2019交大附中自招试题详解

2019交大附中自招试题
1、求值：cos30°sin45°tan60°=___________
√2
解析：3
4
与二次函数y=−x2+4x+3的图像交点个数为___________
2、反比例函数y=1
x
解析：数形结合，3个
3、已知x2−x−1=0，则x3−2x2+3=____2_____
解析：x3−2x2+3=(x2−x−1)(x−1)+2
4、设方程(x+1)(x+11)+(x+11)(x+21)+(x+1)(x+21)=0的两根为x1，x2，则(x1+1)(x2+
1)的值为___________
解析：换元，令t=x+1，则x=t−1
原方程整理得3t2+50t+200=0，
由韦达定理得t1t2=200
3
、y轴的交5、直线y=x+k(k<0)上依次有A、B、C、D四点，它们分别是直线与x轴、双曲线y=k
x 点，若AB=BC=CD，则k的值为____________
⇒x2+kx−k=0
解析：x+k=k
x
由弦长公式得|BC|=√k12+1|x B−x C|=√11+1√k2+4k
|AD|=√2|k|=3|BC|⇒k=−9
2
6、交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展。

某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？______________
解析：设原来篮球小组女生x 人，男生65x 人；排球小组女生y 人，男生y 人；
得{65x −1=x +1
y −1=y +1−14(y +1)⇒{x =10y =7 共10+65×10+7+7=36人
7、已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1a +1b +1c +1n 也是整数，则n 的最大值为______ 解析：设a <b <c <n ，则1a +1b +1c +1n ≤11+12+13+14=2512
（1） 若1a +1b +1c +1n =1⇒a =2⇒1b +1c +1n =12⇒b =3⇒1c +1n =16
∴{c =7n =42；{c =8n =24；{c =9n =18；{c =10n =15
（2） 若1a +1b +1c +1n =2⇒a =1⇒1b +1c +1n =1⇒b =1⇒1c +1n =12
∴{c =3n =6；{c =4n =4
（舍） 综上 n max =42
8、如图ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为_________
解析：S =π(R 2−r
2)=π(12)2=π4
9、若关于x 的方程(x −4)(x 2−6x +m )=0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为___________
解析：（1）若4为斜边，设直角边长为x 和y
{x +y =6x 2+y 2=16
⇒xy =10=m ，此时方程x 2−6x +10=0无解，舍 （2）若4为直角边，设斜边为y ，另一直角边为x {x +y =6x 2+16=y 2⇒{x =53y =133
⇒m =xy =659
10、设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且a+b+c=40，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为
____________。

解析：设a <b <c ，由{a +b +c >c +c a +b +c ≤3c
⇒403≤c <20 ∴ c=14，15，16，17，18，19
经讨论，当c=14时，a +b =26，abc ≤20⋅(262)2
=2366取得最大值
此时等腰△ABC 面积S =12⋅14⋅2√30=14√30
11、如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中A （-3,1），B （4,3），点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_________
解析：法一 设AO 与X 轴负半轴夹角为α，∠AOC=∠BOD=β
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β=5
√10 cos (α+β)cos αcos β−sin αsin β=5
√10 ∴ x c =−|OC|cos (α+β)=−95，y c =|OC|sin (α+β)=13
5
法二：由AB 坐标得AB 直线方程，求出O 到AB 的距离，得△AOB
面积即△COD 面积，求出C 纵坐标，勾股定理求出横坐标
12、如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，它们对应的实数分别为a，b，c，d，如果存在实数λ，满足：对线段AB和CD上的任意一点M，其对应的实数为x，实数λ
x
对应的点N仍然在线段AB或CD上，则称（a，b，c，d，λ）为“完美数组”，例如：（1,2,3,6,6）就是一组“完美数组”。

已知|AB|=1，|BC|=5，|CD|=4，求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程。

解析：设A（a，0）则B（a+1,0），C（a+6,0），D（a+10,0）
由题意，x=0必定不在线段AB与CD上，所以分三种情况讨论
（1）a>0⇒λ>0
由题意得{λ
a ≤a+6λ
a+10≥a
⇒λ=a(a+10)
又有{λ
a+1≥a+6
λa+6≤a+1
⇒λ=(a+1)(a+6)
∴a(a+10)=(a+1)(a+6)⇒a=2，λ=24
（2）a+1<0<a+6即−6<a<−1
①λ>0时，λ=a(a+1)=(a+6)(a+10)⇒a=−4，λ=12
②λ<0时，λ=a(a+6)=(a+1)(a+10)⇒a=−2，λ=−8
（3）a+10<0即a<−10⇒λ>0
λ=a(a+10)=(a+1)(a+6)⇒a=−2舍去
综上所有的“完美数组”为（2,3,8,12,24）、（-4，-3,2,6,12）、（-2，-1,4,8，-8）。