控制系统的数学模型

二 控制系统的数学模型

2-2-1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

【解】：)(a

方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

⎰

i R u u dt i C u c c r 1 削去中间变量，整理得：

dt

du

RC u dt du RC

r c c =+ 方法二：

r c c r c u RC u u

RC RCs RCs

Cs

R R s U s U =+⇒

+=

+

=1

1)

()

( )(b 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：

c c r kx x x f =-)( r c c x k

f x x k f =+⇒

)

(c ()r r c c r c u u C R u u

C R R Cs R R Cs R Cs

R R Cs R s U s U +=++⇒+++=

+

++

= 221212212)(1

1

11)

()

( )(d 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程

r r c c a a c

a r c r x x

k f

x x f k k k k x f x x k x x k x x k +=++⇒⎩⎨

⎧=--=- 2

2121221)()

()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。四个系统均为一阶系统。

【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。

(a) 1

21221222

2212)()(1//)1(//)1

(

)()(R s L C R R LCs R R s LCR R Cs

R Ls R Cs R Ls

R Cs s U s U r c ++++=+⨯+++= (b)

1

)(1)(1)1//(1//

1)

()

(21221122121221122121221111+++++++=

+

+-=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R s

C R s C R s

C R s U s U r c

(c) 212121221

2)()//(1)

//(1

)()(R R s L C R R LCs R Ls R Ls R Cs

R Ls R Cs s U s U r c +++++=+++= (d)

s

C R R

s C R s C R R s

C R s C R s C R s

C s U s U r c 121121211//)1(//)1

(1//)1(1)()(+

⨯

+++

+++=

1

)2(12212

212

12212+++++=

s RC RC s C C R s RC s C C R

2-2-3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量。通过孔板的流量Q 与孔板前

小变化，试将流量方程线性化。 【解】：取静态工作点),(00Q P ，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项

)(2)(2

1

)(00

000

0000

P P P k Q Q P P P k Q P P Q Q Q P P -=

-⇒-+

=-'+==

设

21P k R =（R 为流动阻力），并简化增量方程为 P R

Q 1=

2-2-4 系统的微分方程组为：

【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace 变换得：

)()()()()()()

()()()

()()(322323211211s X k s C s sC T s C k s X s X s X s X k s sX T s C s R s X =+-=-=-=

绘制方框图

题2-2-4图

传递函数为

)

1()()()(2321123122122

1++++++=k k k k s T k k T T s T T k k s R s C

【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。 )1

()()(1//

)

(1)()

(211221121122s

C R s C R C C R R s U s U s

C R s U s C R s U a r c r c +++-=⇒

-=+ 1

1)()()

(1//

)()

(2121

2+⋅-=⇒

-=Cs R R R s U s U R s U Cs

R s U b r c r c

(a ) (b )