根据经济学的分析结果，当某种水果的价格为p(元/斤)时，消费者的需求量为q(斤)。
现在我们来解决如下问题：问题：已知某种水果的价格为p(元/斤)，消费者的需求量为q(斤)，求得价格p的取值范围。
结论。
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课时作业17 一元二次不等式的应用时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或－1<x <1} 【答案】 D【解析】 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0且x ≠1(1－x )(1＋x )>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0且x ≠－1(1＋x )(1＋x )>0. 即0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1，故选D.2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)【答案】 D【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0f (－1)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2<0m 2－m <0，∴0<m <1. 3．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (0,8)【解析】 不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．4．解不等式：(1)(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. (2)3x －5x 2＋2x －3≤2. 【分析】 (1)本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．(2)考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．【解析】 (1)设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)，则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：∴不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}． (2)原不等式等价变形为3x －5x 2＋2x －3－2≤0，即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≤0，即2x 2＋x －1x 2＋2x －3≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0，x 2＋2x －3≠0， 即等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1.画出示意图如下：可得原不等式的解集为 {x |x <－3或－1≤x ≤12或x >1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式x －3x ＋2<0的解集为( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x <－2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x >3}【答案】 A【解析】 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.2．不等式(x 2－4x －5)(x 2＋4)<0的解集为( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |－1<x <5} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <－1或x >5} 【答案】 B【解析】 原不等式等价于x 2－4x －5<0.3．不等式x ＋ax 2＋4x ＋3≥0的解集为{x |－3<x <－1或x ≥2}，则a的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12 【答案】 B【解析】 原不等式可化为x ＋a(x ＋1)(x ＋3)≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋a )(x ＋1)(x ＋3)≥0(x ＋1)(x ＋3)≠0，由题意得对应方程的根为－3，－1，2，∴a ＝－2.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4<a <4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a <－4或a >4【答案】 D【解析】 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.5．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]【答案】 D【解析】 ∵(x －1)2>0，由x ＋5(x －1)2≥2可得：x ＋5≥2(x －1)2，且x ≠1. ∴2x 2－5x －3≤0且x ≠1，∴－12≤x ≤3且x ≠1. ∴不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 6．不等式x ＋2x －1>－2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－1,1)∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 不等式移项通分，得x (x －1)＋2－(－2)(x －1)x －1>0，整理得x (x ＋1)x －1>0，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x (x ＋1)>0(1)，或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x (x ＋1)<0(2)，解(1)得，x >1；解(2)得，－1<x <0. 所以不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】 C【解析】 x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，等价于a ≥－x －1x 时对一切x ∈(0，12]恒成立．设f (x )＝－x －1x .∵f (x )在(0，12]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (12)＝－52. ∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52，故选C.8．定义运算：a *b ＝a ·(2－b )，若不等式(x －m )*(x ＋m )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<m <0B ．0<m <2C ．－32<m <12D ．－12<m <32【答案】 B【解析】 因为a *b ＝a ·(2－b )，所以(x －m )*(x ＋m )＝(x －m )·(2－x －m )＝－(x －m )[x －(2－m )]，所以(x －m )*(x ＋m )<1可化为x 2－2x －m 2＋2m ＋1>0，令x 2－2x －m 2＋2m ＋1＝0，所以Δ＝4＋4(m 2－2m －1)＝4(m 2－2m )<0，即0<m <2，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分) 9．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．【答案】 {x |x <－1或1<x <2}【解析】 因为不等式x －2x 2－1<0等价于(x ＋1)(x －1)·(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}．10．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．【答案】 [0,1]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立， 当k ＝0时，满足．当k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．若不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4>0对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0∴要使不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对任意实数x 恒成立，只要mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对于任意实数x 恒成立．①当m ＝0时，2x ＋4＞0，x ＞－2，此时原不等式对于x ＞－2的实数x 成立，∴m ＝0不符合题意．②当m ≠0时，要使不等式对任意实数x 恒成立，须⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＜0解得：m ＞14.∴m 的取值范围是{m |m ＞14}．12．实数m 取何范围的值时，方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正数；(2)都在(0,2)内．【解析】 (1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1·x 2＝m ＞0，解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0f (0)＝m ＞00＜3－m 2＜2f (2)＝3m －2＞0，解得m 的取值范围是(23，1]。