现代信号处理论文(1)

AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真

钱平

（信号与信息处理 S101904010）

一．引言

现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。

现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。

实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。

信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。 二．AR 模型的构建

假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方差为

，现在，我们希望建立AR 模型

的参数和x(n)的自相关函数的关系，也即AR 模型的正则方程(normal equation)。

由

)}()]()({[)}()({)(1

n x m n u k m n x E m n x n x E m p

k k x

a r

++-+-=+=∑=

)()()(1

m k m m r r a r

xu x p

k k x

+--=∑= (1)

由于u(n)是方差为

的白噪声，有

⎩⎨

⎧=≠=-0

00)}()({2

m m m n x n u E σ

（2）

由Z 变换的定义，

，当

时，有h(0)=1。综合（1）及（2）两式，

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≥--=∑∑==0)(1)()(1

2

1

m k m k m m p

k x k p

k x k x r a r a r σ （3） 在上面的推导中，应用了自相关函数的偶对称性。上式可写成矩阵式：

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣⎡----0001)0()2()1()()2()0()1()2()1()1()0()1()()

2()1()0(221x x x x x x x x x x x x x x x x M M M ΛO M M M ΛΛΛ

σa a a r r r r r r r r r r r r r r r r p p p p p p p (4) （4）

上述两式即是AR 模型的正则方程，又称Yule-Walker 方程。系数矩阵不但是对称的，而且沿着和主对角线平行的任一条对角线上的元素都相等，这样的矩阵称为Toeplitz 矩阵。若x(n )是复过程，那么

，系数矩阵是Hermitian 对称的Toeplitz 矩阵。（4）式可简单地表示为

式中

，

为

全零列向量，R 是

的自相关矩阵。

可以看出，一个p 阶的AR 模型共有p+1个参数，即，只要知道x(n)的前p+1个自

相关函数，由(1)，(2)及(3)式的线性方程组即可求出这p+1个参数，即可求出x(n)

的功率谱。

三．AR 模型阶数的选择

AR 模型的阶次p 一般事先是不知道的，需要事先选定一个稍大的值，在递推的过程中确定。在使用Levinson 递推时，可以给出由低阶到高阶的每一组参数，且模型的最小预测误差功率是递减的。直观上讲，当达到所指定的希望值，或是不再发生变化时，其时的阶次即是应选的正确阶次。

因为是单调下降的，因此，的值降到多少才合适，往往不好选择。为此，有几个不同的准则被提出，其中较常用的两个是：

最终预测误差准则： (1) 信息论准则：

式中N 为数据

的长度，当阶次k 由1增加时，FPE(k)和AIC(k)都将在某一个k 处取得极小

值。将此时的k 定为最合适的阶次p 。在实际运用时发现，当数据较短时，它们给出的阶次偏低，且二者给出的结果基本上是一致的。应该指出，上面两式仅为阶次的选择提供了一个依据，对所研究的某一个具体信号x(n)，究竟阶次取多少为最好，还要在实践中所得到的结果作多次比较后，予以确定。 四．Burg 算法的理论分析

Burg 算法是较早提出的建立在数据基础上的AR 系数求解的有效算法[7]。其特点是： (1) 令前后向预测误差功率 (2) （5）

为最小。

(2)

和的求和范围从p 至N-1，即

，

前后都不加窗，这时

（6）

在上式中，阶次m 由1至p 时，

（7）