4.1正弦和余弦3
各个象限正弦余弦正切的大小_概述及解释说明
各个象限正弦余弦正切的大小概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨各个象限中正弦、余弦和正切的大小，并对其进行解释说明。
在数学中，三角函数是研究角度和线段之间关系的重要工具。
根据定义，正弦函数表示一个角度所对应的点在单位圆上的y坐标，余弦函数表示该点在单位圆上的x 坐标，正切函数则是两者的比值。
1.2 文章结构本文将分为以下几个部分来全面介绍各个象限正弦、余弦和正切的大小。
首先，我们将通过引言部分对文章进行总览。
接下来的正文部分将详细阐述各个象限中三角函数值的变化规律。
然后，针对每个象限将进一步进行解释说明，并提供示例图表以便更好地理解。
最后，在结论部分对所得到的结论进行总结概括。
1.3 目的本文旨在帮助读者更加深入地认识各个象限中三角函数值之间关系的规律性，并通过具体实例进行说明。
了解这些规律不仅有助于数学学习和应用，也能够在实际问题中提供有价值的参考。
同时，通过本文的阅读，读者将能够更好地掌握和应用三角函数知识，提高数学解题的能力。
2. 正文在三角函数中，正弦（sine）、余弦（cosine）和正切（tangent）是最基础的三个函数。
它们可以通过一个给定角度的三角形比例来定义。
2.1 正弦函数正弦函数在数学中常被用于描述周期性现象，并且在各个象限中都有不同的取值范围。
根据单位圆理论，当角度介于0到90度（或0到π/2弧度）之间时，也就是第一象限中，正弦函数的值为非负数。
随着角度逐渐增大至180度（或π弧度），即进入第二象限，正弦函数则开始递减并变成负数。
当角度继续增大至270度（或3π/2弧度）时，进入第三象限，正弦函数又会回到非负值。
最后，在360度（或2π弧度）处回到第四象限并重复前面的模式。
2.2 余弦函数与正弦函数类似，余弦函数也具有周期性，并在不同象限呈现不同的取值范围。
在第一象限中，余弦函数始终为非负值，而在第二象限变成负数。
当角度介于180到270度（或π到3π/2弧度）之间时，余弦函数在第三象限中仍然为负数。
正弦与余弦知识点总结
正弦与余弦知识点总结正弦与余弦的定义在直角三角形中，如果一个锐角的对边和斜边的比值为正弦值，邻边和斜边的比值为余弦值。
假设在直角三角形ABC中，∠C为90°，AB为斜边，BC为对边，AC为邻边，那么正弦与余弦的定义如下：正弦值：sin∠A=对边/斜边=BC/AB余弦值：cos∠A=邻边/斜边=AC/AB在直角三角形中，正弦与余弦的值可以用来描述角度和三角形边长的关系。
在不同的三角形中，正弦与余弦的值并不相同，但其性质和图像是相似的。
正弦与余弦的性质1. 周期性：正弦与余弦函数都具有周期性，其周期为2π。
这意味着在一个周期内，函数值将重复出现。
在[-π, π]或[0, 2π]范围内，正弦与余弦的函数图像将呈现出周期性的特点。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
奇函数具有对称中心原点，即f(-x)=-f(x)，在图像上关于原点对称。
而偶函数则具有对称中心y轴，即f(-x)=f(x)，在图像上关于y轴对称。
3. 交替性：正弦与余弦函数在图像上呈现出交替变化的特点。
在一个周期内，正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
两个函数的图像像是上下振荡的波形。
4. 相关性：正弦与余弦函数是相互关联的。
在直角三角形中，三角函数的相互关系可以由勾股定理推导出来。
sin²x + cos²x = 1是三角函数基本关系式，也称为三角恒等式。
正弦与余弦的图像正弦与余弦函数的图像是学习三角函数的重要内容之一。
它们的图像形状、周期性、奇偶性等特点对于理解三角函数的性质至关重要。
正弦函数的图像是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、奇函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内呈现出从最小值-1到最大值1的振荡变化。
正弦函数的图像具有对称性，关于原点对称。
余弦函数的图像也是一条连续的波纹状曲线，具有周期性、偶函数特点。
其图像在[-π, π]或[0, 2π]范围内同样呈现出从最大值1到最小值-1的振荡变化。
湘教版九年级数学上册 解直角三角形 三角函数的教案
三角函数教案4.1 正弦和余弦（1）教学设计教学内容教学分析教学重点1、理解和掌握锐角正弦的定义。
2、根据定义求锐角的正弦值。
教学难点探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程教学准备教具学具补充材料课件、计算器、量角器、刻度尺教学流程第1 课时教学环节教师活动预设学生活动预设设计意图执教者个性化调整一、创设情景引入新课[活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。
对章前图的说明和本章内容的简单介绍，明确本章研究的内容，让学生有个基本的了解。
通过实例创设情境，引入新课,体现了数学知识的实用性,也容易激发学生学习的兴趣和探索的热情。
二、师生互动探究新知[活动2]如图2一艘轮船从西向东航行到B学生观察，思考，建立几何模型，将实际问题转化为直角三角形中边角关让学生带着问题学习,激发探索欲望。
65°BAC⌒北东由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。
发现:在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.9。
的观点,激起疑问。
算结果大体一致，便于对后面知识的探究，故对教科书上要求的精确度进行了修改。
(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？∵∠D ＝∠D ′ ∠E ＝∠E ′ ∴△DEF ∽△D ′E ′F ′∴即： 因此：在有一个锐角等于65°的所有直角三角形中，65°角的对边与同桌之间将各自所画图形放在一起，合作探究。
湘教版九年级上册教学设计4.1 正弦和余弦
湘教版九年级上册教学设计4.1正弦和余弦一. 教材分析湘教版九年级上册《数学》第4.1节“正弦和余弦”是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质和应用。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行教学的，为后续学习圆锥曲线、三角函数的图像和性质等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数概念和数学思维能力，但对于正弦和余弦的理解还需要进一步引导。
在学习过程中，学生需要通过观察、分析、归纳等方法，掌握正弦和余弦的定义和性质。
同时，学生应能够运用正弦和余弦解决实际问题，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解正弦和余弦的概念，掌握正弦和余弦的定义和性质。
2.能够运用正弦和余弦解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的观察、分析、归纳能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念、性质。
2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、归纳正弦和余弦的性质。
2.运用案例教学法，让学生通过实际问题，掌握正弦和余弦的应用。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关正弦和余弦的案例和问题，用于课堂练习和拓展。
2.准备多媒体教学设备，用于展示正弦和余弦的图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾锐角三角函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示正弦和余弦的图像，引导学生观察和分析正弦和余弦的性质。
3.操练（10分钟）教师提出相关问题，让学生运用正弦和余弦的知识进行解答。
教师及时给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）学生进行小组合作学习，共同解决正弦和余弦的实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
5.拓展（10分钟）教师提出拓展问题，引导学生运用正弦和余弦的知识进行探究。
学生独立思考或小组讨论，分享解题过程和结果。
正弦余弦值对照表
正弦余弦值对照表正弦余弦值对照表：1. 0的正弦余弦值：正弦值：0；余弦值：1。
2. 30°的正弦余弦值：正弦值：0.5；余弦值：0.866。
3. 45°的正弦余弦值：正弦值：0.7071；余弦值：0.7071。
4. 60°的正弦余弦值：正弦值：0.866；余弦值：0.5。
5. 90°的正弦余弦值：正弦值：1；余弦值：0。
6. 120°的正弦余弦值：正弦值：0.866；余弦值：-0.5。
7. 135°的正弦余弦值：正弦值：0.7071；余弦值：-0.7071。
8. 150°的正弦余弦值：正弦值：0.5；余弦值：-0.866。
9. 180°的正弦余弦值：正弦值：0；余弦值：-1。
10. 210°的正弦余弦值：正弦值：-0.5；余弦值：-0.866。
正弦值：-0.7071；余弦值：-0.7071。
12. 240°的正弦余弦值：正弦值：-0.866；余弦值：-0.5。
13. 270°的正弦余弦值：正弦值：-1；余弦值：0。
14. 300°的正弦余弦值：正弦值：-0.866；余弦值：0.5。
15. 315°的正弦余弦值：正弦值：-0.7071；余弦值：0.7071。
16. 330°的正弦余弦值：正弦值：-0.5；余弦值：0.866。
17. 360°的正弦余弦值：正弦值：0；余弦值：1。
正弦余弦值对照表是由数学中的正弦定理衍生出来的，它是一种可以表达正弦和余弦值之间关系的表格。
正弦余弦表是采用近似三角函数来求得直角三角形锐角中角度和对边之间的对应关系，以便更准确地确定直角三角形各边和锐角的大小。
下面是正弦余弦值对照表：1. 0°的正弦余弦值：正弦值：0；余弦值：1。
2. 30°的正弦余弦值：正弦值：0.5；余弦值：0.866。
正弦值：0.7071；余弦值：0.7071。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.1.正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.(2)正弦定理的其他形式：① a = 2RsinA , b =, csinO；③ a : b ： c= _______________________________2.余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等——王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即a2=, b2=,c?=.若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .3.解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：②sin A=2R' sinB=A为锐角A为钝角或直角图形关系式a= bsinA bsinA<a< b a为a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.4.三角形中的常用公式或变式⑴三角形面积公式& =:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,A5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinCcosA = , tanA =<(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+sin2B— 2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解⑶余弦⑷余弦1 1 1 abc 14. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.兀B+ C (2)代(B+ Q 2— Fsin(B+ C) — cos(B+ C)2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab—tan(B+ C) co岩si号«C tan 2在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）A.无解B. 一解C.两解D. 一解或两解解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由b 6c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画出△ ABC,由图知有两解.故选 C.（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0<A<TT,所以sinA= 1, 所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A解：sinB+ cosB= ^2,,•寸2sin B+4 =寸2,即sin B+4 = 1._____ __ _兀兀_兀乂.. B€ （0,冗）... B+； = ；, B=~.4 2 4a b asinBsinA= b根据正弦正理、皿=sinB，可侍12'. a<b, . . Av B... A=g.故填&类型一正弦定理的应用△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A— C= 90 , a+ c=寸2b,求C.解：由a+ c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO 2sinB乂由丁A— C= 90 , B= 180 — (A+C),故cosC + sinC = sinA + sinC=戒sin(A + Q =戒sin(90 + 2Q =匝sin2(45 + Q.,•哀sin(45 + C) = 2 戒sin(45 + C)cos(45 + C),* 一1即cos(45 + C) = 2.乂 .。
【高中数学】余弦定理、正弦定理(3)课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
sin30∘
sin45∘
＝20 2.
60° 60°
45°30°
40
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20 2)2＋
(40 2)2－2×40 2 ×20 2 cos 60°＝2400，
∴AB＝20 6 ，故A，B两点之间的距离为20 6 m.
跟踪训练
4．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距
20( 3 ＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时
10 2海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北
方向刮过且 3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
在△ABC中，由余弦定理得
sin30∘
，
新知探究
1．基线的概念与选择原则
(1)定义
线段
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_______叫做基线．
(2)性质
基线长度
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的_________，使测量具有
高
较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越_______．
2．实际测量中的有关名称、术语
5．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在
北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东
30 2
15°，这时船与灯塔的距离为________km.
如图所示，AC＝15×4＝60.
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中，
∴BC＝30 2.
60
sin45∘
=
方法总结
测量距离的基本类型及方案
1[1].4.1正弦、余弦函数图像
![1[1].4.1正弦、余弦函数图像](https://img.taocdn.com/s3/m/71e55689d0d233d4b14e6977.png)
y
1
-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
-1 -
o
2π
-
4π
-
6π
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 的图象在……， 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在 的图象在 ， [−4π,−2π] ,[− 2π,0], [0,2π ], [2π ,4π ], …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同 与 ∈ 的图象相同
(π , − 1)
π
2 , 0)
3π ( , 0) 2
轴的交点： 与x轴的交点： ( 轴的交点
正弦、 正弦、余弦函数的图象
画出函数y=1+sinx，x∈[0, 2π]的简图： 的简图： 例1 画出函数 ， ∈ π 的简图
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0 0 1
π
2
π 0 1
3π 2
2π 0 1 步骤： 步骤： 1.列表 列表 2.描点 描点 3.连线 连线
9π −4π − 7π −3π 2 2
5π−2π 3π − 2 2
x∈R
−π
−
π 2
y
1
−
−
-1
π 2
π
3π 2π 5π 2 2
3π
7π 4π 9π 2 2
5π x
y 余弦曲线： 余弦曲线： = cos x
−
9π −4π 7π −3π 5π −2π 3π − − − 2 2 2 2
x∈R
−π
−
π 2
y
1
-1
π 2
π
3π 2π 5π 2 2
锐角三角函数资料
第四章 锐角三角函数 4.1 正弦与余弦（1）探究内容：4.1 正弦与余弦（1）目标设计：1、通过实例引导学生理解正弦的定义； 2、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：理解正弦的定义。
探讨准备：作图工具 探讨过程： 一、复习导入：1、如图，已知在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c，且a =，c =，求b 。
（复习：勾股定理：在直角三角形中， 两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方）2、一个△ABC 的三边长分别为7a =，b =43c =，试判断该三角形的形状。
（复习：勾股定理的逆定理（判定定理）：如果一个三角形的三边a 、b 、c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
）二、新知探究： 思考与探究：题：如图，一艘轮船从西向东航行到8处时，灯塔A 在船的正北方向，轮船从B 处继续向正东方向航行2000m 到达C 处，此时灯塔A 在船的北偏西65°的方向。
试问：C 处和灯塔A 的距离AC分析：由题意，△ABC 是Rt △，∠B ＝90°，∠A ＝65°，∠A 的对边BC ＝2000m 。
问题是求斜边AC 的长度。
探究：在Rt △中，65°角的对边与斜边的比值有何规律？下面分3步讨论： 1、假设∠A ＝60°依勾股定理可得AB =AC =则600.866︒==≈角的对边斜边请同学们动手画一个比较标准的Rt △，使∠A ＝60°，∠B ＝90°。
量出AC 与BC 的长，B Cb 东看?BCAC= 结论：60°角的对边与斜边的比值是一个常数值，都约等于0.87。
2、当∠A ＝65°时，请大家再画一个Rt △，使∠B ＝90°，∠A ＝65°。
然后量出BC 与AC 的长，计算BC ：AC 的值。
（则有:0.91:1BC AC ≈）3、证明：在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，则BC:AC ＝B ′C ′:A ′C ′ 分析：∵∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′∴''''BC ACB C A C =∴''''BC B C AC A C =即在所有的Rt △中，相等的锐角的对边与斜边的比值K 都相等。
§4.1正弦函数、余弦函数的定义
高一年级数学学科编号：25 班级： 学生姓名： 设计人：史旭龙 审核人：安仓娃课题：§4.1正弦函数、余弦函数的定义【学习目标】1. 借助单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的概念；2.熟练记忆正弦、余弦函数值在各象限的符号。
【学习重点】任意角的正弦函数、余弦函数的定义及函数值在各象限的符号； 【学习难点】正弦函数、余弦函数的定义理解。
第一部分【自主学习】1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别写出∠A 的三角函数关系式：sinA ＝_____，cosA=_____，sinB ＝_____，cosB=_____，在直角坐标中，以_____为圆心，以_______为半径的圆叫做单位圆。
2、正弦函数、余弦函数定义：一般地，在直角坐标系中，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P （u ，v ），那么点P 的纵坐标v ，叫作角α的正弦函数，记作v ＝αsin 。
点P 的纵坐标u ，叫作角α的余弦函数，记作u ＝αcos . 通常,我们用x ，y 分别表示自变量与因变量，将正、余弦函数分别表示为y ＝sinx ，y ＝cosx.定义域：_________________， 值域：___________________.3、在直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),那么: ⑴ 正弦 αsin = __________。
⑵ 余弦αcos = __________ 。
4、当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号： 象限 三角函数第一象限 第二象限 第三象限 第四象限αsinαcos第二部分【合作探究】1．在直角坐标系的单位圆中，α=4-π （1）画出角α；（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标； （3）求出角α的正弦函数值、余弦函数值；2．确定下列各三角函数值的符号： ⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;3.已知角α的终边经过点P(-2,-3)，求角α的正弦、余弦值.1.将各特殊角的三角函数值填入下表。
湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)
知1－练
sin 67°38′24′′； 解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)：
sinα＝0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确 按键得出结果.
感悟新知
知1－练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计 算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 ( C )
解：原式＝12＋
2 2
2－13×
3 2
2＝12＋ 12－13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角，且sin(α－
10 ° ) =
3 2
，则
α
等于(
A
)
A． 70° B． 60°
C． 40° D． 30°
感悟新知
例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)：
1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
感悟新知
知2－练
例4 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列 条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝ 10.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计
湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质及其应用。
本节课的内容对于学生来说，既是对以前知识的巩固，又是为后续学习更复杂三角函数奠定基础。
教材从实际问题出发，引入正弦和余弦的概念，并通过大量的例题和练习，使学生掌握正弦和余弦的性质和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于正弦和余弦这两个三角函数的理解，还需要通过具体的例子和实际问题来进行引导和深化。
此外，学生对于实际问题的解决，还需要老师在教学中进行引导和培养。
三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质和应用。
2.能够通过实际问题，引入正弦和余弦的概念，并解决问题。
3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.正弦和余弦的概念及其性质的理解和应用。
2.利用正弦和余弦解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引入正弦和余弦的概念，引导学生通过自主学习和合作学习，掌握正弦和余弦的性质和应用。
同时，运用多媒体教学手段，直观地展示正弦和余弦的变化规律，帮助学生理解和记忆。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.正弦和余弦的图示和实例。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程导入（5分钟）老师通过一个实际问题，如测量一个斜边为10的正弦三角形的两个直角边的长度，引导学生思考正弦和余弦的概念。
呈现（10分钟）老师通过多媒体展示正弦和余弦的图示和实例，让学生直观地感受正弦和余弦的变化规律。
同时，老师引导学生总结正弦和余弦的性质。
操练（10分钟）老师给出一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。
通过这个过程，让学生加深对正弦和余弦的理解和应用。
巩固（10分钟）老师给出一些实际问题，让学生分组讨论和解决。
通过这个过程，培养学生的合作能力和解决实际问题的能力。
正弦、余弦函数的定义
恒口高级中学数学必修四学案 NO.课题：4.1任意角的正弦、余弦函数的定义主编人：_范明珠 审核人：___ 领导签字：___ ___ 班_____组 姓 名：_____ _ 师 评： 使用说明：1、紧扣学习目标，认真预习课本13—15页，独立完成自主学习部分。
2、整理出自己在自学过程中遇到的问题和困惑，努力尝试做合作探究部分内容，标记好疑点、难点，准备讨论和展示。
3、课堂认真思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题。
4、小组长在课堂讨论环节起引领作用，做到有效讨论，确保每人都达成目标。
学习目标：1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。
2.掌握正弦函数、余弦函数的定义域和函数值在各象限的符号。
重 点：正弦函数、余弦函数的定义 难 点：正弦函数、余弦函数值在各象限的符号一、自主学习【预习与思考】1、 在直角坐标系中，以_____ _为圆心，以_____ _为半径的圆，称为单位圆。
2、 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与_____重合，始边与_____重合，终边与单位圆交于点),(v u P ，那么点P 的_____ 叫做角α的正弦函数，记作_____ _点P 的_____ 叫做角α的余弦函数，记作_____ _通常，我们用x 表示自变量，即表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数____ ，和____ _ 。
它们的定义域为____ ，值域为____ 。
3、 正弦函数、余弦函数在各象限的符号思考：若点),(y x P 是角α终边上异于原点的任意一点，又该如何定义角α的正弦函数和余弦函数？【预习自测】：1、（1）417sin π=____ (2) 322cos π=____2、已知角α终边上一点的坐标为)8,6(-P ,则=αsin ____ ；=αcos ____ ；3、判断 375sin 、π427sin、)380cos(π-的符号。
正弦定理与余弦定理的使用
正弦定理与余弦定理的使用数学是一门需要掌握基本概念和公式的学科，而在初中数学中，正弦定理和余弦定理是非常重要的两个定理。
它们可以帮助我们解决各种与三角形相关的问题，比如求边长、角度等。
在本文中，我将详细介绍正弦定理和余弦定理的使用方法，希望能够帮助中学生及其家长更好地理解和应用这两个定理。
一、正弦定理的使用正弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。
具体公式如下：\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]利用正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两边和夹角，求第三边长度例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边AC=7cm，夹角BAC为60度，求边BC的长度。
根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{BC}{\sin 60^\circ}=\frac{5}{\sin B}\]进一步化简，得到：\[BC=\frac{5\sin 60^\circ}{\sin B}\]由此，我们可以利用三角函数表或计算器求得角B的正弦值，然后代入上式计算得到BC的长度。
2. 已知两边长度和夹角，求第三边夹角例如，已知三角形ABC中，边AB=3cm，边BC=4cm，夹角ABC为45度，求角BAC的度数。
根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{3}{\sin B}=\frac{4}{\sin 45^\circ}\]进一步化简，得到：\[\sin B=\frac{3\sin 45^\circ}{4}\]通过求解这个方程，我们可以得到角B的正弦值，然后利用反正弦函数求得角B的度数。
二、余弦定理的使用余弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。
具体公式如下：\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]利用余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三边长度，求夹角的余弦值例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边BC=7cm，边AC=9cm，求角B 的余弦值。
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
(1)正弦函数y=sin x的图象关于x轴对称.( × )
(2)正弦函数y=sin x与函数y=sin(-x)的图象完全相同.( × )
(3)余弦函数y=cos x的图象与x轴有无数个交点.( √ )
(4)余弦函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状和位置都不
一样.( × )
？
画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个
数.
？
解:先用“五点法”画出函数y=sin x的图象,再在同一平面直角
,- ,(1,0),(10,1) ,并用光滑曲线连接得到
坐标系内描出
y=lg x的图象,如图.
由图象可知方程lg x=sin x的解的个数为3.
答案:D
？
反思感悟
1.对于方程解的个数问题,常借助函数的图象用数形结合的方
1+2sin x
0
1
1
3
在平面直角坐标系中描出五点(0,1),
π
0
1
-1
-1
, ,(π,1),
2π
0
1
,- ,(2π,1),
然后用光滑的曲线连接起来,就得到 y=1+2sin x,x∈[0,2π]的
图象,如图所示.
？
(2)列表:
x
cos x
2+cos x
描点连线,如图.
0
1
3
0
2
π
-1
1
0
2
2π
1
3
？
反思感悟
1.“五点法”是画与三角函数有关的函数的图象的常用方
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初高中数学的衔接部分。
本节课主要介绍了正弦和余弦的概念以及它们的定义方法。
通过本节课的学习，学生可以更好地理解三角函数的概念，为后续的三角函数学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念已经有了一定的了解。
但是，对于正弦和余弦的定义以及它们的联系和应用可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流等方式来深入理解正弦和余弦的概念，并能够应用到实际问题中。
三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的定义方法。
2.能够运用正弦和余弦解决一些简单的实际问题。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其定义方法。
2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。
2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用正弦和余弦解决实际问题。
4.媒体辅助：利用多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程。
六. 教学准备1.多媒体课件：制作正弦和余弦的定义课件，以便于生动形象地展示教学内容。
2.实际问题：准备一些与正弦和余弦相关的实际问题，用于课堂练习和巩固。
3.学习资料：为学生准备相关的学习资料，以便于学生自主学习和合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与正弦和余弦相关的实际问题，引导学生思考正弦和余弦的概念。
2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程，同时引导学生进行自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。
3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
新湘教版九年级数学上册课件：余弦
用计算器求锐角的余弦值,要用到 cos 键:
例如：求cos16°,cos42°的值.
cos16° cos cos42° cos
按键的顺序
1
6
=
4
2
=
显示结果 0.961 261 695 0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：
的余弦， 记作 cos，
cos
角的邻边
斜边
.
根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， AC=5，
练习
AB=7．求 cos A ，cos B 的值． B
答案： cos A 5 , cos B 2 6 .
操作（１） cos 50 0.6428 （２） cos 70 0.3420
（３） cos15 0.9659
如何用计算器求 sin1036, cos 7523 呢？
由于1si°n=6100′，因3660此 10，36就 得1到0 它3660的值 ，．从而用计算器去求
2
45
cos2
45
1 2
2 2
2
5..4.1正弦函数、余弦函数的图象 课件
高中数学必修第一册
知识小结
3.函数 = , ∈ 的图象：
余弦函数的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数具有相同形状的“波
浪起伏”的连续光滑曲线.
高中数学必修第一册
问题探究
探究：8.类似于“五点法”作正弦函数的图象，如何作出余弦
函数的图象？
高中数学必修第一册
问题探究
探究：8.类似于“五点法”作正弦函数的图象，如何作出余弦
（1） = 1 + , ∈ [0,2]；
x
0
2
3
2
2
sin x
0
1
0
-1
0
1 sin x
1
2
1
0
1
高中数学必修第一册
典例精析
例1 画出下列函数的简图：
（2） = −, ∈ [0,2].
x
0
2
3
2
2
cos x
1
0
-1
0
1
cos x
-1
0
1
0
-1
往往起重要的作用.你能画出函数 = , ∈ [0,2]图象的
简图吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？
五点(画图)法：
高中数学必修第一册
问题探究
探究：7.由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对
密切关联的函数.你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些
关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余
R
R
[-1,1]
[-1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
对称中心
对称轴
高中数学必修第一册
关于正余弦的所有公式
关于正余弦的所有公式标题：关于正余弦的所有公式引言概述：正余弦是数学中重要的三角函数，广泛应用于各个领域。
掌握正余弦的所有公式对于解决各种数学问题至关重要。
本文将详细阐述正余弦的公式，包括其定义、基本关系、和差角公式、倍角公式以及半角公式等。
正文内容：1. 定义和基本关系1.1 正弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其对边与斜边的比值称为正弦函数，记作sin(θ)。
1.2 余弦函数的定义：在直角三角形中，对于一个锐角θ，其邻边与斜边的比值称为余弦函数，记作cos(θ)。
1.3 正弦和余弦的基本关系：根据勾股定理，sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1，这是正弦和余弦函数之间的基本关系。
2. 和差角公式2.1 正弦的和差角公式：sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)。
2.2 余弦的和差角公式：cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)。
2.3 和差角公式的应用：和差角公式可以用于简化三角函数的计算，尤其在解决三角方程和三角恒等式时非常有用。
3. 倍角公式3.1 正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。
3.2 余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)。
3.3 倍角公式的应用：倍角公式可以将一个三角函数的角度加倍，从而简化计算，常用于解决三角方程和求解三角函数的特殊值。
4. 半角公式4.1 正弦的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cos(θ))/2]，其中±取决于θ/2所在的象限。
4.2 余弦的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]，其中±取决于θ/2所在的象限。
4.3 半角公式的应用：半角公式可以将一个角度减半，从而简化计算，常用于求解三角函数的特殊值和简化三角恒等式的证明。
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1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：
（１）sin 5 0 0.7660 操作 （２）sin 7 0 0.9397 （３） sin 1 5 由于1°=60′，因此
36 s in 1 0 60
cos 50
0.6428 0.3420 0.9659
４．１正弦与余弦（３）
动脑筋
如何求sin50°的值？ B
做法
画一个直角三角形ABC，使得∠A = 50°，量出∠A的对边BC的长度为 3cm，斜边AB的长度为3.9cm．则
sin 5 0 3 0 .7 7 .
50°
C
A
3 .9 不足： 角的大小、线段的长度都有测量误差，因 此精确度不太高，且费时间，效率低．
0 . 9 8 1 6 =
3．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐角α （精 确到1′）． 操作 55°46′ （1） sinα＝0.8268，则α≈
（2） sinα＝0.1436，则α≈ （3） cosα＝0.3279，则α≈ （4） cosα＝0.9356，则α≈ 8°15′
70°52′
20°41′
18°22′ 58°53′
练 习
3 ．如图：小亮沿与地平面成32°18′的上坡走了 80 米，那么他上升了多少米（精确到1米） B AB=80米， ∠A= 32°18′
sin 3 2 1 8
BC AB
32°18′
,
A
C
B C A B sin 3 2 1 8 8 0 0 .5 3 4 4 3 米 ．
cos 62 48
0.4571
分析
如果已知sinα＝0.3688，如何用计算器求锐角α？
关键是要先按计算器左上角的“SHIFT”键（有 的型号的计算器写的是“2ndf”键）．
按键的顺序 显示结果 Sin-1=0.9816 =78.991 840 39
例题
SinA=0.9816
2ndf
Sin
1．用计算器求下列锐角的正弦值和余弦值 （精确到0.0001）： 练 习 角度 ( ) 35° 68° 88° 9° 30°18′ 76°18′ 9°38′ 81°53′
sin
cos
0.634 0.2368 0.9859 0.1409
cos 70
0.2588
cos 15
如何用计算器求 sin 10 36 , cos 75 23 呢？
36 1 0 3 6 1 0 ，从而用计算器去求 60
，就得到它的值．
2．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）． 0.4772 sin 6 2 4 8 0.8894 sin 2 8 3 0
新设想
用计算器求．
用计算器求锐角的正弦值和余弦值,要用到 sin 两个键: 例如,求sin160,cos420,
按键的顺序 6 1 4 2
cos
显示结果 = = 0.275 637 355
Sin160 Cos420
sin cos
0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
0.5736 0.9272 0.9994 0.1564 0.5045 0.9715 0.1673 0.9900
练 习
2．已知正弦值或余弦值，用计算器求相应的锐 角α （精确到1′）． 6°14′ 69°21′ 44°55′ 81°59′
（1） sinα＝0.1087，则α≈ （2） sinα＝0.9358，则α≈ （3） cosα＝0.7081，则α≈ （4） cosα＝0.1396，则α≈ （5） sinα＝0.3152，则α≈ （6） cosα＝0.5168，则α≈