2.3双曲线与直线_中点弦
双曲线抛物线知识点大总结绝对好和全
双曲线抛物线知识点⼤总结绝对好和全第⼆章 2.3 双曲线双曲线标准⽅程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a by a x 标准⽅程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a bx a y 定义第⼀定义：平⾯内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（⼩于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a MFMF M 221=-()212F F a <第⼆定义：平⾯内与⼀个定点F 和⼀条定直线l 的距离的⽐是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。
定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离⼼率。
范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈对称轴x 轴，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b对称中⼼原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c - 2(,0)F c1(0,)F c - 2(0,)F c焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c =顶点坐标（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a )xy P1F 2F xy P xyP1F2FxyxyP1F 2F xyxyP1F 2F xy P离⼼率 e ace (=>1)= 准线⽅程 ca x 2±=ca y 2±=准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 22顶点到准线的距离顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为ca a 2-顶点1A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a ca +2焦点到准线的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为cac 2-焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c ca +2渐近线⽅程x a b y ±= x b a y ±=共渐近线的双曲线系⽅程k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-2222（0k ≠）1. 双曲线的定义①当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表⽰点M 在双曲线右⽀上；当a MF MF 212=-时，则表⽰点M 在双曲线左⽀上；②注意定义中的“（⼩于12F F ）”这⼀限制条件，其根据是“三⾓形两边之和之差⼩于第三边”。
直线与双曲线 点差法与中点弦
直线与双曲线点差法与中点弦一、切线类型：1、双曲线内、原点：0条；2、双曲线上、渐近线（非原点）上：1条；3、双曲线外非渐近线上：2条双曲线与渐近线之间：与一支两切线两渐近线之间：与两支各一条切线二、直线与双曲线的位置关系：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条、细分如下：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域②③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑥：即过原点，无切线，无与渐近线平行类比：双曲线中点弦存在性的探讨规律：点差法求中点弦方程时，椭圆、抛物线内的点为中点中点弦方程不用检验，中点在渐近线和曲线上或它们之间的空隙区域，符合条件的方程都是增解；其它区域内的点为中点的弦的方程都符合题意。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．当在区域Ⅰ内时，有；当在区域Ⅱ内时，有．当在区域Ⅲ内时，有．利用上述结论，可以证明：当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：设双曲线的弦两端点为，，中点为，则，．运用点差法得出的斜率．①令直线的方程为即．②把②代入，整理得．．③把①代入③，整理得．若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（ D ）（A）（B）（C）（D）不存在分析：将及联立得．此时，，则选（D）．若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．-------------------------------------------------------------------------------------点差法求双曲线的中点弦方程时产生增根的原因分析。
直线与双曲线的相交弦问题
v1.0 可编辑可修改直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =-+-②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
双曲线中点弦公式推导过程
双曲线中点弦公式推导过程1. 双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上一个重要的几何图形，它有许多重要的性质。
双曲线的一般方程通常可以写成x²/a² - y²/b² = 1 或 y²/b² - x²/a² = 1其中a和b是双曲线的参数，通常分别代表横轴和纵轴上的半轴长度。
双曲线还有等价的参数方程和极坐标方程，但在推导中点弦公式时，我们将主要使用一般方程。
双曲线上的点(x, y)满足上述方程，而且即使a和b相同，也需要注意双曲线有两个分支。
这些分支通常被称为“右侧分支”和“左侧分支”，它们分别在x轴的正半轴和负半轴上展开。
这是因为双曲线是非闭合曲线，所以它会延伸至无穷远。
2. 双曲线上的中点弦接下来，我们将讨论双曲线上的中点弦。
给定双曲线上的两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过以下步骤讨论其中点弦的性质。
首先，我们需要找到这两个点的中点M。
中点M的坐标可以表示为[(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]接下来，我们考虑中点M与点A和点B之间的连线。
这条线段被称为弦，而中点M恰好是这条弦的中点。
由于中点弦的性质，它与弦上的任意一点C的距离都等于MC的长度。
3. 推导双曲线中点弦公式为了推导双曲线中点弦公式，我们可以使用代数和几何的方法。
我们需要查找双曲线上任意两点的中点坐标，然后推导出与这两点中点弦相关的方程。
我们可以假设双曲线的一般方程为x²/a² - y²/b² = 1然后，我们可以选择双曲线上任意两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，并找到它们的中点M。
得到中点坐标后，我们可以结合双曲线的方程和中点弦的性质，得到我们需要的中点弦方程。
这个过程可能会有些复杂，因为我们需要考虑双曲线的参数a和b，并将中点坐标代入双曲线方程中。
在推导中点弦公式时，需要注意到双曲线行为的非对称性，因此需要分别计算右侧分支和左侧分支的中点弦。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是一种重要而有趣的数学曲线。
在我们探索双曲线的性质时，中点弦的存在定理是一个关键性的概念。
中点弦的存在定理表明，对于任意一条双曲线上的两点，我们总能通过连接这两点的线段，找到一条与该线段平行的双曲线的弦，并且该弦的中点就是原始双曲线上这两点的中点。
为了更好地理解这个定理，让我们以一个有趣的例子来说明它的应用。
假设我们有一条双曲线，它的两个焦点分别为A和B。
现在我们要找到这个双曲线上一点P与A、B点构成的线段的中点的对应的弦。
首先，我们连接点A和B，得到线段AB。
然后，我们画一条与线段AB平行的直线，并将这条直线延长，使其与双曲线相交于两个点C 和D。
根据中点弦的存在定理，我们知道线段CD就是我们要找的双曲线上与线段AB的中点对应的弦。
此外，由于线段CD与线段AB平行，我们可以得出线段AB与线段CD的中点是重合的。
这个例子展示了中点弦的存在定理的应用。
通过连接双曲线两点的线段，并找到与之平行的双曲线的弦，我们可以找到双曲线上任意两点的中点。
这个定理在几何学和数学分析中有广泛的应用。
它不仅可以用于计算双曲线上两点之间的距离，还可以用于证明双曲线的对称性和其他性质。
对于学习和研究双曲线的人来说，中点弦的存在定理是一个非常重要的工具。
它允许我们通过连接双曲线上的两点来发现更多关于曲线的性质，并帮助我们更好地理解双曲线的几何特征。
总之，中点弦的存在定理为我们探究双曲线提供了一个有力的工具。
通过连接双曲线上的两点并找到与之平行的弦，我们可以找到双曲线上这两点的中点，并进一步探索曲线的性质。
无论是在几何学还是数学分析中，中点弦的存在定理都是一个重要的概念，并具有广泛的应用价值。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是数学中的一种重要曲线，具有许多有趣且值得研究的性质。
其中一个重要的性质就是中点弦的存在定理。
这个定理为我们提供了一种方法来确定双曲线上的中点，并使我们能够更好地理解双曲线的几何特征。
首先，让我们来了解一下什么是双曲线。
双曲线是平面上的一个曲线，其定义方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$是正实数。
双曲线的形状类似于一个开口的弧，具有两个分支。
在这两个分支之间存在一个对称轴，我们称之为中心轴。
现在，我们来介绍中点弦的概念。
中点弦是指双曲线上的两个点，并且这两个点分别在双曲线的两个分支上。
这两个点的连线称为中点弦。
我们要证明的是，对于给定的双曲线，总是存在一个中点弦。
为了证明中点弦的存在定理，我们需要运用一些数学知识和技巧。
首先，我们先选取双曲线上的两个点$P$和$Q$。
我们将这两个点的连线称为弦。
根据双曲线的定义方程，我们可以得到点$P$和点$Q$在双曲线上的坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$。
由于$P$和$Q$在双曲线上，它们满足方程$\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$和$\frac{x_2^2}{a^2} - \frac{y_2^2}{b^2} = 1$。
我们可以设中点弦的中点为$M$，坐标为$(x_M, y_M)$。
由于$M$是$P$和$Q$连线的中点，我们可以得到$x_M = \frac{x_1 +x_2}{2}$和$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$。
现在，我们来证明中点弦的存在。
假设$P$和$Q$不在同一条直线上，也即$x_1 \neq x_2$。
这意味着中点弦的中点$M$的横坐标$x_M$是一个确定的值，不会造成问题。
接下来，我们需要证明中点弦的纵坐标$y_M$是否存在。
我们可以通过将$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$代入双曲线的定义方程中，得到$\frac{x_M^2}{a^2} - \frac{y_M^2}{b^2} = 1$。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦定理是几何学中的重要定理之一，它是由著名的欧拉在18世纪提出的。
它的定义是：两个双曲线的棱的交点连成直线，如果该直线与另一对双曲线的棱的交点融合，则称为双曲线中点弦结论。
双曲线中点弦定理可以用向量的方法描述，即：设$\triangle PQR $ 为双曲线$C_1$和$C_2$交于点$Q$ 所围成的三角形，则
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RQ}$ 。
由双曲线中点弦定理，可以得出其推论：
1、如果双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱形成一个平行四边形，则沿着平行四边形轮廓线的每一条棱可以找到一对双曲线的棱的交点。
且这两点构成的直线，又能够与另一对双曲线棱的交点融合。
2、两个双曲线$C_1$和$C_2$ 的棱两两形成的角必定为45°
3、设双曲线$C_1$ 和$C_2$有N对棱，则两对棱形成的角必定为45° · (N-1)°.
以上总结出双曲线中点弦定理的三条推论，然而双曲线中点弦定理还有更多用处：
（1）双曲线中点弦定理可以用来研究椭圆、双曲线上的几何问题；
（2）双曲线中点弦定理可以用来求解全等图形，如两个椭圆形成的四边形如何形成；
（3）双曲线中点弦定理可以用来寻找椭圆、双曲线上点的位置。
实际上，双曲线中点弦定理可以发现或解释许多在几何学中见到的特殊现象，所以它是几何学中一个重要的定理。
它的推论可以帮助我们更好的理解双曲线的特点，而它的其他用处也能够展示出双曲线中点弦定理在几何学中的重要性。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论
双曲线是几何学中一类特殊的曲线，与椭圆、圆等曲线相比，双曲线的几何性质较为复杂，其中一个重要结论就是点弦结论，它被广泛应用于各类理论分析和数学运算中。
双曲线中点弦结论是16世纪哥白尼发现的一个重要定理，其原
理是：一个双曲线上任意一点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，形成一条直线，则这条直线必然能够在双曲线上切出另一点。
简言之就是：任意一个双曲线上的点都可以成另一点，形成弦的线段，因此双曲线的每一点都可以通过另一个点来表示。
以双曲线方程及经典点弦结论为例，双曲线的定义式如下：
x2/a2 - y2/b2 = 1
其中a、b分别是该双曲线的两个焦距，可以根据该公式判断出
双曲线的位置、类型甚至结构，并进而得出结论。
双曲线点弦定理指出：任意一个双曲线上的点，如果将此点与该双曲线上另一点相连，则该线段必然也在双曲线上，而不是该双曲线的对称轴或附近的曲线上。
此外，每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，这意味着双曲线上的每个点都可以通过另一个点来描述，这就是双曲线中点弦结论。
点弦结论在几何学中有重要应用，它可以用来解决不少复杂的几何问题，例如：双曲线的对称性、对称轴及其他特性，还有双曲线上任意点的位置及线段的位置等等。
此外，双曲线点弦定理也可以用来求解其他几何形状的面积等问
题，可以用来求解自然界的复杂现象，例如：地球的重力场、电磁场等；也可以用于物理学、力学等物理知识的求解过程。
总之，双曲线中点弦定理是一种重要且有效的定理，其主要原理是可以将双曲线上的任意一点，通过另一点相连而形成弦的线段，并且每条线段上的中点，都是该双曲线上的一个点，此定理具有较强的实用性，有着广泛的应用前景。
3.2.2双曲线的简单几何性质第四课时(双曲线中点弦问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性
x1 x2 4, y1 y2 2
由x12
y12 3
1, x22
y22 3
1得x12
x22
y12 3
y22 3
y1 y2 3 x1 x2 6k 6 x1 x2 y1 y2
MN直线方程为y 1 6(x 2),代入x2 y2 1得 3
33x2 132x 124 0, 1322 132124 0
x1
x2
2m 3
AB中点横坐标为1 3
x1
x2
2 ， 2m 33
2 3
m 1, 代入方程得： 3x2 2x 5 0
(2)2 60 62 0符合题意
m 1
三、例题讲解：
例1：已知直线 y x m与双曲线 x2 y2 1相交于A, B两点，AB中点横坐标为 1，
4
3
求m的值。
A(3. 1)是弦CD的中点 x1 x2 6, y1 y2 2
x12 4
y12
1,
x22 4
y22
1 x12
x22 4
y12
y22
k y1 y2 x1 x2 3 x1 x2 4( y1 y2 ) 4
直线CD所在方程为: y 1 3 (x 3) 4
整理得：3x 4 y 5 0代入 x2 y 2 1得：5x2 30x 41 0 4
b 0)
x a或x a, y R
A1(- a,0) A2(a,0)
e c (e 12
1
b2 a2
ybx a
c2 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y a或y a, x R
A1(0,-a) A2(0,a)
e 2c | F1F2 | 2a || PF1 | | PF2 ||
数学-22届高考数学精品微专题：中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k AB OE -=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a a y b x ，则22ba k k AB OE -=⋅.2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=-by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=-bx a y ，则22b a k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=二、典例【选填+解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b b x x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222-=-=⋅e a b k k AB OM ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⨯-1011212e e，故e =．3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF -=⋅，得22)1(13)1(0ab -=-⨯---，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12-C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b -2b 2a 221189x y +=4.（2018全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <-． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则4322-=-=⋅a b k k AB OM ．由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43-=⋅m k ，于是34k m=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧<+>134102m m 得302m <<，故12k <-．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=， ∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==，∴2222223c a b a a -==，∴c e a ==． 故选B ．方法2：（秒杀解）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-⇒-=-=⋅1031112222e e e a b k k OM AB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，∴22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ∴:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-， 故选：C)(4R m m x y ∈+=C 12322=+y x B A ,AB M M 16.+-=x y A 6.xy B -=)33(16.<<-+-=x x y C )526526(6.<<--=x x y D8．（2020·四川成都市·成都七中）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1-），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得AB k 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b -，即可求解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又ABk =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2- 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =-，21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>∴222112b e a =-=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +-=-=-+-．11·2OD k k ∴=-，同理21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >-=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．2±B ．2± C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b---=-⨯--⨯=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x -=⋅==-∴，则ba=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y -=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB 的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116- B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121228x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 代入双曲线2214x y -=得，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：()()22221212104y y x x ---=， 整理得：1212121214y y x x x x y y -+=⋅-+，所以12121214816ABy y k x x -==⨯=-.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D．2【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b-=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ， AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b-+-+=， 即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又M F ABM F y y kx x -===-， 即2255a -=-，解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y --= B.2100x y +-= C.20x y -= D.280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C16．（2020·河南周口市·高三）已知双曲线2218y x -=上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=-（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，221118y x -=，222218y x -=,两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +--+=，整理可得0121208y x x y y x -=-，即18OD AB k k =， 同理得18OE BC k k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=-，所以1111AB BC ACk k k ++=-.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b -+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y -=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k -⋅=--，所以1k =，()22224512b =-+=，即21b =，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +-=====-+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y -=.18．（2017·河北衡水中学高考模拟）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.22134x y -= B.22143x y -= C.22152x y -= D.22125x y -= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C. D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>(,0)F c -(2,0)Pc()00,M x y 11,1,MF MP k k ==-AB M ,a c ()00,x y 0000112y x c y x c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b-=-=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P（x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），1212121222()()()()1x x x x y y y y a b -+-+-=002210x y a b -⋅=2213,a b=223b a =2,c a ∴=2e =设直线l 为：x ＝my +，且k ＝，A （x ，y ），B （x '，y '），直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x .24．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --， 又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =，而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（1）若l 的方程为21y x =-，求AB ；（2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1）4；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程.【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ． （1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===． （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-， 因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=．。
人教高中数学 选修 2-1 第二章 2.3 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广(含答案)
椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12 B、、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得2e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM yk x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+ 例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=-.证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
双曲线中点弦结论
双曲线中点弦结论新中学数学教材第一册中有一个教学题目叫“双曲线中点弦结论”，在学习双曲线时显得尤为重要，足以说，双曲线中点弦结论是数学中对于“双曲线”概念的重要延伸，也是一种非常有趣的课题，既具有研究价值又有实际意义。
本文将通过对双曲线中点弦结论的推导、解释、实际实例等多种形式，介绍双曲线中点弦结论的内容及其含义，以及它与双曲线的关系，为系统学习双曲线的概念、规律及其应用提供必要的参考资料。
一、双曲线中点弦结论的推导双曲线是由一个点和一条弦构成的，它的形状可以由下面的通用式：$$frac {x^2}{a^2} - frac {y^2}{b^2}=1 quad quad quad quad quad quad quad (1)$$来表示，其中$a$ 、$b$ 为正数。
该式即为双曲线的标准方程。
从几何图形上看，双曲线是由一个点和一条线段构成的，因此可以得出双曲线中点弦结论：双曲线中任意一点到双曲线上任一点（定点）的距离都是一定的。
设双曲线的中心为$O(0,0)$，其他点为$P(x_1, y_1)$，$Q(x_2,y_2)$ 有：$$large begin{cases}d(O,P)=sqrt{x_1^2+y_1^2}d(O,Q)=sqrt{x_2^2+y_2^2}d(P,Q)=sqrt {(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}end{cases}quad quad quad quad quad quad quad quad (2)$$将式（2）代入式（1）中可得：$$large sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=frac{a^2b^2}{sqrt{a^4+b^4}} quad quad quad quad quad quad quad (3)$$式（3）就是双曲线中点弦结论的表达式：双曲线的两点连线的距离等于双曲线的离心率的函数值。
二、双曲线中点弦结论的解释双曲线中点弦结论的解释是：双曲线上的任意两点之间的距离是固定的，表示在双曲线上任意一点到双曲线上任一点（定点）的距离都是一定的。
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题
课题：直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若0222≠-k a b 即ab k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆ 0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； 0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； 0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x k AB -++=若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay 设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++=焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=-则5y kx =+-22(51725x kx +--=， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =时，21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =107y x =-+。
双曲线的中点弦的存在定理
双曲线的中点弦的存在定理双曲线是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
双曲线的中点弦的存在定理是双曲线理论中的一个重要结果，它描述了双曲线上任意两点之间必定存在一条过双曲线中点的弦。
要理解双曲线的中点弦的存在定理，首先我们需要了解什么是双曲线。
双曲线是平面上的一条曲线，它与两个给定直线（称为渐近线）有特殊的关系。
它的定义是，对于给定直线的两个焦点F1和F2，以及到这两个焦点的距离之差的绝对值的和为常数的所有点P，这些点所形成的集合就构成了双曲线。
双曲线的形状类似于一个打开的椭圆，其中心称为双曲线的顶点。
在双曲线上取任意两点A和B，为了证明双曲线的中点弦的存在定理，我们需要先找到这两点的中点M。
双曲线的中点弦是指过点M的直线。
假设点A和B分别位于双曲线上，我们可以通过计算它们的横坐标和纵坐标的平均值来得到它们的中点M的坐标。
双曲线的方程一般可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是双曲线的两个参数。
假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，那么点M的横坐标为(x1 + x2)/2，纵坐标为(y1 + y2)/2。
接下来，我们需要证明通过点M的直线也是双曲线的一部分。
为了证明这一点，我们可以计算这条直线的方程，并将其代入双曲线的方程中，看是否成立。
设这条直线的方程为y = kx + c，其中k和c是常数。
代入双曲线的方程中，我们可以得到关于k和c的一个二次方程。
如果这个二次方程有解，那么这条直线就是双曲线的一部分。
通过计算可以发现，这个二次方程总有解。
这表明通过点M的直线确实是双曲线的一部分。
因此，我们可以得出结论：对于双曲线上的任意两点，必定存在一条过双曲线中点的弦。
双曲线的中点弦的存在定理在数学与几何学的应用中具有重要的意义。
它不仅帮助我们理解双曲线的性质，还可以应用在实际问题中。
例如，在工程学中，双曲线的中点弦的存在定理可用于确定两个关键点之间的最短路径，或者用于规划建筑物的位置和形状等。
双曲线中点弦存在性的探讨
双曲线中点弦存在性的探讨
求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：
（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．
（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．
无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：
利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．
当在区域Ⅰ内时，有
．
当在区域Ⅱ内时，有
．
当在区域Ⅲ内时，有．
利用上述结论，可以证明：
当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：
设双曲线的弦两端点为，，中点为
，则，．
运用点差法得出的斜率．①
令直线的方程为，
即．②
把②代入，整理得
．
．③
把①代入③，整理得．
若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；
若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．
例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（）
（A）（B）
（C）（D）不存在
分析将及联立得．此时，
，则选（D）．
若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．。
双曲线中点弦公式 -回复
双曲线中点弦公式 -回复双曲线，是一个数学上很经典的曲线。
它的名称因其形状和又称作‘双曲线’。
对于双曲线的研究，可以追溯到17世纪柯西和牛顿的著名研究。
而现代数学则通过刻画这种曲线，为其定理提供了严密的证明和解析。
在双曲线的研究中，有一个很重要的公式，那就是双曲线中点弦公式。
这个公式的作用，是解决两点之间的距离问题。
下面，就让我来详细地介绍一下双曲线中点弦公式。
如果在双曲线上选取任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，而且双曲线的方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2) = 1，那么这两点之间的距离，就可以通过公式d=|(y2-y1)/2| 再乘以双曲线中点弦公式计算出来。
具体来说，双曲线中点弦公式是:* 2a * e^(u/2) * sin((t1+t2)/2)其中，u=ln((y2+a)/(y2-a)) - ln((y1+a)/(y1-a))，t1为point1的极角，t2为point2的极角，a为双曲线的半轴长度，e为自然对数的底。
双曲线中点弦公式的证明，可以通过以下三个关键步骤进行。
第一步，是将点P1和P2的直线中点，映射到双曲线的中点M。
这个映射规则，可以用下面的公式表示：y=(y1+y2)/2 - b/e^t。
其中，t=(t1+t2)/2，b常数是与t无关的实数。
这个公式的证明，可以通过奥氏对称等几何性质来得到。
第二步，是计算双曲线中点与两原点O、P1、P2的距离。
这个距离可以通过利用勾股定理，然后再使用幂级数展开，推导得出。
第三步，是将求出的距离代入弦长公式。
由双曲的对称性，把M 沿着y轴到达y轴的负半轴点N时，对应的y坐标应该是负数，因此2a* e^(u/2)* sin((t1+t2)/2)的正负号由负号控制。
同样由于双曲的对称性，可以假设y1 > 0 , y2 > 0。
如果有一个点在y轴上，公式需要特别注意。
总之，双曲线中点弦公式是一个非常有用和经典的公式。
直线与双曲线的相交弦问题
v1.0 可编辑可修改直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =-+-②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222111(1)[()4]AB y y y y y y kk=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长例1、 过双曲线1322=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；2、过双曲线14491622=-y x 的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，求弦长AB ；3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22154x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；4、过双曲线122=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3π的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）二、已知弦长求双曲线方程5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．6、已知倾斜角为4π的直线l 被双曲线60422=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．例2、 已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322=-y x .问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
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o
F
例6.已知直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-9y2=36
求下列情况下实数k的取值范围. (1)有两个不同公共点; (2)没有公共点; (3)只有一个公共点;
例6.已知直线 y=kx-1 与双曲线 4x2-9y2=36
求下列情况下实数k的取值范围. (4)与右支有两个公共点; (5)与左支有两个公共点;
作业： 1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2，
与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点
是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．
y2 2. （课本62页B4）给定双曲线x = 1,过点A(1,1)能否 2 作直线L使L与所给双曲线交于两点P,Q,且A是线段PQ的
=4b -4(a b)(b 1) 0 ab a b
2
M
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
o
B
x
2b b 1 b a x1 x2 , x1 x2 AB中点M ( , ) ab ab ab ab 2 2 a 2 又 AB 1 k ( x x ) 4 x1 x2 k MO 1 2 b 2a b 2 1 2 2b 2 b 1 a ,b 2 2 2 ( ) 4 ab a b 3 3
韦达定理法：先写出直线方程，再代入双曲线方程， 利用韦达定理可求得中点坐标。 设而不求
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率。
2 b （ x1 x2 )( x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
b2 2x0 k AB a2 2 y0 0
2
2
例6、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点， 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2 y ax2 by 2 1 2 消y得:(a b) x 2bx b 1 0 解: A x y 1 0
*
16
练习:
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 1.过双曲线 4 9 16
的直线与双曲线
192 交于 A、B 两点，则|AB|= 7 .
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
8 3 所得弦长为 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 2 2 2 x2 y y x 2 2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 1 (B) x 2 4 2 4
练习 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A,B 两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：设 A,B 的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，
2 2 2 则 x2 － 4 y ＝ 4 ， x － 4 y 1 1 2 2＝4.
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
2
2
y x
o
x y 练习.过原点作直线l , 如果它与双曲线 1 4 3 相交, 则直线l的斜率k的范围是( B ) 3 3 A. ( , ) 2 2 3 3 B . ( , )( , ) 2 2 3 3 C . [ , ] 2 2 3 3 D. ( , ][ , ) 2 2
x2 y 2 思考：双曲线 2 2 1(a 0, b 0), 过左焦点F1与左支 a b 相交的弦AB的长为m, 另一焦点F2 , 求ABF2的周长.
解： |AF2 | | AF1 | 2a,| BF2 | | BF1 | 2a
且 | AF 1 | | BF 1 | m
| AF2 | | BF2 | 2a | AF1 | 2a | BF1 | 4a m
y
A
F1 O B
F2 x
周长 | AF2 | | BF2 | | AB | 4a 2m
三
弦中点问题
例3 已知双曲线方程为3x2-y2=3, 求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；
2
中点?说明理由.
22
已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
x y 直线l：y x 2 解 : (1)椭圆 1 F (2, 0) 9 5 2 得： 14 x 36 x 9 0 y x 2 由 2 18 9 2 x1 x2 , x1 x2 5x 9 y 45 7 14 6 11 2 2 弦长 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2 7
1.（全优例2）已知双曲线3x2－y2＝3,直线l过其右焦点F2， 与双曲线交于A、B两点，且倾斜角为45°，试问A、B两点 是否位于双曲线的同一支上？并求出线段AB的长．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2，0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2.
(6)与两支各有一个公共点.
练习:已知直线 y=kx-3 与双曲线 x2-y2=4 求下列情况下k的取值范围.
(1)有一个公共点; (2)有两个公共点; (3)没有公共点;
(4)与右支有两个公共点;
(5)与右支有一个公共点.
二 弦长问题
x2 y2 1 例2 如图所示，过双曲线 3 的右焦点F2,倾斜角 6 为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
o y
2
2
x
例4 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的 取值范围,使直线与双曲线 (1)只有一个公共点； k=±1，或k= ±
5 或k ＞ 5 2 2 (3)有两个公共点; 5 ＜k＜ 5 且k 2 2 5 2
；
(2)没有公共点； k＜
1
(4)交于异支两点；-1＜k＜1 (5)与左支交于两点. - 5 k 1 2
例4.直线y kx与双曲线 4 x y 16 不可能( B ) y
2 2
A.相交
B. 只有一个交点
C. 相离 D. 有两个公共点 o
x
y 例5. 过双曲线 x 1 的右焦点F, 做直 3 线l与双曲线的两支都相交, 则直线l的倾斜
2
2
角α的取值范围是____________________ y
2 2
例2.过点(0, 3)作直线l , 如果它与双曲线 x y 1只有一个公共点, 则直线l的 4 3 y 条数是( D ) A.1 C.3 B.2 D.4
2 2
o
x
x y 例3.过原点作直线l , 如果它与双曲线 1 4 3 相交, 则直线l的斜率k的范围是( A ) 3 3 A. ( , ) 2 2 3 3 B . ( , )( , ) 2 2 3 3 C . [ , ] 2 2 3 3 D . ( , ][ , ) 2 2
弦长公式：
2 |AB|= 1 k 2 · （ x1 x 2） 4 x1 x 2
=
1
1 · （y1 y2） 4 y1 y2 2 k
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
解 : (2)5 12 9 12 45
5 x 9 y 14 0
变式训练 1.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k 的取值范围．
y＝kx－1 2 2 解：由 2 得 (1 － k )x ＋2kx－5＝0， 2 x －y ＝4
2 2
o
x
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点) y
B2 A1 A2
o
B1
x
位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
相离:0 个交点
o
x
y
相交:一个交点
o
x
题型1:直线和双曲线的位置关系
例1.判断下列直线与双曲线的位置关系
x y 相切 (1) l : x 3, C : 1 9 16 2 2 3 x y (2) l : y x 1, C : 1 相交(两个交点) 4 9 16 4 x2 y2 (3) l : y x 1 , C : 1 相交(一个交点) 5 25 16 2 2 5 x y (4) l : y x 1 , C : 1 相离 4 25 16
2 2
2
2
y
B2 A1 O A2 B1
x0 y0 点P( x0 , y0 )在双曲线外 2 2 1； a b
2
2
x
复习：直线和椭圆的位置关系 方程△>0 相交 两个公共点
相切 一个公共点 相离 无公共点
方程△=0 方程△<0
y
x y 2 2 1 b a y kx m
2
25
A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) x1 x2 2, y1 y2 2 5x12 9 y12 45 2 2 2 2 两式相减得： （ 5 x x ） （ 9 y y 0 1 2 1 2） 2 2 5x2 9 y2 45 y1 y2 5 x1 x2 kMN 5 x1 x2 9 y1 y2 9 5 以A为中点的弦为MN 方程为:y 1 ( x 1) 9