2020届全国大联考高三2月联考数学(理)试题(解析版)

11．已知在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ， ，若平面内点 满足 ，则 的最大值为（）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【解析】设 ， ，根据 可得 ，再根据 可得点 的轨迹，它一个圆，从而可求 的最大值.
【详解】
设 ， ，故 ， .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，
整理得到 ，故点 的轨迹为圆，其圆心为 ，半径为2，
又 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
当 或 时，等式不成立，所以 ，
所以 ，
所以
又 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，
所以 的最大值为 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定 ．
三、解答题
17．设等比数列 的公比为 ， 是 的前 项和，已知 ， ， 成等差数列，且 ， .
（1）计算 值；
（2）以此样本的频率作为概率，求
①在本次达标测试中，“喵儿”得分等于 的概率；
②“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】（1）频率分布直方图中所有频率之和为1，由此可求得 ；
（2）①由频率分布直方图可得一次测试得分的分布列，三组测试中，“喵儿”得80分为事件A，则“喵儿”可能第一组得80分，或者第二组得80分，或者第三组得80分，由于三组相互独立，从而可计算概率，②仿照①可计算出三组测试其得分的概率，得分布列，再由期望公式计算出期望．
当 或 时， 在 上是增函数， 所求概率 .
故选： .
【点睛】
本题以程序框图和幂函数单调性为载体，考查了古典概型概率问题的求解；关键是能够熟练掌握幂函数的解析式与该函数在第一象限内图象单调性之间的关系.
5．已知向量 ， ， ，若 ，则k等于
A． B．2
C．-3D．1
【答案】C
【解析】根据向量垂直坐标表示得方程，解得 .
【答案】A
【解析】首先将 化简可得 ，然后根据充分条件和必要条件即可得到答案
【详解】
由 得 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，而 ，所以 ，
故充分性成立；
而当 时， 且 ，
故必要性不成立．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题．
4．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合 ，从集合 中任取一个元素 ，则函数 在 上是增函数的概率为（）
所以 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查向量模的求法，属于基础题
15．记 ，则 ______.
【答案】126
【解析】分别令 、 ，可求得各项系数和与常数项；利用 ，得到展开式通项公式，求得 ，进而求得结果.
【详解】
令 得： ；令 得： ；
， 展开式通项为 ，令 ，则 ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查二项式定理中与各项系数和、指定项系数有关的问题的求解；在求解与各项系数和有关的问题时，通常采用赋值法来快速求得结果.
故 的最大值为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
12．已知 是函数 （其中 ）图象上的两个动点，点 ，若 的最小值为0，则函数 的最小值为（）
7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示，则其体积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，结合三视图求出相应的长度，利用柱体和椎体的体积公式，即可得到答案．
在 中， ，所以 ， ，
在 中， ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质中的离心率的求解，关键是利用平面几何的知识求出 ，再利用双曲线的定义找到问题解决的切入点．
10．有一个长方形木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为（）
设过点 的直线 与 在 上的图象相切，
设切点坐标为 ，同理可求得： ， ，
是 图象上的点，且 的最小值为 ， ，
又 ， ， ，解得： ，
.
故选： .
【点睛】
本题考查函数最值的求解问题，涉及到导数几何意义的应用；关键是能够通过平面向量数量积的定义将问题转化为过某一点的曲线切线方程的求解问题，充分体现了转化与化归思想在考试中的应用.
A．2B． C．4D．
【答案】B
【解析】先求长方体从同一顶点出发的三条棱的长度，从而可得正四面体模型棱长的最大值.
【详解】
设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 ，则 ，故 ，
若能从该长方体削得一个棱长最长的正四面体模型，
则该四面体的顶点必在长方体的面内，
过正四面体的顶点作垂直于长方体的棱的垂面切割长方体，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】按照程序框图运行程序即可得到集合 ，根据幂函数单调性可确定满足条件的 的所有可能的取值，根据古典概型概率公式计算可得结果.
【详解】
按照程序框图运行程序，输入 ，满足 ，则 ， ，满足 ；
则 ， ，满足 ；则 ， ，满足 ；
则 ， ，不满足 ，框图运行结束， .
【详解】
（1） ， ， 成等差数列， ，
即 …①，
由 可得： ，即 …②，
联立①②及 可解得： ， ，
.
（2）由（1）知： ，
则 ， ，
两式作差得： ，
.
当 时， ，
单调递增.
而 ， ， ， ，
当 时， .
【点睛】
本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前 项和、利用数列的单调性求解参数值的问题；关键是能够通过 的形式确定数列 的单调性，进而避免将问题变为解不等式的问题.
A．2B．3C． D．
【答案】D
【解析】设切线与圆 切于点 ，连结 ，则 ，过 作 ，垂足为 ，又 为 的中点，所以 为 的中位线，结合图形可求得 ， ，再由双曲线的定义列出方程，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
设切线与圆 切于点 ，连结 ，则 ，过 作 ，垂足为 ，
因为 ， ，所以 ，
又 为 的中点，所以 为 的中位线，又 ，所以 ，
【详解】
根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，
半圆柱的底面半圆的直径为 ，高为 ，故半圆柱的体积为 ，
三棱柱的底面三角形的一边长为 ，该边上的高为 ，该三棱柱的高为 ，
故该三棱柱体积为 ，
所以该“柱脚”的体积为 ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算．
2020届全国大联考高三2月联考数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法可求得集合 ，根据交集定义可求得结果.
【详解】
， ，
.
故选： .
【点睛】
本题考查集合运算中的交集运算，涉及到一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题.
16．已知 的内角 所对边分别为 ，且 ，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】利用正弦定理将 化为 ，然后利用三角形内角和定理将 用 代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得 ，再由同角三角函数关系可得 ，将其代入 展开式消去 ，结合基本不等式即可求出 的最大值．
【详解】
因为 ，由正弦定理得 ，
18．某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试.已知队员的测试分数 与仰卧起坐
个数 之间的关系如下： ；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时1分钟，当一组测完，测试成绩达到60分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：
，
再向上平移1个单位，得到的函数图象对应的函数解析式为 ，
因为所得图象经过点 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以当 时， 取得最小值 ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查两角和的正弦公式的逆用，三角函数图象的平移变换及三角方程的解法．
9．已知双曲线 的在、右焦点分别 ，过 作 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为（）
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （）
A．2B． C． D．
【答案】B
【解析】将 化为 ，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案．
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，属于基础题．
3．“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．
14．已知向量 的夹角为 ，若 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】根据向量数量积运算公式可知 ，只需根据已知求出 ，即可求出 的值．