几个重要不等式

合集下载

几个重要不等式

几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM）不等式设是非负实数，则2、柯西（Cauchy）不等式设，则等号成立当且仅当存在，使变形（Ⅰ）：设，则；等号成立当且仅当存在。

使变形（Ⅱ）设同号，且，则。

等号成立当且仅当3．排序不等式设是的一个排列，则.等号成立当且仅当或。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen）不等式若是区间上的凸函数，则对任意的点有等号当且仅当时取得。

（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。

1.幂均值不等式设，，则证：作变量代换，令，则，则①，，又函数是上的凸函数，由Jensen不等式知①式成立。

2.（切比雪夫不等式）设两个实数组，则等号成立当且仅当或。

证：由排序不等式有：……………………………………………………………………………以上n个等式相加即得。

3.一个基础关系式其中证：若x,y中有一个为0，则显然成立。

设x,y均不为零，则原不等式，令，则上式，记，则，因此，当时，，当时，，且，所以得极小值为,故，即.4. Holder不等式设且，则等号成立当且仅当存在使得。

证:在上面基础关系式中，取有……①①式两边对k求和，得：,令,代入上式即证。

5.一个有用的结论设，则，推广得设，则.证：原不等式,而,它可把含根式的积性不等式化为和式。

例1设且，求证：。

证：由柯西不等式有…①而即…②由①②有：,∴方法二：由幂均值不等式有：方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM不等式有：不妨设，则例2设，求证：证：左边=评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。

例3设，求证：证：设，则原不等式由Cauchy不等式有：故原不等式成立。

评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。

例4设n是正整数，且，，求证：证：原不等式，由“二，结论5”有又。

几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a L是非负实数，则12n a a a n+++≥L2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==L变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ*()n N ∈有()()()12121().n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++⎡⎤⎣⎦L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。

几个重要的不等式

几个重要的不等式（一）：平均值不等式一、平均值不等式设a1,a2,…, a n是n个正实数，则，当且仅当a1=a2=…=a n时取等号1.二维平均值不等式的变形(1)对实数a,b有a2+b2³2ab(2)对正实数a,b有(3)对b>0，有，(4)对ab2>0有，(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)(6)对a>0,有(7) 对a>0,有(8)对实数a，b有a2³2ab-b2(9) 对实数a，b及l¹0，有二、例题选讲例1.证明柯西不等式证明：法一、若或命题显然成立，对¹0且¹0，取代入(9)得有两边平方得法二、，即二次式不等式恒成立则判别式例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：(1)(2)证明：(1)左=[]=³(2)由知同理：相加得：左³例3.求证：证明：法一、取，有a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, a n(a n-b)³b(a n-b)相加得(a12+ a22+…+ a n2)-( a1+ a2+…+ a n)b³b[(a1+ a2+…+ a n)-nb]³0 所以法二、由柯西不等式得：(a1+ a2+...+ a n)2=((a1×1+ a2×1+...+ a n×1)2£(a12+ a22+...+ a n2)(12+12+ (12)=(a12+ a22+…+ a n2)n,所以原不等式成立例4.已知a1, a2,…,a n是正实数，且a1+ a2+…+ a n<1，证明：证明：设1-(a1+ a2+…+ a n)=a n+1>0,则原不等式即n n+1a1a2…a n+1£(1-a1)(1-a2)…(1-a n)1-a 1=a2+a3+…+a n+1³n1-a 2=a1+a3+…+a n+1³n …………………………………………1-a n+1=a1+a1+…+a n³n相乘得(1-a 1)(1-a2)…(1-a n)³n n+1例5.对于正整数n，求证：证明：法一、>法二、左==例6.已知a1,a2,a3,…,a n为正数，且，求证：(1)(2)证明：(1)相乘左边³=(n2+1)n 证明(2)左边= -n+2(= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-a n)](³ -n+2×n几个重要不等式(二)柯西不等式，当且仅当b i=l a i (1£i£n)时取等号柯西不等式的几种变形形式1.设a i∈R,b i>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当b i=l a i (1£i£n)时取等号2.设a i,b i同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=b n时取等号例1.已知a1,a2,a3,…,a n，b1,b2,…,b n为正数，求证：证明：左边=例2.对实数a1,a2,…,a n,求证：证明：左边=例3.在△ABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：证明：左边≥例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：证明：左边=³==例5.若n是不小于2的正整数，试证：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有<例6.设x1,x2,…,x n都是正数(n³2)且，求证：证明：不等式左端即(1)∵，取，则(2) 由柯西不等式有(3)及综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：几个重要的不等式（三）：排序不等式设a1£a2£…£a n,b1£b2£…£b n;r1,r2,…,r n是1,2,…,n的任一排列，则有：a1b n+a2b n-1+…+a n b1£a1b r1+a2b r2+…+a n b rn£a1b1+a2b2+…+a n b n 反序和£乱序和£同序和例1.对a,b,c∈R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a例2.正实数a1,a2,…,a n的任一排列为a1/,a2/,…a n/，则有证明：取两组数a1,a2,…,a n；其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有例3.已知a,b,c∈R+求证：证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0则例4.设a1,a2,…,a n是1,2,…,n的一个排列，求证：证明：设b1,b2,…,b n-1是a1,a2,…,a n-1的一个排列，且b1<b2<…<b n-1；c1,c2,…,c n-1是a2,a3,…,a n的一个排列,且c1<c2<…<c n-1则且b1³1,b2³2,…,b n-1³n-1；c1£2,c2£3,…,c n-1£n利用排序不等式有：例5.设a,b,c∈R+,求证：证明：不妨设a³b³c,则，a2³b2³c2>0由排序不等式有：两式相加得又因为：a3³b3³c3>0,故两式相加得例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£a n且b1£b2£…£b n,则a1£a2£…£a n且b1³b2³…³b n,则证明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+a n b n=a1b1+a2b2+…+a n b na1b1+a2b2+…+a n b n³a1b2+a2b3+…+a n b1a1b1+a2b2+…+a n b n³a1b3+a2b4+…+a n b2…………………………………………a1b1+a2b2+…+a n b n³a1b n+a2b1+…+a n b n-1将以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+…+a n b n)³a1(b1+b2+…+b n)+a2(b1+b2+…+b n)+…+a n(b1+b2+…+bn)∴。

高中重要不等式公式

高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。

绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。

下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。

1. |x| > a ，其中a为正实数。

解集为：x < -a 或 x > a。

这个不等式表示x与原点的距离大于a。

2. |x| < a ，其中a为正实数。

解集为：-a < x < a。

这个不等式表示x与原点的距离小于a。

3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。

解集为：-a ≤ x ≤ a。

这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。

4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。

解集为：x < a - b 或 x > a + b。

这个不等式表示x与点a的距离大于b。

5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b < x < a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于b。

6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。

解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。

这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。

（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。

熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。

二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。

下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。

1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。

这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。

2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。

概率论中几个不等式的推广及应用

概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。

（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。

（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。

（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。

（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。

2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。

（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。

（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。

（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。

（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。

几个重要不等式的证明及应用

［ａ，ｂ］上连续，ｘ）ｄｘ＝１，ｋ为任意实数，求证：（Ｊ＇￣ｆ（ｘ）ｃｏｓｋｘｄｘ）＋
（ｆ：ｆ（ｘ）ｓｉｎｋｘｄｘ）‘≤１（２）
证明：（２）式左端第一项应用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，得到：
）ｃｏｓｋｘｄｘ）＝［Ｊ＇ｂ、／－ｘ）（ｃｏｓｋｘ）ｄｘ］ ≤Ｊ＇ｂｆ（ｘ）ｄｘｆ￣ｆ（ｘ）
关键词：Ｃａｕｃｈｙ－Ｔ等式Ｓｃｈｗａｒｚ￣等式平均值不等式
（．）２＝（
、／ａ＋ａ
２
） ≤
Ｉ＿＿，（ａｉ＋ａｉ＋１）：
１ａ＋ａＩ＋Ｉｌ
’ ｌ
不等式是初等数学及高等数学中一种应用广泛的解题工
具，在中学各种竞赛、高考、专升本、研究生入学考试等各类考
中，不等式的教学更是一个难点，学生在学习不等式， ∑应用不
等式解题时困难重重．本文以３个重要的不等式为例ａ，，对其ａ证
明方法及推广、应用技巧进行总结与归纳．
＋
１．Ｃａｕｃｈｙ￣等式
（２）式成立．评注６：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范．
它在理论研究上具有一定的意义．２．２一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题．命题１：设中（ｘ）与（ｘ）在区间Ｉ上一致连续，则ｘ）＋ｐ

几个重要的不等式

几个重要的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍几个重要的不等式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反向不等式和霍尔德不等式。

一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中最基本的不等式之一。

它可以用于证明其他许多重要的定理和不等式。

该不等式表述为：对于任意两个实数序列a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1b1 + a2b2 + … + anbn)² ≤ (a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²)其中“=”号成立当且仅当ai/bi为常数或bi=0。

该不等式可以推广到内积空间中，即对于任意两个向量x和y，有|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中“=”号成立当且仅当x与y线性相关。

二、均值不等式均值不等式是一类基本的算术平均值与几何平均值之间的关系。

它包括算术平均不等式、几何平均不等式和调和平均不等式。

1. 算术平均不等式对于任意n个非负实数a1, a2, …, an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥√(a1a2…an)其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。

2. 几何平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有(a1a2…an)^(1/n) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个正实数的几何平均值小于等于它们的算术平均值。

3. 调和平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n ≤ (n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an))其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

基本不等式题型大全

基本不等式题型大全知识点：1.几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式）2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+2.几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.板块一基本不等式及其变换一、“配、凑、拆”的技巧 ①基本不等式及变形1.函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________；2.函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________．2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53.已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________．解：∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2..54124,45.1的最大值求函数已知-+-=<x x y x 答案：1.,)0(312)(.2的值并求取最值时的最值求x x x xx f ≠+=答案：略223.,,()().a b y x a x b =-+-（三星）为实常数求的最小值解：（1）方法一：方法二：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为____________； (2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为____________．解：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0.x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.8.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．9.函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12..)2)(12(,523.42222的最大值求已知++==+b a y b a答案：147162223.,1,1.2y x y R x x y +∈+=+（三星）设且求的最大值221y+≤2210.1,.x yx y xyx y+>=-（二星）若且求的最小值答案：23.设x，y∈R，且xy≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2·⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________．解：⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．14．在各项都为正数的等比数列{}n a中，若2018a=，则2017201912a a+的最小值为________．4 14．已知正数x y，满足2230x xy＋－＝，则2x y＋的最小值是___________．3②二次分式有关12.已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解：∵t>0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．13.当x>0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：∵x>0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．14.(1)求函数f(x)＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－3x＋1x－3(x＞3)的最小值；解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝1x－3＋(x－3)＋3≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1t＝t＋1t＋3≥2t·1t＋3＝5.当且仅当t＝1t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.15.设x>－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.4.当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．5.函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是________．解：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2③平方平均数的应用228.,1,.x y R x y x y +∈+=+（一星）已知且求的最大值解：使用不等式变形2a b +≤.11.()0,0,1,.a b a b >>+=二星设答案：7．（三星）设,0,5,a b a b >+= _________. 解：因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++=由不等式2x y+≤2≤=，13.（四星）已知实数a b c ，，满足22201a b c a b c ++=++=，，则a 的最大值是 ____________．解：∵222b c bc +≥，即()()2222222b c b c bc b c +++=+≥，∴()2222b c b c++≥，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2221a b c ++=，得()22222122b c a a b c +-=+=≥，∴223a ≤，∴a ，故a ．9.（三星）已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（）BA ．15B ．9C ．1D ．53-1.（二星）若0,0x y >>的最小值为_________.2.)510)(51(.52的最值求函数≤≤-=x x x y答案：4675.cos sin ,.62的最大值求为锐角设θθθ=y答案：9二、附条件求最值：“1”的代换5：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是____．解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab ＝3＋2 2.36.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_________．解因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．37.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；解 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．38.已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：∵9x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋29y x ·xy ＝16.当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16.39.已知x ，y 为正实数，且1x ＋16y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：∵1x ＋16y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋216x y ·yx ＝25.当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25.1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．解： ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a≥52＋22a b ·b 2a＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.40.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6解 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.41.正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.9.,,280,.x y R x y xy x y +∈+-=+（二星）已知且求的最小值答案：18227.()01,,,().1a b x a b f x x x<<=+-三星设为常数求的最小值答案：2()a b +2.（二星）若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解：因为直线过点(1,1),所以111=+b a ，所以ba ab b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以4222=⨯+≥++baa b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.14.（二星）若()42log 34log a b +=则a b +的最小值是（）DA ．6+B ．7+C ．6+D ．7+112511.0,0,1,:.4a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫>>+=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（三星）设求证1.（四星）已知20x y >>，且满足181022x y x y++=-，求实数x 的最大值. 答案：[]2,181.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________.941.（三星）设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___________.141.（三星）已知1,,(0,1)4ab a b =∈，则1211a b+--的最小值是__________.20．（四星）函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于2），则()12f x x 的最小值为_______。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

几个重要的不等式

几个重要的不等式以不等式为标题，写一篇文章。

一、柯西不等式柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它可以用来描述向量内积的性质。

假设有两个n维向量a和b，柯西不等式可以表示为：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示向量a和向量b的内积，||a||和||b||表示向量a和向量b的模长。

不等式右边的乘积表示了两个向量的模长乘积，而不等式左边的内积则表示了两个向量之间的相似程度。

柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的模长的乘积。

柯西不等式在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在信号处理中，柯西不等式可以用来判断两个信号的相关性；在几何学中，柯西不等式可以用来证明三角形的性质；在概率论中，柯西不等式可以用来推导概率的上界。

二、三角不等式三角不等式是数学中的另一条重要不等式，它可以用来描述三角函数之间的关系。

换句话说，正弦函数的和不会超过两个正弦函数的和。

三角不等式在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在几何学中，三角不等式可以用来证明三角形的性质；在物理学中，三角不等式可以用来推导物理量的上界。

三、均值不等式均值不等式是数学中的一类重要不等式，它可以用来描述数列的性质。

常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值和几何平均值不小于调和平均值两种形式。

算术平均值不小于几何平均值的不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)其中，a1、a2、...、an为正实数。

这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的算术平均值不会小于它们的几何平均值。

几何平均值不小于调和平均值的不等式可以表示为：(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ≥ n/(a1 + a2 + ... + an)这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的几何平均值不会小于它们的调和平均值。

几个重要不等式与不等式的证明

几个重要不等式与不等式的证明蔡玉书(江苏省苏州市第一中学,215006) 收稿日期:2008-09-16　修回日期:2009-02-17 (本讲适合高中)在不等式的证明中,重要不等式的使用是不等式证明的常用方法.1　几个重要不等式这里所说的几个重要不等式是指:均值不等式　设a 1,a 2,…,a n 都是正数.则a 1+a 2+…+a nn≥n a 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.柯西不等式　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n 是两组实数.则(∑ni =1a 2i)(∑ni =1b 2i)≥(∑ni =1a ib i)2,当且仅当a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立.下列柯西不等式的三个变形在解题中有相当大的作用.变形1　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n 是两组正实数.则∑ni =1a 2ib i≥(∑ni =1a i)2∑ni =1bi.变形2　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n是两组正实数.则∑ni =1a ib i≥(∑ni =1a i )2∑ni =1a i bi.变形3　设a 1,a 2,…,a n ;b 1,b 2,…,b n是两组正实数.则∑ni =1a i·∑ni =1bi≥∑ni =1a ib i .Schur 不等式　设x 、y 、z ≥0,r 是实数.则x r(x -y )(x -z )+y r(y -x )(y -z )+z r(z -y )(z -x )≥0.当r =1时,Schur 不等式有几种变形:(1)x 3+y 3+z 3-(x 2y +xy 2+x 2z +xz 2+y 2z +yz 2)+3xyz ≥0;(2)(x +y +z )3-4(x +y +z )·(yz +zx +xy )+9xyz ≥0;(3)xyz ≥(x +y -z )(y +z -x )(z +x -y ).契比雪夫不等式　设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n ,则∑ni =1a i∑ni =1bi≤n∑ni =1a ib i;设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≥b 2≥…≥b n ,则∑ni =1a i∑ni =1bi≥n∑ni =1a ib i.2　例题选讲在证明不等式时,要特别注意两点:(1)所给条件的综合变形与运用重要不等式的配合;(2)运用其他方法或技巧与运用重要不等式的配合.例1　设a 、b 、c 是正数,且ab +bc +ca =3.求证:11+a 2(b +c )+11+b 2(c +a )+11+c 2(a +b )≤1abc.(2008,罗马尼亚国家集训队试题)证明:依题设,由均值不等式得ab+bc+ca=3≥33(abc)2,即　abc≤1.故11+a2(b+c)≤1abc+a2(b+c)=1a(ab+bc+ca)=13a.同理,11+b2(c+a)≤1 3b,11+c2(a+b)≤1 3c.以上三式相加得11+a2(b+c)+11+b2(c+a)+11+c2(a+b)≤1 31a+1b+1c=ab+bc+ca3abc=1abc.注:本题巧妙地利用已知条件和均值不等式将不等式左边的分母中的1换成较小的abc,实现了转化.例2　设x、y、z是正实数,且x+y+z =3.证明:x3 y3+8+y3z3+8+z3x3+8≥19+227(xy+yz+zx).(2008,伊朗数学奥林匹克)证明:由均值不等式得x3 y3+8+y+227+y2-2y+427≥33x3y3+8·y+227·y2-2y+427=x3.同理,y 3z3+8+z+227+z2-2z+427≥y3,z3 x3+8+x+227+x2-2x+427≥z3.以上三式相加,并注意到x+y+z=3,得x3 y3+8+y3z3+8+z3x3+8≥4 9-127(x2+y2+z2)=19+9-(x2+y2+z2)27=19+(x+y+z)2-(x2+y2+z2)27=19+227(xy+yz+zx).注:本题巧妙地将分母进行了因式分解,并且通过考察不等式等号成立的充要条件,调整因式前面的系数,达到证明的目的.例3　设x、y、z是非负数,且x2+y2+z2=3.证明:xx2+y+z+yy2+z+x+zz2+x+y≤3.(2008,乌克兰数学奥林匹克)证明:由柯西不等式得3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2.因为x2+y2+z2=3,所以,x2+y2+z2≥x+y+z.①由柯西不等式得(x2+y+z)(1+y+z)≥(x+y+z)2.于是,只要证明x1+y+z+y1+z+x+z1+x+yx+y+z≤3.再由柯西不等式得(x1+y+z+y1+z+x+z1+x+y)2=(x·x+xy+zx+y·y+yz+xy+z·z+zx+xy)2≤(x+y+z)[(x+xy+zx)+　(y+yz+xy)+(z+zx+xy)]=(x+y+z)[(x+y+z)+2(xy+yz+zx)]≤(x+y+z)[x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)]=(x+y+z)3.故x1+y+z+y1+z+x+z1+x+yx+y+z≤x+y+z.由不等式①得x+y+z≤x2+y2+z2= 3.因此,不等式得证.注:先局部使用柯西不等式,将分母化为相同,再继续使用柯西不等式进行放缩,从而达到证明的目标.例4　设a、b、c∈16,+∞,且a2+b2+c2=1.证明:1+a22a2+3ab-c2+1+b22b2+3bc-a2+1+c22c2+3ca-b2≥2(a+b+c).(2007,乌克兰国家集训队试题)证明:由柯西不等式得(2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2)·a22a2+3ab-c2+b22b2+3bc-a2+c22c2+3ca-b2≥(a+b+c)2,①(2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2)2≤(1+1+1)[(2a2+3ab-c2)+　(2b2+3bc-a2)+(2c2+3ca-b2)] =3[(a2+b2+c2)+3(ab+bc+ca)].②又由均值不等式得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.故4(a+b+c)2≥3(a2+b2+c2)+9(ab+bc+ca).③由式②、③得2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2≤2(a+b+c).④由式①、④得a22a2+3ab-c2+b22b2+3bc-a2+c22c2+3ca-b2≥12(a+b+c).⑤由柯西不等式得(2a2+3ab-c2+2b2+3bc-a2+2c2+3ca-b2)·12a2+3ab-c2+12b2+3bc-a2+12c2+3ca-b2≥(1+1+1)2=9.⑥注意到a2+b2+c2=1,由柯西不等式得9=9(a2+b2+c2)≥3(a+b+c)2.⑦由式④、⑥、⑦得12a2+3ab-c2+12b2+3bc-a2+12c2+3ca-b2≥3(a+b+c)2.⑧⑤+⑧得1+a22a2+3ab-c2+1+b22b2+3bc-a2+1+c22c2+3ca-b2≥2(a+b+c).注:将原不等式拆成两个后,分别采用柯西不等式进行处理,恰到好处.例5　已知a、b、c都是正实数.证明:(a+b)3+4c3≥4(a3b3+b3c3+c3a3).(2008,波兰数学奥林匹克)证明:由均值不等式和柯西不等式得(a+b)3+4c3=a3+b3+3a2b+3ab2+4c3=2(a2b+ab2)+(a2+b2)(a+b)+4c3≥4a3b3+(a32+b32)2+4c3≥4a3b3+4c32(a32+b32)=4(a3b3+b3c3+c3a3).注:在使用两个不等式时,应注意保证等号能够成立.证明之雅,使人回味无限.例6　设x、y、z都是正数,且x+y+z≥1.证明:x xy+z+y yz+x+z zx+y≥32.(2003,摩尔多瓦国家集训队试题)证明:由均值不等式得x32+y32+y32≥3x12y,x32+z32+z32≥3x12z.相加得2(x32+y32+z32)≥3x12(y+z).故xy+z≥3x322(x32+y32+z32).同理,yz+x≥3y322(x32+y32+z32),z x +y≥3z322(x 32+y 32+z32).于是,要证明原不等式只要证明x 2+y 2+z2x 32+y 32+z32≥13Ζ3(x 2+y 2+z 2)2≥(x 32+y 32+z 32)2.由柯西不等式得(x 2+y 2+z 2)(x +y +z )≥(x 32+y 32+z 32)2,3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z )2≥x +y +z .两个不等式相乘即得.注:利用均值不等式将三个式子作对称化处理,为后面巧妙地应用柯西不等式做好了充分的准备.例7　设a 、b 、c 是正数.求证:1+4a b +c 1+4b c +a 1+4c a +b >25.(2008,波斯尼亚数学奥林匹克)证明:注意到1+4a b +c 1+4b c +a 1+4c a +b>25Ζ(b +c +4a )(c +a +4b )(a +b +4c )>25(a +b )(b +c )(c +a )Ζa 3+b 3+c 3+7abc>a 2b +ab 2+b 2c +bc 2+c 2a +ac 2.由Schur 不等式得a 3+b 3+c 3+3abc≥a 2b +ab 2+b 2c +bc 2+c 2a +a 2c .从而,不等式得证.注:在最近几年的数学竞赛中,Schur 不等式已经被普遍使用,希望引起大家的重视.例8　设x 、y 、z 是正实数.求证:xy z +yz x +zxy>23x 3+y 3+z 3.(2008,中国国家集训队测试题)证明:设xy z =a 2,yz x =b 2,zx y=c 2.因为x 、y 、z 是正实数,所以,x =ca ,y =ab ,z =bc .于是,原不等式化为a 2+b 2+c 2>23a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3,即　(a 2+b 2+c 2)3>8(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3)Ζa 6+b 6+c 6+3(a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a 4)+6a 2b 2c2　>8(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3).由Schur 不等式得a 6+b 6+c 6+3a 2b 2c 2>a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a 4.①由均值不等式得a 4b 2+a 2b 4≥2a 3b 3,b 4c 2+b 2c 4≥2b 3c 3,c 4a 2+c 2a 4≥2c 3a 3.以上三式相加得a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a4≥2(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3).②又a 2b 2c 2>0.③①+4×②+3×③得a 6+b 6+c 6+3(a 4b 2+a 2b 4+b 4c 2+b 2c 4+c 4a 2+c 2a 4)+6a 2b 2c2>8(a 3b 3+b 3c 3+c 3a 3).注:分析法的使用为证明打开了大门,变量代换为Schur 不等式的使用铺平了道路.例9　已知a 、b 、c 是正数,且a +b +c =1.证明:1bc +a +1a+1ca +b +1b+1ab +c +1c≤2731.(2008,克罗地亚数学奥林匹克)证明:注意到1bc +a +1a+1ca +b +1b+1ab +c +1c≤2731Ζ9a 2+9abc +9-31a a 2+abc +1+9b 2+9abc +9-31bb 2+abc +1+9c 2+9abc +9-31c c 2+abc +1≥0.不妨设a ≥b ≥c .显然9(a +b )<31.容易证明9a2+9abc+9-31a≤9b2+9abc+9-31b≤9c2+9abc+9-31c.故a2+abc+1≥b2+abc+1≥c2+abc+1,即　1a2+abc+1≤1b2+abc+1≤1c2+abc+1.由契比雪夫不等式有39a2+9abc+9-31aa2+abc+1+9b2+9abc+9-31bb2+abc+1+9c2+9abc+9-31cc2+abc+1≥[(9a2+9abc+9-31a)+(9b2+9abc+ 9-31b)+(9c2+9abc+9-31c)]·1a2+abc+1+1b2+abc+1+1c2+abc+1.于是,只要证明(9a2+9abc+9-31a)+(9b2+9abc+9-31b)+(9c2+9abc+9-31c)≥0 Ζ9(a2+b2+c2)+27abc+27-31(a+b+c)≥0.又a+b+c=1,只要证明9(a2+b2+c2)+27abc-4≥0Ζ9(a2+b2+c2)(a+b+c)+27abc-4(a+b+c)3≥0Ζ5(a3+b3+c3)-3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ac2)+3abc≥0.①由Schur不等式得a3+b3+c3+3abc≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+a2c.②由均值不等式得a3+b3+c3≥3abc.③②×3+③×2得不等式①.从而,原不等式得证.注:本题难度相当大.首先用分析法将不等式化为等价的不等式进行证明,也为利用契比雪夫不等式做好了充分的准备,Schur不等式和均值不等式的使用为最后的证明锦上添花.例10　已知x、y、z是正数,且x+y+z =1,k是正整数.证明:x k+2x k+1+y k+z k+yk+2y k+1+z k+x k+zk+2z k+1+x k+y k≥17.(2007,南斯拉夫数学奥林匹克)证明:不妨设x≥y≥z.则x k≥y k≥z k.由契比雪夫不等式得3(x k+1+y k+1+z k+1)≥(x+y+z)(x k+y k+z k).①因为x≥y≥z,所以,x k+1+y k+z k≤y k+1+z k+x k≤z k+1+x k+y k.事实上,由x≥y≥z,有x k-1≥y k-1≥z k-1,x(1-x)-y(1-y)=x(y+z)-y(z+x)=z(x-y)≥0,即　x(1-x)≥y(1-y).从而,x k(1-x)≥y k(1-y).所以,x k+1+y k+z k≤y k+1+z k+x k.同理,y k+1+z k+x k≤z k+1+x k+y k.故xk+1x k+1+y k+z k≥y k+1y k+1+z k+x k≥z k+1z k+1+x k+y k.由契比雪夫不等式得x k+2x k+1+y k+z k+yk+2y k+1+z k+x k+zk+2z k+1+x k+y k≥13(x+y+z)xk+1x k+1+y k+z k+y k+1y k+1+z k+x k+zk+1z k+1+x k+y k=13x k+1x k+1+y k+z k+y k+1y k+1+z k+x k+z k+1z k+1+x k+y k =13x k+1x k+1+y k+z k+y k+1y k+1+z k+x k+z k+1z k+1+x k+y k·[(x k+1+y k+z k)+(y k+1+z k+x k)+(z k+1+x k+y k)]·1x k+1+y k+1+z k+1+2(x k+y k+z k)≥x k +1+y k+1+z k+1x k+1+y k+1+z k+1+2(x k+y k+z k)=x k+1+y k+1+z k+1x k+1+y k+1+z k+1+2(x+y+z)(x k+y k+z k)≥x k +1+y k+1+z k+1x k+1+y k+1+z k+1+2×3(x k+1+y k+1+z k+1)=1 7 .最后一步用的是不等式①.注:条件x+y+z=1是用来调整不等式的次数的.这里多次采用排序,使用契比雪夫不等式,使得证明完美.练习题1.设x1,x2,…,x n是正实数,n是正整数.证明:∏n i=1(1+x1+x2+…+x i)≥(n+1)n+1x1x2…x n. (2007,俄罗斯数学奥林匹克)(提示:对元素y1=x11+x1,y2=x2(1+x1)(1+x1+x2),y3=x3(1+x1+x2)(1+x1+x2+x3),……y n=x n(1+x1+…+x n-1)(1+x1+…+x n-1+x n),y n+1=11+x1+…+x n-1+x n应用均值不等式.)2.已知a、b、c都是正数,且ab+bc+ca =1.证明:a3+a+b3+b+c3+c≥2a+b+c.(2008,伊朗国家集训队试题)(提示:用条件ab+bc+ca=1将问题化为证明a(a+b)(c+a)+b(a+b)(b+c)+c(c+a)(b+c)≥2(a+b+c)(ab+bc+ca),之后应用柯西不等式和Schur不等式.)3.设a、b、c∈R+,且abc=1.证明:1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)≥32.(2008,塔吉克斯坦数学奥林匹克)(提示:先作变换a=xy,b=yz,c=zx,再用柯西不等式和均值不等式.)4.设a、b、c、d是正数,且1a+1b+1c+1d =4.证明:3a3+b32+3b3+c32+3c3+d32+3d3+a32≤2(a+b+c+d)-4.(2007,波兰数学奥林匹克)(提示:先用分析法证明3a3+b32≤a2+b2a+b.再用柯西不等式.)5.设a≥b≥c>0,x≥y≥z>0.证明:a2x2(by+cz)(bz+cx)+b2y2(cz+ax)(cx+az)+c2z2(ax+by)(ay+bx)≥34.(2000,韩国数学奥林匹克)(提示:先用均值不等式,再用柯西不等式和契比雪夫不等式.)6.已知x1,x2,…,x n是正实数,满足∑ni=1x i =∑ni=11x i.证明:∑ni=11n-1+x i≤1.(2007,波兰等国联合数学竞赛)(提示:令yi=1n-1+x i.利用柯西不等式结合反证法加以证明.)欢迎订阅《中等数学》2009年第6期:服务于全国高中数学联赛的专刊。

十大不等式放缩式

十大不等式放缩式
十大不等式放缩式包括以下几种：
1、均值不等式：这是最基础的不等式放缩式，用于处理一系列数值之间的关系。

2、琴生不等式：这是一个关于凸函数的不等式，用于在函数图像上寻找一些重要的性质。

3、柯西不等式：这是一个在数学分析中非常有用的不等式，可以用来处理一些复杂的不等式问题。

4、Cauchy-Schwarz不等式：这是线性代数中的一个重要不等式，可以用来处理向量之间的夹角问题。

5、切比雪夫不等式：这是一个关于随机变量的不等式，可以用来估计随机变量的范围。

6、哈代-温伯格不等式：这是一个关于概率分布的不等式，可以用来估计概率分布的性质。

7、博尔扎诺-瓦尔登不等式：这是一个关于可微函数的积分不等式，可以用来估计函数的积分范围。

8、詹森不等式：这是一个关于正态分布的不等式，可以用来估计正态分布的参数范围。

9、施瓦茨不等式：这是一个关于向量内积的不等式，可以用来估计向量内积的范围。

10、赫尔德不等式：这是一个关于函数范数的不等式，可以用来估计
函数范数的范围。

这些不等式在数学分析和应用数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数值关系和函数性质。

高中数学各种不等式定理的汇总

高中数学各种不等式定理的汇总在高中数学中，不等式理论是一个重要的部分，其中包括了各种不等式的定理。

这些定理在解决各类数学问题时起到了至关重要的作用。

下面是对几个常用不等式定理的汇总。

1.平均值不等式：平均值不等式又称柯西不等式，它是一种常用的不等式。

平均值不等式表明了若干个正数的平均值大于等于它们的几何平均值，而几何平均值又大于等于它们的算术平均值。

平均值不等式的形式可以表示为：对于任意正数 a1, a2, ..., an ，有(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)≥ (a1+a2+...+an)/n2.三角不等式：三角不等式是指三角函数的绝对值之间的不等关系。

对于任意实数a 和b，有：a+b，≤，a，+，ba-b，≤，a，+，bsin a + sin b，≤ 2sin a - sin b，≤ 2cos a + cos b，≤ 2cos a - cos b，≤ 2等等3.欧拉不等式：e^x≥x+14.伯努利不等式：伯努利不等式是一种数学归纳法的应用，它表示了一个正实数的n次幂的凸性。

伯努利不等式的形式如下：(1+x)^n ≥ 1 + nx，其中x ≥ -1 ，且 n 为自然数。

5.可加性不等式：可加性不等式表示了一个函数在两个变量相加时的不等关系。

对于任意实数a和b，有：f(a+b)≥f(a)+f(b)这仅是高中数学中常见的一些不等式定理，实际上还有许多其他不等式定理，如柯西-施瓦茨不等式，霍尔德不等式，杨辉三角不等式等等。

这些不等式定理在高等数学、概率论、数论等领域都有重要应用，能够帮助我们解决各类数学问题。

数学分析中几个重要不等式的矩阵形式

数学分析中几个重要不等式的矩阵形式在数学分析中，不等式的矩阵形式是一种在线性代数中应用的重要技术，它可以很容易地解决诸如最大化，最小化以及两个变量之间的不等式约束等问题。

本文将介绍不等式的矩阵形式，回顾六个重要的不等式，以及它们在数学分析中的应用。

不等式的矩阵形式是一种在线性代数中的重要方法，它可以用来表示和解决一系列有约束的数学问题。

具体来说，不等式的矩阵形式可以用来定义一组约束条件，从而可以很容易地最大化或最小化一组变量。

此外，这种方法还可以用来处理约束的不等式问题，使得每个约束条件都得到满足。

六个重要的不等式包括：最小元素大于0；最大一阶导数不小于0；最小二阶导数大于0；势能不能为负；可分解能量理论；最大距离不大于最小距离。

接下来会讲解这六个重要的不等式在数学分析中的应用，以及每个不等式的具体矩阵形式。

首先，最小元素大于0即矩阵A的所有元素都大于0，即A>0。

这个不等式可以用来从线性方程组中求出唯一的解。

在数学分析中，当矩阵A的全部元素都大于零时，它就可以用来证明最优解的唯一性，这是线性规划中重要的定理。

其次，最大一阶导数不小于0即矩阵A的所有元素乘以变量x的一阶导数不小于0，即A*x≥0。

在数学分析中，当矩阵A的全部元素乘以变量x的一阶导数不小于零时，它就可以推断出函数在该点的极值是极大值，从而可以有效地求出最大值。

第三，最小二阶导数大于0即矩阵A的所有元素乘以变量x的二阶导数大于0，即A*x>0。

它是求函数的极小值时的重要不等式，当矩阵A的全部元素乘以变量x的二阶导数大于零时，可以推断出函数在该点是极小值，从而可以有效地求出最小值。

第四，势能不能为负即矩阵A的所有元素加上变量x的值大于0，即A+x≥0。

在数学分析中，势能是一种能量守恒的能量概念，它有许多应用，包括热力学、动力学和流体力学等。

当矩阵A的全部元素加上变量x的值大于零时，可以推断出势能必须大于零，从而确保守恒原理得到满足。

53几个重要的不等式

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1．柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如 22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-= 将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OQ OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1）证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

几个重要的不等式及应用

几个重要的不等式及应用在近几年的各类试题(包括高考题)中，涉及到“柯西不等式”、“琴生不等式”、“排序不等式”、“贝努利不等式”的试题屡见不鲜、形式多样.作为高中学生和教师，对上述几个不等式有必要去了解一些基本问题.为此，下面我们将重点介绍这几个不等式及其应用，以飨读者.【柯西不等式】柯西不等式是高中数学中的选修内容，也在近几年的各类试题中频频现身.其考查重点主要放在求最值和不等式等号成立条件的应用这两个方面.1.柯西不等式及其证明设有两组实数: n a a a ,,,21 ;n b b b ,,,21 .则有，222112n 22212n 2221)()b b )(b a a (a n n b a b a b a +++≥++++++ .(当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号).证明:令),,,(),,,,(2121n n b b b b a a a a ==,则由||||||⋅≥,可得: ||a 22112222122221n n n n b a b a b a b b b a a +++≥+++⋅+++ , 从而 222112n 22212n 2221)()b b )(b a a (a n n b a b a b a +++≥++++++ .当且仅当λ=,即nn b a b a b a === 2211时取等号.说明：柯西不等式的证明方法较多，比如可构造二次函数或方程证明之.上述证明是较简单的一种证法.2.柯西不等式的应用例1.求函数y=asinx+bcosx 的最值，其中a ，b 是常数.解：∵ 22222222(sin cos )()(sin cos )y a x b x a b x x a b =+≤++=+，∴ y函数sin cos y a x b x =+有最小值−√a 2+b 2，最大值√a 2+b 2.例2.证明点到直线的距离公式：已知点P(x ，y 0)及直线l ：Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)，设点P到l 的距离为d. 求证：d =证明：设P1x 1，y 1)是l 上的任意一点，∴ 110Ax By C ++=.而|1PP |1010()()A x x B y y ≥-+-1010Ax Ax By By =-+-1100()Ax By Ax By =+-+=|Ax 0+By 0+C|，即 √A 2+B 2|PP 1|≥|Ax 0+By 0+C|. ∴ |1PP | 当且仅当1010y y B x x A-=-即1PP l ⊥时取等号.故得到点到直线的距离公式：d例3.设a ，b ，c 均为正实数，且a+b+c=1. 求证:3100)1()1()a 1(a 222≥+++++c c b b .证明:∵ (12+12+12)[222)1()1()a 1(a c c b b +++++]≥2)111(c c b b a a +++++=2)1111(cb a +++.又∵ (a+b+c)·)111(c b a ++≥33313abc abc ⋅=9，101111≥+++⇒cb a .∴ 3[222)1()1()a 1(a cc b b +++++]≥102,故 3100)1()1()a 1(a 222≥+++++c c b b (当且仅当a=b=c=13时取等号).例4.设a ，b ，c 均为正实数，且a+b+c=1. 求证：.3222333c b a c b a ++≥++证明：∵ (a+b+c)(a 3+b 3+c 3)=⋅++])()()[(222c b a ⋅++])()()[(232323c b a2333])()()([c c b b a a ++≥=(a 2+b 2+c 2)2，又∵ a+b+c=1，∴(a 3+b 3+c 3)()2222a b c ≥++①.由于 2222222223()(111)()a b c a b c ++=++++1)(2=++≥c b a ，∴ (a 2+b 2+c 2)≥13②. 由①②知原不等式成立.当且仅当a=b=c ==13时等号成立.例5.设实数a ，b ，c ，d 满足：a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5. 求实数a 的最值.解：∵ a+b+c+d=3，∴ b+c+d=3-a;；又∵a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5，∴ 2b 2+3c 2+6d 2=5- a 2.由于[222)61()31()21(++][222)6()3()2(c c b ++]≥(b+c+d)2.即 2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2，∴ 5- a 2≥(3-a)2,解得 1≤a≤2. 故a max =2； a min =1.想一想①1.设a ，b ，c ，x ，y ，z>0，且a 2+b 2+c 2=10，ax+by+cz=40，则 a+b+cx+y+z =( ). A.14. B. 13. C. 12.D. 34.2.设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1，x+2y+3z=√14，则x+y+z= .习题(1)1.设x ，y ，z ∈R +，证明：cb a ac c b b a 111222++≥++.2.已知x+2y+3z=12，求证：x 2+2y 2+3z 2≥24.3.设a ，b ，x 1，x 2∈R 且a+b=1,求证：(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.4.已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.5.设三角形ABC 的外接圆的半径为R ，求证：(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)≥36R 2.6.设1,1=∈∑==+ni i i i a R a . 求证:n n a a ni i i i 2221)1()1(+≥+∑==. 7.已知a 、b 、c ∈R +，求证：23≥+++++b a c c a b c b a .8.求证：222a b c a b c b c a c a b a b c ++≥+++-+-+-，其中a ，b ，c 为∆ABC 三边.9.已知椭圆22221(0),(,),(,)x y a b P x y Q x y a b''+=>>是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①222()a b x y +≥+；②2221111()x y a b +≥+；③224x b a y ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④221xx yy a b ''+≤. 其中不等式恒成立的序号是 .(填所有正确命题的序号).【排序不等式】排序不等式也是高中阶段的选修内容之一.对于此部分内容，要求我们对此有所了解，不作过高要求，能处理一些简单、基本的问题即可.1.排序不等式及其证明：设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211(同序)1212n j j n j a b a b a b ≥+++(乱序)1121b a b a b a n n n +++≥- (反序).其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列. 当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号(对任一排列n j j j ,,,21 )成立.证明：(调整法)考察1212k n j j k j n j a b a b a b a b +++++，若nj n b b ≠则存在，(11)k j b k n ≤≤-，使得k j n b b =，将n j b 与k j b 互换，调整后的和与调整前的和作差，()()()k n n k k n n k n j k j n j k j n j n j k j k j a b a b a b a b a b a b a b a b +-+=-+-()()()()0k n n n k j j n k n j a a b b a a b b =--=--≥.所以调整后，和是不减的，接下来若11n j n b b --≠，则继续同样的调整至多经1n -次调整就可将乱序和调整为同序和，而且每次调整后和是不减的，这说明同序和大于等于乱序和，同理可证乱序和大于等于反序和.2.排序不等式的应用例6.应用排序不等式证明切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则11221212.n n n na b a b a b a a a b b b n n n+++++++++≥⋅证明:∵ 同序和≥乱序和≥反序和，固定12,,,n a a a 的位置，让12,,,n b b b 进行轮换，轮换一周，恰好轮换1n -次，共得以下n 个式子112211112211n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ----++++≥++++，112211121121n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b -----++++≥++++， 112211112132n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ------++++≥++++， 1122111221143n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b -------++++≥++++，……………………………………………………112211122311n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++≥++++，将以上n 个式子相加得，11221212()()()n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++，即11221212.n nn na b a b a b a a a b b b nn n+++++++++≥⋅例7.设a ，b ，c 是三角形的三边长，且满足a+b+c=2p (定值).试求 f=a nb+c+b n c+a+c na+b ()n N +∈的最小值. 解：不妨设0a b c ≥≥>，则0n n n a b c ≥≥>，1110b c c a a b≥≥>+++. 由切比雪夫不等式 n n n a b c f b c c a a b =+++++()11113n n n a b c b c c a a b ⎛⎫≥++++ ⎪+++⎝⎭，由幂平均不等式有a n +b n +c n 3≥(a+b+c 3)n = (2p3)n ，又由柯西不等式有1b+c +1c+a +1a+b≥9(b+c )+(c+a )+(a+b)=94p ，于是f ≥(2p3)n ×94p =(23)n−2×p n -1，当且仅当a=b=c 时，等号成立. ∴ f min =(23)n−2×p n -1 .例8.设a 1，a 2，⋯，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1+12+13+⋯+1n ≤a 1+a 222+a 332+⋯+a nn2.证明：设b 1，b 2，⋯，b n ，是a 1，a 2，⋯，a n 的一个排列，且b 1<b 2<⋯<b n ，则，b 1≥1，b 2≥2，⋯，b n ≥n ，又1≥12≥13≥⋯≥1n ，由排序不等式得，a 1+a 222+a 332+⋯+a n n 2≥b 1+b 222+b 32+⋯+b nn 2≥⋯≥ 1+12+13+⋯+1n .例9.在∆ABC 中，证明：π3≤aA+bB+cC a+b+c <π2.证明：不妨设a ≤b ≤c ，则A ≤B ≤C ，由排序不等式得，aA +bB +cC ≥aA +bB +cC ， aA +bB +cC ≥bA +cB +aC ， aA +bB +cC ≥cA +aB +bC ，相加得 3(aA +bB +cC)≥(a+b+c)((A+B+C)，∴aA+bB+cC a+b+c≥π3.①又由a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ，得0<A(b+c -a)+B(c+a -b)+C(a+b -c) =a(π−2A )+ b(π−2B )+c(π−2C)=(a+b+c) π−2(aA +bB +cC )， ∴aA+bB+cC a+b+c<π2.② 综合①②知π3≤aA+bB+cC a+b+c<π2.想一想②:对任意实数a ，b ，c.求证：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac.你能给出多少种不同的方式，就尽情地给吧.习题(2)1.(清华自招理)(1)x ，y 为正实数，且x+y=1.求证：对于任意正整数n ，x n +y n ≥12.(2)a ，b ，c 为正实数，求证：a x+b y+c z≥3，其中x ，y ，z 为a ，b ，c 的一种排列. 2.设a ，b ，c 为2，3，5的任一个排列，n ∈N +.证明:a n+12n +b n+13n+c n+15n≥103.已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证(1) 1bc ≥1ca ≥1ab ； (2)a 5b 3c 3+b 5c 3a 3+c 5a 3b 3≥1a +1b +1c .【琴生不等式与函数的凸凹性】琴生不等式与函数的凸凹性之间关系密切.中学阶段的许多初等函数如二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都与函数的凸凹性有密切关联.而且，琴生不等式的应用在各类试题中层出不穷、变化很多.因此，适当地了解和应用与琴生不等式的相关知识，来处理相关问题，就显得十分必要了.1.凸函数的定义.设定义在[a ，b]上的连续函数f(x)，对于[a ，b]上任意两点x 1，x 2，都有f(x 1+x 22)≤f (x 1)+f(x 2)2，则称f(x)为[a ，b]上的下凸(凸)函数；反之，若有f(x 1+x22)≥f (x 1)+f(x 2)2，则称f(x)为[a ，b]上的上凸(凹)函数.2.琴生(Jensen)不等式.若f(x)是[a ，b]上的下凸(凸)函数，则f(x 1+x 2+⋯+x nn)≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )n.3.琴生(Jensen)不等式证明1)n=2时，由下凸(凸)函数性质知结论成立. 2)假设n=k 时命题成立，即f(x 1+x 2+⋯+x kk)≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )k.那么当n=k+1时，设A k+1= x 1+x 2+⋯+x k+1k+1，f(A k+1)=f((k+1)A k+1+(k−1)A k+12k)=f(x 1+x 2+⋯+x k k +x k+1+(k−1)A k+1k2)≤12[f(A k )+f(x k+1+(k−1)A k+1k)]≤12[f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )k+f(x k+1)+(k−1)f(A k+1)k]所以2k f(A k+1) ≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )+f(x k+1)+(k −1)f(A k+1)即(k+1) f(A k+1) ≤f (x 1)+f (x 2)++f (x k )+f(x k+1)，得证.4.加权平均琴生(Jensen)不等式若f(x)是[a ，b]上的下凸(凸)函数，且∑λi n i=1=1，λi >0 则f(∑λi x i n i=1)≤∑λi f(x i ni=1). 5.曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数.(1)如果对任意x∈I ，f ′′(x )>0，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； (2)如果对任意x∈I ，f ′′(x )<0，则y=f(x)在I 内是上凸的. 6.琴生不等式的应用例10.设x i >0(i=1，2，3，⋯，n )，∑x i n i=1=1，求证：1√1−x +2√1−x ⋯n√1−x ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n√n−1.证明:设函数f(x)=√1−x，则f ′(x )=2−x 2(1−x)32，f′′(x )=(1−x)32+3(1−x)124(1−x)3>0所以f(x)在(0，1)内下凸，则有，1n (1√1−x 2√1−x +⋯n √1−x )≥x 1+x 2+⋯+x kn√1−12k n，1√1−x 2√1−x ⋯+n √1−x ≥√n√n−1. 又由√x 1+√x 2+⋯+√x nn ≤√x 1+x 2+⋯+x kn于是 √n ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n ，故.11−x 21−x +⋯+n1−x ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n√n−1.例11.已知a ，b ，c>0，且a+b+c=1，求证：√a 1−a b 1−b c 1−c ≤13. 证明: ∵ln √a 1−a b 1−b c 1−c =12(1-a)lna+12(1-b)lnb+12(1-c)lnc ，又∵ f(x)=lnx 在(0，+∞)上是上凸函数，且12(1-a)+12(1-b)+12(1-c)=1. 由加权平均琴生不等式，得 12(1-a)lna+12(1-b)lnb+12(1-c)lnc ≤ln [12(1−a)a +12(1−b)b +12(1−c)c] =ln[12-12(a 2+b 2+c 2)]. 而a+b+c 3≤√a 2+b 2+c 23，∴ a 2+b 2+c 2≥13，-12(a 2+b 2+c 2) ≤−16，⇒12-12(a 2+b 2+c 2) ≤12−16=13，ln[12-12(a 2+b 2+c 2)]. 而 ⇒ ln[12-12(a 2+b 2+c 2)] ≤ln 13，即ln √a 1−a b 1−b c 1−c ≤ln 13，故√1−a b 1−b c 1−c≤13.例12.应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式：若α>β ，且α≠0，β≠0，x i >0，则(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.分析:∵(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β⇔∑x iαn i=1n≥(∑x iβn i=1n)αβ⇔∑(x i β)αβn i=1n≥(∑x iβn i=1n)αβ，因此，可构造f(x)=x αβ来处理.证明：当α>β>0时，∵ f(x)=x αβ为下凸函数， ∴ (x 1+x 2+⋯+x nn)αβ≤x 1αβ+x 2αβ+⋯+x nαβn，⇒(x 1+x 2+⋯+x nn)1β≤(x 1αβ+x 2αβ+⋯+x n αβn)1α.在上式的两边用x i β代替x i ，可得，(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.又当α>0>β和0>α>β时，类似地可得同样的结论. ∴ 若α>β ，且α≠0，β≠0，x i >0，则(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.说明：(∑x iαn i=1n )1α≥(∑x iβn i=1n)1β两边同形，把x i β看成x i 是关键.由幂平均不等式还可得，√a 3+b 3+c 333≥√a 2+b 2+c 23(三个正数的立方平均数不小于三个正数的平方平均数).想一想③:1.设x 1，x 2，⋯，x n 是正实数，求证：√x 1x 2⋯x n n ≤x 1+x 2+⋯+x nn.2.设x 1，x 2，⋯，x n ∈(0，π)，则有：sin x 1sinx 2⋯sinx n ≤sin nx 1+x 2+⋯+x nn.习题 (3)1.在圆内接边形中，试证明正边形的面积最大.2.设m ≥2是实数，则在∆ABC 中，有tan A m +tan B m +tan C m ≥3tan π3m . 3.设a>0，b>0，且a+b=1，求证：√1+a 2+√1+b 2≥√5.. 4.已知函数g(x)=xlnx ，0<a<b ，证明：g(a)+g(b)>2g(a+b 2).5.若x i ≥0，且x 1+x 2+⋯+x n =100，求证：10≤√x 1+√x 2+⋯+√x n ≤10√n .6.已知x ≥3.(1)当0<t<1时，有不等式x t -(x -1)t <(x -2)t -(x -3)t . (2)当t>1时，有不等式x t -(x -1)t >(x -2)t -(x -3)t .7.设P 是∆ABC 内一点，求证：∠PAB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于300.8.设0<x i <π(i=1，2，⋯，n)，且x=x 1+x 2+⋯+x n n .证明：∏sinx i x i≤|sinx x|nn i=1. n n【贝努利不等式】1.贝努利不等式及其证明对任意整数n≥0和任意实数x≥-1，有(1+x)n ≥1+nx 成立.如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x 成立.在n = 0，1或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有严格不等式：(1+x)n>1+nx.贝努利不等式经常用来辅助证明其它不等式. 证法1：(数学归纳法).(1)当n=1时，不等式显然成立.当n=2时，(1+x)2=1+2x+x 2≥1+2x..(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立，即 (1+x)k >1+kx.当n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx 2>1+(k+1)x ，即当n=k+1时不等式也成立. 综上可知贝努利不等式成立证法2：联想到x n -y n =(x -y)(x n -1+x n -2y+x n -3y 2+⋯+xy n -2+y n -1)，∴ (1+x)n -1=x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]. 当x>0时，(1+x)k >1，∴ x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]>nx ，即 (1+x)n -1>nx ，∴ (1+x)n >1+nx.当-1<x<0时，有0<(1+x)k <1，可得 (1+x)n -1+(1+x)n -2+…+(1+x)+1<n ， ∴ x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]>nx ，即 (1+x)n -1>nx ，∴ (1+x)n >1+nx. 证法3：当1+nx ≤0时，∵ (1+x)n >0，∴(1+x)n >1+nx ①当1+nx >0时，由(1+nx)∙1∙1∙⋯∙1⏟ n−1个<[1+nx+(n−1)n]n=(1+x)n ②由①②知，原不等式成立.证法4：欲证原不等式，只需要证1+nx (1+x)n <1即可. 设a n =1+nx(1+x)n ，∵ a n+1-a n =1+(n+1)x (1+x)n+1−1+nx (1+x)n=1+(n+1)x−(1+nx )(1+x)(1+x)n+1=−nx 2(1+x)n+1<0，∴ {a n }为单减数列，故a n <a 1=1. 故原不等式成立. 2.贝努利不等式推广到实数幂形式：若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)r ≥ 1 + rx ；若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)r ≤ 1 + rx . 这个不等式可以直接通过导数进行证明，过程如下：证明：如果r=0，1，则结论是显然的.如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)r -(1+rx)，那么f ′(x)=r(1+x)r-1-r ，则f ′(x)=0等价于x=0.下面分情况讨论：(1)0<r<1，则对于x>0，f ′(x) <0. 对于− 1<x<0， f ′(x)>0. 因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)r ≤1+rx.(2) r<0或r>1，则对于x>0， f ′(x) >0.对于− 1<x<0， f ′(x)< 0. 因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)r ≥1+rx.证毕.3.贝努利不等式的应用例15.已知p 和q 是两个不相等的正整数，若q≥2，则lim n→∞(1+1n )p −1(1+1n )q −1=( ).A.0.B.1.C.pq.D. p−1q−1.解：根据贝努利不等式可知当x →0时，(1+x)m =1+mx ，故对于此题有当n →∞有(1+1n )p =1+p n ，(1+1n )q =1+q n ，∴lim n→∞(1+1n )p −1(1+1n)q −1 =lim n→∞1+pn−11+q n−1=p q 故应选C.例16.已知m ，n 为正整数，(1)用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m ≥1+mx.(2)对于n≥6，m≤n.已知(1−1n+3)n <12.求证(1−m n+3)n <(12)m，m=1，2，3，…. (3)求出满足等式3n +4n + ⋯ +(n+2)n =(n+3)n 的所有正整数n ．证明:(1)(数学归纳法).(i)当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x 2，右边=1+2x ，因为x 2 ≥0，所以左边≥右边，原不等式成立.(ⅱ)假设当m=k 时，不等式成立，即(1+x)k ≥1+kx ，则当m=k+1时， ∵ x>-1，∴ 1+x>0，于是在不等式(1+x)k ≥1+kx 两边同乘以1+x 得，(1+x)k+1=(1+x)k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx 2>1+(k+1)x ，即当m=k+1时，不等式也成立．综合(i )(ⅱ)知，对一切正整数m ，不等式都成立．证明:(2)当n ≥6，m ≤n 时，由(1)得(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0，于是，(1−m n+3)n≤(1−1n+3)mn =[(1−1n+3)n ]m <(12)m，m=1，2，⋯，n.解：(3)由(2)知，当n ≥6时，(1−1n+3)n +(1−2n+3)n +(1−3n+3)n +⋯+(1−n n+3)n <12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n=1-(12)n <1，∴ (n+2n+3)n + (n+1n+3)n +⋯+ (3n+3)n<1，即 3n +4n +⋯+(n+2)n <(n+3)n . ∴当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论n=1，2,3,4,5的情形：当n=1时，3≠4，等式不成立.当n=2时，32+44=52，等式成立. 当n=3时，32+44+52=63，等式成立；当n=4时，32+44+52+62为偶数，而74为奇数，故等式不成立.当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有n=2，3.例17.设函数f(x)=(1+1n )x . (1) 当x =6时，(1+1n )x 求的展开式中二项式系数最大的项.(2)对任意的实数x ，证明f (2x )+f(2)2>f ′(x)( 其中f ′(x )为f (x )的导数)；解:(1)展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C 6315(1n)3=20n 3.(2)∵ f(2x)+f(2)= (1+1n )2x +(1+1n )2≥2√(1+1n )2x∙(1+1n )2=2(1+1n )x∙(1+1n )>2(1+1n )x>2(1+1n )x∙ln (1+12)≥2(1+1n )x∙ln (1+1n)=2f ′(x).想一想④：1.已知m ，n 是正整数，且1<m <n.. 求证：(1+m)n >(1+n)m .2.设n ∈N +，n >1， t>0，则有 t n ≥nt −n +1.习题 (4)1.设a ，λ>0，n ∈N +，n>1，则a n ≥n λn -1a -(n -1) λn .2.设a ，b>0，n ∈N +，n>1，则a nb ≥na -(n -1)b.3.设a ，b 是两个不等正数，求证：a a b b >(a+b 2)a+b. 4.设α，β，γ均为锐角，且sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ=1. 求证：sin 3α+ sin 3β+ sin 3γ≥√33.【参考答案】想一想①1.C.由柯西不等式知(x 2+y 2+z 2)(a 2+b 2+c 2)≥(ax+by+cz)2，由已知应求等号成立的条件，即 x a =y b =zc =k 代入条件式的前两个中有，k 2(a 2+b 2+c 2)=40，∴ k 2=4，k=2，故应选C.2.由柯西不等式知(12+22+32)(x 2+y 2+z 2) )≥(x+2y+3z)2，结合已知条件得x1=y2=z3，从而解得 x1=y2=z3=√1414，x+y+z=3√147. 习题 (1)1.利用[(a )2+(√b)2+(c )2][ (√ab )2+(√bc )2+(√ca )2]≥(1a +1b +1c )2.2.利用[12+(√2)2+(√3)2][x 2+(√2y )2+(√3z )2] ≥(x+2y+3z)2. 3.利用[√ax 1)2+(√bx 2)2][ (√ax 2)2+(√bx 1)2] ≥[(a+b)√x 1x 2]2=x 1x 2.3.利用(12+12+12)[ (√4a +1)2+(√4b +1)2+(√4c +1)2] ≥(√4a +1+√4b +1+√4c +1)2. 5.利用正弦定理将a 2+b 2+c 2换成4R 2(sin 2A+sin 2B+ sin 2C). 6.仿例3.7.左边=(ab+c +1)+(ba+c +1)+(ca+b +1)−3=(a+b+c)( 1b+c +1a+c +1a+b ) ≥92−3=32. 8.利用[(b+c -a)+(c+a -b)+(a+b -c)](a 2b+c−a+b 2c+a−b+c 2a+b−c) ≥(a+b+c)2.9.都正确.其中①②④由柯西不等式可得. ③可由二元均值不等式得出.想一想②:法1.求差配方.法2.利用二元均值不等式. 法3.利用柯西不等式. 法4.利用排序不等式.法5.构造函数f(a)=a 2-(b+c)a+b 2+c 2-bc ，考查其判别式∆=(b+c)2-4(b 2+c 2-bc)= -3(b -c)2≤0，∴ f(a )≥0恒成立.即可得原不等式成立.法6.构造函数f(x)=(a 2+b 2+c 2)x 2-2(ab+bc+ac)x+(a 2+b 2+c 2)=(ax-b)2+(bx-c)2+(cx-d)2≥0恒成立，∴ 由判别式∆≤0可得不等式成立.习题 (2)1. (1)法1：设x= 12+α，则y=12−α，其中α≥0.于是x n +y n =( 12+α)n +(12−α)n =2[(12)n +C n 2(12)n -2α2+C n 4(12)n -4α4+⋯+1≥2×(12)n =(12)n -1.法2：当n=1时，x n +y n =1≥(12)n -1成立. 当n ≥2时，显然函数f(x)=x n 在(0，+∞)上是下凸函数，∴f(x)+f(y)≥2f(x+y 2)= (12)n -1成立.(2)不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c，且{1a ，1b ，1c }={1x ，1y ，1z }，由排序不等式ax +by +cz ≥ aa +bb +cc =3.2.a n+1，b n+1，c n+1，从小到大的顺序是2n+1<3n+1<5n+1.,而12n >13n >15n .所以a n+12n+b n+13n +c n+15n≥12n ∙2n+1+13n ∙3n+1+15n ∙5n+1=2+3+5=10.3.证明：(1)∵ abc>0，a ≥b ≥c 同除以abc ，∴ 1bc ≥1ac ≥1ab ，(2)由(1)1bc≥1ac≥1ab，于是由顺序和乱序和得a 5b 3c 3+b 5c 3a 3+c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3+c 5c 3a 3+a 5a 3b 3=b 2c 3+c 2a 3+a 2b 3≥c 2c 3+a 2a 3+b 2b 3=1a +1b +1c .想一想③:1.证明：∵ f(x)=lgx 在(0，+∞)是上凸函数，由琴生不等式得，1n (lgx 1+lgx 2+⋯+lgx n )≤lg (x 1+x 2+⋯+x nn)，⇒lg(x 1x 2⋯x n )1n≤lg (x 1+x 2+⋯+x nn)，又∵ lgx 在R +上是增函数，∴ (x 1x 2⋯x n )1n≤x 1+x 2+⋯+x nn.2. ∵ x 1，x 2，⋯，x n ∈(0，π)，∴ sinx i >0. ∵ g(x)=sinx 在(0，π)上是凸函数，∴ sin x 1+sinx 2+⋯+sinxn n≤sin x 1+x 2+⋯+xnn ①. 又 ∵ f(x)=lgx 在(0，+∞)是上凸函数，由琴生不等式得，∴1n(lgsinx 1+lgsinx 2+⋯+lgsinx n )≤lg (sinx 1+sinx 2+⋯+sinx nn)②.由①②得，1n (lgsinx 1+lgsinx 2+⋯+lgsinx n )≤lgsin x 1+x 2+⋯+x nn可得 sin x 1sinx 2⋯sinx n ≤sin nx 1+x 2+⋯+x nn.习题 (3)1.设圆半径为r ，内接正n 边形的面积为S ，各边所对圆心角分别为θ1，θ2，⋯，θnS=12r 2(sinθ1+sin θ2+⋯+sin θn ). 函数f(x)=sinx 在(0，π)上是上凸函数(∵ f ′′(x )=−sinx <0)，∴sin θ1+sinθ2+⋯+sinθnn≤sinθ1+θ2+⋯+θnn故S=12r 2(sinθ1+sin θ2+⋯+sin θn )≤12r 2nsin 2πn. 当θ1=θ2=⋯=θn =2πn时，正n 边形的面积最大，最大值为12r 2nsin 2πn . 2.当m ≥2时，∵ f′′(x )=2sin xm m 2cos3x m>0，∴ f(x)=tan xm 在(0，π)上是下凸函数.∴ tan Am +tan Bm +tan Cm ≥3tanA m +B m +C m3≥3tan π3m .3.∵ f(x)=√1+x 2的图像是等轴双曲线y 2-x 2=1的上支，在区间R 上是下凸函数， ∴f (a )+f(b)2≥f(a+b 2)=f(12)=√52，故√1+a 2+√1+b 2≥√5.4.∵ g ′(x )=lnx +1，g ′′(x )=1x >0，∴ g(x)=xlnx 在(0，+∞)上是下凸函数，故原不等式成立.. 5.由y √x 为上凸函数，有√x 1+√x 1+⋯+√x nn≤√x 1+x 2+⋯+x n n=10√n ，∴ √x 1+√x 1+⋯+√x n ≤10√n .∵ (√x 1+√x 1+⋯+√x n )2=x 1+x 2+⋯+x n +2(√x 1x 2+√x 1x 3+⋯+√x n−1x n ) ≥x 1+x 2+⋯+x n =100，∴ √x 1+√x 1+⋯+√x n ≥10，故原不等式成立.. 6.设f(x)=x t ，则 f ′(x )=tx t−1，f ′′(x )=t(t −1)x t−2则，(1)当0<t<1时，f ′′(x )=t(t −1)x t−2<0，f(x)=x t 在(0，+∞)上是上凸函数， ∴f (x )+f(x−2)2<f (x+x−22)=f(x −1).(因为，所以等号不能取).∴ f(x)-f(x -1)< f(x -1) -f(x -2)，递推得f(x -1)-f(x -2)< f(x -2) -f(x -3)，从而有f(x)-f(x -1)< f(x -2) -f(x -3)，故x t -(x -1)t <(x -2)t -(x -3)t .(2)当t>1时，f ′′(x )=t(t −1)x t−2>0，f(x)=x t 在(0，+∞)上是下凸函数，类似(1)可证x t -(x -1)t >(x -2)t -(x -3)t .7.如图，引进α，β，γ和α′，β′，γ′，由正弦定理，PB sinα=PA sinβ′，PC sinβ=PB sinγ′，PC sinα′=PAsinγ， ∴ sinαsinβsinγ= sinα′sinβ′sinγ′.设 f(x)=lnsinx ，则f ′(x )=cosx sinx ，f ′′(x )=−1sin 2x <0，∴ f(x)在(0，π)上是上凸函数∵ ln(sinαsinβsinγ)2=ln(sinαsinβsinγsinα′sinβ′sinγ′)=ln sinα+lnsinβ+lnsinγ+lnsinα′+lnsinβ′+lnsinγ′ ≤6lnsinα+β+γ+α′+γ′6=6ln 12=ln (12)6，∴ sinαsinβsinγ≤(12)3，于是sinα，sinβ，sinγ中必有一个不大于12，不妨设sinα≤12，当α≤300时命题成立；2x x ≠-11当α≥1500时，必有β′≤300，命题也成立.8.由0<x i <π(i=1，2，⋯，n)，得x=x 1+x 2+⋯+x n n ∈(0，π)，∴ |sinx x |=sinx x .设f(x)=ln sinx x ，x ∈(0，π)，则f(x)=lnsinx -lnx ，f′′(x )=sin 2x−x 2x 2sin 2x <0，可得y=f(x)在(0，π)时上是上凸函数，∴ f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )n ≤f(x 1+x 2+⋯+x n n )，即f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )≤n f(x)，∴∏sinx ix i ≤|sinx x|n n i=1. 想一想④：1.∵ 1<m<n ，n m >1 .由贝努利不等式(1+m )n m >1+n m ×m =1+n ，∴ (1+m)n >(1+n)m . 2由t n =[1+(1-t)]n ，利用贝努利不等式即可证. 习题 (4)1.∵ a n =λn (a λ)n ，由贝努利不等式可得，a n =λn (a λ)n =λn [1+(a λ)-1]n ≥λn [1+n(a λ−1]=n aλn -1-(n -1) λn . 2.由 a nb n−1=b(a b )n =b[1+(a b −1)]n ，再利用贝努利不等式可得. 3.∵ (2a a+b )a b +1= [1+(2a a+b −1)]a b +1>1+(a b +1) (2a a+b −1)= a b ， ∴ (2a a+b )a >(a b )ab a+b ①. 同理可得： (2b a+b )b >(b a )ab a+b ②.由①②可得， (2a a+b )a (2b a+b )b >1，∴ 原不等式成立. 4.由想一想④第2题的结论得(√33sinα)3≥3(√33sinα−1)+1，即 2sin 3α≥√3sin 2α−√39，同理2sin 3β≥√3sin 2β−√39，2sin 3γ≥√3sin 2γ−√39，三式相加得， 2(sin 3α+ sin 3β+sin 3γ) ≥√3(√3sin 2α+√3sin 2β+ sin 2γ) −√39×3=2√33 ∴ 原不等式成立.。

高中几个重要的不等式_概述及范文模板

高中几个重要的不等式概述及范文模板1. 引言1.1 概述本文将介绍高中数学中几个重要的不等式，包括不等式A、不等式B和不等式C。

这些不等式在解题过程中具有重要的应用价值，可以帮助我们推导出更多的结论，并在数学问题中起到重要的作用。

1.2 文章结构本文分为四个部分进行讨论。

首先是引言部分，对文章的整体内容进行概括和说明。

接下来是高中几个重要的不等式的介绍，详细介绍每个不等式的定义、性质以及应用场景。

然后是利用不等式解题方法的应用实例，通过具体问题演示如何运用这些不等式进行解题。

最后是进一步探讨和拓展不等式的运用范围和意义，以及对其未来发展趋势做出一定展望。

1.3 目的本文旨在向读者介绍高中数学中几个重要的不等式，并通过实例演示其在解题过程中的应用方法。

通过阅读本文，读者将能够掌握这些不等式的基本原理和思想，并且能够灵活运用它们来解决各种数学问题。

同时，通过进一步探讨和拓展，读者也将更加深入地理解不等式在数学领域中的运用范围和意义，并为其未来发展提供一定的思考方向。

2. 高中几个重要的不等式的介绍：2.1 不等式A不等式A是高中数学中一个重要的不等式，它描述了一种关系，在数值大小比较方面具有特殊的意义和价值。

该不等式通常用于求解问题并进行推导和证明。

它的形式可以是单变量不等式，也可以是多变量不等式。

在解决实际问题时，我们常常会遇到一些限制条件或约束条件，这时就需要使用不等式A来建立条件模型，并找出符合要求的解。

举个例子，当我们想要确定一条线段上各点之间距离之和最小的点时，我们可以应用不等式A来进行求解。

2.2 不等式B不等式B是高中数学中另一个重要的不等式，它广泛应用于函数、极限、导数、积分和概率论等领域。

它可以用于描述函数图像的性质以及各种变化趋势。

在证明一些基本定理和推论时，我们经常需要利用到不等式B。

例如，在研究函数极值时，我们可以通过对该函数取导数为0并运用不等式B来找到所有可能的极值点，并进一步判断其类型。

几个重要的不等式

高二数学竞赛讲义一——几个重要的不等式证明不等式的常用方法，除了我们比较熟悉的比较法，分析法，综合法，放缩法，变量代换法等以外，有时还需运用以下一些重要的不等式来加以解决：1. 平均不等式设11(1,2,,)ni i i a R i n a n +=∈=≥∑ ，则,当且仅当12n a a a === 时等号成立。

2. 排序不等式设有两个有序数组12n a a a ≤≤≤ 及12n b b b ≤≤≤ ，则1122n n a b a b a b +++ （顺序和）1122j j n jn a b a b a b ≥+++ （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++ （倒序和），其中12,,,,n j j j n 是1,2,的任一排列，当且仅当12n a a a === ，或12n b b b === 时等号成立。

利用排序不等式可以得到切比雪夫不等式：若12n a a a ≤≤≤ 及12n b b b ≤≤≤ ，则111111nnn n i i i i i n i i i i i a b a b a b n +-====≥≥∑∑∑∑ 。

利用排序不等式及切比雪夫不等式，证明其它不等式的关键是构造出两个合适的有序数组。

3. 柯西不等式设21,(1,2,,)()ni i i i i a b R i n a b =∈=≤∑ ，则2211n ni i i i a b ==∑∑ ,等号当且仅当1212n na a ab b b === 时成立（约定0i a =时，0i b =）。

运用柯西不等式，证明不等式的关键是构造两组数，并依照柯西不等式的形式进行探索。

在遇到分式型不等式时，通常运用柯西不等式的一些变形。

实践探索：1. 在锐角ABC ∆中，,,cos cos cos ,2a b ca b c P Q a C b B c A P Q ++<<==++记则，的关系为（）（A ）P 〈Q （B ）P =Q （C ）P 〉Q （D ）不能确定2. 已知121212,ax bx bx ax y y a b a b++==++12a,b,x ,x 为互不相等的正数，，则y y 12与12x x 的关系适合（）y y x y y x y y x 121212121212（A）<x （B）=x （C）>x （D）不能确定3. 已知12n a a a >>> ，设()21223111111,n n nn m n a a a a a a a a --=+++=---- ，则有（）≥≤（A）m<n （B）m>n （C）m n （D）m n4. 若226,x y z y z ++=++2则x 的最小值为。