求数列极限的若干方法

n
lim xn
=
a
或 xn → a （n→∞） 读作：“当 n 趋于无穷大时， an 的极限等
于 a ”或“当 n 趋于无穷大时， an 趋于 a ”。lim 为拉丁文 limes 一词的前三个 字母，也有说成是英文 limit 一词的前三个字母的。若数列{ an }没有极限，则
称这个数列不收敛或称它为发散数列。
有 yn 单调递增， lim yn ，
n
则应用 Stolz 公式得
1 xn xn 1 I lim lim n a 1 n y y n 1 n n 1 n
2.8 几类特殊数列极限的球法
（1）公式型
若 an 是等比数列， 其前 n 项和为 S n ， 公比 q 满足│q│<1， 则 lim S n
a A
即 A2 A a 0
所以 A 因为 A>0
1 1 4a ， 2
所以 A
1 1 4a 2 1 1 4a 2
即 lim xn
n
2.6 利用幂级数求数列极限
利用简单的初等函数（特别是基本初等函数）的迈克劳林展式，常能求得一 些特殊形式的数列极限 例
2．数列极限的方法探求
2.1 几个常用数列的极限：
求解策略：熟记常见极限的结论，如
lim n
n
ak n k ak 1n k 1 a 0 ak bk n k bk 1n k 1 b0 bk
lim C C lim q n 0 （│q│<1）, n
yn
0 （b） 型 Stolz 公式：设 n 时， yn 0， xn 严格单调下降趋于零。若 0 lim
n
yn yn-1 y a ，则 lim n a （a 为有限数， , 或 ）。 n xn xn-1 xn
1 1 1 n a a 0 例 求 I= lim 1 a 2 a n 1 1 1 2 n 1 1 1 解 可以设 xn 1 a 2 a na 1 1 1 yn 1 2 3 n
O-Stolz 公式是数列极限的一种重要方法。 下面先介绍一下 O-Stolz 公式： （a） 型 Stolz 公式：设{ xn }严格递增，且 lim xn ，若 n
n xn xn1
lim
yn yn1
a 有限数
a 有限数 则 lim n xn

1 1 x2
则 S ( x)
X
0
1 1 x 1 1 dt dt 2 0 1 t 2 1 t 1 t
1 1 x = ln 2 1 x
因为
1 2
(1,1)
1 1 1 1 1 2 1 ln 所以 I S ln 1 2 2 2 2 2 1 2 1
0
1
= exp(2 ln 2 1) 注1 结论 1 把乘积转化为和的形式对函数是一个有利的工具。
n i n 若 lnf(x)在 0,1 上可积，则 lim ( ) e n i 1 n
1
ln f ( x)dx
0
1
2.3 利用四则运算法则求数列极限
若{ an }与{ bn }为收敛数列，则{ an + bn }，{ an - bn }，{ an bn }也都是收 敛数列，且有

21

例
求 I lim
n 0
ex 1 x 1 x cos x x x2 o x 2 ， 1! 2!
解
因为 e x 1
11 1 1 22 1 x (1 x) 1 x ( x 2) o( x 2) 2 2! ，
lim an bn lim an lim bn
n n n
lim anbn lim an lim bn
n n n
例 解
求 lim n
n

n 1 n

n
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n 1 n


n n 1 n 1 1 1 1 n

由1
关键词：极限、数列、函数
Abstract
Limit is mathematical analysis, the method of it from the higher mathematics elementary mathematics and different. The study is the ultimate in the process of change in trend of variables. The mathematical analysis discussed the limit can be broadly divided into two kinds: one kind is the limit, is a function of the limit. Two kinds of limit in essence is the same, in the form of sequence limit is the special function limit. This paper mainly studies sequence limit. The process of sequence limit, with related concepts, theorem and basis and formula of some of the most important methods and techniques.
1 lim 1 e n n
n
2.2 利用定积分求数列极限
通项中含有 n!的数列极限，由于 n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为 定积分来求救相对容易了。 例 解 求 lim x 将
1 n2
1 2 2 n n 1 arctan 2 arctan ... 2 arctan 2 n n n n n n
1 2
x x cos x 1 o( x 2) 2! 4! x2 1 o( x 2 ) o( x 2 ) 2 2 lim 3 整理得 I lim x 0 x 0 1 2 1 2 2 2 x o( x ) x o( x ) 6 6
2
4
2.7 利用 O-Stolz 公式计算数列极限
I lim X n X arctan dx
x 0 1
x2 1 1 x2 1 1 arctan│ dx 0 2 2 2 0 1 x 4 2
例
n ! n (2 n)! 求 lim
1 n n
1 n
解
原式= lim n
n
(2n)! n !n n
1 1 1 求 I lim 2 n x 2 3 2 (2 n 1)2 x 2 n 1 设 S（x）= ，易求得收敛半径 R=1，在（-1，1）内逐项求导得 n 1 2 n 1

解
S(x) x
n1

2(n1)
x2n
n0
数列极限的性质：
1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的； 2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。但是， 如果一个数列有界，这个数列未必收敛。 3.保号性：如果一个数列{ xn }收敛于 a，且 a>0（或 a<0)，那么存在正 整数 N，当 n>N 时，都有 xn >0(或 xn <0)。 4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。
A1 ，再作内接正十二边形，其面积记为 A2 ，内接二十四边形的面积记为 A3 ，
如此将边数加倍，当 n 无限增大时， An 无限接近于圆面积，他计算到 3072=6*2 的 9 次方边形，利用不等式 An 1 < A < An 2 [( An 1 )- An ](n=1，2，3....)得到 圆周率=3927/1250 约等于 3.1416。
1 提出，则原和式可改写为 n 1 1 1 2 2 n n arctan arctan ... arctan n n n n n n n
Xn
它可以看作是函数 x arctan x 在区间 0,1 上的积分和， 所采用的是 n 等分 0,1 区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。 因此
数列极限：
设是一数列，如果存在常数 a ，当 n 无限增大时， an 无限接近（或趋近） 于a， 则称数列收敛，a 称为数列的极限， 或称数列收敛于 a ， 记为 lim n 或： an → a ，当 n→∞。
an = a0
数列极限的ε-N 定义
设{ an }是一个数列， a 事一个确定的数，若∀ε＞0，存在自然数 N 使得当 n＞N 时，就有│ an - a │＜ε，则称数列 an 收敛于 a ， a 称为它的极限，记作
1 ， n
n
n
得 lim n

n 1 n = lim

1 1 1 1 n
x
=
1 2
2.4 利用重要极限求数列的极限
sin x 1 两个重要极限分别为 （1） lim 1 （2） lim 1 e x 0 n x n
n
例
2 求 lim 1 n n
摘
要
极限论是数学分析的基础， 它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。 极限研究的 是变量在变化过程中的趋势问题。 数学分析中所讨论的极限大体上分为两类： 一类是数列的 极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特 例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依 据，并借助一些重要的方法和技巧。
（n+1)(n+2) (2n) = lim n n nn 1 2 n n = lim (1 )(1 ) 1 n n n n
n 1 i = exp(lim ln(1 )) n n i 1 n 1
= exp( ln(1 x) dx)
Keywords: limit, sequence and function
1、预备知识
在高等数学中，极限是一个重要的概念。极限思想是许多科学领域的重要思 想之一，因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得特别重要。对于一些复杂极 限，直接按照极限定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出 结果。为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法。本文也介 绍了计算极限的几种方法。 极限可分为数列极限和函数极限，本文主要研究数列极限，定义如下。 首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为 1 的圆，在只知道直边形的面积计 算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为
2
解
n 2 2 2 2 lim 1 = lim 1 e 2 n n n n
2
2.5 单调有界数列法
这一方法是利用极限理论基本定理：单调 数列必有极限，其方法为： （1）判定数列是单调有界的，从而可设奇极限为 A； （2）建立数列相邻两项之间的关系； （3）在关系式两端取极限，得以关于 A 的方程，若能解出 A，问题得解。 例 求数列 a , a a , a a a a a a 其中（a>0） 的极限 解：设 x0 a , x1 a a a x0 x n 1 a x n （n=0,1,2 ） 则{ xn }是单调有界数列，它必有极限，设其极限为 A 在 xn 1 a xn 两边取极限得 A=