一致收敛性及其判别法

f ( x, y)dy
c
c
在[a, b]上一致收敛.
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例２ 证明含参量反常积分
cos xy 0 1 x2 dx
在 (, ) 上 一 致 收 敛.
证 因为，有
|
cos 1
xy x2
|
1
1 x2
y
并且反常积分
1 0 1 x2 dx
收敛
所以
0
x
在[ 0, d ] 上一致收敛
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二、含参量反常积分的性质
定理 19.9（连续性） 设 f ( x, y) 在
[a, b][c, ) 连续，若

I( x) c f ( x, y)dy
在[a, b]上 一致 收 敛，则 I( x)在[a, b]上 连 续 。
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证:
因为

f ( x, y)dy
关 于x在 任 何 闭 区 间[a, b]上 一 致 收 敛 ，
c
积分


dx | f ( x, y) | dy
与


dy | f ( x, y) | dx
a
c
c
a
中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且




a dxc f ( x, y)dy c dya f ( x, y)dx
f ( x, y)dy
在[a, b]一 致 收 敛 于I( x),
或 含参 量积 分在[a, b]一 致收 敛.
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由于

I( x) c f ( x, y)dy
所以上述定义中的不等式
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
也可表示为

| M f ( x, y)dy |
[a, b]上 收 敛 ， c
f x ( x, y)dy
在[a, b]上 一 致 收 敛，
则I( x)在[a, b]上 可 微 ， 且

I( x) c
f x ( x, y)dy
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定理19.11（可积性） 设 f ( x, y) 在 [a, b][c,) 上连续，若

某些值，y = d 为函数 f ( x, y) 的瑕点，则称
d
c f ( x, y)dy
为含参量 x 的无界函数反常积分，或简称为含参 量反常积分.
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无关的 N ( ) 使得该不等式成立，就称
反常积分在区间 [ a, b ]上一致收敛
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定义1. 若 0, N c, 使得当 M N 时，
对一切x [a, b]，都有
M
| c f ( x, y)dy I( x) |

则 称 含 参 量 反 常 积 分 c
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定理19.7(一致收敛的柯西准则） 设含量反常
积 分 f ( x, y)dy 在 [a, b] 一 致收 敛 c 0, M c，使得当A1, A2 M时，对一切 x [a, b]，都有 | A2 f ( x, y)dy | A1
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例1. 证明含参量反常积分
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例5 计算
sinbx sinax
I e px 0
dx ( p 0, b a) x
例6 计算
sinax
I 0
dx x
例7 计算
(r ) e x2 cos rxdx 0
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含参量无界函数非正常积分
设 f ( x, y) 在 [a, b][c, d ] 上有定义. 若对 x 的
I( x) c f ( x, y)dy
在[a, b]上一致收敛，则I( x) 在 [a, b] 上
可积，且
b


b
a dxc f ( x, y)dy c dya f ( x, y)d x
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定理19.12 设 f ( x, y) 在
[a,)[c,) 上连续. 若
f ( x, y)dx 关 于y在 任 何 闭 区 间[c, d ]上 一 致 收 敛 ， a
I(x)

f ( x, y)dy
在[a, b]上
c
一致收敛，由定理19.8，对任一递增且趋于
的数列 { An } ( A1 c), 函数项级数

I(x)
n1
An1 An
f ( x, y)dy

un ( x)
n1
在 [ a, b ] 上一致收敛. 又由于 f ( x, y) 在 [a, b][c, )
sinu
A
dy
du
y
Ax u
其中 A > 0.
由于 sinu du 收敛，故
0u 0, M c，使得当A M时，就有
| sinu du |
A u
取 N M ， 则当 A N 时， A M，
对一切 x [， )，有 Ax A M，
| g( x, y) | M, x [a,b],y c

则 c f ( x, y)g( x, y)dy
在 [ a, b ] 上一致收敛.
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例 3 证明含参量反常积分 e xy sin xdx
0
x
在 [0, d ] 上 一 致 收 敛.
证
因为，反常积分
sin x dx
从而 | sin xy dy || sinu du |
A
y
Ax u
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所以
0
sin xy y
dy
在[，
）
一致收敛.
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定理19.8
设含参量反常积分

f (x, y)dy
c
在[a, b]一 致 收敛
对 任一 趋 于 的 递增 数 列{ An } (其 中A1 c)，
函数项级数

n1
An1 An
f ( x, y)dy

un ( x)
n1
在[a, b]上一致收敛.
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魏尔斯特拉斯 M 判别法
设有函数g( y), 使得
f (x, y) g( y), x [a,b], y [c,).
若
g( y)dy 收 敛, 则

即 对 于 每 一 个x [a, b], 反 常 积 分

I( x) c f ( x, y)dy
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
0, N( , x) c, 使得 M N ,
M
| c f ( x, y)dy I( x) |
其中 N 与 x 有关. 如果存在一个与 x [a, b]
cos xy 0 1 x2 dx 在 (, ) 上 一 致 收 敛.
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狄利克雷判别法 设
⑴ 存在 M > 0, 对一切 N > c , 及一切 x ∈[ a, b ]
都有
N
| c f ( x, y)dy | M
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 关于 y
收敛，
0x
从而对于参量 y 它在 [ 0, d ] 上一致收敛，
函数 g( x, y) e xy 对每个 x ∈[ 0, d ]，关于变量 y
单调减少，且在[ 0, d ] 上一致有界：
| g( x, y) || e xy | 1, 0 y d , x 0
故由阿贝尔判别法，知 e xy sin xdx
§2 含参量反常积分
一、一致收敛性及其判别法 Fra Baidu bibliotek、含参量反常积分的性质
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一、一致收敛性及其判别法
设函数 f (x, y)定义在无界区域
R { ( x, y) | a x b, c y }
上，若对 于每 一个 固定的 x [a, b], 反常 积分

c f ( x, y)dy
sin xy dy
0y
在[， ）上一致收敛（其中 0), 但在
（0， ）内不一致收敛。
分析 要证： 0, N 0, 使得当A N 时， 对一切 x [ ,)，都有
| sin xy dy |
A
y
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证: 令 u = x y , 得
sin xy
(1)
都 收敛,则 它是 x 的 函数, 记 这个 函 数 为I( x), 有

I ( x) c f ( x, y)dy, x [a, b]
则⑴式为定义在[a, b]上的含参量x 的无穷限
反 常 积 分 ， 或 简 称 含 参量 反 常 积 分
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设反常积分 I( x) f ( x, y)dy 在 [ a, b ] 收敛 c
连续，故每个 un( x ) 都在 [ a, b ]上连续. 根据函数项 级数的连续性定理，函数 I( x)在[a, b]上 连 续.
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定理 19.10 设f ( x, y)与f x ( x, y)在 区 域
[a, b][c,)上 连 续 ， 若I( x) f ( x, y)dy 在 c
单调递减且当 y 时，对参量 x , g ( x, y ) 一致
地收敛于 0 ， 则

f ( x, y)g( x, y)dy
c
在 [ a, b ] 上一致收敛.
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阿贝尔判别法 设
⑴ f ( x, y)dy 在 [ a, b ] 上一致收敛. c
⑵ 对每一个固定的 x ∈[ a, b ]，函数 g ( x, y ) 为 y 的单调函数，且存在 M > 0, 使得